AREA : Matemáticas - mathmyriam

COLEGIO
CRISTO REY
MYRIAM SICACHA GAVIRIA
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1
FISICA GRADO ONCE
ASIGNATURA:
NOMBRE :
GRADO:
FISICA
MOVIMIENTO
PERIODICO
ONCE
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
PARA LA UNIDAD
1. ¿Cuál
es
la
principal
característica
de
un
movimiento periódico?
2. ¿Qué relación existe entre
período y frecuencia de un
movimiento periódico?
3. Una
varilla
efectúa
120
vibraciones durante un tiempo
de un minuto. Hallar el período
y
la
frecuencia del movimiento.
4. La
frecuencia
de
un
movimiento oscilatorio es de 8
Hz. Determinar el período de
movimiento.
5. Un volante realiza 1500
revoluciones cada 3 segundos
y otro efectúa 3500 en 5
segundos.
Calcular cuantas vueltas dará
más el uno que el otro, durante
un tiempo de 3/4 de minuto.
vibratorio es de 4 Hz y el
período de otro movimiento
similar es de 0,5 segundos.
Calcular:
el valor de la velocidad a los 0,8
y 1,4 segundos después de
haberse iniciado el movimiento.
la elongación es de 0,26
centímetros, ¿cuántas puntadas
dará la máquina por minuto?
15. Determinar el valor de la 19. La amplitud de oscilación de
aceleración en un MAS, para
una partícula es de 0,5
a) Diferencia de frecuencia
cuando
el
valor
de
la
centímetros y el período de 0,1
entre los dos movimientos.
elongación
es
segundo. ¿Al cabo de cuánto
b) Diferencia de períodos.
de 3 y 5 centímetros,
tiempo su elongación valdrá
respectivamente. Frecuencia
0,2 centímetros?
8. ¿Cuáles
son
las
del movimiento: 4 Hz.
características
de
un
20. Un péndulo de 20 centímetros
movimiento armónico simple? 16. Una partícula ejecuta un MAS
de longitud oscila con período
de 12 centímetros de amplitud
de 0,4 segundos; si su longitud
9. ¿En qué condiciones el
y frecuencia de 2 Hz. Calcular:
se aumenta en 1,6 metros,
movimiento de un péndulo se
¿cómo se modificará el
puede considerar como MAS?
período? ¿Cómo cambia la
a) Valores máximos de la
frecuencia?
velocidad y aceleración.
10. ¿Entre qué valores varía la
elongación en un MAS?
b) Valores de la velocidad y 21. Al traer un reloj de péndulo del
polo al ecuador terrestre, ¿se
aceleración al cabo de 2,4
11. ¿Es constante la velocidad de
atrasa o se adelanta?
segundos
de
haberse
un cuerpo que realiza un MAS?
iniciado el movimiento.
22. Determinar experimentalmente
12. En un movimiento pendular,
el valor del período de un
c) Posición de la partícula a los
¿cómo varía la energía cinética
péndulo de 1,2 metros de
3,2 segundos de iniciación
y la potencial cuando la masa
longitud, con base en el dato
del movimiento.
pendular se aleja y acerca a la
hallado calcular el valor de la
posición de equilibrio?
gravedad en dicho lugar.
17. Una partícula ejecuta un MAS.
Cuando su elongación vale 0,5
13. En un MAS la amplitud tiene un
metros, su velocidad es de
valor de 0,05 metros y el
5 m/s y cuando la elongación es
período es de 0,8 segundos.
de un metro, la velocidad es de
Calcular la elongación para
3 m/s. Hallar la amplitud de
tiempos de: 0,2; 0,4 y 1,2 de
vibración.
haberse iniciado el movimiento.
6. ¿Cuál es la frecuencia normal 14. En un MAS la amplitud tiene un 18. La aguja de una máquina de
coser efectúa un MAS, siendo
valor de 0,10 metros y el
con que palpita un corazón?
la amplitud de 0,3 centímetros.
período es de 2 segundos.
