Aritmética de los números enteros

Aritmética
de los números
enteros
José Luis Ruiz Muñoz
1 crédito
P00/75004/00190
 FUOC • P00/75004/00190
Índice
Introducción............................................................................................... 5
Objetivos ...................................................................................................... 6
1. El anillo de los números enteros ...................................................... 7
2. Divisibilidad .......................................................................................... 9
2.1. La relación de divisibilidad ................................................................ 9
2.2. El máximo común divisor ................................................................. 12
2.3. El algoritmo de Euclides .................................................................... 14
2.4. El algoritmo de Euclides extendido ................................................... 18
2.5. El mínimo común múltiplo .............................................................. 20
3. Ecuaciones diofánticas ....................................................................... 22
4. Números primos y factorización de enteros ................................. 25
5. Congruencias de números enteros ................................................... 30
5.1. La relación de congruencia ................................................................ 30
5.2. Clases de congruencias ...................................................................... 33
6. Anillos de enteros modulares............................................................ 35
6.1. Operaciones con clases ...................................................................... 35
6.2. Clases invertibles ............................................................................... 36
6.3. La función de Euler............................................................................ 38
6.4. Teoremas de Fermat y de Euler .......................................................... 42
6.5. Pruebas de divisibilidad ..................................................................... 44
Resumen....................................................................................................... 46
Actividades complementarias................................................................ 47
Ejercicios de autoevaluación .................................................................. 47
Solucionario................................................................................................ 49
Glosario ........................................................................................................ 55
Bibliografía................................................................................................. 56
Aritmética de los números enteros
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Introducción
Este módulo está dedicado a la aritmética de los números enteros. Lo empezamos recordando las nociones básicas de los enteros que utilizamos a lo largo
del módulo. A continuación, estudiamos los conceptos de divisor y múltiplo
y las propiedades de la relación de divisibilidad, entre las cuales destaca el teorema de la división entera, del que se deducen muchas de las propiedades de
los enteros que después se estudian.
Introducimos el máximo común divisor, estudiamos con detalle sus propiedades
más interesantes y damos un método, el algoritmo de Euclides, para su cálculo.
Este algoritmo es un punto clave en muchas de las cuestiones que siguen. Acabaremos esta sección con el estudio del mínimo común múltiplo y su cálculo.
A continuación hacemos un interludio para estudiar las ecuaciones lineales
con dos variables y coeficientes enteros, porque están estrechamente relacionadas con el algoritmo de Euclides (la resolución efectiva en los enteros de estas ecuaciones utiliza una versión ampliada de este algoritmo).
Después dedicamos un momento al estudio de los números primos y demostramos el teorema fundamental de la aritmética o teorema de la factorización
única de los enteros como producto de primos.
En el apartado dedicado a las congruencias, definimos este concepto y demostramos sus propiedades. Como veremos, es un concepto muy útil y, al mismo
tiempo, tiene una notación clara y cómoda, muy parecida a la relación de
igualdad.
Continuamos con los anillos de enteros modulares y la forma de operar con
los mismos: suma y producto de clases, cálculo de la clase inversa de una clase
invertible y cálculo de la función de Euler.
Acabamos el módulo viendo algunas aplicaciones de las congruencias.
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Objetivos
Los contenidos de este módulo introducen al estudiante en los conceptos básicos de la aritmética de los números enteros y la algorítmica involucrada. Una
vez trabajados los contenidos de este módulo didáctico, el estudiante debe estar preparado para:
1. Entender los conceptos de divisibilidad, de máximo común divisor y mínimo común múltiplo y utilizar el algoritmo de Euclides.
2. Saber resolver las ecuaciones diofánticas lineales con dos variables.
3. Familiarizarse con la noción de congruencia y con las operaciones básicas
con congruencias.
4. Calcular en los anillos de enteros modulares: operaciones con clases.
5. Saber calcular la función de Euler y conocer sus utilidades.
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1. El anillo de los números enteros
En este apartado presentamos el conjunto de números enteros y mencionamos los hechos y las propiedades básicas que utilizamos más adelante. Supongamos un conocimiento, aunque sea intuitivo, de lo que es un número entero.
A continuación expresamos con precisión cuáles son las propiedades básicas
que satisfacen los números enteros, en las que basamos los estudios de divisibilidad que haremos en apartados posteriores.
Representaremos con Z el conjunto de los números enteros:
Z = { 0, ± 1, ± 2, … }
El conjunto de los números naturales:
N = {0, 1, 2, … }
es un subconjunto de Z y es, por definición, el conjunto de los números enteros positivos.
Los números enteros se pueden sumar y multiplicar. El resultado de la suma y
de la multiplicación de dos enteros es otro entero; es decir, la suma y el producto son operaciones binarias internas en el conjunto Z.
La terna (Z, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad.
Con esta frase queremos decir que la suma satisface las propiedades siguientes:
•
Propiedad asociativa: si a, b, c ∈ Z, entonces a + (b + c) = (a + b) + c.
•
Propiedad conmutativa: si a, b ∈ Z, entonces a + b = b + a.
•
Existencia de elemento neutro: si a ∈ Z, entonces 0 + a = a + 0 = a.
•
Existencia de elemento inverso: si a ∈ Z, entonces a+ ( −a) = 0.
Y que el producto satisface las propiedades siguientes:
•
Propiedad asociativa: si a, b, c ∈ Z, entonces a(bc) = (ab )c.
•
Propiedad conmutativa: si a, b ∈ Z, entonces ab = ba.
•
Existencia de elemento neutro: si a ∈ Z, entonces 1 · a = a.
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Y que, además, hay una propiedad adicional que relaciona la suma y el producto; nos referimos a la propiedad distributiva:
•
Propiedad distributiva: si a, b, c ∈ Z, entonces a(b + c ) = ab + ac.
En general, en Z no hay inversos respecto del producto; sólo los enteros ±1 los
tienen. A pesar de ello, el producto satisface la propiedad siguiente:
•
Ley de cancelación: si a, b, c ∈ Z satisfacen a · c = b · c y c ≠ 0, entonces
a = b.
Gracias a estas propiedades, es posible resolver en el anillo de los enteros las
ecuaciones del tipo a + x = b , con a y b enteros.
En Z tenemos definida una relación de orden total : si a y b son enteros, entonces diremos que a<b si el entero b – a es un entero positivo; es decir:
a < b ⇔ b – a> 0⇔ b –a ∈ N
Las propiedades básicas referentes a la relación de orden en los enteros son las
siguientes:
1) Ley de tricotomía: si a ∈ Z, entonces exactamente una de las relaciones
siguientes es cierta: a< 0, a = 0 o a > 0.
2) Clausura de los enteros positivos: si a, b ∈ Z son enteros positivos, entonces a + b y a · b son enteros positivos.
3) Principio de la buena ordenación: todo conjunto no vacío de enteros positivos tiene un primer elemento o elemento mínimo; es decir, un elemento
menor o igual que todos los demás miembros del conjunto. De forma equivalente, cualquier subconjunto de N tiene un elemento mínimo. Diremos que el
conjunto N es un conjunto bien ordenado.
Observemos que el conjunto de enteros no es un conjunto bien ordenado. Por
ejemplo, el subconjunto de los enteros negativos no tiene un elemento mínimo.
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2. Divisibilidad
En este apartado estudiaremos la divisibilidad de números enteros, así como
sus propiedades más importantes y útiles para cálculos futuros.
2.1. La relación de divisibilidad
Sean a, b ∈ Z números enteros. Diremos que a divide b si hay un único
entero x ∈ Z tal que ax = b. Es decir, si la ecuación ax = b tiene solución
entera única para x.
Ejemplo 1
Tenemos que 16 | 64, pero 16 | 50.
Ejemplo 2
El 0 no divide ningún entero: en efecto, si 0|b, entonces habría un único entero tal que
b = 0 · x. Pero esto implicaría que b = 0, y entonces la ecuación 0 = 0 · x no tendría una única
solución x. Por lo tanto, concluimos que 0 | b, para todo entero b. Es decir, no se puede dividir por 0. Por lo tanto, en la definición anterior podemos excluir la posibilidad a = 0.
La proposición 1 refleja las propiedades elementales de la relación de divisibilidad.
Proposición 1
1) 1 | a, para todo a ∈ Z.
2) a | 0, para todo a ∈ Z, a ≠ 0.
3) La relación de divisibilidad es reflexiva: a | a.
4) La relación de divisibilidad es transitiva: si a | b y b | c, entonces a | c.
5) Linealidad: si a | b y a | c, entonces a | bx + cy, para todo x, y ∈ Z.
Demostración
1) Tenemos: a = 1 · a.
2) En efecto: 0 = a · 0.
Otras notaciones
Si a divide b, también diremos
que a es un divisor de b o que
b es un múltiplo de a o que b
es divisible por a. Lo denotaremos por a | b. Si a no divide b,
escribiremos a | b.
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3) Se satisface: a = a · 1.
4) Supongamos que a | b y que b | c. Esto quiere decir que hay enteros únicos
x e y tales que:
b = ax y c = by.
Si multiplicamos la primera igualdad por y, obtenemos:
c = by = axy, donde xy ∈ Z porque x e y ∈ Z.
Por lo tanto, a | c.
5) Supongamos que a | b y que a | c. Entonces tenemos enteros s y t tales que
verifican las condiciones siguientes:
b = as y c = at.
Si multiplicamos la primera igualdad por un entero x y la segunda por un entero y y las sumamos, obtenemos:
bx + cy = asx + aty = a(sx + ty), donde sx + ty ∈ Z.
Por lo tanto, a | bx + cy.
Actividad
1. Demostrad de forma análoga a como lo acabamos de hacer las propiedades que presentamos a continuación:
a) Si a, b ∈ Z, entonces a | b ⇔ ±a | ±b.
b) Si a, b ∈ Z y a | b, entonces ac | bc, para todo c ≠ 0
c ) Si a, b, c ∈ Z y ac | bc y c ≠ 0, entonces a | b.
d) Si a, b ∈ Z y a | b y b ≠ 0, entonces |a| ≤ |b|.
e ) Si a, b ∈ Z y a | b y b | a, entonces |a| = |b|.
f) Si a, b ∈ Z y a | b, entonces b
-- b.
a
Teorema 1: teorema de la división entera
Si a ≥ 0 y b > 0 son enteros dados, entonces existen q y r, enteros únicos,
que satisfacen:
a = bq + r
q≥0
0 ≤ r < b.
Los enteros q y r se llaman, respectivamente, el cociente y el residuo de
la división entera de a entre b.
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Demostración
1) Existencia de q y de r
Aplicaremos el principio de la buena ordenación en el conjunto:
S = { a – b x: x ≥ 0, a – bx ≥ 0 }.
Por lo tanto, necesitamos saber que S es un conjunto no vacío formado por
enteros positivos. Podremos deducir que S tiene un elemento mínimo (que
será el residuo r que buscamos).
Se satisfacen las siguientes propiedades:
a) S ≠ ∅, ya que a = a – b · 0 ∈ S y a ≥ 0.
b) Todo elemento de S es mayor o igual que 0 (por definición de S).
Por lo tanto, por el principio de la buena ordenación, S tiene un primer elemento r ∈ S. Este elemento es de la forma:
r = a – bq ≥ 0
para cierto entero q ≥ 0. Debemos darnos cuenta de que, además, r < b. Si fuese
r ≥ b, entonces r – b ≥ 0 y, por lo tanto:
r′ = r – b = a – b q – b = a – b ( q + 1 ) ≥ 0 .
Como, además, q + 1 ≥ 0 porque q ≥ 0, tendríamos que r′ ∈ S. Pero es fácil ver
que, en esta situación, r′ < r (porque b > 0). Es decir, el conjunto S tendría un
elemento mayor o igual que 0 y menor que r y esto no es posible, ya que r es
el elemento mínimo de S. Tenemos demostrada, entonces, la existencia de enteros q y r tales que:
a = bq + r,
q ≥ 0,
0 ≤ r < b.
2) Unicidad de q y de r
Sean q′ y r′ dos enteros que satisfacen las condiciones del teorema. Entonces,
restando las siguientes igualdades:
a = bq + r
a = bq′ + r′
obtenemos:
0 = b(q–q′)+(r–r′), es decir, r′– r = b (q–q′).
Puesto que r es el mínimo de S , resulta que r ≤ r′, y como, además, b>0, deducimos que q – q′ ≥0; pero r′–r ≤r′<b; por lo tanto, b (q–q′)<b y q–q′<1. Sin embargo, 0≤q–q′≤1 y, por lo tanto, q = q′ y también r = r′.
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En el teorema anterior hemos supuesto que el entero b era positivo y el entero
a era positivo o nulo. Hay una versión de este teorema donde no es necesario
hacer estas hipótesis. La enunciamos en forma de corolario del teorema de la
división entera.
Corolario 1
Sean a y b ≠ 0 enteros cualesquiera. Entonces hay unos enteros únicos
q y r tales que:
0≤r< b .
a = bq + r
Ejemplo 3
• Si a = 741 y b = 15, tenemos q = 49 y r = 6:
741 = 15 · 49 + 6.
• Si a = 741 y b = –15, entonces:
741 = (−15) · (−49)+6.
• Si a = –741 y b = 15:
−741 = 15 · (−50)+9
• Si a = –741 y b = –15, obtenemos:
−741 = (−15) · 50 + 9
2.2. El máximo común divisor
En este subapartado estudiamos el concepto de máximo común divisor de un
conjunto finito de enteros, así como sus propiedades básicas.
