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Tema II : Mecánica Hamiltoniana
Como en Termodinámica, pueden aplicarse transformaciones de Legendre para
tener funciones con variables independientes distintas:
Ejm. F es transformada de Legendre de la energía interna U:
dU = TdS − PdV , sea F = U − PV ⇒ dF = − PdV − SdT
Análogamente,puede definirse otra función H con otras variables independientes
distintas las de la Lagrangiana: (ver pág. 15)
Diferenciando H(q,p,t) se obtendrán 2f ecuaciones diferenciales de primer grado:
Equivalentemente, puede pasarse de H a L:
Ecuaciones de Hamilton. Deducción
La forma más conveniente es por medio del momento canónico
∂L
p=
,
∂ q&
 ∂ 2L

q& = q& ( q, p, t ),  2 ≠ 0 
 ∂ q&

y la función de Hamilton o Hamiltoniana que se define
& − L)
H ( q, p, t ) = ( qp
dH =
q& ( q , p ,t )
≡ E ( q, q& , t ) q& ( q , p ,t )
∂H
∂H
∂H
∂L
∂L
∂L
& + pdq& −
dq +
dp +
dt = qdp
dq −
dq& −
dt ,
∂q
∂p
∂t
∂q
∂ q&
∂t
 ∂L ∂H 
 ∂ q + ∂ q  dq −


∂ L d ∂ L dp
=
=
,
∂ q dt ∂ q& dt

∂H 
&
q
−
dp +


∂p 

Ecuaciones
canónicas de
Hamilton
 ∂H ∂L
+

 dt = 0,
 ∂t ∂t 
 & ∂H
 q = ∂ p ,

 p& = − ∂ H ,

∂q
q, p
Variables
canónicas
∂H
∂L
= −
,
∂t
∂t
Ecuaciones de Hamilton. Notación y comentarios.
(pág. 22)
Nota:Las 2n ecuaciones pueden derivarse del Principio variacional de Hamilton
(modificado) sin imponer que p(t) esté fijo en los instantes finales. (ver pág.23)
(II.1.3 Principio de Hamilton modificado)
t2
S = ∫ L(q, q& , t ) dt
con
q ( t1 ) y q ( t2 ) fijados:
t1
δ S= δ
t2
∫(
t1
t2
= − ∫ ( p& +
t1
t2
t
2
t2
∂H
∂H
&
&
&
p gq − H (q, p, t ) ) dt ≡ − ∫ ( p +
)gδ q dt + ∫ (q −
)gδ p dt + ( p g δ q ) t
1
∂q
∂ p
t1
t1
∂H
∂H
)gδ q dt = 0 ⇒ p& k +
= 0 ⇒
∂q
∂ qk
q&i =
∂ H ( q, p, t )
∂ pi
p& i = −
∂ H ( q, p, t )
∂ qi
Se pueden escribir en notación matricial o simpléctica (II. 1):
 q1

M
 q   qn
η = =
 p   p1
M

 pn




 0 1  ∂H
dη
∂H
⇒
=
J
⋅
=


g
-1
0
dt
∂η

 ∂η



J 2 = − 1 , J T ⋅ J = 1 , ( J T = J -1 = − J )

Para evaluar la derivada temporal de una función u(q,p,t) a lo largo de las
soluciones del sistema hamiltoniano, en el espacio de fases asociado, conviene
formalizar cálculos con el Corchete de Poisson.
II.1.1 Constantes del movimiento. Corchete de Poisson
du
dt
T
 ∂ u  dη ∂ u
=   ⋅ +
 ∂η  dt ∂ t
T
 ∂u
∂H ∂u
=   ⋅ J ⋅
+
∂η ∂ t
 ∂η 
El corchete de Poisson de dos funciones u, v se define:
 ∂u ∂v ∂u ∂v 


