Taller 2 Teoria de juegos SOLUCION

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
ESCUELA DE ECONOMÍA
TEORÍA DE JUEGOS
TALLER 2
Prof. Luis Alejandro Palacio G
1. El ejercito A tiene un avión con el que puede atacar uno de tres posibles objetivos. El ejercito
B tiene un tanque antiaéreo que puede ser asignado a uno de los posibles objetivos. El valor
militar del objetivo k es Vk, donde V1 > V2 > V3 > 0. El ejercito A puede destruir un objetivo
solo si el objetivo no esta defendido y él lo ataca.
Formule la situación como un juego en forma normal y encuentre los equilibrios de Nash
mixtos.
Solución
Si se tiene que:
V1  3 V2  2 V3  1
J1
J2
1- J1- J2
A1
A2
A3
D1
T1
0,0
2 , -2
1 , -1
D2
T2
3 , -3
0,0
1 , -1
1- D1- D2
T3
3 , -3
2 , -2
0,0
Luego
P( A1 )  0  D1  3  D2  (1  D1  D2 )  3  3D2  3  3D1  3D2  3  D1
P( A2 )  2  D1  0  D2  (1  D1  D2 )  2  2D1  2  2D1  2D2  2  D2
P( A3 )  1 D1  1 D2  (1  D1  D2 )  0  D1  D2
Para que A1  A2
3  D1  2  D2
1  2D2  3D1
1  2 D2
D1 
3
Para que A2  A3
2  D2  D1  D2
2  3D2  D1
Para que A1  A3
3  D1  D1  D2
3  D2  4D1
3  D2
D1 
4
La siguiente distribución de probabilidad
P(T 1)  0  J1  (2)  J 2  (1)  (1  J1  J 2 )  2J 2 1  J1  J 2  1  J1  J 2
P(T 2)  3  J1  (1  J1  J 2 )  (1)  3J1 1  J1  J 2  1  2J1  J 2
P(T 3)  3  J1  2  J 2  3J1  2J 2
Para que T1  T2
Para que T1  T3
1  J1  J 2  1  2J1  J 2
3J1  2 J 2
2
J1  J 2
3
Para que T2  T3
2  D2  D1  D2
2  3D2  D1
 1  J1  J 2  3J1  2 J 2
3  D2  4 D1
3  D2
D1 
4
De lo anterior se puede observar que se llega a una inconsistencia; con lo cual se asume que:
p
1-p
U ( A1 )  3  3q
U ( A2 )  2q
Si A1A2
3  3q  2q
A1
A2
D1
q
0,0
2 , -2
D2
1-q
3 , -3
0,0
U (V1 )  2  2 p
U (V2 )  3 p
Si A1A2
q
3
5
2  2 p  3p
Equilibrio de Nash en estrategias mixtas
 2 3   3 2 
 ,   , 
 5 5   5 5 
Ahora,
U ( J1 )  3 p  3 pq  2q  2 pq  3 p  5 pq  2q
Maxp  p(3  5q)  2q
3
q
5
3