Un número d es divisor común de un conjunto de enteros si d divide cada
Ejemplo 4
Los divisores comunes de los
enteros 24 y 60 son ±1, ±2, ±3,
±4, ±6, ±12.
elemento del conjunto.
Sean a 1, ..., an números enteros. Un número entero d es el máximo común divisor de los enteros a1, ..., an si, y sólo si, d satisface las propiedades siguientes:
1) d es un divisor común de los enteros a 1, ..., an;
2) si d′ es un divisor común de estos enteros, entonces d′ divide a d;
3) d es estrictamente positivo.
Denotaremos como mcd(a1 ..., a n) el máximo común divisor de los números enteros a 1, ..., a n.
Ejemplo 5
El máximo común divisor
de los enteros 24 y 60 es 12:
mcd (24, 60) = 12.
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Una definición básica que utilizaremos durante todo este módulo didáctico es
la de números primos entre sí.
Dos números enteros a y b son primos entre sí si, y sólo si, los únicos
divisores comunes de a y de b son ± 1. Es decir, si el máximo común divisor de a y b es 1.
De las definiciones anteriores se deducen los hechos siguientes:
1) El máximo común divisor de un conjunto finito de enteros es único.
En efecto, si d 1 y d 2 son dos posibles candidatos a máximo común divisor, entonces, por la propia definición, d 1 | d 2 y también d 2 | d 1. Por lo tanto, según
la actividad 1, tenemos que |d 1| = |d2| y, puesto que los dos son enteros positivos, será d 1 = d 2.
2) Recordemos que si a | b, entonces ±a | ±b (observad la actividad 1). Es decir,
que un número entero divida otro no depende de los signos de los enteros involucrados. Puesto que, además, el máximo común divisor es positivo, tenemos las igualdades siguientes:
mcd ( a,b ) = mcd (−a,b) = mcd (a,−b) = mcd (−a,−b).
Por lo tanto, en el momento de calcular el máximo común divisor de dos o
más enteros podemos suponer, siempre que nos convenga, que los enteros son
positivos.
3) Si a y b ≠ 0 son enteros tales que b | a, entonces cualquier divisor de b también lo será de a. Por lo tanto, los divisores comunes de los dos números son
los divisores de b y el máximo común divisor de a y de b es el valor absoluto
de b (recordemos que el máximo común divisor es positivo, por definición).
Resumiendo:
b ≠ 0, b a ⇒ mcd ( a , b ) = b .
4) Si d = mcd(a,b ), entonces podemos escribir a = da′ y b = db ′ y los enteros a′
y b′ son primos entre sí.
En efecto, d es divisor común de a y de b. Además si d′ | a′ y d′ | b′, entonces dd′
sería un divisor común de a y de b y, por lo tanto, dd′ | d, ya que d es el máximo
común divisor. Sin embargo, entonces d′ = 1. De este modo, hemos demostrado:
d = mcd(a,b)⇒a = da′, b = db′, y mcd(a′,b ′) = 1.
La propiedad que enunciamos y demostramos a continuación es la base de
todo el algoritmo de Euclides que estudiaremos en el subapartado siguiente.
Ejemplo 6
Los enteros 14 y −27 son
primos entre sí; es decir:
mcd (14, −27) = 1.
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Proposición 2
Si a y b son enteros cualesquiera, entonces:
mcd (a,b) = mcd (b,a−b).
Demostración
Pongamos d 1 = mcd(a,b) y d 2 = mcd (b, a –b). Veremos que d 1 | d 2 y que d 2 | d 1.
Puesto que los dos son enteros positivos, deduciremos que d1 = d2.
•
Veamos, en primer lugar, que d 1 | d 2:
Tenemos que d 1 | a y d1 | b. Por lo tanto, por la propiedad de linealidad de la
proposición 1, d 1 | a – b. Es decir, d 1 | b y d 1 | a – b y, como d 2 = mcd (b, a – b ),
concluimos que d 1 | d 2.
•
Recíprocamente, tenemos que d 2 | b y d 2 | a – b. Por lo tanto, por la misma
propiedad mencionada anteriormente, tendremos que d 2 | a. Es decir, d2 | a
y d 2 | b y, por lo tanto, d2 | d 1.
2.3. El algoritmo de Euclides
Para encontrar de forma efectiva el máximo común divisor de dos números
enteros, podemos aplicar la propiedad anterior, proposición 2, tantas veces
como sea necesario. De entrada, nos es posible suponer que los números a y b
son positivos y que a ≥ b. Entonces podemos restar de a el entero b tantas veces
como convenga, siempre que el resultado sea positivo. Por este motivo, es lo
mismo que efectuar la división entera de a entre b. Mediante el teorema de la
división entera, podemos encontrar enteros únicos q y r tales que:
a = bq + r,
q ≥ 0,
0 ≤ r < b.
Entonces, el máximo común divisor de a y b coincide con el máximo común
divisor de b y r. El algoritmo de Euclides consiste básicamente en repetir este
proceso hasta que encontremos una división exacta (es decir, una división con
residuo nulo).
Ejemplo 7
Encontremos el máximo común divisor de los enteros 62 y 24. Por la proposición 2 y las observaciones que hemos hecho en el párrafo anterior, tenemos:
mcd (62,24) =
=
=
=
=
=
mcd
mcd
mcd
mcd
mcd
2.
(24,62 − 2 · 24) = mcd (24,14)
(14,24 − 1 · 14) = mcd (14,10)
(10,14 −1 · 10) = mcd (10,4)
(4,10 − 2 · 4) = mcd (4,2)
(2,4 −2 · 2) = mcd (2,0)
Euclides (s.
IV -III
aC)
Toda la gran obra de Euclides
en geometría y aritmética ha
sobrevivido al paso del tiempo.
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Enunciamos a continuación el algoritmo de Euclides con precisión e, inmediatamente después, una propiedad muy importante que satisface el máximo común divisor de dos números enteros, la identidad de Bézout.
Esta propiedad consiste en que el máximo común divisor de dos enteros se
puede escribir como combinación de los enteros en cuestión. Una versión ampliada del algoritmo de Euclides nos permitirá calcular al mismo tiempo el
máximo común divisor y los coeficientes de la combinación.
Teorema 2: algoritmo de Euclides
Sean a ≥ 0 y b >0 números enteros. Aplicando el teorema de la división
entera sucesivas veces, obtenemos el esquema siguiente:
q1 ≥ 0 ,
0 ≤ r1 < b
b = r1 q 2 + r 2 ,
q2 ≥ 0 ,
0 ≤ r2 < r1
…
a = bq 1 + r 1 ,
r n – 2 = rn – 1 q n + r n , q n ≥ 0 ,
0 ≤ rn < rn – 1
rn – 1 = r n q n + 1
hasta que la división de un residuo entre el anterior sea exacta. En ese caso,
el máximo común divisor de a y b es el último residuo no nulo. Es decir:
mcd (a,b ) = mcd (b,r1) = mcd (r1,r2 ) = ... = mcd (r k+1 ) = r n.
Una propiedad relacionada estrechamente con el algoritmo de Euclides es la siguiente (de hecho, las demostraciones respectivas se hacen simultáneamente).
Teorema 3: identidad de Bézout
Si a y b ∈ Z y d = mcd( a, b), entonces existen enteros x e y tales que:
d = ax + by.
Es decir, el máximo común divisor de dos números enteros es una combinación lineal con sus coeficientes enteros.
Demostraciones simultáneas del algoritmo de Euclides y de la identidad
de Bézout
En primer lugar, observamos que en la aplicación del algoritmo de Euclides
siempre se obtiene un residuo nulo, ya que los residuos forman una sucesión
estrictamente decreciente de enteros mayores o iguales que cero.
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Sea r n el último residuo no nulo obtenido al aplicar el algoritmo de Euclides a
los enteros a≥0 y b>0. Queremos ver que rn = mcd (a,b) y que hay enteros x e
y tales que rn = ax + by. Para demostrar esto, aplicamos el principio de inducción sobre el número de divisiones; es decir, consideramos la propiedad P n siguiente: el residuo rn obtenido después de n divisiones satisface r n = mcd(a,b)
y hay x, y ∈ Z tales que rn = ax + by.
1) Veamos que la propiedad P0 es cierta:
a = bq ⇒ b a ⇒ b = mcd ( a , b )
b = a ⋅ 0 + b ⋅ 1.
2) Demos ahora el paso de la inducción. Supongamos que aplicando el algoritmo de Euclides en a y b obtenemos, después de n + 1 pasos, un residuo nulo:
a = bq 1 + r 1
b = r1 q 2 + r2
…
r n – 1 = rn q n + 1 + r n + 1
r n = r n + 1q n + 2
Si olvidamos la primera igualdad, podemos suponer que hemos aplicado el algoritmo en b y en r 1, y hemos acabado en n pasos.
Por hipótesis de inducción, podemos concluir que:
r n+1 = mcd (b,r1)
y que existen x′ e y ′ ∈ Z:
r n + 1 = b x′ + r 1 y ′
Teniendo en cuenta todo esto y que r1=a – bq 1, resulta:
r n + 1 = b x′ + r 1 y′ = bx ′ + ( a – bq 1 )y ′ = ay ′ + ( x′ – q 1 y′ )b
y si hacemos x = y′ e y = x′ – q1y′, obtenemos la identidad de Bézout para a y b.
Veamos ahora que rn+1 = mcd(a,b). Como rn+1 = mcd(b,r1), resulta que rn+1|b, y
por lo tanto rn+1|bq1, y r n+1|r1. Por otro lado, puesto que r1 = a – bq 1, tenemos
que rn+1|r 1 + bq 1 = a. Es decir, r n+1 es un divisor común de a y b. Finalmente, si
Aritmética de los números enteros
El principio de inducción
Para demostrar que una propiedad Pn es válida para todos
los valores naturales de n, daremos dos pasos:
1. Verificar que P 0 se cumple
2. Demostrar que de la validez
de Pn se deduce la de Pn+ 1.
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d es un divisor común positivo de a y b, entonces d divide r1 = a – bq1, y, por lo
tanto, d divide el máximo común divisor de b y r1, que es rn+1. Es decir, d = r n+1,
que es lo que queríamos demostrar.
Ejemplo 8
Calculemos, utilizando el algoritmo de Euclides, el mcd(858, 253) y determinemos los coeficientes de la identidad de Bézout correspondiente.
a) Primera división: dividimos 858 entre 253 y obtenemos lo siguiente:
858 = 253 · 3 + 99.
(*)
Esta igualdad nos indica que
mcd (858,253) = mcd (253,99).
b) Segunda división: ahora dividimos 253 entre 99, el residuo anterior, y obtenemos:
253 = 99 · 2 + 55.
(*)
Esto nos muestra que:
mcd (253,99) = mcd (99,55).
c) Tercera división: dividimos 99 entre 55 y obtenemos:
99 = 55 · 1 + 44.
(*)
Por lo tanto, tenemos que
mcd (99,55) = mcd (55,44)
d) Cuarta división: dividimos 55 entre 44 y obtenemos:
55 = 44 · 1 + 11.
(*)
Es decir,
mcd (55,44) = mcd (44,11).
e) Quinta división: dividimos 44 entre 11 y obtenemos:
44 = 11 · 4,
(*)
y hemos acabado, ya que la división es exacta (tiene residuo nulo); por lo tanto, tenemos que
mcd (44,11) = mcd (11,0) = 11.
Así pues, según el algoritmo de Euclides, el máximo común divisor es 11, el último residuo no nulo:
mcd (858,253) = mcd (253,99) = mcd (99,55) = mcd (55,44) = mcd (44,11) = 11.
La identidad de Bézout consiste en expresar el máximo común divisor 11 a partir de 858 y
253 como combinación lineal. Esto lo haremos en varios pasos:
• En el primer paso, expresaremos 11 en función de 55 y 44*.
• En el segundo paso, expresaremos 11 en función de 99 y 55.
• En el tercer paso, 11 nos debe quedar en función de 253 y 99.
• En el último paso, 11 quedará en función de 858 y 253.
Notad que todos estos pasos están indicados en las igualdades (*), miradas de derecha a izquierda. Para poder hacerlos, debemos aislar el residuo correspondiente a cada división que
compone el algoritmo de Euclides, pero empezando por la penúltima división y acabando
por la primera. Procediendo, encontramos lo siguiente:
* Mirad las igualdades señaladas
con un asterisco y veréis de dónde
salen el 55 y el 44.
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Aritmética de los números enteros
11 = 55 − 44 · 1 = 55 + (−1) · 44.
(1)
44 = 99 + (−1) · 55.
(2)
55 = 253 + (−2) · 99.
(3)
99 = 858 + (−3) · 253.
(4)
Notad que la igualdad (1) nos permite escribir el máximo común divisor 11 en función
de 44 y 55. Con la ayuda de (2) escribiremos el máximo común divisor 11 en función de
55 y 99, de la forma siguiente:
11 = (−1) · 44 + 55 = (−1) · (99 + (−1) · 55) + 55 = 2 · 55 + (−1) · 99.
Ahora, partiendo de la igualdad (3), escribiremos el máximo común divisor 11 en función de 99 y 253:
11 = 2 · 55 + (−1) · 99 = 2 · (253 + (−2) ·99) + (−1) · 99 = (−5) · 99 + 2 · 253.
Finalmente, mediante la igualdad (4) escribiremos el máximo común divisor 11 en función de 253 y 858:
11 = (−5) · 99 + 2 · 253 = (−5) · (858 + (−3) · 253) + 2 · 253 = 17 · 253 + (−5) · 858.
Hemos visto, entonces, lo siguiente:
11 = (−5) · 858 + 17 · 253.
