¿Qué espacios de Banach tienen Estructura Normal?

¿Qué espacios de Banach tienen Estructura
Normal?
Introducción
Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las
matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones,
junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las
matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico. Las explicaciones que
se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica,
especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron
desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las
innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos.
Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la
actualidad.
En este artículo veremos que espacios de
normal y cuáles no. Se analizarán: La
sucesión, subconjuntos relativamente
uniformemente convexos, espacios de
funciones más conocidos tienen estructura
bola unidad, la envolvente convexa una
compactos y convexos, subconjuntos
Hilbert y los espacios Lp para p ³ 2 .
Recordemos la definición de estructura normal.
Definición 1.1 (Estructura normal) Un subconjunto convexo, acotado K de un
espacio de Banach X tiene estructura normal (n.s.) si cualquier subconjunto suyo
convexo H con más de un punto, contiene un punto no diametral, es decir, H contiene
un punto x 0 tal que
Se dice que un espacio de Banach X tiene n.s. si cada subconjunto convexo y
acotado de X tiene n.s.
Ejemplo 1.1 La bola unidad es un conjunto con estructura normal en el espacio ndimensional con la norma euclidea por ser extremales todos los puntos diametrales.
Recordemos que sobre
un espacio vectorial y un cuerpo
. Se dice que
es una norma si cumple:


,
.
·

(desigualdad triangular).
Así dependiendo de la norma escogida la bola unidad tendría esta representación en
el plano:
,
respectivamente
,
,
Ejemplo 1.2 Sea C el conjunto la envolvente convexa de la sucesión
espacio de Banach
en
en el
c0 . Entonces C no tiene estructura normal.
Cualquier elemento del conjunto C será una sucesión de la forma
Por lo que
de lo que se sigue que todos los puntos de C son diametrales y por tanto C no tiene
estructura normal.
Para los demás ejemplos necesitaremos el siguiente resultado:
Teorema 1.1 (Caracterizaciones de estructura normal) Sea K un subconjunto
convexo, acotado y cerrado de un espacio de Banach X.
Las siguientes condiciones son equivalentes:

(NS) K tiene estructura normal.

(NS1) No existen sucesiones diametrales contenidas en K

(NS2) No existen sucesiones contenidas en K tales que

(NS3) No existen sucesiones contenidas en K tales que

(NS4) No existen sucesiones no constantes contenidas en K tales que

(NS5) Para cada sucesión no constante contenida en K

(NS6) No existen sucesiones no constantes contenidas en K tales que

(NS7) Si para cada sucesión no constante contenida en K tenemos que:
La demostración se encuentra en [1].
Ejemplo 1.3 Un subconjunto relativamente compacto y convexo K de un espacio de
Banach X tiene estructura normal.
En efecto, supongamos que K es un subconjunto relativamente compacto y convexo
de X que no tiene estructura normal. En virtud de (NS1) debe existir una sucesión
diametral en K que verifica:
Y por tanto nuestra sucesión no tiene ninguna subsucesión de Cauchy, en contra de
ser K relativamente compacto.
Ejemplo 1.4 Un espacio de Banach X uniformemente convexo es reflexivo y tiene
estructura normal.
Exponer la demostración detallada de este ejemplo sobrepasa el objetivo del artículo.
Se encuentra en su integridad en [1].
Recordar que un espacio de Banach X uniformemente convexo si verifica que:
Una formulación equivalente es la siguiente para:
Ejemplo 1.5. Todo espacio de Hilbert es uniformemente convexo y por tanto tiene
estructura normal.
David Hilbert (1862-1943) fue un matemático alemán que desarrolló un gran abanico
de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción
de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hilbert y sus
estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática
necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los
fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre
matemática y metamatemática. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la
matemática es su presentación en 1900 de un conjunto de problemas que
establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX.
En la pugna por demostrar correctamente algunos de los errores cometidos por
Einstein, en la teoría general de la relatividad, David Hilbert se adelantó a las
correcciones de Einstein, sin embargo nunca quiso otorgarse el mérito.
Alrededor de 1909, Hilbert se dedicó al estudio de ecuaciones diferenciales e
integrales; su trabajo tuvo consecuencias directas en partes importantes el análisis
funcional moderno. Para poder llevar a cabo estos estudios, Hilbert introdujo el
concepto de un espacio euclídeo de infinitas dimensiones, llamado más tarde espacio
de Hilbert. En matemáticas, el concepto de espacio de Hilbert es una generalización
del concepto de espacio euclídeo. Esta generalización permite que nociones y
técnicas algebraicas y geométricas aplicables a espacios de dimensión dos y tres se
extiendan a espacios de dimensión arbitraria, incluyendo a espacios de dimensión
infinita. Como se explica en el artículo dedicado a los espacios de producto interior,
cada producto interior <.,.> en un espacio vectorial H, que puede ser real o complejo,
da lugar a una norma ||.|| que se define como sigue:
Decimos que H es un espacio de Hilbert si es completo con respecto a esta norma.
Completo en este contexto significa que cualquier sucesión de Cauchy de elementos
del espacio converge a un elemento en el espacio, en el sentido que la norma de las
diferencias tiende a cero. Cada espacio de Hilbert es así también un espacio de
Banach (pero no viceversa).
Para ver que todo espacio de Hilbert tiene estructura normal veamos que es
uniformemente convexo. Sean
Por la identidad del Paralelogramo sabemos que
Por tanto
Tomando raíz cuadrada obtendremos que
Y eligiendo
Se sigue que
Ejemplo 1.6. Los espacios Lp para p ³ 2 tiene estructura normal.
Los espacios Lp son los espacios vectoriales normados más importantes en el contexto
de la teoría de la medida y de la integral de Lebesgue. Reciben también el nombre de
espacio de Lebesgue por el matemático Henri Lebesgue.
En este espacio de todas las funciones medibles que cumplen:
Y su norma es
Asimismo, se define el espacio
verifican:
como el espacio de las funciones medibles que
Es decir, aquellas funciones medibles acotadas salvo en un conjunto de medida nula,
siendo su norma
Lo primero que haremos es utilizar la desigualdad de Clarkson para dos funciones de
Lp
Integrando en cada miembro tenemos
Así
Obtenemos
Que equivale a
Lo cual demuestra que Lp es uniformemente convexo y por tanto tiene estructura
normal.
Nota: Para valores entre 1 y 2 también es cierto lo anterior aunque más largo y
complicado de demostrar. Ver en [1].
Bibliografía

Webs:
http://www.wikipedia.org
http://www.google.com

Libros y artículos de consulta:
[1] Rivera, Juan Antonio “Estructura Normal en Espacios de Banach”. Catálogo Fama
de la Universidad de Sevilla.
Dunford, N. and Schwartz, J.T.: Linear Operators, General Theory, and other 3
volumes, includes visualization charts
Brezis, H.: Analyse Fonctionnelle, Dunod