Ejemplo de elección del elemento pivote con varias estrategias de

Ejemplo de elección de un elemento pivote
con varias estrategias de pivoteo
Egor Maximenko
http://www.egormaximenko.com
Instituto Politécnico Nacional, ESFM, México
9 de enero de 2015
I. Eliminación de Gauss sin pivoteo (con pivotes diagonales).
II. Pivoteo parcial (por columna).
III. Pivoteo parcial escalado (por columna).
IV. Pivoteo completo.
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
−9
−6
−1
9
−8




.


¿Qué parte de la matriz participa
en la búsqueda de pivotes?
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:
No participan:
el vector b,
A1,∗ (después del primer paso),







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
−9
−6
−1
9
−8




.


A∗,1 (después del primer paso).
Las entradas que pueden participar
en algunas estrategias de pivoteo son:
Ai,j
con
2 ≤ i, j ≤ 5.
I. Eliminación de Gauss sin pivoteo,
esto es, con pivotes diagonales:
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
−9
−6
−1
9
−8
el pivote será




.


A2,2 .
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
−9
−6
−1
9
−8
II. Pivoteo parcial (pivoteo por columna).
Comparamos entre si los números
|Ai,2 |




.


con
2 ≤ i ≤ 5.
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:
II. Pivoteo parcial (pivoteo por columna).
Comparamos entre si los números
|Ai,2 |
con
2 ≤ i ≤ 5.
|A2,2 | = 6,







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
−9
−6
−1
9
−8




.


|A3,2 | = 8,
|A4,2 | = 8,
|A5,2 | = 5.
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:
II. Pivoteo parcial (pivoteo por columna).
Comparamos entre si los números
|Ai,2 |
con
2 ≤ i ≤ 5.
|A2,2 | = 6,







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
−9
−6
−1
9
−8




.


|A3,2 | = 8,
|A4,2 | = 8,
|A5,2 | = 5.
El pivote será A3,2 .
Otra buena opción es A4,2 .
III. Pivoteo parcial escalado.
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
−9
−6
−1
9
−8
Mi := max |Ai,j | (2 ≤ i ≤ 5).
2≤ j ≤5




.


III. Pivoteo parcial escalado.
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
−9
−6
−1
9
−8
Mi := max |Ai,j | (2 ≤ i ≤ 5).
2≤ j ≤5




.


M2 = 9,
III. Pivoteo parcial escalado.
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
−9
−6
−1
9
−8
Mi := max |Ai,j | (2 ≤ i ≤ 5).
2≤ j ≤5




.


M2 = 9,
M3 = 9,
III. Pivoteo parcial escalado.
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
−9
−6
−1
9
−8
Mi := max |Ai,j | (2 ≤ i ≤ 5).
2≤ j ≤5




.


M2 = 9,
M3 = 9,
M4 = 8,
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
III. Pivoteo parcial escalado.
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
−9
−6
−1
9
−8
Mi := max |Ai,j | (2 ≤ i ≤ 5).
2≤ j ≤5




.


M2 = 9,
M3 = 9,
M4 = 8,
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
M5 = 7,
III. Pivoteo parcial escalado.
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:
Mi := max |Ai,j | (2 ≤ i ≤ 5).
2≤ j ≤5
Comparamos los cocientes







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
−9
−6
−1
9
−8




.


M2 = 9,
M3 = 9,
M4 = 8,
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
M5 = 7,
|Ai,2 |
:
Mi
III. Pivoteo parcial escalado.
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:
Mi := max |Ai,j | (2 ≤ i ≤ 5).
2≤ j ≤5
Comparamos los cocientes







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
−9
−6
−1
9
−8




.


M2 = 9,
M3 = 9,
M4 = 8,
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
|Ai,2 |
:
Mi
M5 = 7,
|A2,2 |
6
2
= = ,
M2
9
3
III. Pivoteo parcial escalado.
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:
Mi := max |Ai,j | (2 ≤ i ≤ 5).
2≤ j ≤5
Comparamos los cocientes







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
−9
−6
−1
9
−8




.