0 si q  5

3

P ( q )  1 si q 
5

3

0,1 si q  5

U ( J 2 )  3 p  3 pq  2q  2 pq  3 p  5 pq  2q
Maxq  q(5 p  2)  3 p
p
2
5
2

1 si q  5

2

q ( p )  0 si q 
5

2

0,1 si q  5

q
1
EN
3/5
p
2/5
1
2. Considere el juego de la batalla de los sexos, donde una pareja debe decidir si ir a fútbol o ir a
teatro. Como están enamorados, lo más importante para ellos es estar juntos, pero el hombre
prefiere ir a fútbol y la mujer prefiere ir a teatro.
a. Plantee esta situación como un juego en forma normal y encuentre todos los equilibrios de
Nash.
b. Ahora suponga que toman la decisión secuencialmente, es decir, primero elige el hombre
y la mujer toma la decisión luego de saber cual fue la elección de su compañero. Plantee
esta situación por medio de un diagrama de árbol y encuentre el juego en forma normal
equivalente.
c. Encuentre todos los equilibrios de Nash en estrategias puras de el juego secuencial,
¿alguno de ellos involucra amenazas no creibles? Encuentre el equilibrio perfecto en
subjuegos.
SOLUCIÓN
M
F
2,1
H
F
0,0
T
Los equilibrios de Nash del juego en forma normal son (F,F) y (T,T).
Si se decide tomar la decisión secuencialmente, el diagrama de árbol, sería:
T
0,0
1,2
H
F
T
M
F
2
1
M
T
F
0
0
0
0
T
1
2
El juego equivalente en forma normal,
M
F, T
2,1
1,2
F, F
2
,1
H
F
0,0
T
Los equilibrios de Nash de este juego son:
(F (F, F)); (F (F, T)); (T (T, T))
La estrategia (T (T, T)), constituye una amenaza no creíble.
T, F
0,0
0,0
T, T
0,0
1,2
3. Dos individuos A y B se enfrentan a un juego descrito por la siguiente matriz de pagos, donde
los pagos se representan en cada cuadrante como pago para A y pago para B.
A
Correr
Parar
B
Izquierda
2,1
0,3
Derecha
1,3
2,
a. Grafique las funciones de mejor respuesta y encuentre todos los equilibrios de Nash para
este juego si   3
b. Grafique las funciones de mejor respuesta y encuentre todos los equilibrios de Nash para
este juego si   3
c. Grafique las funciones de mejor respuesta y encuentre todos los equilibrios de Nash para
este juego si   3
SOLUCIÓN
a) Si   3
UE(1)  2 pq  p  pq  2  (1  p)  (1  q)  2 pq  p  pq  2  2q  2 p  2 pq
UE(1)  3 pq  p  2  2q
Max( p)  p(3q  1)  2  2q
1

