Funciones - UTN - Universidad Tecnológica Nacional

SECRETARÍA ACADÉMICA
ÁREA INGRESO
Matemática
FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
- Setiembre de 2010 -
Ministerio de Educación
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Rosario
SECRETARÍA ACADÉMICA
AREA INGRESO
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
Facultad Regional Rosario
Zeballos 1341 2000 – Rosario - Argentina
www.frro.utn.edu.ar
e-mail: [email protected]
El objetivo de este Curso de Matemática es reafirmar y profundizar los conocimientos
adquiridos hasta hoy. Se pretende generar un ámbito de información y de formación en el cual
el aspirante a ingreso alcance los conocimientos y habilidades que le permitan el abordaje de
las asignaturas del primer nivel de la carrera.
Elaboración del Material
Ing. Roberto López
Digitalización
Sr. Leandro Corona
Srta. Sonia Paladini
Ing. Diana Martínez
Revisión
Esp. Ing. Raquel Voget
Funciones reales de una variable real
Página 2
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INDICE
Objetivos específicos
pág.2
Funciones
pág .5
Concepto general de función
pág .5
Definición
pág.5
Determinación del dominio
pág.7
Determinación del rango o codominio
pág.7
Gráfica de una función
pág.7
Definición de función par
pág.11
Definición de función impar
pág.12
Definición de función periódica
pág.12
Función creciente y decreciente
pág.14
Estudio de algunas funciones elementales
pág.16
Función constante
pág.16
Función lineal
pág.16
Función afin
pág.17
Función f(u)=u2
pág.18
La función recíproca
pág.19
Funciones trigonométricas o circulares
pág.19
Definición de coseno
pág.22
Propiedades del coseno
pág.23
Definición de seno
pág.23
Propiedades del seno
pág.24
Gráfica de la función seno
pág.25
Gráfica de la función coseno
pág.26
Definición de la tangente
pág.28
Funciones reales de una variable real
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Gráfica de la tangente
pág.29
Secante, cosecante y cotangente
pág.31
Función cuadrática (Trinomio de 2do grado)
pág.31
Primer caso
pág.32
Segundo caso
pág.33
Caso General
pág.34
Ceros del trinomio de 2do grado
pág.36
Conclusiones
pág.37
Ejercicios propuestos
pág.41
Funciones reales de una variable real
Página 4
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FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
1. FUNCIONES
1.1 CONCEPTO GENERAL DE FUNCIÓN
1.1.1 Definición:
Dados dos conjuntos A y B denominamos aplicación o función de A en B a toda ley que haga corresponder
a cada elemento de A un único elemento de B.
El conjunto A se llama conjunto de partida o dominio y el conjunto B, conjunto de llegada o conjunto de
valores.
La ley la indicamos, generalmente, con una letra minúscula f, g, h, etc.
Figura 1
Dados los conjuntos A y B, y la ley f, si x ∈ A la ley le hace corresponder y ∈ B escribimos indistintamente:
x → y
(a x corresponde y)
ó f:x → y
(f aplicada a x da y)
ó y=f(x)
( y es la imagen de x)
ó x → f(x) (a x corresponde f de x)
Ejemplos:
•
Si es A= {x/x fue alumno del Colegio Nacional Nº 1 de la ciudad de Resistencia en
1970}
B= ℜ = {números reales}
Funciones reales de una variable real
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y f la ley, que a cada x ∈ A le hace corresponder el promedio obtenido por x durante el año 1970 en
el Colegio Nacional Nº 1 de Resistencia f resulta ser una función.
•
Si A=B= ℜ
La ley: x → 2 x + 1 es una función
En el presente curso, estudiaremos funciones de reales en reales, llamadas también función real de una
variable real, son funciones para las cuales se tiene
A ⊂ ℜ y B= ℜ
De acuerdo con la definición, para definir una función deben darse tres elementos:
•
El conjunto de partida
•
El conjunto de llegada
•
La ley
Sin embargo, en el presente curso y salvo casos específicamente indicados, la función se dará sólo por la
ley conviniendo:
•
El conjunto de definición, A, tiene como elementos aquellos números reales para los cuales la ley
tiene significado.
Así, si f (x)=
1
, dado que el único real para el cual la ley carece de sentido es 2, resulta:
x−2
A = {x/x≠2}=(-∞; 2) U (2;+∞)
•
El conjunto de valores, B, en lugar de todo ℜ , es directamente el conjunto de las imágenes de los
elementos de A y lo representaremos con el símbolo f (A), es decir, B es el rango o codominio de la
función (conjunto de imágenes).
De acuerdo con este convenio, cada elemento de B es imagen de algún elemento de A, cuando se
presenta esta situación, se dice que la función es sobre B o más brevemente, que la función es suryectiva.
Ejemplo:
Si g(x)=+ x
se considera A=B= ℜ + U {0}
En general, para estudiar una función real de una variable real, de la cual sólo se conoce la ley se procede
como se indica a continuación.
Funciones reales de una variable real
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1.1.2
Determinación del dominio
Se determina el conjunto de reales para los cuales la ley tiene sentido, lo que constituye el dominio de la
función y, que simbolizaremos con Af, Ag, Ah, si la letra usada para la ley es f, g, h respectivamente.
Ejemplos:
i) f(x)=3x , como existe el triplo de todo real x, es Af==(-∞;+∞)
1.5.)
h(x)=
1
x +1
,
Como la inversa de un número existe siempre que éste sea distinto
de cero, y la raíz cuadrada (en el campo real) está definida sólo para reales no negativos,
resulta h definida para todo x tal que:
x + 1 > 0 ⇔ x > −1
1.1.3
y por lo tanto Ah = {x / x > −1} = (− 1;+∞ )
Determinación del rango o codominio
Se determina el conjunto de las imágenes, lo simbolizaremos con Bf, Bg, Bh, etc.
