PRUEBA 1 - MAT I NOMBRE:.....................................................

UNIVERSIDAD DE CHILE
Fac. de Ciencias Veterinarias y Pecuarias
29 de Abril de 2010.
PRUEBA 1 - MAT I
Profesor: Orlando Campos.
Ayudante: Ignacio Trujillo.
NOMBRE:.....................................................................................................
1. Considerar,
 n 2
3 (n + 2n)
, 1 ≤ n ≤ 40




 √
√
3
3n − 3 3n + 3 , 41 ≤ n ≤ 100
an =




 102n
+n
, 101 ≤ n
10n+2
Calcular
200
X
ak
K=45
RESP:
200
X
100
X
200
X
10k
ak =
[bk − bk+1 ] +
[
+ k]
100
K=45
k=45
k=101
200
200
X
X
10k
= b45 − b101 +
+
k
100
k=101
k=101
=
=
√
3
=
√
3
3 ∗ 45 −
√
3
135 −
√
3
√
3
135 −
200
100
200
100
X
X
X
10k X 10k
3 ∗ 101 + [
−
]+[
k−
k]
100
100
k=0
k=0
k=1
k=1
200
100
1 X k X k
303 +
[
10 −
10 ] + [100 ∗ 201 − 50 ∗ 101]
100 k=0
k=0
√
3
1 10201 − 1 10101 − 1
[
−
] + [20100 − 5050]
100
9
9
√
√
10201 − 10101
3
3
= 135 − 303 +
+ 15050
900
303 +
√
2. En el desarrollo de (x x +
1 n
) ,
x2
el coeficiente del tercer termino es mayor que el
coeficiente del segundo termino en 44 unidades.
Calcular el valor de n.
RESP:
n X
n
0
k
3
2
n−k
(x )
−2 k
(x )
;o como Nao:
n X
n
0
k
3
(x 2 )k (x−2 )n−k
La condicion arroja:
n
n
=
+ 44
2
1
n!
= n + 44 ⇔ n2 − 3n − 88 = 0 ⇔ (n − 11)(n + 8) = 0 ⇔ n = 11
2(n − 2)!
3. a) Es cierta, para n ∈ N arbitrario, la siguiente igualdad?? Justificar.
n
n
n
n
2n
2n
2n
2n
2
[ 1+
+
+
+ ..... +
] =1+
+
+
+ ..... +
1
2
3
n
1
2
3
2n
RESP:
n X
n
n
n
n
n 2
2
[ 1+
+
+
+ ..... +
] =(
) = (2n )2 = 22n
1
2
3
n
k
k=0
=
n X
2n
k=0
k
2n
2n
2n
2n
=1+
+
+
+ ..... +
1
2
3
2n
b) La suma de una Progresion Geometrica de razon 3 es 728, y el ultimo termino es 486.
Hallar el primer termino.
RESP:
Sabemos que,
Sn = 728 y que an = 486
Tambien sabemos que,
Y que,
Sn = a + a ∗ 3 + a ∗ 32 ... + a ∗ 3n = a 3
n+1 −1
2
= 728........(i)
an = a ∗ 3n = 486...............(ii)
1456
+1⇔
a
1456+a
= 486
3a
a
De (i) tenemos que, 3n+1 =
De donde, para a no nula:
3n =
1456+a
3a
y de (ii) que, 3n =
Resolviendo, obtenemos a = 2
4. Considerar la funcion:
f (x) = (x − 2)(x − 8), 2 6 x 6 8
Hallar:
a) f (6) y f (−1)
b) Dom(f )
c) f (1 − t)
d) f (f (3))
e) Graficar f
f) Restringir Dom(f ), de manera que f sea inversible.
Tiempo :90 minutos.
486
a