PROBLEMAS PARA RESOLVER CON ECUACIONES DE PRIMER

PROBLEMAS PARA RESOLVER CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
Una de las mayores dificultades que tienen los alumnos es convertir el lenguaje coloquial en
símbolos matemáticos y viceversa, lo cual muchas veces les impide resolver algunos problemas
que se les plantean.
El problema se agrava cuando se presentan los “problemas de aplicación”, ya que muchos de
ellos están fuera de su entorno de conocimientos.
Por lo general, para aplicar conocimientos de matemáticas y poder proponer modelos de solución,
los alumnos requieren de conocimientos básicos de otras áreas; este asunto plantea mayor
dificultad que el poder despejar una ecuación.
La mejor recomendación es la práctica cotidiana; en la medida que los alumnos realizan ejercicios,
progresarán en la adquisición del conocimiento.
Es importante notar que hay una diferencia básica entre el concepto "problema" y "ejercicio".
No es lo mismo hacer un ejercicio que resolver un problema. Una cosa es aplicar un algoritmo de
forma más o menos mecánica, evitando las dificultades que introduce la aplicación de reglas cada
vez más complejas, y otra, resolver un problema, dar una explicación coherente a un conjunto de
datos relacionados dentro del contexto.
La respuesta suele ser única, pero la estrategia resolutoria está determinada por factores
madurativos o de otro tipo.
Una parte importante de los errores en la resolución de problemas son las dificultades de
comprensión lectora. La tendencia de operar todos los datos presentados, aunque algunos no
sirvan, certifica esta falta de comprensión global.
Por otra parte, los alumnos resuelven mejor los problemas si alguien se los lee que si los lee el
mismo.
Como pauta general para resolver problemas matemáticos, los alumnos deben:
Analizar y comprender el enunciado, para ello deben subrayar las palabras más significativas del
mismo, para defiinir aquellas que dan las órdenes.
Luego expresar el problema en lenguaje simbólico o matemátcio. Las ecuaciones sirven a menudo
para resolver problemas. Debemos recordar que en una ecuación la variable puede estar
representada por cualquier letra, por costumbre, se usa "x".
Luego se resuelve la ecuación, se verifican sus resultados y se entrega la respuesta.
A continuación, tenemos una tabla de equivalencias entre una expresión coloquial y su
simbología, la cual puede resultar muy útil si es consultada a menudo:
Expresión coloquial
Dado un número
El duplo, el doble de un número
La mitad de un número
Un número disminuido en...
El antecesor, o el anterior de un número
Simbología matemática
El sucesor, el consecuente, o el siguiente
de un número
El opuesto de un número
Números consecutivos
Un número par
Números pares consecutivos
Un número impar
Números impares consecutivos
El triple de un número
El cuádruplo de un número
La tercera parte, o el tercio de un número
La cuarta parte de un número
La quinta parte de un número
El cuadrado de un número
El cubo de un número
El cuadrado del siguiente de un número
El cubo del siguiente de un número
La raíz cuadrada de un número
La raíz cúbica de un número
La raíz cuarta de un número
La razón entre dos números: división
El producto entre dos números:
multiplicación
La diferencia entre dos números:
sustracción
Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar las
operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer).
Ejemplo: Veamos un problema característico:
Pedro es 3 años menor que Álvaro, pero es 7 años mayor que María. Si la suma de las edades de
los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno?
Digamos que las edades de los tres son:
x edad de Pedro
y edad de Álvaro
z edad de María
Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Pedro más 3 años (Pedro es tres años
menor que Álvaro):
y=x+3
También sabemos que la edad de María es igual a la edad de Pedro menos 7 años (Pedro es 7
años mayor que María):
z=x–7
Ahora tenemos que:
edad de Pedro:x
edad de Álvaro: x +3
edad de María:x – 7
La suma de las tres edades es 38:
x + x +3 + x – 7 = 38
Resolviendo está última ecuación tendremos:
x = 14 (esta es la edad de Pedro)
Finalmente:
edad de Pedro: x = 14 años
edad de Álvaro:x + 3 = 17 años
edad de María: x – 7 =7 años
Aqui te propongo una serie de problemas para practicar donde aparecen las soluciones
MEZCLAS
1. En una bodega se mezclan 6 Hl. de vino de alta calidad que cuesta a 300€/Hl.,con 10 Hl. de
vino de calidad inferior a 220€/HL. ¿A cómo sale el litro del vino resultante?.
Sol: 2,5 €/Hl.
2. Un barril contiene 1 Hl. de vino de alta graduación, cotizado a 3,60€/Hl. Para rebajar el grado se
la añaden 20 litros de agua. ¿Cuál es ahora el precio del vino?
Sol:3€/l
3. El dueño de un restaurante mezcla 3 litros de aceite a 4€ el litro con 2 litros de otro aceite de
mejor calidad que cuesta a 7€ el litro. ¿A cómo le sale el litro de mezcla?
Sol: 5,2€/l.
4. Para fabricar cierta colonia se mezcla 1 litro de esencia con 5 litros de alcohol y 2 litros de agua
destilada. La esencia cuesta 200€/litro; el alcohol. 6€/litro; y el agua destilada, 1€/litro. ¿Cuál es el
coste de un litro de esa colonia?