Así resulta:
Bf= ℜ = (-∞;+∞)
Bh = ℜ + = (0;+∞)
Ejercicio propuesto:
1.1.a.) Determinar Af ; Bf ; f(1) y x tal que f(x)=2 para cada una de las funciones f que se dan a continuación
i) f(x) = x2
iv) f(x) =
1
x
ii) f(x) =
iii) f(x) =
1
x2
x2
v) f(x) = x + 1
vi) f(x) =
−x
1.2 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Funciones reales de una variable real
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Hemos visto que dada una función f, para cada x ∈ Af, existe f(x) ∈ Bf, luego podemos obtener pares
ordenados de reales (x;f(x)) donde como primera componente consideramos x ∈ Af y como segunda
componente su imagen perteneciente a Bf ; sabemos además que dado un sistema de referencia en el
plano es posible lograr una correspondencia biunívoca entre puntos del plano y pares de números reales.
En virtud de esta correspondencia biunívoca entre puntos del plano y pares ordenados de números reales,
podemos representar en el plano el conjunto de puntos (x; f(x) , ∀x ∈ Af .
Ese conjunto de puntos recibe el nombre de gráfica de la función f.
Ejemplo:
Sea f la función de dominio A = {2;3;-1; 0} definida de la siguiente manera:
f (2)= 5
f (3) = 0
f (-1) = 2
f (0) = 2
Su gráfica la constituyen los puntos del plano cuyas coordenadas son: (2;5); (3;0); (-1;2); (0; 2) y que
hemos representado en la figura 2
Figura 2
Ejemplo:
Sea g la función
3 si x ≤ -2
g(x)=
1 si x -2 < x < 0
0 si x ≤ 0
Su dominio es Ag= ℜ , su rango Bg = {3;1;0} ,
Funciones reales de una variable real
Su grafica resulta:
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Figura 3
Observación:
De acuerdo con la definición de función para cada x ∈ Af debe existir en correspondencia un solo valor
f(x), luego la gráfica de una función es tal, que trazando paralelas al eje y, éstas se intersecan con la curva
en un solo punto, pues si la cortaran en más de uno, para ese x habría dos o más imágenes.
Figura 4 - no representa una función
Figura 5
esta gráfica corresponde a una función
Un caso particular de función es aquel en el que todo elemento de Bf es imagen de un único elemento de
Af . Cuando se presenta esta situación decimos que la función es inyectiva.
Dada una función inyectiva (uno a uno) que además sea suryectiva (todo elemento de B es imagen de
alguno de Af), llamamos a tal función correspondencia biunívoca o simplemente función biyectiva
(también se abrevia diciendo que la función es una biyección).
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La figura 6 es un ejemplo de una biyección del conjunto [a,b] en [ c,d ], en cambio la figura 5 es la gráfica
de una función no inyectiva.
Figura 6
Ejemplo:
f(x) = x
y
Af = {x / 0 ≤ x ≤ 4} = [0;4]
la gráfica resulta
Figura 7
Ejemplo:
f(x) = [x]
[x] se lee “parte entera de x” y por definición es el mayor entero que no supera al número dado x o
expresado de otra manera, es el mismo número x si x es entero, o es el primer entero a la izquierda de x si
x no es entero.
Así
[3] = 3
[1,4] = 1
[-2] = -2
[-2,5] = -3
Tiene a ℜ como dominio. La gráfica es la de la figura 8.
Funciones reales de una variable real
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Figura 8
Su codominio es Ζ . Esta función no es una correspondencia biunívoca.
Ejercicio propuesto:
1.2.a.)Indicar entre los conjuntos que siguen aquellos que definen una función, graficarlas y señalar
además las que sean biyectivas (suponemos que el conjunto de valores coincide con el conjunto de las
imágenes).
i) { (x,y)/ 2y=x}
iv) { (x,y)/ -2x = 5}
ii) { (x,y)/ x+y =5}
v) { (x,y) / y = 8}
iii) { (x,y)/ y =[x]+ 1}
vi) { (x,y)/ y2 = 4}
1.3. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN PAR
Dada f: A → B
Se dice que f es par si se verifica que f (x) = f (-x) ∀x ∈ Af .
Si una función es par y un punto (a,b) pertenece a su gráfica, también pertenece a la misma el punto (a,b); por lo tanto, resulta simétrica respecto del eje y.
Cuando se tiene una función par, para determinar su gráfica, basta estudiar la gráfica correspondiente a
la parte positiva.
Ejemplo:
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Sea f (x) = x siendo x = − x resulta una función par, por lo tanto basta hacer el estudio para los
valores de x > 0 , y luego completar por simetría, la gráfica resulta la de la figura II.9.
Figura 9
1.4. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN IMPAR
Si f es una función para la cual resulta f (x) = -f (-x) ∀x ∈ Af , se dice que la función es impar.
De la definición resulta que si (a,b) pertenece a la gráfica también pertenece a la misma (-a,-b); la gráfica
es por lo tanto simétrica respecto del origen.
Figura 10
Propiedad de la función impar
0 ∈ Af f (0) = 0
En efecto:
Sea f (0) = a, entonces se tiene
(a = f (0) = -f (-0) = -f(0) = -a) ⇔ a = 0
1.5. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN PERIÓDICA
Dada una función f de ℜ en ℜ se dice que es periódica de período k si ∀x ∈ ℜ se verifica que
f(x)=f(x+k).
Funciones reales de una variable real
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El número k se denomina período de la función.
Naturalmente una función de período k es también periódica de período pk con p ∈ Ζ .
En efecto:
f(x-4k)= f(x-3k)= f(x-2k)= f(x-k)= f(x)= f(x+k)= f(x+2k)=…
En general: f(x) = f (x+k) f(x) = f(x+pk) ∀ p ∈ Ζ
Si f es periódica de período k y un punto (a,b) pertenece a su gráfica, también pertenece a la misma el
punto ( a+k;b), por lo tanto basta conocer la gráfica y el comportamiento de una función correspondientes
a un intervalo [a,a+k) ⊂ ℜ para conocer la función.
