Estudio Computacional del Flujo de Materiales Granulares Barrados

Revista Colombiana de Física, vol. 41, No. 2, Abril 2009
Estudio Computacional del Flujo de Materiales Granulares Barrados
S.A. Galindo1, J.D. Muñoz1
1
Universidad Nacional de Colombia, Grupo de Simulación de sistemas físicos
Recibido 23 de Oct. 2007; Aceptado 6 de Mar. 2009; Publicado en línea 30 de Abr. 2009
Resumen
Presentamos en este trabajo una propuesta para el estudio de las avalanchas o flujos de escombros. El modelo
utilizado se basa en el método de simulación de dinámica molecular y el modelo de elementos discretos. Realizamos una simulación de 400 granos poligonales de configuración aleatoria cayendo por una pendiente los
cuales sufren fuerzas de fricción entre ellos y con el suelo además de una repulsión elástica y la gravedad.
Mostramos una aplicación importante de este modelo en donde medimos la distribución de la componente de la
velocidad paralela a la pendiente y la comparamos con la distribución de velocidades de Maxwell Boltzmann.
Palabras claves: Dinámica molecular, Geomecánica, Avalanchas.
Abstract
In this research work we present a simulation model based on the Molecular Dynamics method for the study of landslides
and avalanches. We show the results of the simulation on a 400 polygons constructed with the Voronoi method. These polygons fall down trough a slope and suffer elastic and frictional forces between each other. And important contribution of
this method is also presented: The obtained velocity distribution for the velocity component parallel to the slope is compared with the Maxwell Boltzmann velocity distribution.
Key Words: dynamics, Geomechanics, Avalanches
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1. Introducción
Las avalanchas de tierra son desastres naturales
que han sido ampliamente estudiados desde hace tiempo.
Existen dos frentes de estudio principalmente: Predecir
cuando se presentan y los factores que contribuyen a su
aparición y la dinámica de la avalancha una vez que se ha
iniciado.
Sobre los factores desencadenantes de la avalancha
se destaca principalmente la presencia de agua dentro del
material granular. Según el argumento de Terzaghi[1] la
presencia de agua disminuye el estrés normal efectivo sobre
una sección de roca. También sabemos que el desplazamiento del material granular ocurrirá cuando el esfuerzo de
cizalla τ supere un umbral dado por el criterio de Mohr
Coulomb:
τ = μ (σ − p)
(1)
Donde μ es el coeficiente de fricción dinámica, σ
el esfuerzo normal sobre una superficie del material granular y p la presión de poro debido a la presencia de agua en la
roca. Como vemos de la ecuación (1) una presión alta debido al agua ocasiona que el criterio de Mohr Coulomb se
cumpla para un esfuerzo de cizalla menor y por tanto aumenta lo posibilidad de una avalancha.
Una vez la avalancha se presenta, su dinámica es
modelada como aquella de un fluido incompresible con el
conjunto de ecuaciones diferenciales de Savage Hutter[2]
las cuales son derivadas de las ecuaciones de Navier Stokes.
Estas ecuaciones proveen la descripción del material granular como aquel de un fluido continuo y por tanto no son
apropiadas cuando el carácter discreto de la avalancha es
importante.
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Fig.1 La fuerza de repulsión elástica entre dos polígonos depende
del área de sobrelapamiento (gris), se aplica en el punto medio la
línea que une las intersecciones y su dirección es perpendicular a
ésta línea.
En el presente trabajo presentamos un modelo para
estudiar la dinámica de una avalancha en 2D basado en el
método de elementos discretos. En el capitulo 2 haremos
una descripción del modelo para después mostrar algunos
resultados sobre la estadística del campo de velocidades que
no se puede hacer con las ecuaciones de Savage Hutter en el
capitulo 3.
2. El modelo
En este trabajo utilizamos el método de elementos
discretos[3] que ha sido ampliamente usado en estudios de
materiales granulares. En el se crea una distribución de
polígonos de configuración aleatoria por medio del método
de Voronoi[3]. Cada uno de los polígonos representa un
grano el cual esta sujeto a fuerzas elásticas de colisión que
dependen de su modulo de Young Y:
F = YA
(2)
Donde A es el área de sobrelapamiento que se
muestra en la figura (1) junto con la explicación de la dirección de esta fuerza.
Además de la repulsión elástica, también se aplican
otras fuerzas en nuestro estudio, como la gravedad y la
fricción de Coulomb dada por la ecuación (1). Una vez se
tienen todas las fuerzas, se procede a integrar numéricamente la segunda ley de Newton utilizado el algoritmo de Verlett[4]. También se integra en cada instante de tiempo la
ecuación para la dinámica angular ya que tanto la fuerza de
fricción como la elástica producen torques sobre los granos.