1 si q  3

1

P (q )  0 si q 
3

1

0,1 si q  3

UE(2)  pq  3 p  3 pq  3q  3 pq  4  (1  p)  (1  q)
UE(2)   pq  p  q  4)
Max(q)  q( p  1)  p  4
q
1
1/3
EN
p
1
b) Si   3
UE(1)  2 pq  p  pq  2  (1  p)  (1  q)  2 pq  p  pq  2  2q  2 p  2 pq
UE(1)  3 pq  p  2  2q
Max( p)  p(3q  1)  2  2q
UE(2)  pq  3 p  3 pq  3q  3 pq  2  (1  p)  (1  q)  pq  3 p  3 pq  2  2q  2 p  2 pq
UE(2)  3 pq  4 p  2q  2
Max(q)  q(3 p  2)  4 p  2
q
1
EN
1/3
p
2/3
1
c) Si   3
UE(1)  2 pq  p  pq  2  (1  p)  (1  q)  2 pq  p  pq  2  2q  2 p  2 pq
UE(1)  3 pq  p  2  2q
Max( p)  p(3q  1)  2  2q
UE(2)  pq  3 p  3 pq  3q  3 pq  3  (1  p)  (1  q)  pq  3 p  3 pq  3q  3 pq  3  3q  3 p  3 pq
UE(2)  2 pq  3
Max(q)  q(2 p)
q
1
1/3
p
1
4. Considere el siguiente juego:
J2
C
D
E
J1 A 0 , 2 1 , 1 2 , 0
B 2,1 3,0 1,2
Calcule la utilidad esperada para cada una de las siguientes estrategias mixtas:
a. U1{(1/2,1/2)(1/3,1/3,1/3)}
b. U1{(1/2,1/2)(1/3,2/3,0)}
c. U1{(3/8,5/8)(2/3,0,1/3)}
d. U1{(1,0)(1/3,1/3,1/3)}
e. U1{(0,1)(1/3,0,2/3)}
Encuentre todos los equilibrios de Nash para este juego.
SOLUCIÓN
Equilibrios de Nash para el juego:
J2
C
D
E
J1 A 0 , 2 1 , 1 2 , 0
B 2,1 3,0 1,2
En el juego no se encuentra ningún equilibrio de Nash
Utilidad esperada
a. U1{(1/2,1/2)(1/3,1/3,1/3)}= 1.5
b. U1{(1/2,1/2)(1/3,2/3,0)}= 1.66
c. U1{(3/8,5/8)(2/3,0,1/3)}= 1.29
d. U1{(1,0)(1/3,1/3,1/3)}= 1
e. U1{(0,1)(1/3,0,2/3)}= 1.33
5. Construya un juego en forma extensiva con el juego del dilema del prisionero, donde los dos
jugadores deben decidir si confesar o no confesar simultáneamente; luego cada uno observa
cual fue la decisión que tomaron y vuelven a decidir simultáneamente por segunda vez. Los
pagos serán simplemente la suma de los pagos correspondientes. Encuentre el equilibrio de
Nash perfecto en subjuegos.
1
C
NC
2
2
C
NC
1
C
1
1
1
C
C
NC
2
C
-6
-6
C
2
NC
-3
-8
C
-8
-3
-4
-4
C
NC
NC
2
NC
NC
2
NC C
-3 0
-8 -10
NC
-5
-5
C
2
C
2
NC
-1 -8
-6 -3
C
2
NC
-5 -10
-5 - 0
NC
C
-6 -4
-1 -4
2
NC
C
-1 -6
-6 -1
NC
-2
-2
Como se puede observar en el anterior juego, el único equilibrio de Nash del mismo es:
6. Considere el siguiente juego en forma extensiva.
J1
A
B
J2
C
J3
D
W
X
J3
Y
8
1
3
J2
Z
4
5
4
3
2
1
5
5
0
E
2
2
1
F
1
3
5
a. Determine cuál es el conjunto de jugadores y estrategias para cada jugador asociados a
este juego. ¿Cuántos subjuegos tiene este juego?
b. Encuentre el juego en forma estratégica equivalente y determine cuales son los equilibrios
de Nash en estrategias puras
c. Encuentre el equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos
SOLUCIÓN
J1 {A, B} J2 {(C, E) (C, F) (D, E) (D, F)} J3 {(W, Y) (W, Z) (X, Y), (X, Z)}
J1
J1
C, E
C, F
D, E
D,F
W, Y
1,3,8
1,3,8
2,1,3
2,1,3
J2
W, Z
5,4,4
5,4,4
2,1,3
2,1,3
J3(A)
X, Y
1,3,8
1,3,8
2,1,3
2,1,3
X, Z
5,4,4
5,4,4
2,1,3
2,1,3
C, E
C, F
D, E
D,F
W, Y
5,0,5
5,0,5
5,0,5
5,0,5
J2
W, Z
5,0,5
5,0,5
5,0,5
5,0,5
J3(B)
X, Y
2,1,2
3,5,1
2,1,2
3,5,1
X, Z
2,1,2
3,5,1
2,1,2
3,5,1
Los equilibrios de Nash de este juego son
{A (C, E) (X, Z)}; {A (D, E) (X, Y)}
7. Represente claramente el siguiente juego y utilice la inducción hacia atrás para encontrar el
equilibrio de Nash perfecto en subjuegos.
Diego y Miguel empiezan con $2 cada uno. En la primera ronda, Diego puede retirarse (R) y
robarle $2 a Miguel, lo que acaba con el juego. Si no se retira, Diego puede cooperar (C) y no
robarle a Miguel, lo que lleva a que se le entregue $1 adicional. Luego, en la segunda ronda
Miguel puede retirarse (R) y robarle $2 a Miguel, lo que acaba con el juego. Si no se retira,
Diego puede cooperar (C) y no robarle a Miguel, lo que lleva a que se le entregue $1
adicional. El juego continua siempre de la misma forma hasta que alguno de los dos