La figura 11. resulta el gráfico de una función periódica.
Figura 11
Ejercicios propuestos:
1.5.a) Probar
f periódica ⇒ f no biyectiva
1.5.b.) Señalar entre las funciones que se dan a continuación las pares y las impares.
i) f(x) = x
ii) g(y) = y2
iii) h(z)=
1
z +2
2
iv) k(u) = u3
1.5.c.) Completar las gráficas i) y ii) de modo que resulten gráficas de funciones pares, y las iii) y iv) de
modo que resulten impares.
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i)
ii)
iv)
iii)
1.6. FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE
Dada una función f de dominio A ⊂ ℜ , si para todo par de puntos x1,x2 de A se tiene:
i)
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
se dice que f es creciente en A
ii)
x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)
se dice que f es no decreciente en A.
iii) x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
se dice que f es decreciente en A.
iv) x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2)
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se dice que f es no creciente en A.
Una función del tipo de i), ii), iii) o iv) se dice monótona.
ilustran cada uno de estos casos.
Las figuras 12, 13; 14; 15
Figura 12
Figura 13
Figura 14
Figura 15
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2. ESTUDIO DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES
2.1. FUNCION CONSTANTE
Se denomina así a la función
f (x)= k
Resulta Af= ℜ ; Bf = {k} y su gráfica la de la figura 16
Figura 16
Ejercicio propuesto
2.1.a.) decir si la función constante es par, impar, periódica, o monótona.
2.2. FUNCIÓN LINEAL
Se denomina así a una función de la forma h(x) = m x con m ≠ 0
Resulta Ah = ℜ , ya que dado m ∈ ℜ para todo real x está definido el producto mx.
También es Bh= ℜ ya que siendo m≠0, dado un real y cualquiera, siempre existe un x tal que mx = y.
El alumno ya sabe que la gráfica es una recta que contiene el origen de coordenadas, ya que f(0)=0;
además f(1)=m recibe el nombre de pendiente de la recta.
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Fig. 17
Ejercicios propuestos:
2.2.a.) Probar que la gráfica de la función lineal es una recta
2.2.b.) Decir si la función lineal es par o impar, justificando la respuesta
2.2.c.) Establecer en que caso la función lineal es creciente o decreciente.
2.3. FUNCIÓN AFÍN
Se llama así a una función de la forma
g(x)=m x + h
m≠0 h≠0
También aquí Ag=Bg= ℜ y la grafica es una recta que interseca al eje y en el punto (0; h); h recibe el
nombre de ordenada al origen.
Fig. 18
Ejercicio propuesto:
2.3.a.) Dada g(z) =mz + h, probar:
i) Ag=Bg= ℜ
ii) La gráfica de g es una recta.
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iii) La intersección es una recta con el eje y es el punto (0;h).
iv) Decir si es una función par o impar.
v) Establecer en que caso es creciente o decreciente.
2.4. FUNCIÓN f(u) = u2
En este caso se tiene Af = ℜ y Bf = ℜ +0
La gráfica es la de la figura II. 19
Figura 19
Ejercicio propuesto:
2.4.a.) Dada f(u) = u2 , probar:
i) Af = ℜ
Bf = ℜ 0+
ii) El origen pertenece a la gráfica
iii) f es par
iv) f es creciente en ℜ 0+ y decreciente en ℜ 0-
2.5. LA FUNCIÓN RECÍPROCA
Se llama así a la función g(v) =
1
v
En este caso es Ag = Bg = ℜ - {0}. La gráfica es la de la figura II. 20
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Fig. 20
Ejercicio propuesto:
2.5.a.) Dada g(v) =
1
probar:
v
i) Ag = Bg = ℜ - {0}
ii) g es impar
iii) g es decreciente en ℜ - y en ℜ + , pero no en Ag
3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS O CIRCULARES
Las funciones trigonómetricas o circulares serán definidas como funciones de reales en reales; pero para
ello nos valdremos de los ángulos, ya que una definición analítica exigiría precisar muchos conceptos que
demorarían la presentación de estas funciones de manera inconveniente para la finalidad del curso.
Los ángulos serán interpretados como se hace habitualmente en trigonometría, es decir, supondremos
que los ángulos son generados por una semirrecta que gira alrededor de su origen, siendo positivos si la
semirrecta gira en sentido antihorario y negativos en caso contrario, existiendo ángulos de más de una
vuelta en uno u otro sentido.
Además los ángulos estarán ligados siempre a un sistema de coordenadas, tomando en todos los casos el
semieje positivo de las x coincidente con la posición inicial de la semirrecta que genera el ángulo, de esta
manera para cada ángulo α positivo o negativo habrá una semirrecta s de origen en el origen de
coordenadas que indica la posición final de la semirrecta generadora del ángulo.
En la figura 29 se ha indicado una semirrecta s que daría la posición final correspondiente al ángulo α
indicado o a cualquier ángulo α + k vueltas con k ∈ Ζ .
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Fig. 29
Tomando dos puntos cualesquiera de s, distintos del origen, como por ejemplo P(x; y) y P' (x' ; y') se tiene
por semejanza de triángulos y la permanencia del signo de las coordenadas en cada cuadrante
x
x´
(1)
=
OP OP´
y también
y y´
=
x x´
siendo OP =
y
y´
=
OP OP´
(3)
(2)
si s es distinta del eje y.
x 2 + y 2 y OP´ =
x´2 + y´2
Resulta de esta manera que las relaciones (1), (2), y (3) dependen de la semirrecta s y no de los puntos
que sobre ella se tomen.
Ejercicio propuesto:
3.a.) Calcular las relaciones (1), (2) y (3) cuando sea posible, suponiendo:
i) s coincide con semieje positivo de las y
ii) s coincide con semieje negativo de las x
iii) s coincide con semieje negativo de las y
iv) s es la bisectriz del segundo cuadrante