−
∂ p i ∂ qi 
i = 1  ∂ qi ∂ pi
n
[ u, v ] q , p = ∑
Entonces:
[u, v ]η
 ∂u 

= 
 ∂η 
T
⋅J⋅
du
∂u
= [ u, H ] q , p +
dt
∂t
Los corchetes fundamentales son:
[qj, qk ] = [pj, pk ] = 0 ;
[qj, pk ] = -[pk, qj ]
=δ
Y las ecuaciones de Hamilton quedan:
jk
∂v
∂η
 q&i = [ qi , H ]

 p& i = [ pi , H ]
o bien
dη
∂H
= J⋅
≡ [η , H ]
dt
∂η
Propiedades (corchete nulo,, antisimetría, linealidad, producto e Identidad de Jacobi):
Aplicado a H , y si u(p,q,t) es una constante del movimiento:
Si u y v son dos constantes de movimiento ¿lo será [u,v]? SÍ
[ H , u] =
∂u
∂t
y de [ H , v ] =
∂v
∂t
d
[ u, v ] = 0
dt
Esta propiedad es un caso particular del llamado Teorema de los
Corchetes de Poisson, que establece: (Sólo ver, no se aplicará)
Si
η (t ,η (t0 ))
da la evolución de un sistema en el espacio de fases, tal
evolución corresponde a un sistema hamiltoniano si , y solo si, para
todo par de funciones dinámicas u(q,p,t), v(q,p,t) de verifica:
d
[u , v] = [u& , v] + [u , v&]
dt
En particular: la condición necesaria y suficiente para que un sistema sea
hamiltoniano es que para todo par de variables canónicas del espacio de fase
se satisfaga
d
dt
[η α ,η β ] = 0 = [η&α ,η β ] + [η α ,η&β ]
Demostración: la condición necesaria, suponer existe H(q,p,t), evaluar la derivada
temporal de [u,v] y aplicar la identidad de Jacobi de los corchetes:
d
∂
[u , v ] = [[u , v ], H ] +
[u , v ] = − [[v, H ], u ] − [[ H , u ], v ] +
dt
∂t
∂u
∂v
[
, v ] + [u ,
]
∂t
∂t
Para la condición suficiente, dado que
d
[η α ,η β ] = 0 para todo par de variables canónicas,
dt
Considerando un sistema general, d(q,p)/dt=(f,g) basta evaluar las derivadas de
los corchetes fundamentales asumiendo ahora que se cumple la condición del
teorema:
∂fj
∂ fi
d
dt
[ qi , q j ] = 0 = [ q&i , q j ] + [ qi , q& j ] = −
∂pj
+
∂ pi
∂ gi ∂ g j
d
& i , p j ] + [ pi , p
&j]=
[ pi , p j ] = 0 = [ p
−
dt
∂qj
∂ qi
d
& j]=
[ qi , p j ] = 0 = [q&i , p j ] + [ qi , p
dt
∂gj
∂ fi
+
∂qj
∂ pi
Con lo que ha de darse que tanto las componentes de f como de g deriven de una
sola función escalar H, tal que se dé la condición de integrabilidad (identidad
de derivadas cruzadas)
fi =
∂H
∂ pi
∂H
gi = −
∂ qi
Dando las ecuaciones de Hamilton con
d
∂H
η α = Jα β
= Fα (η , t )
dt
∂η β
o
d
∂H
∂H
( q, p ) = ( f , g ) = (
,−
) ( notación
dt
∂p
∂q
vectorial)
Transformaciones canónicas. (pág. 24)
La transformación de punto Q=Q(q,t) en el espacio de configuración es un caso
particular de transformaciones más generales (de contraste o contacto) en el
espacio de fases Q=Q(q,p,t) , P=P(q,p,t) permitidas en la formulación de
Hamilton.
Ejm. de transformación local : Problema 17
En general, el sistema transformado no conservará la forma canónica con
un hamiltoniano nuevo H´, si esto se da