jugadores se retire o hasta que ambos tengan $10.
SOLUCIÓN
D
M
4
0
1
4
D
M
5
1
2
5
D
M
6
2
D
5
6
M
5
1
M
D
M
D
M
D
9
5
6
9
10
6
7
10
11
7
8
11
7
3
12
8
D
4
7
M
8
4
D
5
8
DIEGO (D)
MIGUEL (M)
D (2, 2) M (3, 2) D (3, 3) M (4, 3) D (4, 4) M (5, 4) D (5, 5) M (6, 5) D (6, 6) M (7, 6) D (7,
7) M (8, 7) D (8, 8) M (9, 8) D (9, 9) M (10, 9) D (10,10)
8. Tres legisladores van a votar sobre si deben o no incrementar su salario. El valor del
incremento es 100, pero cada legislador que vota por el aumento incurre en un costo (el
resentimiento del electorado) igual a 50. el resultado se decidirá por mayoría.
a. Dibuje un diagrama de árbol para este juego suponiendo que los legisladores votan
secuencial y públicamente; es decir, el segundo legislador sabe cómo votó el primero y el
tercero sabe cómo votaron los otros dos.
b. Encuentre un equilibrio de Nash para este juego por inducción hacia atrás. Muestre que es
mejor ser primero en votar.
c. Muestre que existe un equilibrio de nash en el cual el tercer legislador vota “NO” sin
importarle lo que los otros dos votaron y ese equilibrio favorece al tercer legislador. ¿Por
qué este equilibrio no se puede encontrar por inducción hacia atrás?
1
I
NI
2
I
NI
3
I
50
50
50
50
50
100
I
50
100
50
NI
3
3
NI
2
I
NI
-50
0
0
3
I
NI
I
100
50
50
0
-50
0
0
0
-50
NI
0
0
0
El único equilibrio de Nash de este juego es:
(I , NI ) ((I , NI )(I , NI ))((I , NI ) (I , NI ) (I , NI ) (I , NI ))
9. Dos jugadores van a negociar cómo repartirse un peso. Primero el jugador 1 le hace una
oferta al jugador 2 que este puede aceptar o rechazar; si el jugador 2 rechaza la oferta,
entonces le hace una contraoferta al jugador 1 que este puede aceptar o rechazar, y así
sucesivamente. Sin embargo, cada vez que pasa una ronda de ofertas y contra ofertas, el
premio se reduce en 0.25. Encuentre el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos para este
juego.
SOLUCIÓN
R
A
0
1
0
0.75
0
0
0.50
0.25
0
0
10. Considere el siguiente juego en forma estratégica
Jugador 2
Piedra
Papel
Tijera
Piedra
1,1
0,2
3,1
Jugador 1
Papel
2,0
0,0
0,1
Tijera
1,3
1,0
2,2
a. Encuentre el equilibrio de Nash en estrategias mixtas de este juego
b. Ahora pensemos el mismo juego pero de forma secuencial, es decir, primero el jugador 1
decide, y luego el jugador 2 observa la decisión del jugador 1 y toma su decisión. Bajo
estas condiciones, ¿cuál es el Equilibrio de Nash Perfecto en subjuegos?
SOLUCIÓN
Jugador 2
r1
r2
1-r1-r2
Piedra
Papel
Tijera
s1
Piedra
1,1
0,2
3,1
Jugador 1
s2
Papel
2,0
0,0
0,1
1-s1-s2
Tijera
1,3
1,0
2,2
U1 ( Pi)  r1  3  3r1  3r2  3  2r1  3r2  3
U1 ( Pa)  2r1
U1 (Ti)  r1  r2  2  2r1  2r2  r1  r2  2
U1 ( Pi)  U1 ( Pa)
 2r1  3r2  3  2r1
 4r1  3  3r2
r2 
 4r1  3
3
U1 ( Pa)  U1 (Ti)
2r1  r1  2
r2  3r1  2
Se pueden cumplir simultáneamente
 4r1  3
 3r1  2
3
 4r1  3  9r1  6
5r1  3
r1 
3
5
1
 3
r2  3     2 
5
5
3 1 1 
El equilibrio de Nash en estrategias mixtas de este juego es:  , , 
5 5 5 
U 2 ( Pi)  s1  3  (1  s1  s2 )  2s1  3s2  3
U 2 ( Pa)  2s1
U1 (Ti)  s1  s2  2  2s1  2s2  s1  s2  2
U1 ( Pi)  U1 ( Pa)
 2s1  3s2  3  2s1
 4 s1  3
 s2
3
U1 ( Pa)  U1 (Ti)
2s1  s1  s2  2
s2  3s1  2
Se pueden cumplir simultáneamente
 4s1  3
 3s1  2
3
 4s1  3  9s1  6
3
5
s2  3s1  3
s1 
3 1 1 
El equilibrio de Nash en estrategias mixtas de este juego es:  , , 
5 5 5 
DIAGRAMA DE ÁRBOL
11. Considere el siguiente juego:
Hombre
Teatro
Fútbol
Mujer
Teatro
0,2
2,1
Fútbol
1,1
3,3
a. Grafique las correspondencias de mejor respuesta para cada jugador
b. Encuentre todos los equilibrios de Nash de este juego
SOLUCIÓN
12. Consideremos el siguiente juego, al que llamaremos “el juego de la verdad”. Hay dos