v) s es la bisectriz del tercer cuadrante
vi) s es la bisectriz del cuarto cuadrante.
Suponemos que el lector sabe que el radián es el ángulo central de una circunferencia que abarca un arco
de longitud igual a la del radio, y que además tiene claro el concepto de medida de un ángulo y sabe que
por definición es un número positivo o nulo.
De esta manera se tiene un ángulo de una vuelta generado en uno u otro sentido, su medida en radianes
será 2 π y en general si
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)
)
β = α + k vueltas
)
k ∈ℜ+
)
será med β = med α + 2kπ
en rad
en rad
Usando los conceptos previamente introducidos y suponiendo los ángulos ligados a un sistema de
coordenadas podemos definir las funciones trigonométricas como funciones de los reales en los reales.
Dado u Є ℜ , si u es positivo existe un ángulo positivo cuya medida en radianes es u, y si u es negativo
existe un ángulo negativo cuya medida en radianes es u ; en cualquiera de los dos casos convenimos en
)
r
indicar con u dicho ángulo y con u la semirrecta que indica la posición de la semirrecta generadora.
) ) )
Por ejemplo, en las figuras 30 y 31 se han indicado reales u,v,w y z; los correspondientes ángulos u , v , w y
r r r r
)
z y las semirrectas u , v , w y z .
Figura 30
Z = 2π + 1
u=2
))
AB = 2r
r r
OB = u
v= −
w=
Figura 31
)
CD = r
v
v
z = OD
π
2
5
π
4
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3.1. DEFINICIÓN DE COSENO
Dado u Є ℜ llamamos coseno de u a la relación
r
x
correspondiente a un punto P(x, y) de u .
OP
Ejemplo
Figura 32
z>0
u<0
)
med uˆ = u
med z = z
cos u =
x1
x
x
= 2 = =x
OP1 OP2 1
cos z =
x3
x
q
= 4 = =q
OP3 OP4 1
Nota
r
Si sobre u elegimos el punto P de manera tal que OP = 1, el coseno coincide con la abscisa de P.
r
Puede entonces decirse que el coseno del real u es la abscisa del punto de intersección de la semirrecta u
r
con la circunferencia de radio unidad y centro en el origen de coordenadas (la semirrecta u se obtiene a
partir del real u según lo convenido). Ver figura 33.
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)
long AB = 1
Fig. 33.
Esta segunda definición del coseno es la más conveniente cuando se desea visualizar una propiedad de la
función. A la circunferencia de radio unidad y centro en el origen se la llama círculo trigonométrico.
3.2. Propiedades del coseno
De la misma definición son inmediatas las tres propiedades siguientes:
•
Propiedad 3.1.
Para todo real u se tiene: $cos u $ ≤ 1
•
Propiedad 3.2.
La función coseno es par, en efecto, para todo u Є ℜ resulta:
•
cos u = cos (-u)
Propiedad 3.3.
La función coseno es periódica de período 2π
3.3. DEFINICIÓN DE SENO
Dado u Є ℜ llamamos seno de u a la relación
r
y
correspondiente a un punto P( x; y) de u .
OP
Así, en la figura 32 se tiene
sen u =
y1
y
y
= 2 = =y
OP1 OP2 1
sen z =
y3
y
r
= 4 = =r
OP3 OP4 1
Funciones reales de una variable real
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También aquí puede definirse el seno de un real u como la ordenada del punto de intersección de la
r
semirrecta u con la circunferencia de radio y centro en el origen de coordenadas.
En la figura II.33 se tiene:
y1 = sen
π
4
; y 2 = sen
π
2
; y 3 = sen(−1); y 4 = senπ
3.4. PROPIEDADES DEL SENO
Aquí también son inmediatas las siguientes propiedades:
•
Propiedad 3.4.
Para todo real u se tiene: $sen u $ ≤ 1
•
Propiedad 3.5.
La función seno es impar, en efecto, para todo u Є ℜ resulta:
•
sen u = − sen (−u)
Propiedad 3.6.
La función seno es periódica de período 2π
Relación pitagórica
Para todo u Є ℜ es:
cos2 u + sen2 u = 1
Nota
cos2 u es una forma convencional de escribir (cos u )2.
Esta propiedad es inmediata si se recurre al círculo trigonométrico.
u<0
med uˆ = −u = u
Fig. 34
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3.5. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO
La función seno (igual que el coseno) es periódica de período 2π, por lo tanto basta determinar su gráfica
en un intervalo cualquiera de longitud 2π; pero además es una función impar, se puede entonces
determinar su gráfica en el intervalo [ 0, π] y por simetría respecto del origen de coordenadas completarla
en [ - π, π], con lo que se habrá obtenido la gráfica en un intervalo de longitud 2π, lo que permite
extenderla a todo su conjunto de definición, es decir a todo el eje real.
Determinación de la gráfica en el intervalo [ 0, π]
)
r
)
Sea u Є [0, π], se determina u tal que med u = u con lo que queda determinada la semirrecta u que
interseca al círculo trigonométrico en el punto (cos u; sen u), el punto (u; sen u) pertenece a la gráfica.
Fig. 35
La figura 36 es la gráfica de la función seno en [- π, π], para obtenerla se han tomado 5 puntos
equidistantes, interiores al intervalo [0, π], y se ha repetido el procedimiento anterior para cada uno de
ellos (de esta manera las semirrectas correspondientes son las que dividen al ángulo llano en seis partes
iguales) y luego se ha completado por simetría.
Fig. 36
Funciones reales de una variable real
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3.6. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO
La función coseno es periódica de período 2π y par, por lo tanto basta analizar su gráfica en [ 0, π], para
lo cual podríamos seguir un procedimiento similar al usado para el seno con el inconveniente que el
coseno no queda determinado directamente sobre el eje y que es el eje sobre el que se indican los valores
de la función.
Sin embargo, es muy fácil probar usando el círculo trigonométrico, que dado u Є [ 0, π] resulta:


