La elección del consumidor

La elección del consumidor
27 de octubre de 2011
3.1
Una elección óptima (x1 , x2 ) debe cumplir la condición RM S(x1 , x2 ) =
− pp12 . La RM S es el cociente de las derivadas de la función de utilidad, entonces
tenemos que:
−
∂u(x1 , x2 )/∂x1
p1
∂u(x1 , x2 )/∂x1
p1
=− ⇒
=
∂u(x1 , x2 )/∂x2
p2
∂u(x1 , x2 )/∂x2
p2
Si la función de utilidad es u(x1 , x2 ) = x1 x2 + x1 , entonces :
x2 + 1
p1
=
x1
p2
Sustituyendo la combinación de consumo (6, 2) tenemos:
p1
p1
1
2+1
=
⇒ =
=⇒ p2 = 2p1
6
p2
2
p2
Sustituimos en la restricción presupuestaria que también debe cumplir la elección óptima:
6p1 + 2(2p1 ) = 100 ⇒ 10p1 = 100
(
p1 = 10
p2 = 20
1
3.2
1.
Conjunto presupuestario: 2x1 + 3x2 5 10
Recta presupuestaria: 2x1 + 3x2 = 10
2.
La utilidad del consumidor es u(x1 , x2 ) = x1 + x2 , ja-os que le
aporta la misma utilidad el bien 1 que el bien 2 es decir que
los dos bienes son sustitutos perfectos (la relación marginal de
sustitución es −1). No obstante el precio de los bienes 1 y 2 no
son los mismos, el bien 1 cuesta 2 unidades monetarias mientras
que el precio del bien 2 es de 3 unidades monetarias. Eso explica
porqué en términos de sus preferencias la elección óptima sea
(5, 0).
La cesta(5, 3) no puede ser óptima por qué se encuentra fuera del
conjunto presupuestario, el consumidor no tiene suciente dinero
para acceder a esta cesta de consumo.
La cesta (2, 2) no es óptima ya que la utilidad del consumidor con
esta cesta (u(x1 , x2 ) = 2 + 2 = 4) es inferior a la cesta óptima
(5, 0) donde la utilidad es de 5.
2
3.
Si los precios fueran (5, 5), la pendiente de la recta presupuestaria y
la RMS serian las mismas (−1), entonces cualquier punto de la
recta presupuestaria sería un punto óptimo.
3.3
1. Si sólo está disponible el sistema de tarjetas, nuestro conjunto presupuestario será : 80 x1 + x2 ≤ 50000.
3
4
2. Si el único sistema disponible es el de cuotas, nuestro conjunto presupuestario
será: 40x1 + x2 = 48000.
5
3.
Con la primera opción; 80 x1 + x2 ≤ 50000, por cada unidad de x1 se
podría comprar 80 unidades de x2 . Entonces:
Si α < 80 ⇒ x∗1 = 0 y x∗2 = 50000 ⇒ u(x∗1 , x∗2 ) = 50000
Si α = 80 , el consumo óptimo será cualquier punto de la recta
presupuestaria ⇒ u(x∗1 , x∗2 ) = 50000
Si α > 80 ⇒ x∗1 = 625 y x∗2 = 0 ⇒ u(x∗1 , x∗2 ) = 625α
Con la primera opción; 40 x1 + x2 ≤ 48000, por cada unidad de x1 se
podría comprar 40 unidades de x2 . Entonces:
Si α < 40 ⇒ x∗1 = 0 y x∗2 = 48000 ⇒ u(x∗1 , x∗2 ) = 48000
Si α = 40 , el consumo óptimo será cualquier punto de la recta
presupuestaria ⇒ u(x∗1 , x∗2 ) = 48000
Si α > 40 ⇒ x∗1 = 1200 y x∗2 = 0 ⇒ u(x∗1 , x∗2 ) = 1200α
Entonces:
Si α ≤ 40:
Elige 1º opción: x∗1 = 0, x∗2 = 50000 ⇒ u(x∗1 , x∗2 ) = 50000
Si 40 < α ≤ 50000
1200 :
Elige 1º opción: x∗1 = 0, x∗2 = 50000 ⇒ u(x∗1 , x∗2 ) = 50000
Si α < 50000
1200 :
Elige 2º opción: x∗1 = 1200, x∗2 = 0 ⇒ u(x∗1 , x∗2 ) = 1200α
3.4
1.Conjunto presupuestario Plan A:
(
20x1 + 20x2 ≤ 8000,
si x1 ≤ 200
⇒
(20 · 200) + 10(x1 − 200) + 20x2 ≤ 8000, si x1 > 200
6
(
20x1 + 20x2 ≤ 8000,
10x1 + 20x2 ≤ 6000,
si x1 ≤ 200
si x1 > 200
Conjunto presupuestario Plan B: 20x2 ≤ 2000.
7
2. Si sus preferencias fuesen del tipo u(x1 , x2 ) = x1 x2 , el consumidor escogería el plan B ya que no tiene ninguna limitación en el consumo del bien 1 y
por lo tanto podría obtener una utilidad innita.
3.
1
u(x1 , x2 ) = min x1 , x2
2
En el óptimo ya sabemos que:
x1 =
1
x2 ⇒ x∗2 = 2x∗1
2
Bajo el plan A:
1er tramo: 20x1 + 20x2 = 8000
400 ∗
800
, x2 =
3
3
400 800
400 800
400
u(
,
) = min
,
=
3
3
3
3
3
x∗1 =
2ndo tramo: 10x1 + 20x2 = 6000
x1 = 120 x2 = 240 ⇒ pero 120
| <
{z 240!}
contradicción!
Bajo el plan B:
6000 + 20x2 = 8000 ⇒ x∗2 = 100
x2 = 2x1 ⇒ x∗1 = 50
u(50, 100) = min {50, 100} = 50
Entonces:
Como
400
> 50, eligirá el plan A!
3
8
3.5
1.
1/4
3/4
x1 x2
M ax
x1 ,x2
s.a. 100x1 + 2500x2 ≤ 40000
1/4
3/4
L(x1 , x2 , λ) = x1 x2 − λ(100x1 + 2500x2 − 40000)