jugadores llamados 1 y 2, y un director del juego. El director del juego tiene una moneda que
está curvada de tal manera que el lanzarla al aire proporciona “cara” el 80% de las veces (el
sesgo de esta moneda es conocida por los dos jugadores). El director del juego lanza la
moneda al aire, y muestra su resultado únicamente al jugador 1. Este a continuación hace una
declaración al jugador dos sobre el resultado del lanzamiento de almoneda, permitiéndose
únicamente declara “cara” o “sello” sin agregar ningún tipo de comentarios. A continuación,
el jugador 2 que ha oído lo que dice el jugador 1 pero no conoce el resultado del lanzamiento
debe indicar cual fue el resultado, si “cara” o “sello”. Con esto se acaba el juego.
Los pagos se establecen de la siguiente forma: para el jugador 2 las cosas son sencillas,
obtiene US$ 1 si adivina el verdadero resultado del lanzamiento y no recibe nada si no
adivina. Para el jugador 1 las cosas son más complicadas, obtiene US$ 2 si el jugador 2 dice
“cara” y no recibe nada si el jugador 2 dice “sello”, independientemente del resultado del
lanzamiento. Adicionalmente, el jugador 1 obtiene US$ 1 adicional si el jugador 2 adivina
correctamente el resultado del lanzamiento.
Represente esta situación por medio de un diagrama de árbol.
13. Dos empresas ofrecen un puesto de trabajo cada una. Supongamos que las empresas ofrecen
salarios diferentes: la empresa i ofrece el salario wi donde w1  w2  2 w1 . Ahora imaginemos
2
que hay dos trabajadores, cada uno de los cuales solo puede solicitar trabajo en una sola de
las empresas, y toman su decisión simultáneamente. Si solo un trabajador solicita trabajo en
una de las empresas, dicho trabajador obtiene el cargo; y si ambos solicitan trabajo en la
misma empresa, la empresa contrata a uno de ellos aleatoriamente y el otro queda
desempleado. Plantee esta situación como un juego en forma estratégica y encuentre todos los
equilibrios de Nash.
14. Dos individuos deben repartirse dos objetos idénticos e indivisibles. Para llevar a cabo esta
tarea, el mecanismo es el siguiente: uno de ellos debe hacer una oferta sobre cómo repartirse
los bienes, luego, el otro escucha la oferta y debe decir si la acepta o no. Si se acepta la oferta,
se lava a cavo el acuerdo propuesto, en caso los dos se quedan sin nada.
Encuentre los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos e interprete la respuesta. ¿es
conveniente para el jugador 2 comprometerse a no aceptar ofertas injustas?
15. Considere el siguiente juego en forma extensiva.
Empresa 1
N
S
Empresa 2
N
4
0
S
5
6
Empresa 2
N
6
3
S
3
1
a. Determine cuál es el conjunto de jugadores y estrategias para cada jugador asociados a
este juego. ¿Cuántos subjuegos tiene este juego?
b. Encuentre el juego en forma estratégica equivalente y determine cuales son los equilibrios
de Nash en estrategias puras.
c. Encuentre el equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos
d. Ahora suponga que la empresa 2 no puede observar si la empresa 1 jugó “N” o “S”. Con
esta nueva situación realice nuevamente los numerales a, b, y c.
16. Escoja un numero de 1 a 3 y yo trataré de adivinarlo. Usted debe responder con la verdad
“Alto”, Bajo” “Correcto” dependiendo de si el número que yo dije es más alto, más bajo o
correcto respecto al número que usted escogió. Usted debe pagarme $ 1 por participar y
recibirá el número de intentos de adivinar que yo haya tenido que hacer antes de acertar.
Construya un juego en forma extensiva que describa la interacción mencionada y encuentre el
equilibrio de Nash perfecto en subjuegos.