Si al cabo de 1/20 de segundo
Calcular
7. La frecuencia de un movimiento
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6. Mostrar en forma experimental
un
movimiento
pendular
haciendo ver con ayuda de una
gráfica,
que
Objetivos específicos
se trata de un movimiento
debido a la fuerza de gravedad.
Como consecuencia del estudio
de la presente unidad, el alumno 7. Deducir
una
expresión
matemática que muestre los
debe quedar en capacidad de:
factores que determinan el valor
1. Identificar las diferentes clases
del
período
en
de movimientos, tales como:
un péndulo simple.
uniforme, acelerado, circular
utilizando
un
uniforme
y 8. Investigar,
periódico, especificando con
péndulo, la manera como puede
claridad en cada caso, las
hallarse el valor de la gravedad
características o propiedades de
de un lugar.
cada uno.
2. Clasificar las diferentes formas
o modalidades del movimiento
INTRODUCCIÓN
periódico,
estableciendo
la
debida diferencia, por ejemplo Entre los fenómenos físicos de
entre un movimiento oscilatorio cotidiana observación el más
y uno vibratorio, o entre un común es sin duda el del
movimiento pendular y uno movimiento. Desde que nos
arrullan cuando niños hasta
ondulatorio.
cuando morimos, nos estamos
3. Explicar con dos o tres ejemplos moviendo. Durante el período de
las características particulares nuestra existencia presenciamos a
de un movimiento armónico diario, el movimiento de las aguas,
simple MAS.
de los vientos, de los animales, de
4. Resolver por lo menos 10 los vehículos, etc. Por las lecturas
ejemplos de problemas relativos que realizamos nos estamos
a las variables: elongación, informando del movimiento de los
velocidad, aceleración y energía planetas, las partículas y los
electrones.
en un MAS.
5. Dibujar sobre el mismo sistema Entre las variadas clases de
coordenado
las
gráficas movimiento,
el
denominado
correspondientes
a
las periódico, reviste una importancia
variables:
elongación, extraordinaria, pues la mayor
velocidad y aceleración.
UNIDAD 1
MOVIMIENTO PERIODICO
parte de fenómenos como el calor,
el sonido, la luz y la electricidad,
poseen
elementos
de
periodicidad, como tendremos
ocasión de comprobarlo a lo largo
del presente curso.
e) Tómese el pulso de dos o tres
personas,
f) Coméntese el movimiento de la
tierra alrededor del sol y el de los
electrones en torno del núcleo.
1-1. Concepto de movimiento
periódico
En Unidades de Física 10, se
estudiaron diversas clases de
movimientos, tales como el que
realiza un cuerpo que se mueve
uniformemente en línea recta.
Consideramos
también
el
movimiento
rectilíneo
con
aceleración constante y el circular
uniforme, en el cual la rapidez se
conserva constante aun cuando
tiene lugar un cambio continuo de
la dirección. Aparte de éstas
formas de movimiento, existen
otras, en las que el móvil ejecuta
repetidamente
el
mismo
movimiento a intervalos iguales de Figura 1-1. Diferentes clases de
movimiento periódico
tiempo.
Experimentos:
¿Qué diferencias y semejanzas se
pueden establecer entre los
a) Hágase oscilar un péndulo,
movimientos observados? ¿Se
b) Obsérvese el movimiento de las advierte algún elemento común en
manecillas de un reloj,
todos
los
movimientos
examinados?
¿Cuál
es?
c) Hágase vibrar una cuerda
tensa,
Si los experimentos sugeridos se
d) Obsérvese el movimiento de un han realizado con atención
seguramente la mayoría de los
columpio,
alumnos formularán la siguiente
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observación: se trata en todos los
casos, de movimientos que se
repiten con similares características a inter\ralos iguales de
tiempo.
