Opuesto y valor absoluto Tema 1: NUMEROS ENTEROS

COLEGIO EL LIMONAR. MÁLAGA
DEPARTAMENTO DE MÁTEMÁTICAS
1º ESO.
RELACIONES DE EJERCICIOS
NÚMEROS ENTEROS
Tema 1: NUMEROS ENTEROS
Los números enteros (representados por la letra Z), son un conjunto de número que incluyen a:
•
Los números naturales (N), también llamados ahora enteros positivos (Z+) : 1, 2, 3, 4, ….
•
El 0
•
Los números negativos o enteros negativos (Z-) : -1, -2, -3, -4, ….
Representados en la recta real tenemos algo así:
Opuesto y valor absoluto
Opuesto
Dados dos números enteros diremos que son opuestos si su suma es cero.
Así (+6) y (-6) son opuestos pues (+6) + (-6) = 0.
Es fácil averiguar el opuesto de un entero, simplemente se obtiene cambiando el signo de dicho número;
así el opuesto de 2 es -2 , de -5 es 5 .....
El opuesto de un número se escribe Op (-4) = (+4)
Valor absoluto
El valor absoluto de un entero coincide con él si es cero o positivo y es su opuesto si es negativo.
El valor absoluto de un número se nota colocando el número entre dos líneas verticales ||
|+5| = |5| =5
|-7| = |7| = 7
COLEGIO EL LIMONAR – 1º ESO – NÚMEROS ENTEROS 1 Suma
Suma de dos enteros
Cuando sumamos dos enteros se pueden presentar dos casos, que ambos enteros tengan el mismo signo
o que tengan distinto signo.
Si tienen el mismo signo se suman las cantidades y se coloca su signo
(+5) + (+7) = (+12)
(-3) + (-4) = (-7)
Si tienen el distinto signo se restan las cantidades y se coloca el signo del mayor
(+5) + (-7) = (-2)
(-3) + (+8) = (+5)
Suma de varios enteros
Agrupamos aquellos enteros que tengan el mismo signo y los sumamos, luego restamos los que tienen
distinto signo y colocamos el signo del mayor.
(+2) + (- 3) + (- 4) = 2 - 3 - 4 = 2 -7 = - 5
(-12) + (- 4) + (+8) = -12 - 4 +8 = - 16 +8 = - 8
Resta
Restar un entero es equivalente a sumar su opuesto, es decir,
(+3) - (+9) = (+3) + (-9) = - 6
Luego si queremos restar enteros, trasformamos la resta en suma de opuestos y sumamos.
Restemos varios enteros
(-9) - (+5) = (-9) + (-5) = -9 -5 = -14
(+12) - (-8) = (+12) + (+8) = 12 +8 = 20
(-19) - (+7) - (-6) = (-19) + (-7) + (+6) = -19 -7 +6 = -26 +6 = -20
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RELACIONES DE EJERCICIOS
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NÚMEROS ENTEROS
Producto
Regla de los signos (regla de Bashkara)
Signo resultante del producto de dos enteros
(+)·(+)=(+)
(+)·(-)=(-)
(-)·(-)=(+)
(-)·(+)=(-)
Producto de dos enteros
Si los dos enteros tienen el mismo signo, se multiplican sus valores absolutos y el signo resultante del
producto es positivo, si tienen distinto signo se multiplican sus valores absolutos y el signo será
negativo.
(+5) · (+7) = (+35)
(-3) · (-8) = (+24)
(-4) · (+9) = (-36)
(+6) · (-2) = (-12)
Producto de varios enteros
El producto de enteros es asociativo, es decir a·(b·c) = (a·b)·c, luego cuando haya que multiplicar varios
se multiplican de dos en dos y el resultado se multiplica por los factores que no hayan intervenido en ese
producto.