Resulta práctico utilizar el esquema de la tabla adjunta para organizar los cálculos
de las divisiones sucesivas. Fijémonos que en cada paso del algoritmo dividimos el
divisor de la operación anterior entre el residuo de la misma división. Por lo tanto,
nos podemos ahorrar volverlos a copiar si ponemos los cocientes de las divisiones
(fila Q) sobre los divisores correspondientes (fila R). Es decir, en cada paso dividimos el residuo rk (fila R) entre el residuo rk+1 de la división anterior, y obtenemos
el cociente qk+2 (fila Q) y el nuevo residuo rk+3; así hasta que obtenemos un residuo
nulo y hasta que el máximo común divisor de a y b sea el residuo anterior rn·
En el cuadro siguiente podemos ver la organización de los cálculos en la obtención del mcd(a, b ) y de los coeficientes de la identidad de Bézout. El máximo común divisor es rn y r n = ax n + by n·
X
x −1 =1
x 0 =0
x1
x2
...
x n−2
x n−1
xn
Y
y −1 =0
y 0 =1
y1
y2
...
y n−2
y n−1
yn
Q
−
q1
q2
q3
...
q n−1
qn
q n+1
R
a
b
r1
r2
...
r n−2
r n−1
rn
r1
r2
r3
r4
...
rn
0
2.4. El algoritmo de Euclides extendido
En la tabla presentada anteriormente vemos también dos filas adicionales, las filas marcadas con una X y una Y. Los dos primeros valores de la fila X son siempre
x−1 = 1 y x0 = 0, y los dos primeros valores de la fila Y son siempre y−1 = 0 e y0 = 1.
Los otros valores se calculan de modo recurrente aplicando las fórmulas siguientes, si k ≥ 0:
19
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Aritmética de los números enteros
xk + 1 = xk – 1 – qk + 1 xk,
x –1 = 1 ,
x0 = 0
yk + 1 = y k – 1 – q k + 1 yk ,
y– 1 = 0 ,
y0 = 1.
Se puede demostrar que los valores x n e yn del final son unos posibles coeficientes para la identidad de Bézout. Es decir:
r n = a xn + b y n .
Recordemos que rn es el último residuo no nulo y, por lo tanto, el máximo común divisor de a y b.
Actividad
2. Demostrad, aplicando el principio de inducción sobre el entero n, que r n = axn + byn ,
donde x n e yn son los enteros que se obtienen por el algoritmo de Euclides extendido.
Ejemplo 9
Queremos calcular el mcd(4.999, 1.109) y escribir la identidad de Bézout. Para sistematizar la
tarea, utilizamos el esquema anterior.
X
1
0
1
−1
2
−65
522
Y
0
1
−4
5
−9
293
−2.353
Q
–
4
1
1
32
8
2
R
4.999
1.109
563
546
17
2
1
1
0
563
546
17
2
El último residuo no nulo es el 1 del recuadro, que es también, por lo tanto, el máximo
común divisor de 4.999 y 1.109. Encontremos ahora dos enteros x e y tales que:
4.999x + 1.109y = 1.
Si aplicamos el algoritmo de Euclides extendido, encontramos x = 522 e y = –2.353. También
podemos encontrar estos coeficientes directamente a partir de las divisiones que hemos realizado, escribiéndolas todas, como también hemos hecho en el ejemplo 8. Después aislamos
de cada igualdad el residuo de la división, empezando por la última y yendo hacia atrás,
como se muestra a continuación:
4.999 = 1.109 · 4 + 563
1.109 = 563 · 1 + 546
563 = 546 · 1 + 17
546= 17 · 32 + 2
17 = 2 · 8 + 1
Ahora tenemos:
1 = 17 − 2 · 8 = 17 − (546 − 17 · 32) · 8
= 546 · (−8) +17 · 257 = 546 · (−8) + 257 · (563 − 546)
= 546 · (−265) + 257 · 563 = (1.109 − 563) · (−265) + 257 · 563
= 1.109 · (−265) + 522 · 563 = 1.109 · (−265) + 522 · (4.999 − 1.109 · 4)
= 4.999 · 522 + 1.109 · (−2.353).
Por lo tanto, encontramos también que x = 522 e y = –2.353.
20
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Aritmética de los números enteros
Ejemplo 10
Si aplicamos el esquema que acabamos de exponer en el ejemplo 8, obtenemos lo siguiente:
X
1
0
1
−2
3
−5
Y
0
1
−3
7
−10
17
Q
–
3
2
1
1
4
R
858
253
99
55
44
11
99
55
44
11
0
Es decir, el máximo común divisor es el último residuo no nulo, 11; además, encontramos los coeficientes de la identidad de Bézout:
11 = (−5) · 858 + 17 · 253.
A continuación, enunciamos una propiedad que nos será muy útil ocasionalmente más adelante. La demostración es elemental, a partir de lo que ya hemos visto hasta ahora.
Proposición 3: lema de Gauss
Si a, b, c son enteros tales que a | bc y mcd(a,b) = 1 (es decir, a y b son
primos entre sí), entonces a | c.
Demostración
La identidad de Bézout nos dice que existen enteros x, y ∈ Z tales que verifican
la condición siguiente:
ax + by = 1
Si multiplicamos por c la igualdad y tenemos en cuenta que a | bc, obtenemos
la igualdad siguiente:
a c = a c x + bcy
2.5. El mínimo común múltiplo
Sean a y b ∈ Z enteros positivos. Se denomina mínimo común múltiplo de a y b al número entero positivo mínimo que es al mismo tiempo
múltiplo de a y de b. Lo denotaremos por mcm (a,b ).
El mínimo común múltiplo m de dos números enteros a y b se caracteriza, de
este modo, por las propiedades siguientes:
1) m>0;
21
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2) a | m y b | m;
3) si a | r y b | r , entonces m | r.
Proposición 4
Si a y b son enteros cualesquiera, entonces:
ab
mcm ( a , b ) = -------------------------mcd ( a, b )
Demostración
Podemos suponer, sin perder generalidad, que a ≥ 0 y b ≥ 0.
Sean d = mcd(a,b), m = ab/d>0 y pongamos que a = da′ y b = db′, con
mcd(a′,b′) = 1. Entonces:
dab ′ = ab = dm = a b = d a′b
y, por lo tanto, m = a′b = ab′, de donde b | m y a | m.
Sea ahora r un entero tal que a | r y b | r. Veremos que m | r: digamos r = ar1 = br2.
Entonces a′r1 = b′r2, de donde a′ | b′r2; y, como mcd(a′, b′) = 1, el lema de Gauss
nos asegura que a′ | r2. Si ponemos r2 = a′r3, tenemos:
r = b r2 = a′br 3 = m r3
y, por lo tanto, m | r. Así pues, m = mcm(a, b).
Ejemplo 11
Calculemos el mínimo común múltiplo de los enteros –60 y 24.
Si aplicamos la fórmula de la proposición anterior, obtenemos:
– 60 ⋅ 2 4
mcm ( – 60, 24 ) = ------------------------------------= 1.440
--------------- = 120.
mcd ( – 60, 2 4)
12
Aritmética de los números enteros
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Aritmética de los números enteros
3. Ecuaciones diofánticas
Una ecuación diofántica es una ecuación polinómica con coeficientes
enteros de la que nos interesa conocer las soluciones enteras.
Algunos ejemplos de ecuaciones diofánticas serían los siguientes:
1) Una ecuación diofántica típica es la ecuación pitagórica :
x,y , z ∈ Z
x 2 + y2 = z 2 ,
de la que se conocen, desde Pitágoras y Platón, todas sus soluciones enteras
(las positivas dan los posibles triángulos rectángulos con lados enteros).
2) Una generalización de la ecuación pitagórica es la ecuación de Fermat:
x n + y n = z n,
x, y , z ∈ Z,
n ≥ 3.
Pierre de Fermat conjeturó en el siglo XVII que estas ecuaciones no tienen más
soluciones que las que se ven a primera vista, es decir, alguna incógnita nula.
Estas soluciones se denominan soluciones triviales. Desde entonces, muchos
matemáticos han investigado sobre esta cuestión y, finalmente, el matemático
Andrew Wiles demostró en el año 1996 que la conjetura de Fermat es cierta.
El caso más sencillo de ecuación diofántica que podemos considerar es la ecuación de primer grado y una incógnita:
ax = b,
a, b ∈ Z.
Está claro que la ecuación anterior tiene solución entera si, y sólo si, a divide
b (por definición) y, en tal caso, la solución es x = b/a ∈ Z.
Consideremos ahora una ecuación de primer grado con dos incógnitas:
a x + by = c ,
a, b, c ∈ Z.
La proposición siguiente estudia cuándo una de estas ecuaciones tiene solución, y da un método para calcularlas. Observemos que guarda un cierto parecido con el espíritu de la identidad de Bézout.
El término de ecuación
diofántica...
... proviene del matemático
griego Diofante de Alejandría
(250 a. C.), que publicó trece
libros, de los cuales sólo se
conservan seis, dedicados a la
teoría de los números y las
ecuaciones.
23
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Proposición 5
La ecuación ax + by = c, con a, b, c ∈ Z, tiene alguna solución (x 0,y 0) ∈
Z × Z si, y sólo si, d = mcd (a,b) | c.
En caso de que sea así, la ecuación tiene un número infinito de soluciones y éstas son de la forma:
x = x 0 – b ′t
y = y0 + a ′t
donde a′ = a/d, b′ = b/d y t ∈ Z es un entero arbitrario.
Demostración
⇒) Supongamos que la ecuación ax + by = c tiene una solución entera (x0, y0).
Es decir:
a x 0 + by 0 = c.
Por la propiedad de linealidad de la divisibilidad (ved la proposición 1), tenemos que d = mcd(a, b) divide ax0 + by 0 = c.
⇐) Recíprocamente, supongamos que d divide c y pongamos c = dc′. Por la
identidad de Bézout, hay enteros x0 e y0 tales que:
a x0 + by 0 = d.
Si multiplicamos esta igualdad por c′, obtenemos:
a x 0 c′ + by 0 c′ = d c′ = c,
es decir, la ecuación tiene la solución (x 0c′,y 0 c′).
Supongamos ahora que la ecuación lineal ax + by = c tiene soluciones enteras
y, por lo tanto (según el apartado anterior), que d | c. Veamos cómo son todas
las soluciones. Sean (x 0,y0) y (x 1,y1) dos soluciones de la ecuación, es decir:
a x0 + by 0 = c
a x 1 + by 1 = c.
Aritmética de los números enteros
24
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Aritmética de los números enteros
Si restamos ambas igualdades, obtenemos:
a ( x 0 – x 1 ) + b ( y0 – y 1) = 0
Ponemos a = da′ y b = db′ con mcd (a′,b′) = 1. Si dividimos la igualdad anterior
por el máximo común divisor de a y b, obtenemos:
a ′ ( x 0 – x 1 ) + b′ ( y 0 – y1 ) = 0
(1)
Por esto mismo deducimos, por ejemplo, que a′ divide b′(y1 – y0). Puesto que
a′ y b′ son primos entre sí, podemos aplicar el lema de Gauss y obtendremos
que a′ | (y1–y 0). Es decir, podemos escribir:
y 1 = y 0 + a′t
para cierto entero t. Si sustituimos esta igualdad en la igualdad (1) y aislamos
x1, obtenemos:
x 1 = x 0 – b′t.
Ejemplo 12
Encontremos las soluciones enteras, si las hay, de la ecuación siguiente:
93 x – 81 y = 15.
X
1
0
1
−6
7
Y
0
1
−1
7
−8
Q
–
1
6
1
3
R
93
81
12
9
3
12
9
3
0
En primer lugar, calculemos el máximo común divisor de los coeficientes 93 y –81. El
resultado es mcd(93, 81) = 3, que divide 15. Por lo tanto, la ecuación tiene soluciones
enteras. Para encontrarlas todas, debemos hallar primero una solución particular cualquiera, y la identidad de Bézout nos la puede proporcionar. Apreciad en la tabla los cálculos que hemos seguido para encontrar el máximo común divisor y los coeficientes de
la identidad siguiente:
3 = 93 ⋅ 7 + 81 ⋅ ( – 8 ) = 93 ⋅ 7 – 81 ⋅ 8 .
Así pues, una solución particular de la ecuación que estamos estudiando es x0 = 7 · 5 = 35 e
y0 = 8 · 5 = 40. La solución general es de la forma:
x = 35 – ( –81 ⁄ 3) t = 35 + 27 t.
y = 40 + ( 93 ⁄ 3 )t = 40 + 31 t .
donde t es un entero cualquiera.
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4. Números primos y factorización de enteros
A continuación estudiaremos el concepto de número primo y probaremos el
resultado principal de este apartado, el llamado teorema fundamental de la aritmética o teorema de la factorización única : cualquier número entero mayor que
1 se puede escribir, esencialmente, de forma única, como producto de números primos.
Un número entero p ≠ ± 1 es primo si, y sólo si, los únicos divisores de
p son ±1 y ± p.
Un número entero es compuesto si no es primo.
Observad que con esta distinción excluimos explícitamente de la definición
de número primo el 1 y el –1.
Proposición 6
Todo número entero n>1 o es un número primo o bien es producto de
números primos.
Demostración
Aplicaremos el principio de inducción sobre el número natural n>1.
1) Si n = 2, es obvio, ya que 2 es un número primo.
2) Supongamos que la propiedad es cierta para todo entero menor que un
cierto entero fijo m.
a) Si m es primo, ya hemos acabado.
b) Si m no es primo, entonces m tiene un divisor d diferente de 1 y de m (por
definición de número primo). Es decir, m = dd′, pero entonces d′≠ 1 y d′ ≠ m.
