Tipos Algebraicos

Tipos Algebraicos
Taller de Álgebra I
Primer cuatrimestre de 2015
Recordemos algunos tipos que fuimos creando en clases anteriores
¿Cuál es la diferencia entre type y data?
Tipos Enumerados usando data.
data Dia = Lunes | Martes | Miercoles | ... | Sabado | Domingo
También algunos renombres de tipos con type.
data Direccion = Norte | Sur | Este | Oeste deriving Show
type Tortuga = ( Pos , Direccion )
type Pos = ( Int , Int )
Luego de definirlos, podemos decir que:
Norte :: Direccion
((1 ,1) , Sur ) :: Tortuga
-- Si f :: Dia -> Bool
f Martes :: Bool
-- Si t :: Tortuga
fst t :: Pos
Recordemos el tipo que creamos en la clase anterior
Tipos Paramétricos
los constructores toman parámetros
data Figura = Rectangulo Punto Punto | Circulo Punto Float |
Triangulo Punto Punto Punto deriving ( Eq , Show )
type Punto = ( Float , Float )
Podemos decir que:
Rectangulo (0.3 , 0.5) :: Figura
Circulo (0 ,0+20.23) 88.3 :: Figura
-- Si area :: Figura -> Float
area ( Triangulo (0 ,0) (1 ,0) (0 ,1) ) :: Float
Ahora se pone jevy..
Tipos Algebraicos Recursivos
algunos constructores toman parámetros y estos a su vez son del tipo que se está
definiendo
Ejemplo: Árboles Estrictamente Binarios de Enteros
Un árbol estrictamente binario de enteros es una estructura muy utilizada en
computación y matemática. Veamos cómo podemos representarlos:
data ABE = ArbVacio | Binario ABE Integer ABE deriving ( Eq , Show )
En este caso, ArbVacio es un constructor que no toma parámetros y Binario es un
constructor que toma 3 parámetros, de los cuales 2 son el tipo que se está definiendo.
Ejercicios
Determinar el tipo y dibujar una representación (en papel y sólo si es posible) de las siguientes
expresiones:
ArbVacio
(ArbVacio, 20.23)
Binario ArbVacio 10 ArbVacio
[Binario ArbVacio 5 (Binario ArbVacio 10 ArbVacio), ArbVacio]
Binario ArbVacio 5 (Binario ArbVacio)
Más sobre los Árboles
Árboles Estrictamente Binarios de Enteros
data ABE = ArbVacio | Binario ABE Integer ABE
Si lo necesitan, puede agregarse deriving (Eq, Show) al final de la definición.
Ejercicios
Implementar las siguientes funciones:
esVacio :: ABE -> Bool que determina si un árbol tiene o no nodos.
sumaNodos :: ABE -> Integer que devuelve la suma de los nodos del árbol.
altura :: ABE -> Integer que devuelve la altura de un árbol.
pertenece :: Integer -> ABE -> Bool
que indica si un elemento pertenece o no a un árbol.
busqueda :: [Bool] -> ABE -> Integer
que recorre el árbol siguiendo la lista de instrucciones (True significa derecha, False
significa izquierda) y devuelve el valor que se encuentre luego de recorrerlo (asumir
que la lista lleva a un elemento y no se termina el árbol antes de encontrarlo)
Todo muy lindo.. peeero
¿Y si quisiera que mis arboles contengan Char?
Árboles Estrictamente Binarios de Chars
data ABC = ArbVacioC | BinarioC ABC Char ABC
Ahora quiero uno de tuplas de la pinta (Integer, Float)
Árboles Estrictamente Binarios de Tuplas (Integer, Float)
data ABTIF = ArbVacioTIF | BinarioTIF ABTIF ( Integer , Float ) ABTIF
Notar que necesitamos nombres distintos para los constructores para saber a qué tipo
pertenecen.
¿Se podrá generalizar este comportamiento?
Tipos Genéricos
¿qué tal si usamos tipos genéricos?
data AB t = Nil | Bin ( AB t ) t ( AB t )
Estamos definiendo infinitos tipos (uno por cada tipo t que haya)
Ejemplos
Nil :: AB t
Bin Nil 2 Nil :: AB Integer
Bin Nil ’a’ Nil :: AB Char
Bin Nil "Álgebra" Nil :: AB String
Bin (Bin Nil 2 Nil) 6 Nil :: AB Integer
Bin Nil (Bin Nil 2 Nil) Nil :: AB (AB Integer)
Tipos Genéricos
Árboles Binarios Genéricos
data AB t = Nil | Bin ( AB t ) t ( AB t )
Ejercicios: implementar las siguientes funciones
vacio :: AB a -> Bool que determina si el árbol está vacio.
maximo :: Num a => AB a -> a
que devuelve el máximo elemento de un árbol de números no vacio.
todosIguales :: Eq t => AB t -> Bool
que determina si todos los nodos del árbol tienen el mismo valor entre sı́.
Ejercicios
1
definir esHeap :: Num a => AB a -> Bool que vale verdadera en un árbol si cada
nodo (salvo la raı́z) es mayor o igual que su padre.
2
Dado el siguiente tipo algebraico, implementar las funciones:
data Lista a = Vacia | Agregar a ( Lista a )
1
2
3
4
5
vacia :: Lista a -> Bool que determina si una lista es o no la lista vacia.
suma :: Lista Float -> Float que determina la suma de una lista de floats.
enPosicion :: Lista a -> Integer -> a que devuelve el elemento en la posición
pasado como parámetro.
(*) iguales :: Eq a => Lista a -> Lista a -> Bool
que determina si dos listas de elementos (comparables por igual) son iguales.
juntar :: Lista a -> Lista b -> Lista (a,b)
que crea una lista resultante de formar tuplas con los elementos de cada lista. Se
asume que las dos listas tienen la misma longitud. Por ejemplo:
juntar (Agregar 1 (Agregar 2 Vacia)) (Agregar ’a’ (Agregar ’b’ Vacia))
Agregar (1, ’a’) (Agregar (2, ’b’) Vacia)