(+5) · (+7) · (-2) = (+35) · (-2) = (-70)
(-3) · (-8) · (+4) = (+24) · (+4) = (+96)
(-4) · (+9) · (-3) = (-36) · (-3) = (+108)
(+6) · (-2) · (+4) = (-12) · (+4) = (-48)
Nota: Cuando entre dos enteros no aparece ningún signo se sobreentiende que se están multiplicando:
(+3)(-7) = (-21)
COLEGIO EL LIMONAR – 1º ESO – NÚMEROS ENTEROS 3 Cociente
Regla de los signos
Signo resultante del cociente de dos enteros
(+):(+)=(+)
(+):(-)=(-)
(-):(-)=(+)
(-):(+)=(-)
Cociente de dos enteros
Si los dos enteros tienen el mismo signo, se dividen sus valores absolutos y el signo resultante del
cociente es positivo, si tienen distinto signo se dividen sus valores absolutos y el signo será negativo.
(+25) : (+5) = (+5)
(-33) : (-11) = (+3)
(-42) : (+6) = (-7)
(+63) : (-9) = (-7)
Operaciones combinadas
Las operaciones combinadas son operaciones mixtas sobre enteros, es decir, se hacen distintas
operaciones, sumas, restas, productos o cocientes. Para ello es necesario establecer una prioridad a la
hora de operar.
Prioridad de operaciones
En las operaciones combinada pueden aparecer corchetes [ ], paréntesis ( ) , productos, cocientes,
sumas o restas. Las prioridades operando son:
1. Corchetes
2. Paréntesis
3. Productos y cocientes
4. Sumas y restas
1. Calculamos las expresiones que hay dentro de
cada corchete, si dentro de un corchete hay algún
paréntesis se opera dentro del paréntesis.
2. Se quitan los paréntesis que hay dentro de cada
corchete operando con su contenido
3. Calculamos dentro de los corchetes
4. Finalmente multiplicamos y sumamos,
concediendo prioridad al producto
4·[ -9(8-6-4) – 8] + 2[- (-9+3+9) -3]
4·[-9(-2) – 8] + 2[-(+3)-3]
4·[18-8] + 2[-6] = 4·10 + 2·(-6)
40 – 12 = 28
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RELACIONES DE EJERCICIOS
NÚMEROS ENTEROS
RELACIÓN DE EJERCICIOS
SUMA Y RESTA DE ENTEROS
A. Resuelve mentalmente las siguientes operaciones: 1. 9 + 8 = 6. – 35 + (– 15) = 2. 15 + (– 20 ) = 7. 23 – 30 = 3. – 12 + (– 6) = 8. 22 + (– 36) = 4. 19 + (– 9) = 9. – 4 + (– 9) = 5. – 18 + 12 = 10. – 8 + 10 = B. Convierte las siguientes restas en sumas y resuelve: 1. 17 – 15 = 6. 8 – 14 = 2. 25 – (– 15) = 7. 5 – (– 12) = 3. – 9 – (– 5) = 8. – 9 – 7 = 4. – 5 – 2 = 9. 6 – 12 = 5. – 3 – (– 2) = 10. – 5 – 6 = C. Realiza las siguientes operaciones: 1. 