El anillo de matrices Mn(k) y sus automorfismos k

Divulgación
El anillo de matrices Mn(k) y sus
automorfismos k-lineales
Alejandro Cobá,
Ramón Peniche
y
Efrén Pérez∗
Facultad de Matemáticas de la Universidad
Autónoma de Yucatán
∗ [email protected]
recibido: 13 de enero de 2011
aceptado: 4 de noviembre de 2011
resumen
Mostramos que un automorfismo de anillos unitarios, que además
es una transformación k-lineal del anillo de matrices Mn (k), necesariamente es un cambio de base. A partir de esto indicamos cómo
demostrar que los automorfismos R-lineales de los cuaterniones son
internos.
1. Introducción
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El Álgebra Lineal es una de las ramas más exitosas de las Matemáticas,
pues sus resultados son potentes y elegantes, y proporcionan un lenguaje y
un sustento indispensable en muchas áreas de la ciencia y de la tecnologı́a.
Aún dentro de los aspectos más teóricos de las matemáticas, siempre se
intenta escribir la prueba de un teorema, o el desarrollo de un concepto,
apoyándose tanto como sea posible en el álgebra lineal.
Esta filosofı́a es la que nos motiva a estudiar al anillo de matrices Mn (k)
y a unas transformaciones especiales sobre dicho anillo, las que pedimos
que sean transformaciones k-lineales, biyectivas, que envı́en a la matriz
identidad en la matriz identidad, y que sean homomorfismos de anillos.
Es simpático estudiar los mencionadas transformaciones, pues en el teorema 2.8 veremos que cada una de ellas es, simplemente, un cambio de base.
Contenido
EL ANILLO DE MATRICES MN (K) Y SUS AUTOMORFISMOS K -LINEALES
Consideramos que si bien los argumentos de la sección 2 son ingeniosos,
son lo suficientemente simples para ser usados como ejercicios en los primeros cursos de álgebra lineal.
En la sección 3 se demuestra que todos los automorfismos R-lineales de
los cuaterniones son internos: vale la pena recordar que los cuaterniones
son muy importantes en fı́sica y en visualización por computadora, y que
el resultado mencionado es una de las razones de fondo por las que los
cuaterniones frecuentemente se utilizan en los videojuegos para calcular las
rotaciones de las imágenes.
También queremos señalar que los teoremas 2.8 y 3.1 son casos particulares del teorema de Skolem y Noether (véase Guerrero y Pérez, 2010;
Herstein, 2005; Rowen, 1991), el cual es una herramienta importante en la
Teorı́a de anillos y en la Teorı́a de representaciones de álgebras.
Esperamos que la manera en que hemos presentado la información ayude
a enfatizar la importancia del álgebra lineal, ası́ como exhibir que hay resultados de las matemáticas que son accesibles tras un buen curso estándar
y un poco de esfuerzo adicional.
2. Anillos de matrices y automorfismos
Por k vamos a denotar un campo arbitrario; ejemplos de campos son los
números racionales, los reales y los complejos.
Mn (k) denotará al anillo de matrices de tamaño n × n con elementos en
k; la suma en dicho anillo es la suma usual de matrices, la multiplicación
es el producto usual de matrices y el unitario es la matriz identidad, a la
cual denotaremos 1n .
Denotemos como ei,j a las matrices que tienen al unitario de k (escrito
simplemente como 1) en la entrada (i, j) y 0 en todas las demás entradas:
es bien conocido que Mn (k) tiene estructura de k-espacio vectorial y que el
conjunto de matrices {ei,j }i,j∈{1,2,...,n} es una k-base, conocida como la base
canónica de Mn (k), ası́ que la dimensión de este k-espacio vectorial es n2 .
También es conocido que si n > 1 entonces Mn (k) no es conmutativo y
que tiene divisores de cero distintos de cero.
Queremos analizar la conducta de una función f : Mn (k) → Mn (k) que es
una transformación k-lineal, y que además es un automorfismo de anillos
unitarios, es decir que:
1. f (λA + B) = λf (A) + f (B), para cualesquiera A, B ∈ Mn (k) y λ ∈ k,
2. f (AB) = f (A)f (B), para cualesquiera A, B ∈ Mn (k),
3. f es biyectiva,
4. f (1n ) = 1n .
Contenido
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A. COBÁ, R. PENICHE Y E. PÉREZ
Al conjunto de estas funciones las vamos a denotar como Aut (Mn (k));
es fácil verificar que este conjunto es un grupo bajo la composición usual
de funciones.
Observación 2.1. Para cada matriz invertible L ∈ Mn (k) existe un elemento de Aut (Mn (k)), la transformación σL : Mn (k) → Mn (k), dada por
σL (M ) = LM L−1 ; las cuentas son sencillas, por lo que le pedimos al amable lector que las lleve a cabo. Recordemos que a σL se le conoce como una
conjugación y también como un automorfismo interno.
Observación 2.2. Es conocido que a cada cambio de base le corresponde
una matriz L invertible, de tal manera que la matriz M es enviada en la
matriz LM L−1 . También es conocido que a cada conjugación σL le corresponde precisamente un cambio de base. Además, es fácil verificar que la
composición de conjugaciones es una conjugación.
Ahora vamos a dar una caracterización de la identidad que nos será útil.
Lema 2.3. Sea g ∈ Aut (Mn (k)) tal que g(ei,i ) = ei,i , para cada i ∈
{1, . . . , n}, y g(ei,i+1 ) = ei,i+1 , para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}. Entonces g
es la función identidad, es decir que g(M ) = M para cada M ∈ Mn (k).
Demostración: A lo largo de esta argumentación vamos a usar la base
canónica de Mn (k).
∑
∑
Sea M ∈ Mn (k), luego existen λi,j ∈ k tales que M = ni=1 nj=1 λi,j ei,j .
∑
∑
i,j
i,j
es,t .
Para cada par i, j existen αs,t
∈ k tales que g(ei,j ) = ns=1 nt=1 αs,t
Ahora usemos las identidades ei,i es,t = 0, para i ̸= s, es,t ej,j = 0, para
t ̸= j, y ei,i ei,j ej,j = ei,j junto con las propiedades de g:
g(ei,j ) = g(ei,i ei,j ej,j )
= g(ei,i )g(ei,j )g(ej,j )
= ei,i
( n n
∑∑
i,j
αs,t
es,t
)
ej,j
s=1 t=1
i,j
= αi,j
ei,j .
8
La identidad previa significa que cada elemento de la base canónica es un
eigenvector de g. Como g es biyectiva, cada eigenvalor es distinto de cero,
i,j
es decir que αi,j
̸= 0 para cada par i, j.
Contenido
EL ANILLO DE MATRICES MN (K) Y SUS AUTOMORFISMOS K -LINEALES
Si j > i tenemos que ei,j = ei,i+1 ei+1,i+2 · · · ej−1,j , luego
g(ei,j ) = g(ei,i+1 ei+1,i+2 · · · ej−1,j )
= g(ei,i+1 ) · · · g(ej−1,j )
= ei,i+1 ei+1,i+2 · · · ej−1,j = ei,j .
Finalmente, si i > j obtenemos, aplicando los argumentos previos, que
i,j
i,j
ei,i = g(ei,i ) = g(ei,j ej,i ) = g(ei,j )g(ej,i ) = αi,j
ei,j ej,i = αi,j
ei,i ,
i,j
por lo que αi,j
= 1.
De las identidades calculadas se sigue que