En el caso del movimiento
pendular, por ejemplo, la masa
suspendida del hilo figura 1-1,
partiendo de su posición de
equilibrio AB, es llevada por la
acción de una fuerza hasta la
posición AC; abandonada en éste
instante, la masa busca recuperar
su posición inicial, pero a causa
de la energía cinética adquirida,
no sólo alcanza dicha posición,
sino que logra llegar a otra AD simétrica de AC, con respecto a
AB.
De este momento en adelante el
movimiento pendular se repite con
similares características durante
algún tiempo. De conformidad con
la ley de la conservación de la
energía, el movimiento debería
ser indefinido, si a él, no se
opusiera la fuerza de rozamiento,
la que en forma gradual va
amortiguando las oscilaciones
hasta que finalmente el cuerpo
oscilante vuelve a su condición de
reposo.
Analizando
los
demás
movimientos observados, se llega
muy aproximadamente a la
conclusión antes enunciada, o
sea, que se trata en todos los
casos de movimientos que se
repiten
con
las
mismas
características a intervalos iguales
de tiempo. A esta clase de
movimiento se le denomina
periódico.
La expresión periódico se aplica
a esta clase de movimiento en
razón de que el vocablo se utiliza
para significar fenómenos o
hechos que se repiten igualmente
después de un cierto tiempo. Así,
por ejemplo, si a una persona se
le presenta fiebre todos los días a
la misma hora, es lógico que se
trate de una fiebre periódica; las
publicaciones
que
aparecen
diaria, semanal o mensualmente
se
les
denomina
también
periódicas, justamente por las razones anotadas anteriormente.
reconocer
su
inconfundible
carácter periódico. Igualmente y
mucho más específicos son
también fenómenos de naturaleza
periódica: el sonido, la luz, las radiaciones caloríficas, la radiación
gamma, los rayos X y finalmente,
la radiación cósmica. En realidad
el
estudio
del
movimiento
periódico parece abarcar el de la
Física entera.
c)
Movimiento
pendular:
movimiento de una masa a uno y
otro lado de la posición de
equilibrio en virtud de la gravedad
y de la inercia,
d)
Movimiento
vibratorio:
movimiento rápido a uno y otro
lado de la posición de equilibrio en
virtud de la elasticidad, e) Movimiento ondulatorio: movimiento
vibratorio que se transmite
sucesiva
y
gradualmente,
1-2. División del movimiento
mediante las vibraciones de una
periódico
partícula a las demás de un
Para su estudio, el movimiento determinado medio.
periódico se divide en las 1-3.
Elementos
de
un
siguientes formas:
movimiento periódico
En la misma forma se explica,
que en el estudio de Aritmética se
hable de fracciones periódicas
tales como:
0,333...; 0,252525..., etc.
El
estudio
del
movimiento
periódico
reviste
especial
importancia ya que casi la
totalidad de los fenómenos físicos
conocidos, encierran elementos
de periodicidad.
a)
Circular
uniforme:
movimiento de rapidez constante
En efecto, si examinamos el cuya
trayectoria
es
una
movimiento de la tierra alrededor circunferencia,
del sol, el de la luna alrededor de
la tierra, el de la tierra sobre sí b)
Oscilatorio: movimiento a
misma, el de los electrones en uno y otro lado de la posición de
torno al núcleo, el de las ramas de equilibrio,
un diapasón, etc, tenemos que
Experimento:
tómense
dos
péndulos de 40 y 90 centímetros
de longitud respectivamente y
separándolos igualmente de su
posición de equilibrio, hágaseles
oscilar. Con ayuda de un
cronómetro regístrese en cada
caso el número de oscilaciones
realizadas por cada péndulo,
durante un minuto.