−3/4 3/4
∂L

= 0 ⇒ 41 x1 x2 − 100λ = 0

 ∂x1




∂L
∂x2






 ∂L
∂λ
1/4
−1/4
= 0 ⇒ 43 x1 x2
− 2500λ = 0
= 0 ⇒ 100x1 + 2500x2 − 40000 = 0
Dividimos la primera ecuación por la segunda:
3
3
1/4x− /4 x /4
1
2
1
−1
3/4x /4 x /4
1
2
=
100λ
2500λ
x2
100
=
3x1
2500
x2
300
=
x1
2500
x1 =
25
x2
3
Sustituimos x1 en le restricción presupuestaria y encontramos x2 :
100(
100(
25
x2 ) + 2500x2 − 40000 = 0
3
7500
120000
25
x2 ) +
x2 −
=0
3
3
3
2500x2 + 7500x2 = 120000
x2 = 12
9
El consumo óptimo será:
(
xopt
1 = 100
xopt
2 = 12
Representación gráca:
2.
1/4
M ax
3/4
x1 x2
x1 ,x2
s.a. 100x1 + 2250x2 ≤ 39900
1/4
3/4
L(x1 , x2 , λ) = x1 x2 − λ(100x1 + 2250x2 − 39900)
10

1 −3/4 3/4
∂L

 ∂x1 = 0 ⇒ 4 x1 x2 − 100λ = 0





∂L
∂x2






 ∂L
∂λ
−1/4
1/4
= 0 ⇒ 43 x1 x2
− 2250λ = 0
= 0 ⇒ 100x1 + 2250x2 − 39900 = 0
Dividimos la primera ecuación por la segunda:
3
3
1/4x− /4 x /4
1
2
1
−1
3/4x /4 x /4
1
2
=
100λ
2250λ
x2
100
=
3x1
2250
x2
300
2
=
=
x1
2250
15
x1 =
15
x2
2
Sustituimos x1 en le restricción presupuestaria y encontramos x2 :
100(
15
x2 ) + 2250x2 − 39900 = 0
2
750x2 + 2250x2 − 39900 = 0
x2 =
39900
3000
x2 = 13,3
El consumo óptimo será:
(
0
xopt
= 99,75
1
opt0
x2 = 13,3
11
Representación gráca:
3.Tenemos que analizar donde el consumo óptimo produce más utilidad.
opt
/4
· 12 /4 ' 20,38
u(xopt
1 , x2 ) = 100
3
1
0
0
opt
/4
u(xopt
· 13,3 /4 ' 22
1 , x2 ) = 99,75
0
1
0
3
opt
opt
opt
u(xopt
1 , x2 ) > u(x1 , x2 )
Sí, se hará socia de la cooperativa.
12
3.6
1. La recta presupuestaria es: 2x1 + 5x2 = 40. En este caso la RMS es
− 38 mientras que la pendiente de la restricción presupuestaria es − 25 . La cesta
óptima será (20, 0) y está en la recta presupuestaria: 2(20) + 5(0) = 40.
2.
RM S(x1 , x2 ) = −
−
−1/2
1
2 x1 x2
−1/2
1
2 x1 x2
· x2
· x1
=−
2x1 = 5x2
x1 =
5
x2
2
13
p1
p2
2
5
Sustituimos en la restricción presupuestaria:
5
2( x2 ) + 5x2 = 40
2
x2 = 4
La cesta óptima es (10, 4) y está en la restricción presupuestaria:
2(10) + 5(4) = 40
3.
La condición de óptimo son:
(
(
x1 = 3x2
2x1 + 5x2 = 40
x1 = 3x2
2(3x2 ) + 5x2 = 40
(
x1 = 120/11
x2 = 40/11
La cesta óptima es (120/11, 40/11) y está en la restricción presupuestaria:
2(120/11) + 5(40/11) = 40
14
4.
5.
15