g(M ) = g 
n ∑
n
∑
i=1 j=1

λi,j ei,j  =
n ∑
n
∑
λi,j g(ei,j ) =
i=1 j=1
n ∑
n
∑
λi,j ei,j = M.
i=1 j=1
A continuación analizamos a unas matrices especiales y sus propiedades.
Lema 2.4. Sean f ∈ Aut (Mn (k)) y Ai = f (ei,i ), para i ∈ {1, . . . , n}:
1)Para cada i se cumple que Ai no es la matriz cero.
2)Para cada i se cumple que Ai Ai = Ai .
3)Si j ̸= i entonces Ai Aj = 0.
Demostración: Es fácil verificar que las matrices ei,i cumplen las propiedas
enunciadas, luego las cumplen las matrices Ai , pues f es biyectiva y envı́a
productos en productos.
Observación 2.5. Sean A ∈ Mn (k) tal que A2 = A y v ∈ Im A, es decir
que existe w ∈ k n tal que v = Aw, luego v = Aw = A2 w = Av; en otras
palabras, todo vector en la imagen de A queda fijo bajo multiplicación por
la matriz A.
El siguiente lema es solamente una forma de expresar el concepto de
proyección, tan usual en álgebra lineal.
Lema 2.6. Sea A ∈ Mn (k) tal que A2 = A, luego k n = Im A ⊕ Ker A. Más
aún, todo elemento no cero de Im A es un eigenvector con eigenvalor 1.
Contenido
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A. COBÁ, R. PENICHE Y E. PÉREZ
Demostración: Para cada vector v ∈ k n tenemos que A(v − Av) = Av −
A2 v = 0, luego v − Av ∈ Ker A. De la identidad v = Av + (v − Av) tenemos
que k n = Im A + Ker A.
Por la observación 2.5 todo vector en la imagen de A es un vector propio
con valor propio igual a 1.
Por otro lado, si v ∈ Im A ∩ Ker A entonces v = Av = 0; de esto y un
argumento previo se sigue que k n = Im A ⊕ Ker A.
Lema 2.7. Sean A1 , . . . , An matrices de Mn (k) tales que cumplen las condiciones del lema 2.4, entonces k n = Im A1 ⊕ · · · ⊕ Im An . En particular
dim(Im Ai ) = 1 para cada i.
Demostración: Puesto que Ai no es la matriz cero, tenemos la desigualdad
dim(Im Ai ) ≥ 1 para cada i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Supongamos que vi ∈ Im Ai −
∑
{0} y que existe una combinación lineal ni=1 λi vi = 0, luego
0 = Aj
( n
∑
i=1
)
λi vi = Aj
( n
∑
)
λi Ai vi = Aj (λj Aj vj ) = λj vj ,
i=1
ası́ que λj = 0 para cada j ∈ {1, 2, . . . , n}.
Se sigue
de esto que Im A1 + · · · + Im An = Im A1 ⊕ · · · ⊕ Im An , por
∑
lo que ni=1 dim(Im Ai ) = n, ası́ que necesariamente dim(Im Ai ) = 1 para
cada i.
Ya hemos reunido suficiente información para clasificar a los elementos
de Aut (Mn (k)).
Teorema 2.8. Cada elemento de Aut (Mn (k)) es una conjugación inducida
por un cambio de base.
Demostración: Comencemos por denotar por
w1 = (1, 0, . . . , 0)t ,
10
w2 = (0, 1, 0, . . . , 0)t ,
...,
wn = (0, 0, . . . , 0, 1)t ,
a los vectores de la base canónica B = {w1 , w2 , . . . , wn } de k n .
Ahora sean f ∈ Aut (Mn (k)) y f (ei,i ) = Ai , como en el lema 2.4.
En el lema 2.7 vimos que dim(Im Ai ) = 1 para cada i, ası́ que, para cada
i, sea vi un vector no cero que pertenece a la imagen de Ai , y observemos
que por el mismo lema B ′ = {v1 , . . . , vn } es una base de k n .
Ahora sea Ai,i+1 = f (ei,i+1 ), para cada i ∈ {1, 2, . . . , n−1}, y observemos
que Ai Ai,i+1 = Ai,i+1 , que As Ai,i+1 = 0 si s ̸= i, y que Ai,i+1 At = 0 si