En poder de los datos logrados,
dedúzcanse por cálculo los
siguientes valores:
a) Tiempo empleado por cada
péndulo para efectuar una
oscilación completa,
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b) Número de oscilaciones o vimientos? ¿Durante todo el
ciclos realizados por cada péndulo tiempo de oscilación conservan la
durante un segundo.
misma diferencia de separación
relación a la posición de
Los
resultados
anteriores con
equilibrio?
deben conducir a las siguientes
conclusiones: para verificar una
oscilación, cada péndulo emplea
un determinado intervalo de
tiempo; durante un segundo,
cada péndulo efectúa un determinado número de oscilaciones
o ciclos.
La primera de las conclusiones
anteriores permite fijar el concepto
de período, como el intervalo de
tiempo empleado por el péndulo
para realizar una oscilación; la
segunda permite fijar el concepto
de frecuencia, entendida como
el número de oscilaciones
efectuadas en la unidad de
Figura 1-2. Noción de amplitud
tiempo, o sea un segundo
Un niño que se mece en un
columpio de igual longitud que el
http://www.youtube.com/watch?v=C
de su compañero, puede en su
w9eFeVY74I
movimiento de vaivén llegar a una
http://www.youtube.com/watch?v=UF posición extrema de mayor altura
9C97qPwF4
con relación al suelo, que el de su
http://www.youtube.com/watch?v=d1 amigo; un émbolo puede tener una
mayor
carrera
que
otro,
Up-PUEoKM
entendiendo
como
tal,
la
distancia
Experimento:
tómense
dos
las posiciones extremas que
péndulos de la misma longitud e entre
ocupa,
sea, la posición en que
igual
masa
pendular
y cambia o
el
sentido del movimiento.
separándolos desigualmente de
su posición de equilibrio hágaseles La diferencia advertida entre el
oscilar.
movimiento de los dos péndulos
corresponde a la noción de
entendida como la
¿Qué
diferencia
se
puede amplitud,
máxima
separación
con
observar entre los dos mo-
respecto a la posición de
equilibrio.
Experimento: dos péndulos de
igual longitud, háganse oscilar con
igual amplitud, pero iniciando el
movimiento de uno hacia la
derecha y en el otro hacia la izquierda, figura 1-4. ¿Qué se
observa? Los péndulos oscilan
con igual período, frecuencia y
amplitud, pero difieren en algo.
Ambos
péndulos
pasarán
simultáneamente
por
sus
respectivas
posiciones
de
equilibrio, pero con movimientos
de sentido contrario.
de igualar o sincronizar los dos
movimientos. ¿Cuánto hubo que
esperarse
para
lograr
el
resultado deseado?.
Sencillamente un semi-período, o
sea que la diferencia fundamental
entre el movimiento de los dos
péndulos corresponde a un
adelanto o retraso de un
movimiento con respecto al otro. A
este adelanto o retraso de un
movimiento con relación al otro
se le denomina en Física,
diferencia de fase.
Dos péndulos pueden oscilar en
fase u oscilar con diferencia de
fase, la cual puede expresarse
en
función
de
períodos
completos o por fracciones de
período.
En síntesis, todo movimiento
periódico está caracterizado por
cuatro elementos a saber:
período, frecuencia, amplitud y
diferencia de fase.
Figura 1-2. Noción de amplitud
Examinando los conceptos de
período y frecuencia, es fácil
Figura 1-3. Concepto de diferencia de
deducir que se trata de dos
fase
magnitudes, que guardan entre
Si
quisiéramos
igualar sí una relación inversa que
completamente los dos movi- puede expresarse en forma
mientos, ¿qué podríamos hacer? matemática.
Sencillamente cuando el uno haya
llegado de su posición extrema En efecto, llamando T al período
derecha o izquierda, deténgase y f a la frecuencia se halla que:
hasta cuando el otro llegue a fin
T = 1/f o sea que: f = 1/T
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El
período
siempre
debe
Figura 1-4. Concepto de movimiento
expresarse en segundos y
armónico simple
la frecuencia en HERTZ (Hz)
¿Qué clase de movimiento se
1 Hz = 1 ciclo/s
observa en los tres casos? ¿Es
oscilatorio?