Por lo tanto, d<m, d ′<m y, por hipótesis de inducción, tanto d como d′ son primos o son productos de primos.
En cualquier caso, acabamos de demostrar que m es producto de primos.
Aritmética de los números enteros
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Antes de enunciar y demostrar el teorema fundamental, recordaremos el lema
de Gauss en una versión más adecuada para nuestros propósitos actuales.
Si un primo divide un producto de enteros, entonces el primo debe dividir algún factor. Concretamente, si p es un primo y a y b son enteros
tales que p | ab, entonces p | a o p | b .
Demostración
Podemos suponer que todos los enteros involucrados son positivos.
1) Si p | a , ya hemos acabado.
2) Supongamos que p | a y calculemos d = mcd (p, a ). Este máximo común
divisor es un divisor positivo de p. Por lo tanto, d = 1 o d = p . Pero no puede
ser d = p , ya que estamos suponiendo que p | a. Por lo tanto, d = 1. Ahora,
aplicando la primera versión del lema de Gauss (proposición 3), obtenemos
que p | b.
Teorema 4: teorema fundamental de la aritmética
Todo entero n ≥ 2 factoriza como producto de primos. Esta factorización
es única, excepto el orden en el que escribimos los primos.
Demostración
Sólo debemos demostrar la unicidad de la factorización, ya que la existencia
está demostrada en la proposición anterior. Demostraremos la unicidad por el
principio de inducción aplicado al entero n.
1) Si n = 2, la propiedad es cierta; es decir, el 2 factoriza de forma única como
producto de primos, ya que es un número primo.
2) Supongamos, entonces, que la propiedad es cierta para todos los enteros
positivos menores que un entero dado m>2 y supongamos que tenemos dos
factorizaciones de m como producto de primos positivos:
m = p 1p 2 ⋅ … ⋅ p t = q 1q 2 ⋅ … ⋅ q r .
Queremos encontrar que son la misma factorización; es decir, que hay el mismo número de primos, t = r, y que si los ordenamos por orden creciente, entonces p i = q i.
Aritmética de los números enteros
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Aritmética de los números enteros
Consideremos el número primo p 1. Puesto que p1 divide el segundo miembro,
por el lema de Gauss que acabamos de demostrar, tenemos que p 1 debe dividir
algún primo de este segundo miembro. Supongamos que este primo es q 1 (los
renumeramos si es necesario): p 1 | q1. Pero si un primo divide otro primo (los
dos positivos), entonces los primos son iguales. Por lo tanto, p1 = q 1 y, por la
ley de cancelación de los enteros, tenemos:
p 2 ⋅ … ⋅ p t = q 2 ⋅ … ⋅ q r.
Ahora podemos aplicar la hipótesis de inducción y deducimos que t = r y que
pi = q i (renumerándolos si es necesario).
Sea n>1 un entero. Si agrupamos los primos iguales de la descomposición de n
como producto de primos, podremos escribir:
n = p 1e 1 p 2e 2 ⋅ … ⋅ p tet
donde p i son primos diferentes y los e i>0, para i = 1, ..., t. Esta forma de escribir
los enteros se denomina notación exponencial. Con los enteros escritos con
esta notación exponencial es muy fácil calcular los divisores de un entero y,
por lo tanto, el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos
enteros:
1) para calcular el máximo común divisor, se toman los primos comunes de
las dos descomposiciones elevados al menor exponente.
2) En lo que respecta al mínimo común múltiplo, se calcula tomando todos los primos de las dos descomposiciones, elevado cada uno al máximo
exponente.
Actividad
3 . Proporcionad la expresión del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo
de dos números enteros en función de las factorizaciones como producto de primos de
los enteros en cuestión.
Veamos a continuación cómo podemos calcular el número de divisores de un
entero.
¿Cómo son los divisores positivos del entero n? Un divisor d se descompone
de la siguiente forma:
d = p1f1 p 2f2 ⋅ p tft
donde los p i son los primos que aparecen en la descomposición del entero en
producto de primos y los exponentes f i satisfacen 0 ≤ fi ≤ e i. De aquí podemos
Ejemplo 13
La descomposición en primos
de 60 es 2 2 · 3 · 5.
28
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Aritmética de los números enteros
deducir una fórmula para el número de divisores positivos de un entero (el número total de divisores será el doble).
Proposición 7
El número de divisores positivos de un entero n>1, cuya descomposición viene dada por n = p e11 p 2e 2 ⋅ … p et t , es:
t
∏ (ei + 1)
i=1
Acabamos este subapartado probando que hay infinitos números primos,
resultado que ya era conocido por los matemáticos griegos hace unos veinte siglos, y dando un método simple para calcular todos los números primos menores que un entero dado: este método recibe el nombre de criba de
Eratóstenes.
Teorema 5: teorema de Euclides
Existen infinitos números primos
Demostración
Haremos una demostración por reducción al absurdo. Supongamos que sólo
hay una cantidad finita de números primos (postivos), p1, p 2, ..., p n. Consideremos entonces el siguiente número entero:
Q = p1 p2 ⋅ … ⋅ pn + 1
Observad, en primer lugar, que el residuo de dividir Q entre cualquiera de los
primos pi es 1 (podéis comprobarlo efectuando la división). Es decir, Q, no es
divisible por ninguno de los primos p i. Por otro lado, el teorema fundamental
o de la factorización única asegura que Q descompone como producto de primos. Pero acabamos de ver que estos primos no son los pi. Por lo tanto, Q debe
ser un primo diferente de los que ya teníamos, y esto entra en contradicción
con lo que habíamos supuesto.
Una forma muy simple de ver si un entero es primo o no consiste en dividir el
entero en cuestión entre todos los enteros anteriores (de hecho, sólo es necesario tomar los enteros anteriores que sean primos). Si ninguna de estas divisiones es exacta, entonces el entero es primo. El resultado siguiente dice que,
en este proceso de hacer divisiones, es necesario llegar sólo hasta la raíz cua-
Reducción al absurdo
Una forma elegante y lógica de
verificar la validez de una proposición es suponer que ésta
no es válida y comprobar que
esto nos llevaría a una contradicción con las hipótesis de
partida.
29
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Aritmética de los números enteros
drada del entero, ya que, si el entero es compuesto, siempre hay un factor primo de este entero menor o igual que su raíz cuadrada. Este resultado lo
usaremos después en la criba de Eratóstenes.
Proposición 8
Todo entero compuesto n tiene un factor primo menor o igual que
n.
Demostración
Sea n un entero compuesto. Podemos escribir n = ab , con 1<a≤b<n. Entonces
forzosamente tenemos que a ≤
si a >
n y b>
n ob≤
n , ya que en caso contrario, es decir,
n , tendríamos que n = a b >
n⋅
n = n . Ahora bien, cual-
quier factor primo de n debe ser un divisor de a o de b. Por lo tanto, ya hemos
demostrado lo que queríamos.
Sea N un entero positivo dado. Queremos encontrar todos los números primos
(positivos) menores o iguales que N. El algoritmo que describimos a continuación, conocido por el nombre criba de Eratóstenes, da como resultado el conjunto de todos estos primos.
Escribimos la lista de todos los enteros entre 2 y N (recordemos que 1 no es
primo, por definición) de la que iremos tachando enteros, precisamente los
compuestos o no primos. En cada fase, el primer número entero de la lista no
tachado es un número primo. En este caso, el primer número entero no tachado es el 2, que es un primo. Ahora vayamos tachando los enteros de dos en
dos (es decir, tachemos los múltiplos de 2). El siguiente número entero no tachado es el 3, que también es primo. Ahora tachamos los enteros de tres en
tres (es decir, tachamos los múltiplos de 3). Y así hasta que lleguemos a la raíz
cuadrada de N, según la proposición anterior. Es decir, cuando lleguemos a
N dejamos de tachar y los números que no queden tachados son todos los
números primos menores o iguales que N.
Ilustraremos este proceso para N = 100. En primer lugar, no es necesario escribir los pares, ya que sabemos de entrada que sólo el 2 es primo. Escribimos, de
este modo, sólo los enteros impares menores que 100.
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
75
77
79
81
83
85
87
89
91
93
95
97
99
Aplicación en los códigos
secretos
Multiplicar dos primos grandes
es muy fácil. Escribir un número grande como producto de
primos es largo y complicado.
Muchos códigos secretos han
utilizado este principio.
30
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Aritmética de los números enteros
5. Congruencias de números enteros
En este apartado estudiaremos una nueva relación: la congruencia de números
enteros.
5.1. La relación de congruencia
En este subapartado introduciremos el concepto de congruencia de números enteros, clave en la aritmética y debido al matemático alemán Karl F.
Gauss. Es, al mismo tiempo, una notación clara que recuerda la relación de
igualdad y, de hecho, como veremos, comparte con la igualdad muchas de
sus propiedades.
Sea m un entero positivo. Diremos que dos enteros a y b son congruentes módulo m si la diferencia a – b es múltiplo de m o, de forma equivalente, si m divide la diferencia a – b. Lo denotaremos así:
Karl F. Gauss (1777-1855)
a ≡ b (mod m )
Una vez más, como en tantos
otros temas en las relaciones
de congruencia, el llamado
“príncipe de las matemáticas”
fue quien puso las bases.
De este modo, tenemos:
a ≡ b (mod m ) ⇒ m ( b – a ) ⇔ ∃ k ∈ Z:b = a + km
y, si a y b son enteros positivos, todo esto equivale a decir que a y b dan el mismo residuo cuando los dividimos por m.
Ejemplo 14
a) Tenemos los ejemplos siguientes de congruencias:
19 ≡ 7 (mod 12); 1 ≡ – 1 (mod 2);
32 ≡ – 1 (mod 5).
b) Si a y b son enteros cualesquiera, entonces:
a ≡ b (mod 1).
Por lo tanto, la relación de congruencia módulo 1 no es demasiado interesante: cualquier pareja de enteros es congruente módulo 1.
c ) Un entero n es par si, y sólo si, n ≡ 0 (mod 2)
d) Un entero n es impar si, y sólo si, n ≡ 1 (mod 2).
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Proposición 9
Sea m un entero positivo. La relación de congruencia módulo m es
una relación de equivalencia en el conjunto de los enteros. Es decir,
se satisfacen las propiedades siguientes, donde a, b y c son enteros
cualesquiera:
1) Propiedad reflexiva: a ≡ a (mod m).
2) Propiedad simétrica: si a ≡ b (mod m), entonces b ≡ a (mod m).
3) Propiedad transitiva: si a ≡ b (mod m) y b ≡ c (mod m), entonces
a ≡ c (mod m).
Demostración
1) En efecto, m | 0 = a – a.
2) Efectivamente, si m | ( a – b), entonces m | ( b–a).
3) Supongamos que m | (a–b) y que m | (b–c). Entonces m divide la suma de
los dos números, es decir, m | (a – c).
Estudiemos a continuación otras propiedades interesantes de la relación de
congruencia, que podríamos enmarcar dentro de un álgebra de congruencias,
y que utilizaremos más adelante.
Proposición 10
Las congruencias módulo m se pueden sumar y multiplicar término a
término. Concretamente, si a ≡ b (mod m) y a′ ≡ b′ (mod m), entonces
se verifican las siguientes condiciones:
1) ( a + a )′ ≡ ( b + b ′) ( mod m ).
2) a a′ ≡ bb ′ (mod m )
Demostración
1) Tenemos como hipótesis que m divide los números a – b y a′ – b′. Por lo
tanto, también divide su suma:
m ( a – b ) + ( a ′ – b′ ) = ( a + a ′ ) – ( b + b ′ ).
Es decir, (a + a′) ≡ (b + b′) (mod m).
Aritmética de los números enteros
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Aritmética de los números enteros
2) Por otro lado, tenemos (sumando y restando ba′):
a a′ – b b′ = a a′ – bb ′ – ba ′ + b a ′ = b ( a ′ – b ′ ) + a′ ( a – b )
y puesto que a′– b′ y a – b son múltiplos de m, la diferencia aa′ – bb′ también lo es.
En general, las congruencias no se pueden simplificar; es decir, un factor común en los dos miembros de una congruencia no siempre se puede eliminar;
de este modo, podemos decir que:
ra ≡ rb (mod m) no implica que a ≡ b (mod m).
Por ejemplo:
5 ⋅ 12 ≡ 5 ⋅ 18 (mod 10)., pero 12 ≡ 18 (mod 10). La forma correcta de simplificar un factor común en una congruencia, si es posible, se explica en la proposición siguiente:
Proposición 11: simplificación de congruencias
Sea m > 1 un entero. Si a, b, r ∈ Z y d = mcd (m,r), entonces:
ra ≡ rb (mod m ) ⇔ a ≡ b (mod m ⁄ d ).
Por lo tanto, podemos eliminar un factor común en una congruencia si,
además, dividimos el módulo de la congruencia por el máximo común
divisor del factor eliminado y el módulo de la congruencia original.
Actividad
4 . Probad las propiedades siguientes:
a) Si a, b, k ∈ Z y k ≠ 0, entonces:
a ≡ b (mod m) ⇔ ak ≡ bk (mod m k).
b) Si a ≡ b (mod m) y d | m, entonces a ≡ b (mod d).
c ) Si a ≡ b (mod r) y a ≡ b (mod s), entonces a ≡ b (mod m ), donde m = mcm (r, s ).
Todavía en relación con la cuestión de la simplificación de congruencias, damos el resultado siguiente, que dice cuándo podemos resolver una ecuación
en congruencias de primer grado y una incógnita.