con INDEPENDENCIA del H inicial, la transformación se dice canónica.
Pero en general, debe cumplirse:
∑
pi dqi − H dt =
∑
Pi dQi − H ′ dt + dF
o
pi dqi − Hdt = PdQ
i
i − H ´dt + dF ( q, p, Q, P , t ) (suma en índices rep.)
La función generatriz F puede elegirse atendiendo a las variables
que se deseen como independientes, pues en general la
relación anterior vuelve a ecuaciones diferenciales para F.
Se aconseja tomar las dependencias para F en
1) (q,Q) que daría explícitamente p y P
2) (q,P) que daría explícitamente p y Q
3) (p,Q) que daría explícitamente q y P
4) (p, P) que daría explícitamente q y Q.
Pero siempre se da que pdq-Pdq=dF es una diferencial exacta
Para el caso 1) se supone F=F(q,Q,t), q y Q se toman como
independientes, así:
De las que se obtienen Q=Q(q,p,t) primero, luego P(q,Q(q,p,t),t) y
finalmente el nuevo hamiltoniano.
Los otros casos de funciones generatrices básicas están en pág. 24-25 y son
transformadas de Legendre de F1. (ver Goldstein por ejemplo)
O el enfoque siguiente visto en GRADO por el prof. Sanz:
TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
• En la Dinámica Lagrangiana se tiene la libertad de escoger cualquier
sistema de coordenadas generalizadas. Si q es un conjunto de
coordenadas, cualquier transformación puntual reversible Q=Q(q,t) nos
proporciona otro conjunto de coordenadas Q con Lagrangiana
L′ (Q, Q& , t ) = L( q, q& , t ) q = q (Q ,t ) .
d ∂L ∂L
−
= 0,
dt ∂ q& ∂ q
d ∂ L′ ∂ L′
−
= 0,
&
dt ∂ Q ∂ Q
•Una libertad similar existe también en la Dinámica Hamiltoniana.
Consideremos en primer lugar una transformación (independiente del
tiempo) de las variables canónicas antiguas (q,p) a las nuevas variables
(Q,P), de la forma
Q = Q ( q, p ),
P = P( q, p ),
(independiente del tiempo)
11
Imponemos que la transformación retenga la froma general de las
ecuaciones de Hamilton (T. canónica):
q& =
∂H
∂H
, p& = −
,
∂p
∂q
en las nuevas variables canónicas
∂ H′
∂ H′
&
&
Q=
, P= −
,
∂P
∂Q
con la nueva Hamiltoniana H’(Q,P,t), dada por
H ′ (Q, P, t ) = H ( q(Q, P ) , p(Q, P ) , t ) ,
12
• Tª: La transformación es canónica si y solo si,
∂Q∂P ∂Q∂P
−
= [Q, P] = cte. = 1
∂q ∂p ∂p ∂q
el corchete de Poisson, [u,v], de dos funciones u(q,p,t) and v(q,p,t) de las
variables canónicas
[ u, v ] =
∂u ∂v ∂u ∂v
−
,
∂q ∂p ∂p ∂q
 Demostración: Q = Q ( q, p ),
P = P ( q, p ),
∂Q
∂Q
∂Q ∂H ∂Q ∂H
Q& =
q& +
p& =
−
,
∂q
∂p
∂q ∂p ∂p ∂q
∂P
∂P
∂P ∂H ∂P ∂H
P& =
q& +
p& =
−
,
∂q
∂p
∂q ∂p ∂p ∂q
H ′ (Q, P, t ) = H ( q(Q, P ) , p(Q, P ) , t ) ,
∂ H ∂ H′ ∂ Q ∂ H′ ∂ P
=
+
,
∂q ∂Q ∂q ∂P ∂q
∂ H ∂ H′ ∂ Q ∂ H′ ∂ P
=
+
,
∂p ∂Q ∂p ∂P ∂p
∂ H′
∂ H′
&
&
Q=
[Q , P ], P = −
[Q , P ], ⇒
∂P
∂Q
¡Y solo si!
[Q , P ] = 1 .
∂ H′
∂K
∂ H′
∂K
Q& =
[Q , P ] ≡
, P& = −
[Q , P ] ≡ −
, ⇒
∂P
∂P
∂Q
∂Q
∂ 2K
∂ 2K
=
,⇒
∂ Q∂ P ∂ P∂ Q