Sol: 29€
5. Se mezclan 300 Kg. de pintura de 30€ el kilo con 200 Kg. de otra pintura más barata. De esta
forma, la mezcla sale a24€ el kilo. ¿Cuál es el precio de la pintura barata?
Sol: 15€/Kg.
6. Se han mezclado 30 litros de aceite barato con 25 litros de aceite caro, resultando la mezcla a
3,20€/l. Calcula el precio del litro de cada clase, sabiendo que el de más calidad es el doble de
caro que el otro.
Sol: 2,2€/l y 4,4€/l.
7. Mezclando 15 Kg. De arroz de 1€/Kg. con 25 Kg. de arroz de otra clase, se obtiene una mezcla
que sale a 1,30€/Kg. ¿Cuál será el precio de la segunda clase de arroz?
Sol: 1,48€/Kg.
EDADES.
8. Juanjo tiene el doble de edad que Raúl y Laura , tres años más que Juanjo. Si la suma de sus
edades es 38, ¿cuál es la edad de cada uno?
Sol: 14, 7 y 17 años respectivamente.
9. Melisa tiene el triple de edad que su hija Marta. Calcula la edad de cada una sabiendo que,
dentro de 12 años, la edad de Melisa será solamente el doble que la de Marta.
Sol: Melisa 36 y Marta 12.
10.María tiene 5 años más que su hermano Luis, y su padre tiene 41 años. Dentro de 6 años ,
entre los dos hermanos igualarán la edad del padre. ¿Qué edad tiene cada uno?
Sol: Luis15 y María 20
11.Antonio tiene 15 años, su hermano Roberto, 13, y su padre, 43. ¿Cuántos años han de
transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?
Sol: 15 años.
12.La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 104. El padre tiene 6 años
más que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 27 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
Sol: Madre 38, Padre 44 y los gemelos 11.
13.La edad de Alicia es el cuádruplo de la de Pablo, pero dentro de 16 años será solamente el
doble. Halla la edad actual de Alicia y de Pablo.
Sol: Pablo 8 y Alicia 32 años.
GEOMETRÍA.
14.La base de un rectángulo es doble que la altura, y el perímetro mide 78cm. Calcular las
dimensiones del rectángulo.
Sol: 13cm y 26cm.
15.Sabemos que el perímetro de un rectángulo es de 50m y que la base es 5m más larga que la
altura. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Sol: Altura es 10m y la base es 15m.
16.Calcular la longitud de los lados de un triángulo isósceles, sabiendo que el perímetro mide
50cm y que el lado desigual es 7 cm menor que uno de los lados iguales.
Sol: 19cm y el lado desigual 12cm
17.En un triángulo isósceles, cada uno de los lados iguales es 5cm más largo que el lado
desigual. El perímetro mide 55cm. ¿Cuánto mide cada lado?
Sol: 15cm y 20 cm.
NUMEROS:
18.Si a un número le restas 12, se reduce a su tercera parte. ¿Cuál es ese número?
Sol: 18
19.La suma de tres números naturales consecutivos es igual al cuádruplo del menor. ¿De qué
número se trata?
Sol: 3, 4 y 5.
20.Si al cuadrado de un número le quitas su doble, obtienes su quíntuplo. ¿Cuál es ese número?
Sol: el 0 y el 7.
21.El producto de un numero natural por su siguiente es igual a 210. ¿De qué número se trata?
Sol:14
22.Halla un número tal que su doble aumentado en una unidad sea igual que su triple disminuido
en tres unidades.
Sol: 4
23.La suma de tres números consecutivos es 144. ¿Cuáles son esos números?
Sol: 46, 47, 48.
24.Calcula tres números naturales consecutivos, sabiendo que su suma es igual al cuádruplo del
menor.
Sol: 3, 4,5.
VARIADOS
25.Compro 5 bolígrafos y me sobran 2€. Si hubiera necesitado comprar 9 bolígrafos, me habría
faltado 1€. ¿Cuánto cuesta un bolígrafo? ¿Cuánto dinero llevo?
Sol: Bolígrafo: 0,75€ y llevo 5,75€
26.Reparte 1000 entre tres personas de forma que la primera reciba el doble de la segunda y ésta,
el triple que la tercera.
Sol: 600€, 300€ y 100€ respectivamente.
27.Un hortelano planta dos tercios de su huerta de tomates y un quinto de pimientos. Si aún le
quedan 400m2 sin cultivar, ¿Cuál es la superficie total de la huerta?
Sol: 300m2
28.Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado 14,30€. El videojuego es cinco
veces más caro que el cómic, y éste cuesta el doble que el helado. ¿Cuál era el precio de cada
artículo?
Sol: V = 11€; C = 2,2€ y H = 1,1€.
29.Con 12€ que tengo, podría ir dos días a la piscina, un día al cine y aún me sobrarían 4,5€. La
entrada de la piscina cuesta 1,5€ menos que la del cine. ¿Cuánto cuesta la entrada del cine?
Sol: Cine: 3,5€ y Piscina: 2€
30.Me faltan 1,8€ para comprar mi revista de Informática preferida. Si tuviera el doble de lo que
tengo ahora, me sobrarían 2€. ¿Cuánto tengo? ¿ Cuánto cuesta la revista?
Sol: Tengo 3,8€ y la revista cuesta: 5,6€.