Proposición 12
La ecuación en congruencias ax ≡ b (mod m) tiene solución entera x si,
y sólo si, sólo si mcd (a, m) | b.
Podéis intentar hacer vosotros
mismos la demostración de la
proposición 12.
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5.2. Clases de congruencias
En el subapartado anterior hemos visto que la relación de congruencia módulo un entero positivo m es una relación de equivalencia en el conjunto de los
números enteros Z. Por lo tanto, los números enteros quedan clasificados automáticamente en clases de equivalencia, que en este contexto reciben el
nombre de clases de congruencia módulo m.
Cada entero a determina una clase de congruencia que escribimos a. Recordemos del módulo didáctico “Teoría de conjuntos” que la clase de un elemento
a se define como el conjunto de los elementos que están relacionados con él.
En nuestro caso:
a = { x ∈ Z : x ≡ a (mod m ) } = { x ∈ Z : ∃ k ∈ Z, x = a + mk }
Informalmente, decimos que los elementos de la clase del entero a son los de la
forma a + mk, con k un entero cualquiera. Recordemos también que cualquier elemento de una clase la determina. Es decir, si a ≡ b (mod m), entonces a = b.
Denotamos como Zm el conjunto cociente de Z por la relación de congruencia
módulo m. Recordemos que los elementos de un conjunto cociente por una relación de equivalencia son precisamente las clases de equivalencia. En este contexto, el conjunto Zm está formado por las clases de congruencia módulo m:
Zm = { a : a ∈ Z } .
Ejemplo 15
Determinemos las clases de congruencia módulo 4. Empecemos con la clase del 0:
0 = { x : x ≡ 0 (mod 4)} = { 4 k : k ∈ Z } = { 0, ± 4, ± 8, ...} .
Es decir, la clase del 0 está formada por los enteros múltiplos de 4. Por las propiedades
de las clases de equivalencia, dos enteros congruentes módulo 4 determinan la misma
clase. Por lo tanto, la clase de cualquier múltiplo de 4 coincide con la clase del 0 porque son congruentes módulo 4 (está relacionados). Por ejemplo, 4 = 0 = –24 .
Tomemos ahora un entero que no sea múltiplo de 4; por ejemplo, el 1:
1 = { x : x ≡ 1 (mod 4)} = { 4 k + 1 : k ∈ Z } = { 1, -3, 5, -7, ... } .
Es decir, 1 está formada por los enteros que se obtienen sumando 1 a un múltiplo de 4. Igual
que antes, tenemos, por ejemplo: 1 = –3 = –7.
Finalmente, hay dos clases más, que son 2 y 3, formadas por los enteros de la forma 2 + 4 k y
3 + 4k′, respectivamente (el cálculo explícito lo podéis hacer vosotros mismos).
En total, hay 4 clases de congruencia módulo 4 que se corresponden con los posibles residuos
de dividir un entero entre 4. Es decir:
Z 4 = { 0, 1, 2, 3 } .
En general, se verifica la siguiente proposición:
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Proposición 13
El conjunto cociente Zm contiene m clases de congruencia. Concretamente, tenemos:
Z m = { 0, 1, … , m – 1 }
Demostración
Hemos visto que los elementos de la clase de entero a son los enteros de la forma a + km, donde k es un entero arbitrario. No es difícil demostrar que entre
los enteros de esta forma sólo hay uno que, además, está entre 0 y m – 1 (probad esto). Es decir, cada clase tiene un único elemento (también se le llama
representante) positivo entre 0 y m – 1. Sin embargo, dos enteros diferentes
que estén en este rango no pueden ser congruentes módulo m, ya que su diferencia es menor que m y un entero positivo menor que m no puede ser múltiplo de m. Por lo tanto, hay tantas clases de módulo m como enteros entre 0 y
m – 1, que es lo que queríamos demostrar.
Hemos visto que en cada clase de congruencia hay un único representante positivo entre 0 y m – 1. Por lo tanto, si queremos un conjunto de enteros que representen todas las clases de módulo m, podemos tomar los enteros 0, 1, ..., m – 1 .
Por ejemplo, los enteros del 0 al 4 representan todas las clases módulo 5. Sin embargo, también podemos tomar otros sistemas de representantes. Por ejemplo, los
enteros –5, 1, 12, –12 y el –1 también representan todas las clases módulo 5.
Un sistema completo de representantes módulo m es un conjunto S
de m enteros tal que cualquier otro entero es congruente con un entero
de S exactamente.
Ejemplo 16
El conjunto S = {1, 8, –3, –8, 5, 0} es un sistema completo de representantes módulo 6. En
efecto, las clases de los elementos de S son 1, 8 = 2, –3 = 3, –8 = 4, 5, 0 = 6, respectivamente.
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6. Anillos de enteros modulares
En este apartado veremos cómo podemos operar con las clases de congruencia
de enteros.
6.1. Operaciones con clases
Habíamos visto en la proposición 10 que las congruencias módulo un entero fijo se pueden sumar y multiplicar término a término. Estas propiedades nos permiten definir una suma y un producto de clases de congruencia
módulo m.
Imaginemos que queremos definir una suma de clases módulo m: digamos
que queremos sumar las clases a y b. La forma más natural de definir esta suma
consiste en elegir representantes de cada clase, por ejemplo, a de la clase a y b
de la clase b, sumar estos representantes a y b y tomar la clase del resultado; es
decir, estamos definiendo la suma de clases como a + b = a + b. Pero aquí nos
encontramos con un problema potencial subyacente. Por ejemplo, si queremos sumar las clases 2 y 1 módulo 5, podemos tomar como representantes el
2 y el 1 y definir la suma como la clase del 3, o bien podemos tomar como
representantes de las mismas clases los enteros 7 y –9 (ya que 7 = 2 y 1 = –9)
y tomar como resultado de la suma de clases la clase del –2. Los resultados numéricos de sumar los enteros no son los mismos, 3 ≠ –2, pero, afortunadamente, sus clases módulo 5 son iguales.
Sea m ≥ 2 un entero. Definimos la suma y el producto de clases módulo m mediante las fórmulas siguientes:
1) a + b = a + b .
2) a ⋅ b = a b
El problema de qué representante de cada clase debemos elegir para hacer las
operaciones nos lo resuelve la siguiente proposición.
Proposición 14
Las operaciones anteriores están bien definidas en el conjunto cociente
Zm . Es decir, la suma y el producto de clases no dependen de los representantes que tomemos. Por lo tanto, las fórmulas anteriores definen
unas operaciones binarias en el conjunto de enteros modulares Zm .
Aritmética de los números enteros
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Aritmética de los números enteros
Gracias a este hecho, y recordando las definiciones dadas en el módulo didáctico “Teoría de conjuntos”, podemos enunciar otro teorema.
Teorema 6
Las dos operaciones binarias internas definidas en Zm hacen de este
conjunto un anillo conmutativo con unidad.
Actividad
5 . Elaborad la demostración del teorema 6 vosotros mismos con un poco de paciencia.
La terna (Zm , +, ·) recibe el nombre de anillo de enteros modulares
módulo m.
Ejemplo 17
Hagamos las tablas de la suma y el producto del anillo (Z6 , +, ·) y comprobemos que este anillo no es un cuerpo (recordemos que un cuerpo es un anillo tal que todo elemento no nulo
tiene un inverso respecto del producto).
Para simplificar las notaciones, escribiremos la clase de a módulo 6 como “ a” simplemente.
+
0
1
2
3
4
5
·
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
1
2
3
4
5
0
1
0
1
2
3
4
5
2
2
3
4
5
0
1
2
0
2
4
0
2
4
3
3
4
5
0
1
2
3
0
3
0
3
0
3
4
4
5
0
1
2
3
4
0
4
2
0
4
2
5
5
0
1
2
3
4
5
0
5
4
3
2
1
Observemos que la clase 2 no tiene inverso respecto del producto. Es decir, no hay
ninguna clase x ∈ Z6 tal que 2 x = 1 o, equivalentemente, la congruencia 2x ≡ 1 (mod
6) no tiene solución entera (en efecto, el mcd(2,6) = 2, que no divide el término independiente, 1). La clase 3 tampoco tiene inverso. Por lo tanto, el anillo Z 6 no es un
cuerpo.
6.2. Clases invertibles
En el subapartado anterior hemos definido una suma y un producto de clases
en el conjunto Zm de enteros módulo m y hemos demostrado que, con estas
operaciones, este conjunto es un anillo conmutativo y unitario. En general,
como puede verse en el ejemplo 15, los anillos de enteros modulares Zm no
son cuerpos. Es decir, no siempre tenemos inversos respecto del producto. En
este subapartado estudiaremos qué elementos tienen un inverso respecto del
producto y veremos cuándo un anillo de enteros modulares es un cuerpo y
cuándo no lo es.
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Aritmética de los números enteros
Una clase a ∈ Zm es un elemento invertible (respecto del producto) si
tiene un inverso, es decir, si hay una clase b tal que a · b = 1. Denotaremos como Z*m el conjunto de los elementos invertibles de Zm . Si una
clase a es invertible, su clase inversa es única. La denotaremos por a −1.
La proposición siguiente nos permitirá calcular las clases invertibles de Zm .
Proposición 15
Una clase a ∈ Z m es invertible (es decir, a ∈ Z* m) si, y sólo si, mcd (a,m) =1.
Por lo tanto, podemos deducir lo siguiente:
Z m* = { x ∈ Z m : mcd (x , m ) = 1 } .
Por ejemplo, Z* 6 = {1, 5}.
En el caso de que una clase sea invertible, su clase inversa se puede calcular aplicando el algoritmo de Euclides extendido. Veámoslo en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 18
Calculemos el inverso del 6 módulo 13.
• En primer lugar, comprobemos que la clase 6 tiene inverso módulo 13: el mcd (6,
13) es 1 y, por lo tanto, tiene inverso.
• Para encontrar este inverso tenemos que calcular las soluciones de la congruencia
6x ≡ 1 (mod 13).
Recordemos que esto equivale a resolver la ecuación diofántica:
6 x + 13 y = 1
Si aplicamos el algoritmo de Euclides extendido, obtenemos la solución:
6 ⋅ ( – 2 ) + 13 ⋅ 1 = 1
(aunque en este ejemplo, podemos encontrarla a ojo). Si ahora reducimos módulo
13, obtenemos:
6 ⋅ ( – 2 ) ≡ 1 (mod 13)
Por lo tanto, 6−1 = – 2 = 11.
Ahora estamos en condiciones de decir cuándo un anillo de enteros modulares
Zm es un cuerpo: para que Zm sea un cuerpo se debe cumplir, por definición
de cuerpo, que todo elemento no nulo tenga un inverso respecto del producto.
El teorema siguiente da la condición que se debe satisfacer.
Si seguís las definiciones, podéis
desarrollar la demostración de la
proposición 15.
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Aritmética de los números enteros
Teorema 7
El anillo Zm es un cuerpo si, y sólo si, el entero m es un número primo.
Demostración
⇒) Supongamos que Z m es un cuerpo. Esto quiere decir que si x ≠ 0, entonces
x tiene inverso. Podemos suponer que el representante x está entre 0 y m – 1.
Entonces, la condición anterior equivale a decir que, si x no es múltiplo de m
y 1 ≤ x ≤ m, entonces mcd( x,m) = 1.
Es decir, todo entero entre 1 y m – 1 es primo con m. Si m no fuese primo,
tendría un factor primo entre 1 y m – 1 y, por lo tanto, habría un entero
entre 1 y m – 1 que no sería primo con m. Consecuentemente, m debe ser
un número primo.
⇐) Recíprocamente, supongamos que m es un número primo. Entonces
ningún entero entre 1 y m – 1 tiene un factor en común con m; es decir,
todo entero x entre 1 y m – 1 satisface mcd(x,m) = 1. Por lo tanto, toda
clase x diferente de la clase 0 tiene un inverso en Z m ; es decir, Z m es un
cuerpo.
6.3. La función de Euler
En este subapartado estudiamos la llamada función de Euler, una función
definida para los enteros positivos y que toma valores enteros positivos. La
función de Euler está relacionada, como veremos, con el cardinal del conjunto de los elementos invertibles de los anillos modulares que acabamos
de estudiar.
Sea m ≥ 1 un entero positivo. Definamos la función φ de Euler como
sigue: φ(1) = 1 y φ(m) es el número de enteros positivos menores que m
y primos con m. Es decir, si m>1:
φ(m) = # {x∈Z m: 1 ≤ x ≤ m, mcd (x, m) = 1}
Recordando que Z *m = {x ∈ Z m : mcd (x, m) = 1}, tenemos la igualdad siguiente.
Proposición 16
Se cumple: #Z*m = φ(m).
Recordemos
Si p es un número primo, entonces el conjunto Z p es un
cuerpo. Estos cuerpos son los
ejemplos más básicos de los
cuerpos finitos: es decir, cuerpos con un número finito de
elementos.
39
 FUOC • P00/75004/00190
Aritmética de los números enteros
Demostración
En efecto, ya hemos visto que los elementos invertibles de Zm son las clases de
los enteros x módulo m tales que mcd( x, m) = 1. Como cada clase tiene un único representante que está entre 1 y m – 1, resulta que hay tantas clases invertibles como φ(m).
Ejemplo 19
Calculemos los valores de φ(m), para m desde 1 hasta 10.