1-4.
Movimiento
armónico ¿E| movimiento es vibratorio?
simple MAS
¿Qué fuerzas intervienen en los
http://www.youtube.com/watch?v=Lau9 tres movimientos?
kwWfHwc&feature=related
¿Podemos afirmar que los
Experimento:
movimientos observados se de1. Tome una banda de caucho, ben
a
fuerzas
elásticas?
fíjela por uno de sus extremos y ¿Recuerda usted la ley de
del otro suspenda una piedra. Hook?
Estire un poco la banda con la ¿Qué tipo de relación se
mano y luego suéltela.
advierte entre la fuerza que obra
2. Repita el experimento anterior, y el desplazamiento que tiene
pero usando un resorte en vez de lugar?
la banda de caucho.
3. Una lámina de acero o una Como los tres movimientos
segueta fíjela como lo muestra la parecen
tener
similares
figura 1-4 y con la mano retírela características, examinemos, por
de su posición de equilibrio y ejemplo, el que realiza la varilla. Si
abandónela.
se aplica a la masa M una fuerza
hacia la derecha de modo que
origine un desplazamiento x, de
inmediato se observa la acción de
una fuerza restauradora que
tiende a regresar la masa a su
posición inicial. Esta fuerza
decrece a medida que la masa
regresa llegando a anularse para
la posición central, pero gracias a
la inercia y a la cantidad de
movimiento lineal, la masa se moverá hacia la izquierda hasta
alcanzar la posición B simétrica de
A con respecto a 0.
miento
debería
repetirse
indefinidamente.
El anterior análisis aplicado a los
demás casos permite deducir que
se trata en todos los ejemplos de
un movimiento muy particular en
el cual: la fuerza que actúa es
variable,
proporcional
al
desplazamiento
y
dirigida
siempre hacia el centro. Tanto
la fuerza como el desplazamiento tienen_ la misma
dirección, pero sentido opuesto.
Todo movimiento que obedezca
a las características antes
enunciadas es un movimiento
armónico simple MAS. La
relación entre la fuerza y el
desplazamiento
queda
perfectamente descrita por medio
de la ecuación:
F = kx o también F/x = K
De un pequeño clavo C fijo al
disco, pende en la forma en que
se ve, una cuerda que atraviesa
una esfera de madera E, por un
orificio de mayor diámetro que el
de ésta. Un peso P, permite
mantener tensa la cuerda o hilo.
Cuando se hace rotar el disco, el
peso sube y baja, en tanto que la
esfera E se mueve sobre el riel R
a uno y otro lado. ¿Qué ocurrirá
si al disco se imprime un
movimiento circular uniforme?
¿Cómo se moverá la esfera?
1. http://centros5.pntic.mec.es/ies.vic
toria.kent/Rincon-C/Curiosid/Rc28/cinemat.htm
2. http://es.wikipedia.org/wiki/Archi
vo:Fasorxva.gif.
3. http://es.wikipedia.org/wiki/Archi
vo:Muelle.gif
pero teniendo en cuenta que se
trata de igual dirección, pero de
sentido opuesto, la expresión (a)
anterior debe tomar la forma
F = -kx
http://www.youtube.com/watch?v=2L
2omFifDkI&feature=related
1-5. Relación entre MAS y
movimiento circular uniforme
Experimento: arme un dispositivo
como el que muestra la figura
A partir de este momento, la masa l-5(a) que consiste esencialmente
continúa moviéndose a uno y otro en un disco que puede girar
lado, y de no existir roce, el movi- alrededor del centro O.