Contenido
EL ANILLO DE MATRICES MN (K) Y SUS AUTOMORFISMOS K -LINEALES
t ̸= i + 1, luego, para j ̸= i + 1 tenemos que
Ai,i+1 (vj ) = Ai,i+1 Aj (vj ) = 0
y que

Ai,i+1 (vi+1 ) = Ai Ai,i+1 (vi+1 ) = Ai 
n
∑

i+1

µi+1
j vj = µi vi ,
j=1
donde µi+1
∈ k − {0}.
i
Consideremos la base B ′′ = {c1 v1 , . . . , cn vn } de k n , con c1 = µ21 µ32 · · · µnn−1 ,
∏
j+1
n
c2 = µ32 µ43 · · · µnn−1 , . . . , ci = n−1
j=i µj , . . . , cn−1 = µn−1 , cn = 1.
Sea L la matriz cuyas columnas son los vectores de la base B ′′ , lo que
usualmente se denota como L = (c1 v1 | · · · |cn vn ), y recordemos que L es la
matriz que cambia a los vectores escritos en la base B ′′ a vectores escritos
en la base B, ası́ que la conjugación L−1 Ai L nos permite describir la acción
de cada Ai sobre la base B ′′ : como se mencionó en la observación 2.5 y el
lema 2.6, tenemos que Ai ci vi = ci vi , mientras que, por el tercer inciso del
lema 2.4, si j ̸= i entonces Ai cj vj = Ai Aj cj vj = 0, por lo que L−1 Ai L = ei,i
para toda i.
Por otra parte, Ai,i+1 (cj vj ) = 0 si j ̸= i + 1, y Ai,i+1 (ci+1 vi+1 ) =
−1
ci+1 µi+1
i vi = ci vi , ası́ que L Ai,i+1 L = ei,i+1 .
Lo que hemos exhibido es que la composición σL−1 f , que también es
un elemento de Aut (Mn (k)), cumple las condiciones del lema 2.3, ası́ que
σL−1 f es la identidad y, despejando, obtenemos que f = σL .
3. Automorfismos
R-lineales de los cuaterniones
Los cuaterniones son un anillo de división no conmutativo, a los que denotaremos como H, y el centro de los cuaterniones es el conjunto de los
números reales, denotados por R. Recordemos que H es un R-espacio vectorial de dimensión 4 y que tiene una base canónica dada por los elementos
{1, i, j, k}.
Entonces tiene sentido estudiar al conjunto Aut(H), cuyos elementos son
los homomorfismos de anillos f : H → H que envı́an al unitario en el unitario,
que son biyectivos y que también son transformaciones R-lineales.
Ejemplos de elementos de Aut(H) son los llamados automorfismos internos, es decir los homomorfismos σh , donde h ∈ H, dado por σh (x) = hxh−1
para cada x ∈ H.
El objetivo de esta sección es demostrar el siguiente resultado:
Contenido
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Teorema 3.1. Todos los elementos de Aut(H) son automorfismos internos.
Demostración: Comencemos por considerar el clásico homomorfismo inyectivo de anillos ϕ: H → M2 (C), dado por
(
ϕ(λ + µj) =
λ
µ
−µ
λ
)
,
donde C denota a los números complejos, λ, µ ∈ C y λ significa la conjugación del complejo λ.
Por otra parte, también tenemos un homomorfismo canónico de anillos
ν: C → M2 (C) dado por
(
)
z 0
ν(z) =
.
0 z
Aplicando los argumentos de biaditividad propios de los productos tensoriales, se puede demostrar que existe un homomorfismo de anillos ψ: H ⊗R
C → M2(C), dado en elementos homogéneos por ψ(h ⊗ z) = ϕ(h)ν(z), el
cual también es una transformación R-lineal, y es fácil verificar que envı́a
al 1 ⊗ 1 en el 1.
Para verificar que ψ es suprayectiva, usamos las siguientes identidades:
ψ
ψ
(
(
1
2 (1 ⊗ 1 − i ⊗ i)
1
2 (j
)
)