Debemos calcular en cada caso cuántos enteros positivos hay entre 1 y m que sean primos
con m. Por ejemplo, φ(2) = 1 porque sólo el 1 es primo con 2 y φ(4) = 2 porque sólo los enteros
1 y 3 son primos con 4. En lo que respecta a los demás, tenemos la tabla siguiente:
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
φm
1
1
2
2
4
2
6
4
6
4
Hemos introducido el concepto de sistema completo de representantes módulo un entero m. Recordemos que se trata de un conjunto de m enteros no congruentes entre sí tales que cualquier otro entero es congruente exactamente
con un entero del sistema (es decir, elegimos un representante de cada clase
de congruencia módulo m). En ocasiones nos interesa un sistema de representantes de aquellas clases que son invertibles.
Un sistema reducido de representantes módulo m es un conjunto formado por φ(m) enteros no congruentes entre sí que representan todas
las clases de congruencias que son invertibles módulo m.
La proposición anterior asegura que hay φ(m) elementos en un sistema reducido de representantes módulo m.
Ejemplo 20
Tomemos m = 8. Un sistema completo de representantes módulo 8 es, por ejemplo, el
conjunto:
Scompleto = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
y un sistema reducido de representantes módulo 8 podría ser el siguiente:
Sreducido = {1, 3, 5, 7}.
Es decir, un sistema reducido de representantes módulo 8 contiene representantes de
cada clase invertible de Z* 8 . Estas clases pueden estar representadas por los enteros entre
1 y 8 que son primos con 8; es decir, los enteros impares entre 1 y 8.
Proposición 17
Si {r 1, r2, ..., rk} es un sistema completo (respectivamente, reducido) de
representantes módulo m y a es un entero tal que mcd(a, m ) = 1 (es decir, su clase es invertible en Zm , entonces el conjunto:
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 FUOC • P00/75004/00190
Aritmética de los números enteros
S = {ar 1, ar2, ..., ark }
es otro sistema completo (respectivamente, reducido) de representantes
módulo m. (El índice k es m si el sistema es completo y φ(m) si se trata
de un sistema reducido.)
Podéis intentar hacer vosotros
mismos la demostración de la
proposición 17.
En la proposición siguiente resumimos las propiedades más importantes de
la función de Euler que, además, nos permiten calcular sus valores con mayor facilidad. En la demostración de estas propiedades utilizamos el concepto y las propiedades de los sistemas reducidos de representantes que
acabamos de estudiar.
Proposición 18
1) Si p es un primo y r≥ 1, entonces φ(p r ) = pr – p r–1.
2) Si m y n son enteros positivos primos entre sí (es decir, mcd(m, n ) = 1),
entonces φ(mn) = φ(m) · φ(n).
Demostración
1) Hay que calcular cuántos enteros hay entre 1 y pr que sean primos con pr .
Observemos, en primer lugar, que ser primo con p r equivale a ser primo con p.
En efecto, si mcd(x,p r ) = 1, entonces mcd(x, p) = 1, y de forma recíproca.
Por lo tanto, se trata de contar cuántos enteros hay entre 1 y pr que no tengan
el factor p. Sin embargo, es más fácil contar cuántos enteros lo llevan: precisamente los múltiplos de p, y hay un múltiplo de p cada p enteros. De este modo,
hay p r/p = pr–1 múltiplos de p entre 1 y p r . Puesto que φ(pr ) se obtiene restando
del total los múltiplos de p, tenemos:
φ( pr ) = pr – pr – 1 .
2) Sean m y n enteros positivos tales que mcd(m,n) = 1. Queremos ver que
φ(mn) = φ(m )· φ(n). Se trata de contar cuántos enteros hay entre 1 y mn, primos con mn.
Hagamos la tabla de los enteros del 1 al nm dispuestos de la forma siguiente:
m+ 1
m+2
...
2m
(n−1)m+1
(n−1)m+2
...
m
.. .
...
...
2
...
1
...
nm
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 FUOC • P00/75004/00190
Los enteros de la columna r, con r = 1, ..., m, son de la forma km + r, donde
k = 0, ..., n – 1. Estos enteros son congruentes con r módulo m . Por lo tanto,
para encontrar los enteros primos con mn (en particular, primos con m) debemos buscar sólo en las columnas r tales que mcd( r, m) = 1. De estas columnas hay φ(m).
Tomamos, entonces, una columna indizada por un entero r primo con m y
contamos cuántos enteros de la columna son primos con mn. Los enteros de
esta columna son:
r, m + r, ..., km + r , (n – 1 )m + r
donde estamos suponiendo que mcd(r, m) = 1. En particular, todos estos enteros son primos con m. Sólo es necesario encontrar los que, además, son primos
con n. Si restamos r a todos los enteros anteriores, obtenemos:
0, m , 2m, ..., k m, ..., (n – 1 )m
y como estamos suponiendo que mcd(m,n) =1, éste es un sistema completo de
representantes módulo n (y por lo tanto, el anterior también, ya que se obtiene
sumando una constante r). Sin embargo, un sistema completo de representantes siempre contiene un sistema reducido.
Por lo tanto, en cada columna de las seleccionadas hay un total de φ(n) enteros
primos con mn. Como hay φ(m) de estas columnas, tenemos un total de
φ(n)·φ(m) enteros entre 1 y mn primos con mn. Consecuentemente:
φ ( mn ) = φ ( m) ⋅ φ ( n )
si mcd (m, n) = 1.
Ejemplo 21
Calculemos los valores φ(125) y φ(360).
• Por un lado, tenemos (aplicando el primer apartado de la proposición anterior):
φ ( 125) = φ ( 5 3 ) = 53 – 52 = 125 – 25 = 100 .
Es decir, hay 100 enteros positivos entre 1 y 125 que son primos con 125 (de modo equivalente, que no los divide el 5).
• Por otro lado, la descomposición del 360 es 23 · 3 2 · 5. Por lo tanto, aplicando el segundo
apartado de la proposición anterior y después el primero:
φ ( 360) = φ ( 2 3 ⋅ 32 ⋅ 5 )
= φ ( 2 3 ) ⋅ φ ( 32) ⋅ φ ( 5 )
= ( 2 3 – 2 2 ) ⋅ ( 32 – 3 ) ⋅ ( 5 – 1 )
= 96 .
Aritmética de los números enteros
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 FUOC • P00/75004/00190
Aritmética de los números enteros
Es decir, hay un total de 96 enteros positivos menores que 360 que no son divisibles por
2, ni por 3, ni por 5.
6.4. Teoremas de Fermat y de Euler
En este subapartado estudiaremos un par de teoremas, importantes en sí
mismos, que nos facilitan, además, hacer cálculos con congruencias o, si se
prefiere, en el anillo Z m . Como veremos más adelante, el teorema de Fermat
es un caso particular del teorema de Euler, y fue el primero en ser demostrado.
Teorema 8: teorema de Fermat
Si p es un primo y a ∈ Z satisface mcd( p,a) = 1, entonces:
a p – 1 ≡ 1 (mod p )
De forma equivalente, si a ∈ Z *p, entonces a p – 1 = 1. Es decir, la potencia
(p – 1)–ésima de cualquier elemento no nulo de Zp es 1.
Demostración
1) Si p = 2, entonces el teorema es inmediato: la clase a debe ser igual a 1, y
hemos acabado.
2) Supongamos, entonces, que p es un número primo impar. Entonces el conjunto de los enteros entre 1 y p – 1 es obviamente un sistema reducido de representantes módulo p. Además, si multiplicamos estos números por el entero
a, que es primo con p, el conjunto que obtenemos también es un sistema reducido de representantes módulo p, para la proposición 17. Es decir, los conjuntos siguientes:
S = { 1, 2, … , ( p – 1 ) } y T = { a, 2a , … , ( p – 1 )a }
son sistemas reducidos de representantes módulo p: los elementos de S, y los
de T, representan todas las clases de congruencia no nulas módulo p (recordemos que si p es primo, entonces Zp es un cuerpo y, por lo tanto, los elementos
invertibles son todos los no nulos).
Por lo tanto, el producto de los elementos de S debe ser congruente con el producto de los elementos de T (en términos de clases es, tal vez, más fácil de observar: Z* p está formado por las clases de los elementos de S, es decir, 1, 2, ...,
p – 1 ; análogamente, Z*p también está formado por las clases de los elementos
de T, es decir, a, 2a, ..., (p – 1) a. Es decir:
Pierre Fermat
(1601-1665)...
... fue un gran matemático francés que introdujo por primera
vez el concepto de infinito en el
cálculo y descubrió propiedades de varios números. Se considera el creador de la moderna
teoría de los números.
43
 FUOC • P00/75004/00190
P = 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ ( p – 1) ≡ a ⋅ 2 a ⋅ … ⋅ ( p – 1 )a (mod p )
≡ a p – 1 ⋅ ( 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ ( p – 1 ) ) (mod p ) .
Pero P es un entero primo con p; por lo tanto, en virtud de la proposición 11,
podemos simplificar los dos lados de la congruencia anterior por P y, entonces, obtenemos:
a p – 1 ≡ 1 (mod p ) .
Teorema 9: teorema de Euler
Si a ∈ Z y m>1 satisfacen mcd( a, m) = 1, entonces:
a φ( m) ≡ 1 (mod m )
De forma equivalente, la potencia φ(m)–ésima de la clase a es 1; es decir:
a φ(m) = 1 si a ∈ Z *m.
La prueba de este teorema es muy similar a la que hemos hecho del teorema
de Fermat.
Observemos que, en el teorema de Euler, cuando tomamos m = p primo, entonces φ(p) = p –1, y lo que dice el teorema es que si a es un entero primo con
p, entonces ap–1 ≡ 1. Es decir, el teorema de Fermat es el caso particular del teorema de Euler cuando m es un número primo.
Ejemplo 22
Calculemos el resultado de dividir 1.997 1.997 entre 12.
Debemos encontrar el representante que está entre 0 y 11 del entero en cuestión. En primer lugar, encontramos la clase de 1.997 módulo 12:
1.997 ≡ 5 (mod 12)
Por lo tanto, tenemos:
1.997 1.997 ≡ 51.997 (mod 12) .
Ahora podemos aplicar el teorema de Euler, ya que mcd(5, 12) = 1. Este teorema asegura que:
5φ ( 12 ) ≡ 1 (mod 12).
Calculamos φ(1 2)
φ ( 12 ) = φ( 2 2 ⋅ 3 ) = φ ( 2 2) ⋅ φ ( 3 ) = ( 2 2 – 2 1 ) ⋅ ( 3 1 – 30 ) = 2 ⋅ 2 = 4
Por lo tanto, 54 ≡ (mod 12). Así pues, si ahora dividimos 1.997 entre 4, obtenemos:
1.997 1.997 ≡ 5 1.997 = 5 499 ⋅ 4+
1
= ( 54 ) 499 ⋅ 5 ≡ 5 (mod 12).
Por lo tanto, el residuo de dividir 1.9971.997 entre 12 es 5.
Aritmética de los números enteros
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Aritmética de los números enteros
6.5. Pruebas de divisibilidad
Ahora estudiamos una aplicación de la teoría de las congruencias en la obtención de las llamadas pruebas de divisibilidad. Son conocidas las pruebas de divisibilidad por 2 o por 3, por ejemplo, entre otras. La prueba del 2 dice que un
número entero es divisible por 2 si acaba en cifra par. La del 3 dice que un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. ¿Cómo se
obtienen estos criterios?
Consideremos un entero positivo N escrito en base 10:
N = a n a n – 1 …a 1 a 0
donde los ai son dígitos decimales, es decir, números enteros entre 0 y 9. Esto
significa que:
N = a n ⋅ 10 n + a n – 1 ⋅ 10 n – 1 + … + a 1 ⋅ 10 + a 0 .
(2)
1) Prueba de divisibilidad por 2
Tenemos la equivalencia siguiente:
N es par ⇔ N ≡ 0 (mod 2)
⇔ a 0 ≡ 0 (mod 2)
⇔ a 0 es par
ya que las potencias de 10 son números pares. Por lo tanto, un número es divisible por 2 si, y sólo si, acaba en una cifra par.
2) Prueba de divisibilidad por 3
El ejemplo anterior nos define una estrategia a seguir. Se trata de conseguir en
la expresión (2) que N sea congruente con 0 módulo 3 y, por lo tanto, debemos
estudiar cómo son las potencias de 10 módulo 3. Estas potencias son todas
congruentes con 1 módulo 3, ya que 10 ≡ 1. Por lo tanto:
3 N ⇔ N ≡ 0 (mod 3)
⇔ a n + a n – 1 + … + a 1 + a 0 ≡ 0 (mod 3) .
Es decir, un entero es múltiplo de 3 si sus cifras decimales suman otro múltiplo de 3.
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Como hemos visto en estos dos ejemplos, si queremos obtener una prueba de
divisibilidad por d, debemos calcular las clases de congruencias de las potencias de 10 módulo el entero d.
Ejemplo 23
Encontremos un criterio de divisibilidad para d = 7.
Consideremos la expresión decimal de un entero N:
N = a n …a 1 a 0 = a n ⋅ 1 0n + … + a 1 ⋅ 10 + a 0 .
Ahora estudiemos las potencias de 10 módulo 7:
10 1 ≡ 3 ,
102 ≡ 9 ≡ 2
10 3 ≡ 6 ,
104 ≡ 18 ≡ 4
10 5 ≡ 12 ≡ 5 ,
106 ≡ 15 ≡ 1
Esta última congruencia era previsible, ya que 10 y 7 son primos entre sí y el teorema de Fermat dice entonces que 106 es congruente con 1 módulo 7. Ahora observamos que las potencias se van repitiendo cíclicamente; es decir, 107 ≡ 3, 10 8 ≡ 6, etc. Así pues, para que el entero
N sea divisible por 7 se debe cumplir que:
a 0 + 3 a 1 + 2 a 2 + 6 a 3 + 4 a 4 + 5a 5 + a 6 + … ≡ 0 (mod 7) .