cos u = sen  u +
π
π 3 
Є  ; π
 donde u +
2
2
2 2 
π
, es decir que el punto ( u ; sen ( u +
π
2
) )
pertenece a la gráfica de la función coseno.
En la figura 37 se ha dibujado la gráfica del seno en línea de trazos, se ha tomado u0 Є[ 0, π] y se ha
π 3 
indicado como conseguir el punto (u0; cos u0) usando la gráfica del seno en  ; π  .
2 2 
Fig.37
π 3 


Es inmediato que la gráfica del coseno en [0, π] es la misma que la del seno en  ; π  pero desplazarla
2 2
hacia la izquierda en una longitud
π
2
. Completada por simetría y por periodicidad la gráfica del coseno es
la que se indica en línea llena en figura 38, donde con la línea de trazos se ha indicado también la gráfica
del seno.
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Fig. 38
Ejercicios propuestos:
3.6.a.) Indicar tres intervalos donde la función seno sea creciente, y otros tres donde sea decreciente.
3.6.b.) Ídem que el ejercicio anterior para la función coseno.
3.6.c.) Determinar un intervalo donde sean simultáneamente crecientes el seno y el coseno, y otro donde
sean simultáneamente decrecientes.
3.6.d.) La gráfica de la función seno es simétrica respecto de la recta x =
π
2
. Expresar analíticamente
dicha propiedad.
3.6.e.) Las funciones seno y coseno por su periodicidad no son biyecciones, pero si en su lugar de
definirlas en todo ℜ se las restringe a ciertos intervalos, resultan ser biyectivas, elegir algunos intervalos
donde:
i) El seno sea una biyección.
ii) Es coseno sea una biyección.
iii) Tanto el seno como el coseno sean biyectivos.
3.7. DEFINICIÓN DE LA TANGENTE
Dado u Є ℜ llamamos tangente de u a la relación
y
r
correspondiente a un punto P (x, y) de u .
x
Observación
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Para que la relación
y
r
esté definida debe ser x ≠ 0, ó lo que es lo mismo la semirrecta u no debe
x
coincidir con el eje y, esto significa que la función tangente está definida para todo real u distinto de
π
2
+ kπ con k ∈ Ζ .
De la figura 39 resulta:
u>0
z<0
med uˆ = u
tg u =
y1 y 2 y
=
=
x1 x 2 x
med zˆ = − z = z
tg z=
y3 y4 q
=
=
x3 x 4 r
Fig. 39
Si tomamos el punto A(cos u; sen u) resulta: tg u =
sen.u
cos .u
Puede definirse entonces la tangente de un real como el cociente entre el seno y el coseno de dicho real,
siempre y cuando el coseno sea distinto de cero.
3.8. GRÁFICA DE LA TANGENTE
Podrá obtenerse la gráfica, si podemos determinar gráficamente, dado u, un punto de ordenada tg u.
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Ahora bien, la tangente de u ha sido definida como la relación
y
x
donde (x; y) son las coordenadas de
r
un punto P (x;y) perteneciente a la semirrecta u ; pero por lo visto al estudiar la función lineal f (x) = m x
r
f ( x) y
= = m = tg u es constante, no sólo para los puntos de u sino para todos los
x
x
r
r
puntos de la recta que incluye a u . Por lo tanto basta determinar el punto de la recta que incluye a u
sabemos que:
que tenga abscisa igual a 1, dicho punto tendrá coordenadas (1; m) = (1; tg u).
En la figura 40 se han tomado los mismos reales u y z de la figura II.39, y se han indicado los puntos (1, tg
u) y (1; tg z).
Fig. 40
De esta manera se consigue determinar tg u, buscando la ordenada del punto de intersección de la recta
r
que incluye a u con la recta de ecuación x = 1.
 π π
;  . Se han desplazado el círculo
 2 2
En la figura 41 se tiene la gráfica de la función tangente en  −
trigonométrico del origen de coordenadas para que resulte más clara la gráfica.
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Fig. 41
Una consecuencia inmediata del estudio anterior es que:
tg ( u + π ) = tg u ∀ u ∈ ℜ
Ya que las semirrectas correspondientes a las reales u+ π y u resultan estar incluidas en una misma recta,
por lo tanto la función tangente resulta periódica de período π
At = { x ∈ ℜ / x ≠
π
2
+ kπ ; k ∈ Ζ }
y su gráfica resulta la de la figura 42
Fig. 42
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Ejercicios propuestos
3.8.a.) Decir si la función tangente es par o impar, justificando analíticamente la respuesta.
3.8.b.) Determinar intervalos, si es que existen, donde la función tangente sea creciente o decreciente.
3.8.c.) Elegir dos intervalos donde la función tangente resulte biyectiva.
3.9 SECANTE, COSECANTE Y COTANGENTE
Se conocen con el nombre de secante, cosecante y cotangente a las recíprocas de las funciones coseno,
seno y tangente respectivamente, es decir:
sec u =
1
cos .u
cosec u =
1
sen.u
cotg u =
1
tg.u
Ejercicio propuesto:
3.9.a.) Determinar las gráficas de las funciones que siguen, indicando en cada caso el dominio de
definición de las mismas.
π