∂  ∂ H′
∂  ∂ H′

[
Q
,
P
]
=
[
Q
,
P
]
,⇒




∂Q ∂P
 ∂P ∂Q

∂ H ′ ∂ [Q , P ] ∂ H ′ ∂ [Q , P ]
=
, ⇒
∂P ∂Q
∂Q ∂P
∂ [Q , P ] ∂ [Q , P ]
=
= 0,
∂Q
∂P
14
• Función generatriz de una transformación canónica
La propiedad de transformación canónica [Q, P ] =
∂Q ∂P ∂Q ∂P
−
= 1,
∂q ∂p ∂p ∂q
es equivalente a que pdq − PdQ sea una diferencial exacta:
pdq − PdQ = pdq − P (
∂Q
∂Q

∂Q
∂Q
dq +
dp ) =  p − P
dq − P
dp,

∂q
∂p
∂q 
∂p

∂ 
∂Q ∂ 
∂Q
p
−
P
=
−
P
∂ p 
∂ q  ∂ q 
∂ p 
pdq − PdQ = dF ,
F=
∂Q ∂P ∂Q ∂P
−
≡ [Q , P ] = 1 ,
∂q ∂p ∂p ∂q
función generatriz de la transformación
15
 Tipos de funciones generatriz:
a) Tipo 1: F = F1 ( q, Q ),
p=
pdq − PdQ =
∂ F1 ( q, Q )
∂ F ( q, Q )
, P= − 1
,
∂q
∂Q
pdq − PdQ = dF ,
∂ F1
∂F
dq + 1 dQ,
∂q
∂Q
q(Q , P ),
p(Q , P ),
∂ F2
∂ F2
dq +
dP − QdP − PdQ ,
b) Tipo 2: F = F2 ( q, P ) − QP, pdq − PdQ =
∂q
∂P
p=
∂ F2 ( q, P )
∂ F ( q, P )
, Q= 2
,
∂q
∂P
c) Tipo 3: F = F3 (Q , p ) − qp,
q= −
q(Q , P ),
p(Q , P ),
∂ F3
∂ F3
pdq − PdQ =
dQ +
dp − qdp − pdq,
∂Q
∂p
∂ F3 (Q, p)
∂ F (Q, p)
, P= − 3
,
∂p
∂Q
q(Q , P ),
p(Q , P ),
d) Tipo 4: F = F4 ( p, P ) + qp − QP,
pdq − PdQ =
q= −
∂ F4
∂F
dp + 4 dP + qdp + pdq − QdP − PdQ,
∂p
∂P
∂ F4 ( p, P )
∂ F ( p, P )
, Q= 4
,
∂p
∂P
q(Q , P ),
p(Q , P ),
 Generalización
•La transformación Q = Q ( q, p, t ), P = P( q, p, t ), es canónica si y solo si:
[Q, P ] = 1.
En las nuevas variables las ecuaciones de Hamilton toman la forma:
∂ H′ &
∂ H′
&
Q=
, P= −
,
∂P
∂Q
Donde la nueva Hamiltoniana H’ se obtiene a partir de la función
generatriz, para los tipos 1,2,3 y 4.
∂ Fµ 

H′ =  H +

∂
t


, µ = 1, 2,3,4.
( q, p ) − > (Q , P )
17
Demostración
 Principio de Hamilton modificado: δ S = δ
t2
t2
t1
t1
∫ Ldt = δ ∫ ( pq& − H )dt = 0,
• Se toma el nuevo funcional con integrando: Φ ( q, p, q& , p
& , t ) ≡ pq& − H ( q, p, t ),
• La primera variación de la acción para el nuevo funcional con los extremos
fijados para ambos, q y p, tiene como extremales las soluciones de las
ecuaciones de Hamilton (Principio Variacional).
• Al integrando del nuevo funcional se le puede sumar la diferencial (dF) de una
función arbitraria sin afectar al principio variacional.
• Para una transformación que sea canónica el principio variacional se escribirá
en la forma:
t2
δ ∫ ( PQ& − H ′ )dt = 0,
• Tomando:
pdq − Hdt = PdQ − H ′dt + dF
t1
F = F1 ( q, Q, t ), F = F2 ( q, P, t ) − QP, F = F3 (Q, p, t ) + qp, F = F4 ( p, P, t ) + qp − QP,
∂F 