El programa de simulación construido puede medir la velocidad de cada partícula en un instante de tiempo particular y
de esa manera realizar un estudio sobre la estadística de
velocidades.
3. Resultados
La simulación comienza declarando un conjunto de
400 granos los cuales se colocan sobre una pendiente de 30
grados y se dejan caer por influencia de la gravedad con
coeficiente de fricción μ=0.4. El sistema de coordenadas
Fig.2 Nuestro sistema de 400 granos cayendo por una pendiente de
30 grados. En la figura la pendiente es horizontal y, por tanto, la
gravedad tiene una componente en el eje x.
que utilizamos tiene el eje x paralelo a la pendiente. Mostramos en la Fig 2 la configuración final después de 20
segundos de caída:
Queremos saber la distribución de probabilidad para la componente de la velocidad en el eje x paralelo a la
pendiente. En la Fig 3 mostramos la distribución de velocidades calculada por histograma junto con la mejor cuadratura de una función gaussiana guiándonos por la distribución
de Maxwell-Boltzmann[5]. Dicha distribución depende de
la temperatura del gas que se obtiene del promedio de la
energía cinética de las partículas.
Como vemos en la Fig 3, la curva gaussiana tiene
una buena correlación con los resultados obtenidos. Sin
embargo esta curva no esta centrada en cero como usualmente se ve en el caso del gas ideal. La razón de esto es la
gravedad que corre el promedio de la componente x de la
velocidad hacia la derecha debido a la aceleración constante. Si tomamos el caso de un bloque que parte en reposo
cayendo por una pendiente con fricción obtenemos que
después de 20 segundos su velocidad está dada por:
Vx = g (sin(30) − μ cos(30))(20 s) = 30.1m / s
(3)
La desviación estándar de esta distribución depende del promedio de la energía cinética sobre el conjunto de
datos. Inicialmente todos los granos tienen velocidad cero
pero después debido a la gravedad todos obtienen una aceleración. La energía cinética aumenta a medida que el material granular cae por la pendiente e igual su promedio.
En particular, a los 20 segundos encontramos una desviación estándar igual a 8.39±1.15 para nuestra distribución
gaussiana. Dicha desviación estándar crece con el tiempo a
medida que el material granular adquiere velocidad por la
gravedad. Esto es fácilmente visualizable cuando se recuerda que en el inicio de la simulación todos los granos partían
del reposo dando como resultado una distribución de velocidades con desviación estándar nula y a los 20s es mayor.
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150
P(Vx)
100
50
0
20
25
30
35
40
45
Vx(m/s)
50
Fig.3 Distribución de probabilidad de la componente x de la velocidad de los granos calculada por histograma (puntos). Cuadratura
de una función gaussiana (línea) con coeficiente de correlación
r2=0.9853
Conclusiones
El método de elementos discretos tiene una gran
ventaja al estudiar la mecánica de una avalancha sobre la
ecuación de medio continuo de Savage Hutter ya que considera el carácter discreto de la avalancha formada por escombros a los que se les pueden asignar velocidades y posiciones individuales con facilidad. Como pudimos ver, es
fácil hacer mediciones de la estadística de velocidades.
Guiándonos por el formalismo de Maxwell Boltzmann
hemos tomado la distribución de una sola componente de la
velocidad y hemos visto como corresponde con el caso en el
que el valor esperado es cercano al de un bloque cayendo
por una pendiente sufriendo la fuerza de fricción de Coulomb. Es interesante que el modelo de gas ideal se pueda
usar en este caso donde, debido a la fricción, los choques
entre granos son inelásticos. Si no existiera la gravedad, la
energía rápidamente se disiparía y la velocidad de los granos tendería a cero. Si embargo por acción de la gravedad
los granos siempre están en movimiento y la fricción de
Coulomb es solo otra fuerza que junto con la gravedad
produce una aceleración neta que aumenta siempre la energía cinética de los granos.
Referencias
[1]
J. Rajchenbach, Dynamics of Grain Avalanches, Physical
Review Letters 88 014301, 2002.
[2] K. Hutter, Influence of obtacles in rapad granular flows, Acta
Mechanica 175, 105-122, 2005.
[3] F.Alonso, H.Herrmann. Ratcheting of granular materials.
Phys. Rev. Lett. 92 054301, 2004.
[4] L. Verlet, Phys. Rev. 159, 98 1967
[5] F. Reif, Fundamentals of statistical and thermal physics,
McGrawHill, 343, 1985.
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