i) n(x) = cos  2 x + 
4



iv) l(x) = sen 2 −
π

3
3

ii) z(x) =  x − 
4

2
1
2
v) g(x) = 2( x − ) 2 + 1
iii) w(x) = ( x + 2 ) − 3
2
vi) m(x) = sen (2x)
1
3
vii) h(x) = − ( x + 2) 2 − 3
NOTA
Se recomienda no omitir los ejercicios xv; xvi; xvii y xviii obtenidos a partir de la grafica de f(x) = x2
4. FUNCION CUADRÁTICA (Trinomio de 2do grado)
Se llama función CUADRATICA a la función f que sigue
f(x) =ax2+bx+c
con a,b y c reales y a = 0
Es posible que esta función, al igual que la línea, ya sea conocida; pero dada la frecuencia con que
la misma aparece en distintas cuestiones creemos oportuno hacer una revisión completa de la misma.
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Por comenzar del apartado 2.4. se conoce la gráfica de f en el caso a=1 ; b=c=0 , resultando la
gráfica de f1(x) = x2 la indicada en figura 62.
Figura 62
A partir de f, y por sucesivas aplicaciones de las conclusiones del apartado anterior llegaremos a
completar el estudio de f.
4.1. PRIMER CASO:
b=c=0
a≠0
Resulta f2(x) = af1(x) = ax2
Y por lo tanto la gráfica, que se llama parábola, será al igual
que la de f1 una curva simétrica respecto del eje y, tal como las indicadas en figura II63 para a = ±1; a = ±3
;a= ±
1
3
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Figura 63
Se llama vértice de la parábola a la intersección de la parábola con su eje de simetría (en ese
punto la parábola tiene como tangente la perpendicular a su eje).
Según que a >0 o a <0 se dice que la parábola tiene su CONCAVIDAD hacia arriba o hacia abajo
respectivamente.
4.2. SEGUNDO CASO: b = 0 c ≠0
Sea f3(x) = ax2+c
En este caso y siempre atendiendo a las conclusiones del apartado anterior, se tiene como gráfica la
misma parábola pero desplazada en el sentido del eje y. El eje de la parábola es por lo tanto el mismo eje
y, y el vértice el punto (0;c), ver figura 64
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Figura 64
4.3. CASO GENERAL: a≠0 b≠0 c≠0
f(x) = ax2+bx+c
Siendo a≠0 puede escribirse