Como podemos ver, es un criterio de divisibilidad díficil de recordar y, por lo tanto, poco
práctico.
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Resumen
En este módulo hemos expuesto una introducción a la aritmética de los números enteros. Hemos empezado con los conceptos de divisibilidad y de máximo común divisor, y hemos hecho especial énfasis en el algoritmo de
Euclides, que permite calcular eficientemente el máximo común divisor de
dos enteros. Después hemos estudiado los números primos y la factorización
de enteros. Finalmente, hemos definido las congruencias de enteros y hemos
visto cómo podemos estudiar y resolver problemas de divisibilidad a partir de
la teoría de congruencias. Para conseguirlo, hemos utilizado sobre todo la estructura algebraica de los anillos de enteros modulares y sus propiedades más
notables, como por ejemplo, los teoremas de Fermat y de Euler.
Aritmética de los números enteros
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Actividades complementarias
1 . Encontrad el cociente y el residuo resultantes de dividir:
a) 100 entre 17.
b) –100 entre 17.
c ) 294 entre –17.
d) –294 entre –17.
2. Encontrad el máximo común divisor de los pares de números siguientes y escribid la identidad de Bézout correspondiente:
a) 102 y 222.
b) 666 y 1.414.
c ) 3.120 y 270.
d) 20.785 y 44.350.
3 . Demostrd que si k es un entero arbitrario, entonces los enteros 3k + 2 y 5 k + 3 son primos
entre sí.
4 . Encontrad el mínimo común múltiplo de los pares de números que se indican:
a) 5.040 y 7.700.
b) 2 3 ·57 ·1113 y 2·3·5·7·11·13.
5 . Resolved las ecuaciones diofánticas siguientes, en el caso de que tengan solución:
a) 6 0x + 18y = 97.
b) 1.402x + 1.969y = 1
6 . Encontrad los enteros que tienen exactamente tres divisores positivos.
7 . Dad los valores positivos de los módulos que hacen correctas las siguientes congruencias:
a) 27 ≡ 5 (mod m ) .
b) 1.000 ≡ 1 (mod m ) .
c ) 1.331 ≡ 0 (mod m ) .
8. Resolved las ecuaciones en las siguientes congruencias:
a) 10 x ≡ 30 (mod 15)
b) 21 x ≡ 18 (mod 24)
9.
a) Encontrad las clases de congruencia módulo 8 y haced las tablas de la suma y el producto.
b) Calculad un sistema completo de representante.
c ) Calculad un sistema reducido de representante.
10. Proporcionad un sistema completo de representantes módulo 13 formado exclusivamente por enteros impares.
11. Probad, por inducción, que para todo entero positivo n se cumple:
4 n ≡ 1 + 3 n (mod 9)
12. Encontrad los valores de φ(m) si 11 ≤ m ≤20.
13. Encontrad el residuo de dividir 3 997.755 entre 35.
14. ¿Cuál es la última cifra decimal del entero 7 1.000?
15. Obtened la prueba de divisibilidad para 11.
Ejercicios de autoevaluación
1 . Usad el teorema de la división entera para demostrar que:
a) el cuadrado de un entero es la forma 3k o 3 k + 1
b) el cubo de un entero es de la forma 9 k, 9k + 1 o 9k + 8.
2 . Probad las respuestas siguientes:
a) Para todo entero a, mcd(2a + 1, 9 a + 4) = 1
b) Si mcd (a, b) = 1, entonces mcd (a + b, a – b) es 1 o 2.
Aritmética de los números enteros
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3. Resolved las ecuaciones diofánticas siguientes:
a) 123x + 360y = 99.
b) 158 x – 57y = 7.
4. Demostrad que si un número primo p divide una potencia an , entonces p n también la divide. Es decir, si p | a n , entonces p n | a n .
5 . Probad que si un entero n es una potencia k-ésima, entonces, en la factorización de n como
producto de primos, los exponentes son múltiplos de k.
6 . Encontrad cómo debe ser un entero para que tenga exactamente 4 divisores positivos.
7 . Calculad la clase módulo 4 de la suma siguiente:
1 5 + 2 5 + … + 99 5 + 100 5 .
8 . Resolved las ecuaciones en congruencias siguientes:
a) 34 x ≡ 60 (mod 98) .
b) 140 x ≡ 133 (mod 301) .
9 . Encontrad todas las soluciones enteras del sistema de congruencias siguiente:
{ x ≡ 2 (mod 3) ,
x ≡ 5 (mod 7) ,
x ≡ 3 (mod 4)} .
10. Probad que si p es un primo impar, entonces la congruencia:
x 2 ≡ 1 (mod p )
tiene exactamente dos soluciones módulo p.
11. Calculad la clase de 1.9862.061 módulo 7.
12. Encontrad las dos últimas cifras de 3256 .
13. Sean n y m dos enteros tales que todo primo que divida n también divida m (por ejemplo,
12 y 60). Probad que φ(nm) = n · φ(m). Deducid de ello que φ(n2 ) = n · φ(n ).
14.
a) Sean a y m enteros primos entre sí. Probad que la ecuación en congruencias:
a x ≡ b (mod m )
tiene como solución x ≡ aφ (m) – 1 · b (mod m).
b) Aplicad este resultado para encontrar la solución de la ecuación:
3 x ≡ 5 (mod 16) .
Aritmética de los números enteros
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Solucionario
Actividades
1.
a) Si a | b, entonces existe un x tal que a x = b. Entonces – b = (–x) a y –b = x (– a). Por lo
tanto, ±a | ±b.
b) Pongamos ax = b. Si multiplicamos por c ≠ 0, axc = bc. Por lo tanto, ac | bc.
c ) Recíprocamente, si c ≠ 0, de acx = bc podemos simplificar la c y nos queda ax = b . Por lo
tanto, a | b.
d) Si ax = b y b ≠ 0 , entonces |a| · |x| = |b| >0. Por lo tanto, |a| ≤ |b|.
e ) Del apartado anterior, tenemos que |a| ≤ |b| y | b| ≤ |a|. Por lo tanto, |a| = |b|.
f ) Si a | b, podemos poner ax = b y entonces x = b / a, que también divide b.
2 . En cada paso del algoritmo de Euclides extendido se cumple la igualdad:
r k = a xk + b y k
donde debemos entender que r−1 = a y r 0 = b. En efecto, para k = –1 y k = 0 tenemos, respectivamente:
a = r –1 = ax – 1 + by – 1 = a ⋅ 1 + b ⋅ 0
b = r 0 = a x0 + by 0 = a ⋅ 0 + b ⋅ 0
Supongamos ahora que se cumple la igualdad:
ri = ax i + by i
para todos los enteros i desde 0 hasta k . Entonces:
a xk + 1 + b y k + 1 = a ( xk – 1 – q k + 1 x k ) + b ( y k – 1 – q k + 1 y k)
= ( a x k – 1 + b y k – 1 ) – q k + 1 ( a xk + b y k )
= rk – 1 – q k + 1r k
= rk + 1
3 . Sean a y b dos enteros positivos y pongamos:
e
e
f
a = p 11 … pr r ,
f
b = p 11 …p r r
donde los exponentes ei ≥ 0 y los f i ≥ 0. Entonces, el máximo común divisor de a y b viene
dado por la fórmula:
min ( e , f )
1 1
mcd (a , b ) = p1
min ( e , f )
r r
…p r
y el mínimo común múltiplo, por la fórmula:
m a x ( e 1 , f1 )
mcm ( a , b ) = p 1
max( e 1, f1 )
… pr
4.
a) Si a, b, k ∈ Z y k ≠ 0, entonces:
a ≡ b (mod m ) ⇔ m ( a – b )
⇔ km k ( a – b )
⇔ ka ≡ kb (mod k m ) .
b) Si a ≡ b (mod m) y d | m, entonces d | m(a – b) y, por lo tanto, a ≡ b (mod d).
c ) Si r | (a – b) y s | (a – b), entonces a – b es múltiplo del mcm(r, s) = m y, por lo tanto, a
es congruente con b módulo m.
Aritmética de los números enteros
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5.
a) Debemos demostrar, en primer lugar, que el conjunto Z m con la suma es un grupo conmutativo; es decir, que la suma tiene las propiedades asociativa y conmutativa, que hay
un elemento neutro y que cada elemento tiene un inverso o simétrico.
• La propiedad asociativa de la suma de clases se demuestra como sigue (a, b y c son clases
de congruencias módulo m):
a + (b + c ) = a + b + c
suma de clases
= a + ( b + c)
suma de clases
= (a + b ) + c
asociatividad de la suma en Z
= a + b+ c
suma de clases
= (a + b ) + c
suma de clases.
• La propiedad conmutativa se demuestra de forma completamente análoga (se debe utilizar la definición de suma de clases y la propiedad conmutativa de la suma usual a Z).
• El elemento neutro de la suma de clases es la clase 0.
En efecto: a + 0 = a + 0 = a.
• La clase simétrica de una clase a es la clase –a.
En efecto a + –a = a + (– a) = 0.
b) Ahora debemos probar que el producto de clases tiene las propiedades asociativa y conmutativa y que tiene un elemento neutro. Además, se debe comprobar que se satisface la propiedad
distributiva del producto respecto de la suma. En lo que respecta a las propiedades asociativa y
conmutativa del producto de clases y la distributividad del producto respecto de la suma, se demuestran de forma análoga a como lo hemos hecho para la propiedad asociativa de la suma.
• Finalmente, puede comprobarse que el elemento neutro del producto es la clase 1 .
En efecto: a ⋅ 1 = a ⋅ 1 = a
Actividades complementarias
1.
a) 100 = 17 ⋅ 5 + 15 .
b) –100 = 17 ⋅ ( – 6 ) + 2 .
c ) 294 = ( – 17 ) ⋅ ( –17 ) + 5 .
d) – 294 = ( – 17 ) ⋅ 1 8 + 12 .
2.
a) mcd (102,222) = 6;
102 ⋅ ( –1 3) + 222 ⋅ 6 = 6
b) mcd (666, 1.414) = 2 ;
c ) mcd (3.120, 270) = 30;
d) mcd (20.785, 44.350) = 5;
666 ⋅ ( –138 ) + 1.414 ⋅ 65 = 2
3.120 · 2 + 270 · (−23) = 30
20.785 · (−1.707) + 44.350 · 800 = 5.
3 . Si tenemos en cuenta que mcd (a,b) = mcd (a, b –a ), obtenemos:
mcd (3 k + 2, 5 k + 3 ) = mcd (3k + 2 , 2 k + 1 ) = mcd (2k + 1, k + 1 ) = mcd ( k + 1, k ) =
= mcd ( k, 1 ) = 1
4.
a) mcm (5.040 , 7.700 ) = 277.200 .
b) mcm (23 ⋅ 5 7 ⋅ 1113 , 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 1 3 ) = 2 3 ⋅ 3 ⋅ 57 ⋅ 7 ⋅ 1113 ⋅ 13 .
5.
a) La ecuación no tiene soluciones enteras, ya que mcd(60,18) = 6 y 6 no divide 97, que es el
término independiente.
b) Tenemos: mcd (1.402, 1.969) = 1. Por lo tanto, la ecuación tiene soluciones enteras. La
identidad de Bézout es:
Aritmética de los números enteros
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1.402 ⋅ 889 + 1.969 ⋅ ( – 633 ) = 1 .
Por lo tanto, las soluciones son:
x = 889 – 1.969 t
y = – 633 + 1.402 t
donde t es un entero arbitrario.
6 . Sea n un entero positivo y sea:
e
e
n = p1 1 …p r r
su factorización como producto de primos. Entonces sabemos que el número de divisores positivos de n viene dado por el producto:
( e 1 + 1) ⋅ … ⋅ ( e r + 1)
y, en este caso, esto debe ser igual a 3. Puesto que 3 es un primo, resulta que en el producto
anterior sólo hay un factor:
e1 + 1 = 3
y, por lo tanto, e 1 = 2. Así pues, los enteros que sólo tienen tres divisores positivos son los
cuadrados de un número primo; es decir, los enteros de la forma ±p2 , donde p es un número
primo positivo. Resulta, por lo tanto, que los divisores positivos son 1, p y p2 .
7.
a) 27 ≡ 5 (mod m ) ⇔ m 27 – 5 = 22 ⇔ m ∈ {1 ,2 1
, 1 2, 2 } .
b) 1.000 = 1 (mod m) ⇔ m | 1.000 – 1 = 999 = 3 3 · 37, y los divisores positivos de 999 son 1,
3, 9, 27, 37, 111, 333, 999.
c ) 1.331 ≡ 0 (mod m) ⇔ m | 1.331 = 113 ⇔ m = 11k , donde k es un entero entre 0 y 3.
8.
a) El mcd(10,15) = 5 divide el término independiente 30 y, por lo tanto, hay solución. Podemos simplificar la congruencia si dividimos por 5 y obtenemos:
2 x ≡ 6 (mod 3 )
que equivale a la ecuación diofántica 2x + 3y = 6. Las soluciones de esta ecuación son:
x = –6 – 3t
y = 6 + 2 t, t ∈ Z
Por lo tanto, la solución es x ≡ –6 ≡ 0 (mod 3).
b) El mcd(21,24) = 3 divide el término independiente 18 y, por lo tanto, hay solución. Podemos simplificar la congruencia si dividimos por 3 y obtenemos:
7 x ≡ 6 (mod 8)
que equivale a la ecuación diofántica 7x + 8y = 6. Las soluciones de esta solución son:
x = –6–8t
y = 6 + 7t , t ∈ Z
Por lo tanto, la solución es x ≡ –6 ≡ 2 (mod 8).