H′ =  H + µ 
∂t 

, µ = 1,2,3,4.
( q , p ) − > (Q , P )
GENERALIZACIÓN A n GRADOS DE LIBERTAD
Ecuaciones canónicas de Hamilton
Sea L( q1 ,K, qn , q&1 ,K, q&n , t )
∂L

p
=
 j ∂ q& ,
j

 j = 1,K, n



 ∂ 2L 
 det 
 ≠ 0 

 ∂ q&i ∂ q& j 


q& j = q& j ( q1 ,K, qn , p1 ,K, pn , t ),
La función de Hamilton (H) o Hamiltoniana se define:


H ( q1 ,K, qn , p1 ,K, pn , t ) =  ∑ q& j p j − L 
 j

q& ( q , p ,t )
≡ E ( q, q& , t ) q& ( q , p ,t )
Se deduce (ver pag. 15 de Mecánica Analítica):
∂H

&
q
=
 j ∂p ,
j

j = 1,K , n.

 p& = − ∂ H ,
 j
∂ qj
∂H
Además:
∂t
= −
q, p
dH ∂ H
=
.
dt
∂t
H = const.
Se comprueba que:
• Si ∂ H = 0
∂t
∂L
.
∂ t q,q&
TRANSFORMACIONES CANÓNICAS:
Sea un sistema con Hamiltoniana H ( q, p, t ) , y las correspondientes
ecuaciones canónicas
q& j =
∂H
,
∂ pj
p& j = −
∂H
,
∂ qj
j = 1,K, n.
 La transformación de variables Q j = Q j ( q, p, t ), Pj = Pj ( q, p, t ), se dice
que es canónica si las ecuaciones del movimiento en las nuevas
variables se pueden escribir de la forma
∂ H′
∂ H′
&
&
Qj =
, Pj = −
,
∂ Pj
∂ Qj
para cierta función H ′ (Q , P, t ) .
j = 1,K, n,
 Teorema: Una transformación es canónica si y solo si los corchetes de
Poisson de las funciones Q j , Pj verifican:
 Q j , Qk  = 0,  Pj , Pk  = 0,  Q j , Pk  = δ jk .
 Cuando la transformación canónica es independiente del tiempo, la
nueva Hamiltoniana es H ′ (Q , P, t ) = H ( q, p, t ) ( q , p )→ ( Q , P ) .
 El corchete de Poisson de dos funciones u, v , de las variable
cánonicas y del tiempo, es independiente de las variables canónicas
utilizadas:
.
 ∂u ∂v ∂u ∂v 
 ∂u ∂v ∂u ∂v 
−
=
∑j  ∂ q ∂ p ∂ p ∂ q  ∑j  ∂ Q ∂ P − ∂ P ∂ Q  = [ u, v] .
j
j 
j
j
j
j 
 j j

Función generatriz de una transformación canónica
 La aplicación del Principio de Hamilton ante una transformación
canónica nos lleva a:
∑
∑
p j dq j − Hdt =
j
Pj dQ j − H ′dt + dF .
j
Un cálculo análogo al efectuado para un grado de libertad nos conduce
a los siguientes cuatro tipos básicos de función generatriz:
∂ F ( q, Q , t )
∂ F ( q, Q , t )
, Pj = − 1
,
a) Tipo 1: F = F1 ( q, Q , t ), p j = 1
∂ qj
∂ Qj
b) Tipo 2:
F = F2 ( q, P, t ) −
∑
Q j Pj ,
pj =
j
c) Tipo 3:
F = F3 (Q, p, t ) −
∑
qj pj,
j
d) Tipo 4:
F = F4 ( p, P, t ) +
∑
∂ F2 ( q, P, t )
∂ F ( q, P , t )
, Qj = 2
,
∂ qj
∂ Pj
qj = −
∂ F3 (Q , p, t )
∂ F (Q , p, t )
, Pj = − 3
,
∂ pj
∂ Qj
( q j p j − Q j Pj ), q j = −
j
∂ Fµ 