f(x)= a x 2 +
b
x+
a
c

a
Y recordando la identidad (p+q)2 = p2 + 2pq + q2 puede hacerse las siguientes transformaciones
f ( x) = a( x 2 + 2
b
b2
b2
c
b
b2
b
4ac − b 2
x + 2 − 2 + ) = a ( x + ) 2 + (c − ) = a ( x + ) 2 +
2a
a
2a
4a
2a
4a
4a
4a
Que para simplificar escribimos
f(x) = a(x + h)2 + k
donde h =
b
2a
y k=
4ac − b 2
4a
De esta última resulta que la gráfica de f es la misma parábola f2(x) = ax2 pero desplazada en el
sentido del eje x según lo indica h y en el sentido del eje y según indica k, de modo que el vértice que en la
parábola f2(x) = ax2 es el origen (0;0) pasa a ser el punto (-h;k) y el eje de la parábola es la recta paralela al
eje y de ecuación x = -h ; estando la concavidad hacia arriba o hacia abajo según sea “a” mayor o menor
que cero.
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Figura 65
EJERCICIO PROPUESTO:
4.3.a.) Dibujar las parábolas, graficas de las funciones que siguen:
i) f(x) = 2x2 – 12x + 17
ii) g(x) =
iv) q(x) = −
1 2
x + 2x − 1
3
1 2
5
x −x+
2
2
iii) h(x) = -2x2 – 4x – 2
Solución de v):
Se tiene: l(x) = −
1 2 5
4
1
4
x + x − = − ( x 2 − 5 x) − =
3
3
3
3
3
1
3
5
2
= − (x − )2 +
25 4
1
5
3
− = − (x − )2 +
4 3
3
2
4
Entonces la gráfica de l(x) es una parábola de eje paralelo al eje y, con la concavidad hacia abajo y con
5 3
2 4
vértice en el punto  ;  , resultando la de la figura 66.
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Figura 66
NOTA:
Es muy importante que al resolver los ejercicios el alumno trabaje como se ha indicado en el
ejemplo resuelto, es decir no debe recordar las relaciones entre a, b y c y las coordenadas del vértice, sino
trabajar algebráicamente para determinarlas.
4.4 CEROS DEL TRINOMIO DE 2º GRADO
Dada una función f si existe un α tal que f(α) = 0, se dice que α es un cero de f.
De lo anterior resulta que si una función f tiene un cero α, la gráfica de f interseca al eje x en el punto
(α;0).
Del estudio gráfico que acabamos de hacer resulta que f(x) = ax2 + bx + c tiene ceros en algunos casos
(cuando interseca el eje x).
Procuraremos determinar analíticamente dichos ceros.
Antes que nada observamos que si un numero α es un cero de f(x) = + ax2 + bx + c , también lo es de la
función opuesta - f(x) = - ax2 - bx – c , motivo por el cual en el estudio que sigue suponemos que a es
positivo (a 0); se tiene
b 2 4ac − b 2
ax + bx + c = 0 ⇔ a ( x + ) +
=0⇔
2a
4a
2

b
b 2 − 4ac 

⇔ x+
+


2a
2a


b 2 b 2 − 4ac
(x + ) −
=0⇔
2a
4a 2
2


 x + b − b − 4ac  = 0 ⇔


2a
2a


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

b
b 2 − 4ac 
b
b 2 − 4ac 
⇔ x +
+
= 0 ó x+
−
=0⇔




2
2
2
2
a
a
a
a





− b − b 2 − 4ac
− b + b 2 − 4ac 

⇔ x=
ó.x =


2a
2a


De esta última concluimos:
b 2 − 4ac
Si
≥0
2a
α1 =
existen ceros para f(x) = ax2 + bx + c y estos ceros son
− b + b 2 − 4ac
2a
α2 =
− b − b 2 − 4ac
2a
Los ceros de f(x) = ax2 + bx + c se llaman también raíces de la ecuación ax2 + bx +c = 0
Si α1 y α 2 son los ceros de f , observando las sucesiones de implicaciones anteriores resulta que puede
escribirse
f(x) = a (x - α 1)(x - α 2)
4.5. CONCLUSIONES:
 − b 4ac − b 2
;
4a
 2a
1o) La grafica de f(x)=ax2+ bx + c es una parábola de eje paralelo al eje y, de vértice 