5 – 3 + 2 = 6. – 8 – 6 – 4 + 9 – 2 = 2. – 7 + 3 – 4 + 9 = 7. 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 = 3. 8 – 5 + 3 – 7 = 8. – 6 + 2 – 5 – 1 + 3 = 4. – 4 – 3 + 5 = 9. 7 – 9 + 3 – 5 + 6 – 2 = 5. 9 – 6 – 3 – 5 – 1 = 10. – 5 + 8 – 6 + 3 – 1 – 2 = D. Resuelve las siguientes operaciones 1. 3 + 4 – 5 + 6 – 2 – 1 = 6. – 5 + 6 – 4 + 7 – 6 – 3 = 2. 5 – 3 + 4 – 1 + 2 = 7. – 2 + 1 + 5 – 8 – 3 – 2 = 3. 3 – 5 – 4 + 7 + 1 = 8. – 6 + 4 – 3 – 1 – 2 + 4 = 4. 5 + 3 – 7 – 2 + 1 + 4 – 6 = 9. 4 – 5 – 3 – 2 – 1 + 10 = 5. 6 – 8 – 5 – 2 + 3 + 4 – 5 = 10. 8 – 3 + 4 – 3 + 5 + 6 = E. Resuelve: 1. 4 – 2 + 6 + 8 – 7 + 10 = 3. 10 + 9 – 12 – 8 – 10 + 2 + 5 = 2. – 6 + 7 – 4 – 2 + 1 – 9 = 4. – 20 + 15 – 10 – 8 – 3 + 7 + 19 = COLEGIO EL LIMONAR – 1º ESO – NÚMEROS ENTEROS 5 F. Quita paréntesis y calcula: 1. 3 – (7 + 10) = 9. – 3 – (2 + 6 – 10) = 2. 6 – (– 4 – 3) = 10. – (– 2) + 4 – (–5 + 2) = 3. – 7 – (8 – 10) = 11. – 3 – (4 + 6) – (7 – 9) = 4. (– 3 + 10) + 7 = 12. 9 – (– 8 + 10) – (–1 – 3) = 5. 8 – (10 – 3) – (– 1) = 13. 5 + 4 – 9 – (– 8 + 5) = 6. – (– 5) + (– 3 – 6) = 14. – 7 + 4 – 7 – (8 – 4 + 3 ) = 7. – 4 – (5 – 3) – (4 + 3) = 15. – 6 – [2 – (1 + 5)] – (– 3 + 1) = 8. 6 – (– 4 + 6) – (– 5 – 6) = 16. 2 + 2 + 3 – [2 – (– 3)] = USO DE LA REGLA DE LOS SIGNOS (BASHKARA) A DOBLE SIGNOS CON PARÉNTESIS G. Simplifica la operación mediante la Regla de los Signos y resuelve: 1. 9 – (+3) = 6. 5 – (+ 3) – (– 1) = 2. 5 – (– 4) = 7. (– 3) – (– 3) + (– 5) – (+5) = 3. – 3 + (– 3) = 8. 1 – (– 1) + (+ 4) – [2 – (– 7)] = 4. – 4 – (+ 3) = 9. – (+2) – [4 – (5 – (–5))] – (– 1 +3)] = 5. – (– 5) + (– 8) = 10. 5 – [– (– 6) – (– 3)] + 2 – (+ 1) = H. Quita los paréntesis aplicando la regla de Bashkara (de los signos) y calcula: 1. 20 + (– 15) + 8 – (– 9) = 9. (– 6) – (– 5) – [– (– 3)] + 1 = 2. 12 + (– 7) – (– 10) + 6 = 10. – (– 2) – [– (– 7)] – (– 5) – [– (– 3)] = 3. – (– 6) + 8 – (–3 ) – (– 7) = 11. 6 – (5 – 3) – [7 – (– 1 – 4)] = 4. – 2 – (– 1) – (– 8) + (– 7) = 12. – (5 + 6) – [– 4 – (7 + 3)] = 5. 8 – (– 5) + 7 + (– 3) – 5 = 13. 10 – [– 6 + (– 8) – 4] – (– 3 – 2) = 6. 5 + (– 2) – 8 – (– 4) = 14. – 7 + 3 – [– (10 – 5) – (8 – 10)] = 7. 15 – 9 – 8 – [– (–9)] = 15. – [8 – (7 + 3) – (1 – 9)] – (4 – 8 + 2) = 8. – 10 – (– 7) – (– 4) + 3 = 16. 9 – [15 + (7 – 10)] – [8 – (7 + 3) + (– 2)] = COLEGIO EL LIMONAR – 1º ESO – NÚMEROS ENTEROS 6 COLEGIO EL LIMONAR. MÁLAGA