H′ =  H +

∂
t


∂ F4 ( p, P, t )
∂ F ( p, P, t )
, Qj = 4
,
∂ pj
∂ Pj
, µ = 1,2,3, 4.
( q, p ) − > (Q , P )
21
Nota: probar que una transformación local , probl. 17, puede obtenerse de F=f(q)P
¿sólo de este tipo?
De Goldstein:
Forma simpléctica de las transformaciones canónicas (TC). Como
[ u, v ]η
T
 ∂u 
 ∂u 
∂v
∂v
= 
⋅
J
⋅
⇔
u
,
v
=
⋅
J
⋅
[
]

 αβ

η
∂
η
∂
η
∂
η
∂η β


α 

Tomando un cambio de variables (reducido)
en (7)
ξ = ξ (η )
dξ
∂H
∂H
= M ⋅ η& = M ⋅ J ⋅
= M ⋅ J ⋅ MT ⋅
dt
∂η
∂ξ
∂ξi
donde M ij =
para que sea canónica: ξ = ξ (η )
∂η j
M ⋅ J ⋅ M T = J= M T ⋅ J ⋅ M ⇒ det(M)=1.
Para dos variables dinámicas, y con el cambio se ve que
el CORCHETE de Poisson es INVARIANTE ante transformaciones
canónicas (es condición necesaria y suficiente, también para
transformaciones dependientes de t, de contacto) ξ = ξ (η , t )
(conserva volumen en espacio de fases ver II.1.3. Y II2.2.3)
En particular, los corchetes elementales son invariantes en TC y para un
grado de libertad [Q,P]=1.
Ejm. Oscilador armónico. Problema 60
Teoría de Hamilton-Jacobi
¿Existe una transformación canónica tal que H´=0? SÍ.
El problema dinámico de
2N ecuaciones diferenciales con t como variable independiente, PASA a otro con
una ecuación diferencial en parciales para UNA función S (variable
dependiente) y N+1 variables independientes, las q y t.
Partiendo de
∂F
H ´(Q, P, t ) = 0 = H (q, p, t ) +
∂t
Q& k = 0 y P&k = 0
daría
(las Q y las P serían constantes, sus valores en cierto t0 )
Tomando una Función generatriz del tipo 2, en (q,P,t)
S = F2 ( q, P, t ) = F2 (q1 ,..., qN , P1 ,...., PN , t )
∂ F2
∂ F2
pk =
y Qk =
∂ qk
∂ Pk
Sustituyendo los argumentos p de H por su expresión en S(q,P,t) se obtiene una
ecuación en derivadas parciales para función de Hamilton S , función que ahora
depende de las N variables q y de t
∂S
∂S
, t) +
=0 ;
∂q
∂t
S = S (q1 ,..., qN , P1 ,...., PN , t ), las Pj son constantes.
H (q,
Ecuación de primer orden para S para la que existen N+1 constantes de
integración (las q(to) y t=to). Se ve que S es la INTEGRAL DE ACCIÓN (pág.28).
Si H no depende del tiempo,
tiempo puede ponerse:
La resolución del problema se deja en manos de la función generatriz y de la
transformación canónica en cuestión.
cuestión
La elección de las constantes asociadas a las P es libre para cada problema, la
flexibilidad en la elección de las N constantes (requiere habilidad) permite dar
la solución; las constantes se ajustarán a posteriori con las condiciones iniciales
Como la derivada de S respecto a t es:
dS ( q, P, t ) ∂ S
∂S & ∂S
=
q&k +
Pk +
= q&k pk + 0 − H = L ⇒
dt
∂ qk
∂ Pk
∂t
t
S=
∫ L(q(τ ), q& (τ ),τ )dτ
es la integral de acción.
t0
Para H independiente de t la función generatriz puede descomponerse como