=

⊗ 1 + k ⊗ i) = 
1 0
0 0
0 0
1 0

,
ψ

,
ψ
(
(
1
2 (1 ⊗ 1 + i ⊗ i)
1
2 (j
)
)

=

⊗ 1 − k ⊗ i) = 
0
0
0
1
0
1
0
0

 ,

 .
Es decir que en la imagen de ψ están los elementos de la base canónica de
M2 (C), y puesto que en esa imagen hay una copia de C entonces se puede
generar todo el anillo de matrices.
Ahora sea f ∈ Aut(H), entonces f ⊗ IdC ∈ Aut (M2 (C)), ası́ que por el
teorema 2.8 existe una matriz L ∈ M2 (C), invertible, tal que f ⊗ IdC = σL .
Como f ⊗ IdC (h ⊗ 1) = f (h) ⊗ 1, entonces, para cada h ∈ H debe de
ocurrir que Lψ(h ⊗ 1)L−1 = ψ(h′ ⊗ 1) para algún h′ ∈ H, ası́ que L es una
matriz invertible tal que, para N ∈ Im ϕ, se cumple que
LN L−1 ∈ Im ϕ,
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(∗)
es decir que L pertenece al normalizador del subgrupo multiplicativo Im ϕ−
{0} en GL(2, C).
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Lo que vamos a hacer, para ver como puede ser L, es aplicar la condición
(∗) en matrices especı́ficas de Im ϕ.
Sin pérdida de generalidad podemos asumir que el determinante de
(
L=
α
β
γ
δ
)
= 1.
Las cuentas que realizamos son algo tediosas, por lo que solamente referiremos al lector los pasos principales:
Al verificar (∗) en la matriz
(
N=
0
1
)
−1 0
2
se obtiene que α2 + β 2 = γ 2 + δ .(
Si ahora usamos la matriz N =
0
i
)
2
obtenemos que α2 −β 2 = δ −γ 2 ,
i 0
2
2
2
2
lo que combinado con (
el resultado
) anterior muestra que α = δ y β = γ .
i 0
Con la matriz N =
se verifica que −αβ = γδ.
0 −i
Combinando los resultados previos con la positividad del determinante
obtenemos que δ = α y γ = −β, por lo que L ∈ Im ϕ; esto permite afirmar
que f = σL .
El teorema 3.1 también se puede demostrar sin utilizar el producto tensorial y el lector puede ver una prueba en Can y cols. (2009).
Agradecimientos
Los autores apreciamos los comentarios y sugerencias del árbitro.
Referencias
R
[1] Can, A., E. Guerrero y E. Pérez, “Automorfismos -lineales de los cuaterniones”,
Eureka 24, (2009), pp. 7–18.
[2] Guerrero, E., y E. Pérez, “El teorema de Skolem y Noether”, Abstraction & Application
2, (2010), pp. 59–68.
[3] Herstein, I. N., “Noncommutative rings”, The Carus Mathematical Monographs 15,
The Mathematical Association of America, eua, 2005.
[4] Rowen, L. H., Ring Theory (Student Edition), Academic Press Inc., San Diego, CA.,
eua, 1991.
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