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RELACIONES DE EJERCICIOS
NÚMEROS ENTEROS
PRODUCTO Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS H. Efectúa las siguientes multiplicaciones: 1. 4 · 7 = 7. (– 6) · (– 1) = 2. 7 · (– 6) = 8. 3 · (– 3) = 3. – 5 · (– 6) = 9. (– 1) · (– 1) = 4. – 9 · 3 = 10. – 4 · 5 = 5. 4 · (– 2) = 11. – 6 · 0 = 6. (–3) · 5 = 12. (– 5) · (– 10) = I. Resuelve los siguientes productos: 1. (– 2) · (+ 4) · (– 5) = 6. (– 3) · 8 · (– 1) = 2. 3 · 5 (– 2) = 7. 4 · (– 6) · (– 3) = 3. 3 · (– 4) · (– 20) = 8. (– 2 ) · (– 2) · (– 2) = 4. – 4 · 5 · 7 = 9. 3 · (– 1) · (+2) · (– 2) · (– 10) · (– 1) = 5. – 8 · (– 4) · (– 2) = 10. (– 4) · 4 · (-­‐2) · 3 · (– 1) · 10 = J. Resuelve las siguientes divisiones de números enteros: 1. 16 : 4 = 9. 17 : (– 1) = 2. 45 : (– 5) = 10. (– 39) : 13 = 3. 35 : (– 7) = 11. (– 56) : (– 8) = 4. 72 : 9 = 12. 48 : (– 6) = 5. 15 : (– 5) = 13. 18 : 2 : 3 = 6. 18 : (– 3) = 14. 64 : 8 : 2 = 7. 36 : 9 = 15. 72 : (– 10) : 9 = 8. 240 : (– 10) = 16. 120 : (– 12) : (– 5)= K . Completa los huecos en las siguientes operaciones: 1. – 8 : ____ = 24 5. 215 : ____ = – 5 2. 4 · ____ = – 36 6. ____ : (– 3) = 12 3. ____ · (– 14) = 70 7. ____ : 12 = – 60 4. ____ · (– 9) = – 207 8. ____ : (– 8) = – 64 COLEGIO EL LIMONAR – 1º ESO – NÚMEROS ENTEROS 7 L. Resuelve las siguientes operaciones con multiplicaciones y divisiones 1. 4 · (– 5) : (– 2) = 6. (– 2) · (– 6) : (– 1) · (– 4) = 2. – 10 : 5 : (– 2) = 7. – 18 : (– 3) · (– 2) = 3. 5 · 6 · (– 2) = 8. – 18 : [(– 3) · (– 2)] = 4. 60 : (– 30 : 2) = 9. – 36 : (– 9) : [2 · (– 2)] = 5. 60: (– 30) : 2 = 10. – 30 : 3 · (– 3 · 2) = OPERACIONES CON OPUESTOS Y VALORES ABSOLUTOS M. Resuelve estos ejercicios básicos de opuestos y valor absoluto: 1. Op (7) = 5. Op (5) + Op (–5) = 2. Op (– 3) = 6. Op (– 3) – Op (3) = 3. Op (+ 9) = 7. Op (Op (5 – 7)) = 4. Op (– 5 – 3 +1) = 8. Op (– 6) – Op (9) = COLEGIO EL LIMONAR – 1º ESO – NÚMEROS ENTEROS 8 COLEGIO EL LIMONAR. MÁLAGA
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RELACIONES DE EJERCICIOS
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NÚMEROS ENTEROS