S=W(q,P)-E t
Es un caso particular de separación de variables, pues E y t son funciones
canónicas conjugadas (como p y q). Ver Secc. II3.3.
H ( q, ∂ W / ∂ q ) = E
(ecu. de hamilton para la acción reducida)
¿Qué ocurre si interpretamos en este caso la propia W como una generatriz tipo
F2?
W (q, P ) = F2 (q, P ) ⇒ H ' = E ≠ 0
Ahora podemos interpretar la propia E como una de las variables P, la
número 1, por ejemplo.
H ' = E = P1 ⇒ Q&1 = 1 ⇒ Q1 = t + cte. y
Q& k = 0 (k = 2,3,..., N )
Y todas las P son constantes (las Q son cíclicas):
P&k = 0 ⇒ Pk = P0 k (cte.) = α
k
con
P1 = E
Qk = β k , k = 2, 3,...
Pk = α
k
, α1= E
Y se tienen
∂ W ( q, E , α 2 ...α N )
= βi
∂α i
(i = 2,3,...)
Ejm. De clase. Partícula libre bajo los dos enfoques, caso particular de:
Separación de Variables.II.3.3 Sistemas separables.
Si existe al menos un conjunto de variables generalizadas que dan para el sistema
particular un hamiltoniano del tipo: (pág.30)
H ( q, p ) =
n
∑
k=1
H k (qk , pk ) ⇒ H k ( qk ,
∂ Wk
)= α
∂ qk
k
( N ecuaciones unidimensionales)
El problema puede ser de variables separables para unas coordenadas generalizadas y
no para otras. A veces hay que manipular la forma de escribir H. VER Ejm.
Problema de Kepler pag. 30 y 31
Diagramas de fases
(en sistemas hamiltonianos)
Variables Acción-Ángulo (II.3.3) 1)
Caso de un grado de libertad.
Supongamos un sistema hamiltoniano de un grado de libertad con p y q funciones
periódicas en t . Busquemos una transformación canónica tal que el
hamiltoniano nuevo sea H(I)
(q, p) → (ϕ , I ) ≡ (Q, P)
La variable I será una constante del movimiento y las ecuaciones serán:
∂H
P& = I& = −
= 0
∂ϕ
Entonces
y
& = ϕ& = ∂ H = ω ( I ) una cte.
Q
∂I
ϕ = ϕ 0 + ω t = ω (t − t0 )
buscando función generatriz tipo 1, F1 ( q, Q =
dW ´= pdq − Idϕ
ϕ ) = W ´(q, ϕ )
( diferencial exacta )
Tal función existe , y es periódica en la variable angular (al suponer periódicas p y
q) puede definirse la variable de acción I (tiene unidades de H t -energía por
tiempo- como la integral de acción)
Ñ∫ dW ´= 0 =
Ñ∫
2π
pdq − I ∫ dϕ
0
⇒ I=
1
2π
Ñ∫ pdq
Extensión a sistemas de n grados de libertad (II.3.4)
Es posible la representación acción-ángulo para sistemas finitos (acotados) y que
sean de variables separables en al menos un conjunto de variables generalizadas.
De W =
n
∑
i= 1
Wi (qi ; α 1 , K , α n ) se pasa a → W =
con las α obtenidas despejándolas de
∂ W ∂ Wi
pi =
=
∂ qi
∂ qi
y
1
2π
∂W
ϕi =
=
∂ Ii
I i (α ) =
n
∑
i= 1
Wi (qi ; I1 , K , I n )
Ñ∫ pi dqi
n
∑
∂ W j (q j ; I1 , K , I n )
∂ Ii
j= 1
Y de las ecuaciones del movimiento para el nuevo H'=H(I) se tienen:
I i = cte. ,
ϕ i = ω it + ϕ i0 ,
(90)
En cada par (qi,pi) pueden darse los casos de libración (caso univaluado) o de