9.
a) Tenemos:
Z 8 = { 0, 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }
donde la clase a está formada por los enteros de la forma a + 8 k.
Aritmética de los números enteros
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Aritmética de los números enteros
Las tablas son:
+
0
1
2
3
4
5
6
7
·
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
2
3
4
5
6
7
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
2
3
4
5
6
7
0
1
2
0
2
4
6
0
2
4
6
3
3
4
5
6
7
0
1
2
3
0
3
6
1
4
7
2
5
4
4
5
6
7
0
1
2
3
4
0
4
0
4
0
4
0
4
5
5
6
7
0
1
2
3
4
5
0
5
2
7
4
1
6
3
6
6
7
0
1
2
3
4
5
6
0
6
4
2
0
6
4
2
7
7
0
1
2
3
4
5
6
7
0
7
6
5
4
3
2
1
b) Un sistema completo de representantes es el conjunto de los enteros entre 0 y 7:
Scompleto = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
c ) Un sistema reducido está formado por los enteros entre 0 y 7 primos con 8:
S reducido = {1, 3, 5, 7}
Por lo tanto, φ(8) = 4.
10. Un sistema completo de representantes módulo 13 es:
S1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
Si queremos uno que sólo contenga enteros impares, podemos sumar múltiplos de 13 a los
enteros pares de S1 , hasta obtener unos representantes impares. Por ejemplo, 0 + 13 = 13 es
un entero impar congruente con 0 módulo 13.
Por lo tanto, podemos sustituir el 0 por el 13 en S1 . De forma análoga, podemos sustituir cada
entero par k de S1 por k + 13 y obtenemos:
S 2 = {13, 1, 15, 3, 17, 5, 19, 7, 21, 9, 23, 11, 25}.
que es un sistema como el que queríamos.
11.
1 . Para n = 1 tenemos: 41 = 4 ≡ 1 + 3 · 1 (mod 9).
2 . Supongamos que la propiedad es cierta para un entero n. Entonces:
4 n + 1 = 4 n ⋅ 4 ≡ (1 + 3 n ) ⋅ 4 (por hipótesis de inducción)
= (1 + 3n) · (1 + 3) = 1 + 3 n + 3 + 9 n
≡ 1 + 3 · (n + 1) (mod 9).
12.
m
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
φ(m)
10
4
12
6
8
8
16
6
18
8
13.
Tenemos que φ(35) = 24 y 3 es primo con 35. Por lo tanto, por el teorema de Euler:
3φ ( 35 ) = 3 24 ≡ 1 (mod 35).
Por lo tanto, las potencias de 3 módulo 35 se repiten cada 24. Así pues, tenemos:
3 997.755 = 3 24 ⋅ 41.573 + 3 = ( 3 24 )
Es decir, el residuo es 27.
41.573
⋅ 3 3 ≡ 27 (mod 35).
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14.
La última cifra decimal de un entero se obtiene calculando el residuo módulo 10. Puesto que
7 y 10 son primos entre sí, podemos aplicar el teorema de Euler.
7 φ (10 ) = 7 4 ≡ 1 (mod 10)
Ahora, 1.000 es múltiplo de 4 y, así pues,
71.000 = 7 4 ⋅ 250 ≡ 1 (mod 10)
Por lo tanto, 7 1.000 se acaba en 1.
15. Debemos estudiar las potencias de 10 módulo 11. Tenemos:
10 1 ≡ – 1
10 2 ≡ 1
y es fácil apreciar que las potencias con exponente par son congruentes con 1 módulo 11 y
las potencias con exponente impar son congruentes con –1 módulo 11.
Por lo tanto, un entero n es divisible por 11 si sus cifras a n ...a 0 satisfacen:
a 0 – a 1 + a 2 – a 3 + … ≡ 0 (mod 11)
Si P (N) denota la suma de las cifras que están en posición par y S(N ) denota la suma de
las que están en posición impar, entonces N es divisible por 11 si, y sólo si, P(N) – S(N) es
múltiplo de 11.
Ejercicios de autoevaluación
1.
• Un entero n es siempre de la forma 3q + r, con 0 ≤ r < 3; es decir, n = 3q, n = 3q + 1 o n = 3 q + 2.
• En el primer caso, n2 = 9q 2 = 3 (3q2 ).
• En el segundo, n2 = 9q 2 + 6q + 1 = 3 (3q 2 + 2 q) + 1.
• En el tercero, n2 = 9 q2 + 12 q + 4 = 3 (3 q2 +4q+1) + 1.
• Ahora consideremos los 9 posibles residuos de dividir por 9 y procedamos igual que antes.
• Si el residuo de dividir un entero n por 9 es 0, 3 o 6, entonces n 3 es de la forma 9 k.
• Si es 1, 4 o 7, entonces n3 es de la forma 9k + 1.
• Si es 2, 5 o 8, entonces n3 es de la forma 9k + 8.
2.
a) Tenemos:
mcd (2 a + 1, 9a + 4 ) = mcd (2 a + 1, 9 a + 4 –4 (2 a + 1 ) )
= mcd (2 a + 1, a )
= mcd (2 a + 1 – 2 a , a )
= mcd(a , 1 ) = 1 .
b) Supongamos que mcd(a,b) = 1. Entonces:
mcd (a + b , a – b ) = mcd (a + b – (a – b ), a + b ) = mcd (2 b, a + b ) = d
• Si a + b es impar, entonces d = 1, ya que mcd (2 b, a + b) = 1.
• Por otro lado, si a + b es par, entonces d = 2.
3.
a) x = 1.353 –120 t, y = – 462 + 41 t , t ∈ Z
b) x = – 154 + 57 t, y = – 427 + 158t , t ∈ Z
4 . Si p | an = a · a · ... · a, por el lema de Gauss tenemos que p debe dividir algún factor; es
decir, p | a , pero entonces p n | a n.
5 . Que n sea una k-ésima potencia quiere decir que hay un entero m tal que n = m k. Si factorizamos m como producto de primos:
e
e
m = p11… p r r
Aritmética de los números enteros
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entonces la factorización de n será:
k
e
e
k
ke
ke
n = m = ( p 11 …p r r ) = p 1 1 … p r
r
por lo tanto, los exponentes ke i son todos múltiplos de k.
6 . Consideremos la factorización en primos de un entero n :
e
e
n = p1 1 …p r r
Sabemos que el número de divisores positivos de n es el producto:
P = ( e 1 + 1) ⋅ … ⋅ ( e r + 1 ) .
El 4 descompone como 4 = 2 · 2; por lo tanto, n tiene sólo dos factores primos elevados a 1.
Es decir, n es de la forma n = pq, con p y q primos diferentes.
7 . Sea S la suma. Podemos agrupar los sumandos de 4 en 4 de la forma siguiente:
S = ( 1 5 + 25 + 35 + 4 5 ) + … + ( 97 5 + 98 5 + 99 5 + 100 5 ) .
Dentro de cada suma el primer sumando siempre es congruente con 15 módulo 4, el segundo
sumando siempre es congruente con 25 módulo 4, el tercero siempre es congruente con 35
módulo 4 y el último es congruente con 4 5 módulo 4. Por lo tanto:
S ≡ 2 5 ⋅ ( 1 5 + 2 5 + 35 + 4 5 ) ≡ 1 + 0 + 3 + 0 = 4 ≡ 0 (mod 4) .
Es decir, S = 0.
8.
a) x ≡ 45 (mod 49)
b) x ≡ 16 (mod 43)
9 . Si x ≡ 2 (mod 3), entonces x = 2 + 3y , para cierto entero y . Reducimos esta igualdad a módulo 7 y obtenemos:
2 + 3 y = x ≡ 5 (mod 7) ⇒ 3 y ≡ 3 (mod 7)
y como 3 y 7 son primos entre sí, podemos simplificar por 3 la congruencia anterior e y ≡ 1
(mod 7). Esto significa que y = 1 + 7z, para cierto entero z, y que x = 5 + 21z . Reducimos a
módulo 4 y obtenemos:
5 + 21z = x ≡ 3 (mod 4) ⇒ z ≡ 2 (mod 4)
Por lo tanto: z = 2 + 4u, para cierto entero u. Finalmente, obtenemos:
x = 2 + 3 y = 5 + 21z = 47 + 84 u,
es decir: x ≡ 47 (mod 84).
10. Si x 2 ≡ 1 (mod p), entonces:
p x2 – 1 = ( x – 1 ) ⋅ (x + 1 )
y por el lema de Gauss, p | (x–1) o bien p | (x + 1); es decir, x ≡ 1 (mod p) o bien x ≡ –1 (mod
p), que son las dos soluciones de la congruencia. Observemos que –1 y 1 no son congruentes
entre sí si p es un primo impar.
11. Tenemos: 1.986 ≡ 5 (mod 7), φ(7) = 6 y 2.061 ≡ 3 (mod 6). Por lo tanto, por el conocido
teorema de Fermat:
1.9862.061≡52.061≡53 ≡125≡6.
12. Las dos últimas cifras de un entero se obtienen reduciéndolo módulo 100. Puesto que 3
y 100 son primos entre sí, podemos aplicar el teorema de Euler. Tenemos:
φ ( 100) = φ ( 22 ⋅ 5 2 ) = φ( 2 2 ) ⋅ φ ( 5 2 ) = 2 ⋅ 2 0 = 40
Por otro lado, 256 ≡ 16 (mod 40). Por lo tanto, por el teorema de Euler:
3 256 ≡ 316 = 814 ≡ ( –19 ) 4 ≡ 21 (mod 100)
Aritmética de los números enteros
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Aritmética de los números enteros
13. Supongamos:
e
e
f
n = p1 1 …p r r ,
f
m = p 11 … p r r
Entonces:
e
φ ( n m ) = φ ( p 11
= (p
= p
e1 + f 1
1
e1 + f 1 – 1
1
+f
1
–p
e + f
… prr
e 1 + f1 – 1
1
r
)… (p
er + f r – 1
r
( p 1 – 1 )… p
e + f
) = φ (p 11
er + f 1
r
1
–p
e +f
) … φ (pr r
er + f r – 1
r
)
r
)
( p r – 1 ) = n φ ( m) .
14.
a) Si a y m son primos entre sí, entonces, por el teorema de Euler:
a φ (m ) ≡ 1 (mod m )
Por lo tanto, tenemos:
a φ ( m ) – 1 ⋅ a = a φ (m ) ≡ 1 (mod m )
Es decir, el entero a φ (m) – 1 representa la clase inversa de la clase a. Por lo tanto, si multiplicamos los dos lados de la congruencia original por aφ (m)–1, obtenemos:
a φ ( m ) – 1 ⋅ ax ≡ x ≡ a φ ( m ) – 1 ⋅ b (mod m )
b) Aplicación: φ(16) = φ(2 4 ) = 2 3 = 8:
3 x ≡ 5 (mod 16) ⇒ x ≡ 3 8 – 1 ⋅ 5 ≡ 7 (mod 16)
Glosario
anillo de enteros modulares
El conjunto de clases de congruencia módulo m, denotado como Z m ′ es un anillo conmutativo con unidad con la suma y el producto de clases. Recibe el nombre de anillo de enteros
modulares módulo m.
clases de congruencia
Dado un entero a módulo m, es el conjunto de enteros que son congruentes con a módulo
m. Se escribe a.
clase invertible
Clase de congruencia que tiene inverso respecto del producto.
congruencia
Ved números congruentes .
cuerpo finito
Anillo Z p son cuerpos finitos si, y sólo si, p es un número primo.
divisor
Dado un entero a, se dice que es divisor de otro entero b si hay un único entero x tal que
ax = b. También se dice que a es divisible por b o que b es múltiplo de a.
ecuación diofántica
Ecuación polinómica con coeficientes enteros de la que nos interesa conocer las soluciones
enteras.
enteros primos entre sí
Enteros sin ningún factor primo en común. Es decir, enteros que tienen el máximo común
divisor igual a 1.
función de Euler
La función φ de Euler de un entero m es 1 si m = 1 y el número de enteros positivos menores
que m y primos con m , si m >1. Coincide con el cardinal de Z* m.
máximo común divisor (mcd)
Dado un conjunto de enteros, el mcd entero positivo divisor común de todos los enteros del
conjunto tal que cualquier otro divisor común es divisor de aquél.
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mínimo común múltiplo (mcm)
Dado un conjunto de enteros, el mcm es un entero positivo mínimo que es al mismo tiempo
múltiplo de cada uno de los enteros del conjunto.
múltiplo
Ved divisor.
número primo
Un número entero p es primo si es diferente de ±1 y los únicos divisores de p son ±1 y ±p.
números congruentes
Dados dos enteros a y b, son congruentes módulo un entero m si la diferencia a – b es múltiplo de m. Lo escribimos así: a ≡ b (mod m).
sistema completo de representantes
Conjunto de enteros no congruentes entre sí módulo m que representan todas las clases de
congruencia módulo m y que constituyen un sistema completo de representantes módulo m.
sistema reducido de representantes
Conjunto de enteros no congruentes entre sí módulo m que representan todas las clases de
congruencia módulo m que tienen inverso (es decir, las clases invertibles) y que constituyen
un sistema reducido de representantes módulo m .
Bibliografía
Birkhoff, G.; Maclane, S. (1985). Álgebra moderna (3.ª ed.). Barcelona: Vicens-Vives.
Niven, I.; Zuckerman, H. (1985). Introducción a la teoría de los números (1.ª ed.). México:
Editorial Limusa.
Aritmética de los números enteros