OPERACIONES COMBINADAS N. Realiza las siguientes operaciones combinadas respetando la jerarquía de operaciones. 1. 5 · (7 + 9) = 9. 4 – 2 · (3 – 9) = 2. 8 · (19 – 12) = 10. – 6 + 3 · (– 3 – 2) = 3. – 6 · (12 + 8) = 11. (– 4 + 10) · (– 5 + 3) = 4. – 4 · (15 – 3) = 12. (– 5 – 10) : (– 2 + 7) = 5. (7 – 12) · (– 2) = 13. 8 – (10 – 6 : 3) = 6. 8 : (17 – 21) = 14. 8 + (– 10) : (– 3 – 2) = 7. – 6 : (12 – 15) = 15. – 4 · (4 · 3 – 10) = 8. (– 4) · [7 + (– 6)] = 16. – (3 + 2) + 2 · (4 – 7) = O. Operaciones combinadas con números enteros. 1. 4 + 5 – 6 · 2 + 7 – 10 = 9. 5 · (– 3) – 6 : (– 2 + 1) = 2. – 3 + 4 · (– 5) + 6 : 2 = 10. 4 + 12 · (2 – 4) + 8 : (– 4) = 3. 12 : (– 4) + 6 + (– 3) = 11. 9 + 6 · (4 – 9) + 16 : 8 = 4. 12 : (– 4) + 6 + (– 3) = 12. 4 – (– 5) : (– 2) – 1 – (– 3 – 2 · 5) = 5. 5 · (– 3) – 6 : (– 2) + 1 = 13. 8 – 15 · 5 – 64 : 8 + (– 4) · 8 : (– 2) = 6. 4 + (5 – 6) · 2 + 7 – 10 = 14. 20 : (6 – 8) – (4 – 2) + 6 · 5 : 3= 7. (– 3 + 4) · (– 5) + 6 : 2 = 15. 8 + 2 · (3 – 7 +1) – 3 · (15 – 8 + 3) = 8. 12 : (– 4 + 6) + (– 3) = 16. 4 – (14 – 24) : 2 – 7 · (4 – 8 – 6) : 10 = P. Resuelve las siguientes operaciones combinadas. 1. 4 + 3 · (2 – 5) + 25 : 5 = 10. 10 – 9 – [– (3 + 2) – (7 – 9)] = 2. 2 · (5 + 4) – 2 · (4 – 3) = 11. – 6 + [8 – ( 3 + 5)] · (– 2) = 3. 7 – 2 · (5 + 7) – 6 · (2 – 3) = 12. 9 – [24 – (– 1 – 2)] : (– 9) = 4. 5 – (– 3 + 4 – 2) – 3 · (2 + 5 – 4) = 13. (10 – 15) + 3 · [3 – (2 + 1)] = 5. 12 – (9 – 5 + 4 + 3) = 14. 2 · [8 – 4 · (10 – 6) – (– 3 – 2)] = 6. 25 + 40 : (6 – 4) + [5 – (8 – 9)] = 15. (– 9 + 7) · (3 – 2 · 4) : [6 – (– 9 + 10)] = 7. 2 · (6 + 2) – [– (– 4) – (12 – 8)] = 16. [8 – (– 10 + 14)] : [9 – (4 + 2 · 3)] = 8. 2 – (5 + 3) – [6 – (1 – 4)] = 17. – 5 · [4 – (3 – 2 · 5 + 8)] – [15 – (–5)] = 9. 4 – (6 +5 – 12) · [(4 – 7) : (12 – 15)] = COLEGIO EL LIMONAR – 1º ESO – NÚMEROS ENTEROS 9 COLEGIO EL LIMONAR – 1º ESO – NÚMEROS ENTEROS 10 COLEGIO EL LIMONAR. MÁLAGA
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RELACIONES DE EJERCICIOS
1º ESO.
NÚMEROS ENTEROS
FICHA 1: SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS. I.E.S. Profesor Máximo Trueba COLEGIO EL LIMONAR – 1º ESO – NÚMEROS ENTEROS 11 FICHA 2: PRODUCTO Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. I.E.S. Profesor Máximo Trueba COLEGIO EL LIMONAR – 1º ESO – NÚMEROS ENTEROS 12