M2 = 9,
M3 = 9,
M4 = 8,
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
|Ai,2 |
:
Mi
M5 = 7,
|A2,2 |
6
2
= = ,
M2
9
3
|A3,2 |
8
= ,
M3
9
III. Pivoteo parcial escalado.
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:
Mi := max |Ai,j | (2 ≤ i ≤ 5).
2≤ j ≤5
Comparamos los cocientes







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
−9
−6
−1
9
−8




.


M2 = 9,
M3 = 9,
M4 = 8,
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
|Ai,2 |
:
Mi
M5 = 7,
|A2,2 |
6
2
= = ,
M2
9
3
|A3,2 |
8
= ,
M3
9
|A4,2 |
8
= = 1,
M4
8
III. Pivoteo parcial escalado.
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:
Mi := max |Ai,j | (2 ≤ i ≤ 5).
2≤ j ≤5
Comparamos los cocientes







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
−9
−6
−1
9
−8




.


M2 = 9,
M3 = 9,
M4 = 8,
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
|Ai,2 |
:
Mi
M5 = 7,
|A2,2 |
M2
|A3,2 |
M3
|A4,2 |
M4
|A5,2 |
M5
6
2
= ,
9
3
8
= ,
9
8
= = 1,
8
5
= .
7
=
III. Pivoteo parcial escalado.
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:
Mi := max |Ai,j | (2 ≤ i ≤ 5).
2≤ j ≤5
Comparamos los cocientes







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
−9
−6
−1
9
−8




.


M2 = 9,
M3 = 9,
M4 = 8,
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
|Ai,2 |
:
Mi
M5 = 7,
|A2,2 |
M2
|A3,2 |
M3
|A4,2 |
M4
|A5,2 |
M5
6
2
= ,
9
3
8
= ,
9
8
= = 1,
8
5
= .
7
=
El elemento pivote será A4,2 .
IV. Pivoteo completo.
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:
Se busca el máximo valor absoluto
entre los números
|Ai,j |







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
−9
−6
−1
9
−8




.


(2 ≤ i, j ≤ 5),
esto es, en toda la parte activa de A.
IV. Pivoteo completo.
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:
Se busca el máximo valor absoluto
entre los números
|Ai,j |







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
−9
−6
−1
9
−8
(2 ≤ i, j ≤ 5),

esto es, en toda la parte activa de A.



.


El pivote será A2,5 .
Otra buena opción es A3,3 .
¿Par qué sirven estrategias de pivoteo?
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
−9
−6
−1
9
−8
Encontrar un pivote no nulo.
Disminuir errores de redondeo.




.


¿Par qué sirven estrategias de pivoteo?
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:
Encontrar un pivote no nulo.
Disminuir errores de redondeo.
Pivoteo humano (parcial o completo).







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
−9
−6
−1
9
−8




.


Trabajando con números racionales,
es cómodo elegir pivotes de tal manera
que después de las operaciones
los denominadores no sean muy grandes.
¿Par qué sirven estrategias de pivoteo?
Ejemplo.
Está dada la matriz aumentada [ A | b ]
de un sistema de ecuaciones lineales
después de un paso del método de Gauss:
Encontrar un pivote no nulo.
Disminuir errores de redondeo.
Pivoteo humano (parcial o completo).







−9
0
0
0
0
7
−6
−8
8
5
1
−1
−9
4
−7
3
8
0
2
3
−7
9
6
−7
4
Elegir un pivote para el segundo paso
aplicando varias estrategias de pivoteo.
−9
−6
−1
9
−8




.


Trabajando con números racionales,
es cómodo elegir pivotes de tal manera
que después de las operaciones
los denominadores no sean muy grandes.
¡Gra
cias por su paciencia!