y cuya concavidad esta dirigida hacia arriba o hacia abajo según que a sea mayor o menor que cero
respectivamente.
2o) La parábola intersecta al eje x si b2 – 4ac ≥ 0
3o) Gráficamente se dan las siguientes posibilidades:
i)
b2 – 4ac > 0
En este caso existen dos ceros α1 y α2 , supongamos α 1 < α 2 ; por razones de simetría el eje de
la parábola será la recta de ecuación x=
α1 + α 2
2
= −
α1 + α 2
2
(es fácil probar que en todos los casos
b
) y según que a sea positivo o negativo se tienen las situaciones ilustradas en
2a
figuras II67 y II68.
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Figura 67
Si x = α 1 ó x = α 2 es f(x) = 0
Si x ∈ (α1 ; α2 ) resulta f(x) < 0
Si x ∈ (-∞;α 1 ) U (α 2 ; +∞) entonces f(x) > 0
Si x = α 1 ó x = α 2 es f(x) = 0
Si x ∈ (α1 ; α2 ) resulta f(x) > 0
Figura 68
Si x ∈ (-∞;α 1 ) U (α 2 ; +∞) entonces f(x) < 0
ii) b2 – 4ac = 0
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En este caso existe un solo cero α = −
b
(se dice que la ecuación ax2 + bx + c = 0 tiene dos
2a
raíces coincidentes) siendo el eje de la parábola la recta x = α y dependiendo del signo de a,
hacia donde está dirigida la concavidad, la función puede presentar una de las situaciones
ilustradas en las figuras II69 y II70.
Figura 69
Figura 70
Si x = α entonces f(x) = 0
Si x = α entonces f(x) > 0
Si x = α entonces f(x) = 0
Si x ≠ α entonces f(x) < 0
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iii) b2 – 4ac < 0
En este caso no existen ceros de f y por lo tanto la parábola no corta al eje x pudiendo
presentarse los dos ilustrados en las figuras II.71 y II.72.
Figura 71
Figura 72
es f(x) > 0 ∀x ∈ ℜ
Es f(x) < 0 ∀x ∈ ℜ
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5. EJERCICIOS PROPUESTOS:
5.1.) Dibujar las gráficas de las funciones que siguen, determinando en cada caso los ceros y los
conjuntos: { x/ f (x) > 0 } ; { x/ f (x) < 0 }
i) f(x) = x2 – 2x + 7
ii) f(x) = 2 x 2 − 4 3 x + 4 2
iii) f(x) = 2x – 4x2 - 1
iv) f(x) =3 (x - 1)(x + 2)
v) f(x) =2x2 – 5x + 6
vi) f(x) = - x2 – 3x - 2
vii) f(x) = −
1 2
x + 5x − 6
3
5.2.) Indicar los conjuntos en que están definidas las funciones que se indican a continuación, asi como los
conjuntos en los cuales la función es positiva o negativa; representar dichos conjuntos sobre un eje real.
i) f(x) =
2 x 2 − 3x + 1
x −1
ii) g(x) = 2 3( x − 1)( x + 2)
iii) k(x) =
iv) h(x) =
2
− 2x 2 + 6x + 8
− 3x 2 − 7 x + 2
EJEMPLO 5.2.1 :
x 2 − 3x − 4
Determinar los valores de x para los cuales resulta
>0
x +1
Solución:
Será
f ( x)
> 0 par un x1 dado si y solo si el signo de f(x1) es igual al signo de g(x1). Gráficamente
g ( x)
habrá que determinar para que valores de x están las dos gráficas en un mismo semiplano respecto del eje
x.
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Figura 73
De la figura 73 se tiene que la desigualdad se verifica para
x ∈ (4;+∞)
Ejemplo 5.2.2:
Determinar los valores de x para los cuales resulta
x2 – 3x – 4 ≥ x + 1
Solución:
Gráficamente, dado un real x1 resulta f(x1) > g(x1)si al recorrer la recta x = x1 en el sentido creciente de
la y , se encuentra primero la gráfica de g y después la de f.
De la figura II73 se deduce que los valores de x satisfacen la desigualdad son los x pertenecientes al
intervalo (-∞;-1] o al intervalo [5;+-∞)
Ejemplo 5.2.3:
Determinar los valores de x que verifican
2x − 2
x−4
≥1
Solución:
De la figura 74 resulta que la desigualdad se verifica para los x pertenecientes al intervalo [ x1 ;+∞) o para
los x pertenecientes al intervalo (-∞; x2 ], donde (x1,y1) es la intersección de las rectas y=2x-2 e y=-(x-4) y el
punto (x2,y2) la intersección de las rectas y=-(2x-2) e y=-(x-4).
Resulta (x1,y1) = (2;2) y (x2;y2) = (-2;6) , por
lo tanto se tiene que la desigualdad se verifica si:
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x ∈ (−∞;−2] ∪ [2;−∞)
Figura 74
5.3.) Determinar los valores de x que satisfacen:
i)
ii)
( x − 3) 2
4x
≤0
x −1
≤0
2
2 x − 10 x + 8
iii)
2x 2 + 2x − 4
<0
x+2
iv)
1 x +1
2
<1
2
x − 1 x −1
2
Funciones reales de una variable real
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