rotación (qi multivaluada). La variación de la i-ésima variable-ángulo con
respecto a una qj, dejando las demás constantes es:
∆ jϕ i =
∂ pj
Ñ∫ ∂ I
i
dq j =
∂
∂ Ii
Ñ∫
p j dq j =
∂
2π I j = 2π δ i j
∂ Ii
Independiente de las demás, luego la variable-ángulo es monótona y tras
un m ciclos varía
∆ ϕ i = 2π mi
Pero
no se asegura la T-periodicidad del sistema ni en el caso de que
todas las (q,p) sean periódicas y cada una con periodo Ti.
Razonando como en el caso de un grado de libertad, se definirían q'i variables. Las
nuevas q' (o bien q, p ó una F(q,p) cualquiera) admiten desarrollo en series de
Fourier
+∞
∑
qj =
j1 , j2 ,K, jn = − ∞
+∞
∑
j1 , j2 ,K, jn = − ∞
a j1 , j2 ,K, jn exp { i ( j1ϕ 1 + L + jnϕ n )} =
b j1 , j2 ,K, jn exp { i ( j1ω 1 + L + jnω n )t}
El sistema será periódico bajo ciertas condiciones, no basta que lo sea en cada
variable: periódico sólo si las frecuencias son conmensurables,
ωi
ki
=
ω j kj
con los k enteros para todo par i , j (frecuencias conmensurables)
En este caso hay n-1 relaciones (de resonancia) entre vectores de enteros k y
frecuencias del tipo
n
r
r
k ⋅ω ≡
∑
i= 1
ki ω i = 0
y el movimiento es periódico (órbita cerrada en espacio de fases) y el sistema se
dice completamente degenerado (pág. 35) y si no hay ninguna relación como la
anterior, se dice sistema n veces multiperiódico. Puede haber sistemas com m relaciones
de resonancia (m veces degenerado) y (n-m) veces multiperiódico.
Teorema de Liouville de la integrabilidad (II.3.4)
Si de un sistema de n grados de libertad con hamiltoniana H(q,p) se conocen n
constantes del movimiento F1, F2,...,Fn independientes y en involución mutua
([Fi,Fj]=0) entonces el sistema queda resuelto con n cuadraturas.
De las n relaciones F j (q, p ) = α j ⇒ g j ≡ p j − f j (q, α ) = 0 y
∂fj
∂f
 g k , g j  =
− k = 0, las g en involucion, y
∂ qk ∂ q j
dW (q, α ) =
n
∑
k=1
pk dqk ≡
n
∑
k=1
f k (q, α ) dqk es una diferencial exacta
La función W puede tomarse como función de Jacobi al ser integral de la ecuación
de Hamilton-Jacobi, resolviendo el problema:
H (q1 ,K , qn , f1 ,K , f n ) = α 1 ⇒ H ′ ≡ H = α 1 = P1
y
Q1 = t + β 1 =
∂ W ( q, α )
∂ W ( q, α )
y Qj = β j =
, j = 2,K , n
∂α 1
∂α j
Ejm. Problema 29. (Ver problemas de, Hamilton-Jacobi, del 19 al 25 y 28)
En este caso existe la función W (pues H es de variables separables) que depende de tres
constantes de separación que son las F anteriores y que pueden tomarse como los
momentos generalizados nuevos P.
W ( r , θ , z , α 1 = F1 , α 2 = F2 , α 3 = F3 ) = α 2θ + R ( r ) + Z ( z )
⇒ H ' = α 1 , Q1 = t + β 1 , Q2 = β 2 =
∂W
∂α 2
...
Problema 54.
Pero la F no es única, puede ser también la F3 básica.
F3 ( p, Q = x, t ) = − pQ exp(− λ t / 2)
Problema 18: usar
∇
R
rk
r r k− 2
R = kR R