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(b)
momento
en
adelante,
el
movimiento de la esfera se Compruébese con las medidas,
repetirá
con
similares si las distancias entre esas pocaracterísticas.
siciones son iguales o distintas;
indique cómo varían dichas
Tenemos en consecuencia que la distancias cuando el punto P se
esfera E realiza un movimiento desplaza de A a O, de O a B, de
oscilatorio de trayectoria rectilínea, B a O y, finalmente, de O a A.
en tanto que el punto C efectúa un
movimiento circular uniforme. En ¿En qué tramos el movimiento
esencia el punto E, no es sino la del punto P es acelerado y en
proyección de C sobre la recta o cuáles retardado?
riel R.
El movimiento realizado por el
punto E, es un caso típico de
movimiento armónico simple.
Figura 1-5(a), (b). Ejemplo de MAS
Cuando el punto C de la figura
1-5(a), en donde se halla clavado
el perno pasa de la posición 1 a la
2, la esfera se desplazará sobre el
riel desde el punto F al H; cuando
el punto C va de la posición 2 a la
3, la esfera se desplazará del
punto H al L.
Es fácil entonces observar que
mientras el punto C ha girado por
media vuelta, la esfera ha pasado
de su posición extrema derecha a
su posición extrema izquierda y si
el punto C continúa girando hasta
completar una vuelta, la esfera
regresará del punto L al F. De este
Si el dispositivo de la figura 1-5(a),
lo despojamos de sus elementos
físicos,
para
obtener
una
representación
puramente
geométrica, podemos sustituir el
disco por una circunferencia, el
clavo C por el punto Q y la esfera
por el punto P, que se mueve
sobre el diámetro AB, figura
1-5(b).
Partiendo de la simplificación
introducida veamos cuales son las
características del movimiento del
punto P, cuando el punto Q ha
barrido ángulos de: 30, 60, 90,
120,150 y 180 grados. La
observación atenta de la figura
1-6 permite comprobar: Los
puntos 1,2,….. sobre el diámetro
AB corresponden a posiciones
ocupadas por el punto P al cabo
de intervalos iguales de tiempo.
posición
A
al
centro
O, su movimiento es acelerado, ya
que en tiempos iguales recorre
segmentos desiguales; en efecto,
segmento
1-2
menor
que
segmento 2-3 y segmento 2-3
menor que 3-4; en cambio el
movimiento de P es retardado
entre O y B, pues segmento 4-5
mayor que segmento 5-6 y 5-6
mayor que 6-7.
Por las razones anteriores el
movimiento de P vuelve a ser
acelerado entre B y O y retardado
entre O y A.
En conclusión, el MAS es
acelerado cuando el punto P
marcha hacia el centro y es
retardado cuando se aleja de él.
Su velocidad es máxima en el
centro y nula en cualquiera de
los extremos.
1-6. Elongación, velocidad y
aceleración en un MAS
Figura 1-6. Movimiento armónico simple
De las observaciones anteriores
se deduce:
a) Mientras el punto Q realiza un
movimiento uniforme sobre la
circunferencia, el punto P no se
desplaza uniformemente como se
ha comprobado mediante la
medida o por simple observación.
b) Cuando el punto P va de la
Se denomina elongación, a la
distancia que separad móvil en
un momento dado de la
posición central o de equilibrio;
su valor puede ser positivo o
negativo según se encuentre el
móvil a uno u otro lado de dicha
posición. La elongación máxima
recibe el nombre de amplitud y
se designa por el símbolo A,
que corresponde también al
valor
del
radio
de
la
circunferencia de referencia.
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Observando la figura 1-7 se infiere
que mientras el punto Q ha
barrido el arco NQ determinando
el ángulo ᶲ, su proyección P
dotada de MAS tiene como
elongación el valor del segmento
OP cuya expresión analítica es,
según la figura
Figura 1-7. Valor de la elongación en un
MAS
x = OQ cos ᶲ
Ahora bien, si el ángulo ᶲ se
expresa en función de la velocidad
angular w y el tiempo t, se tendrá
también:
x = A cos w t
siendo A la amplitud o radio.
La expresión anterior puede
asumir otras formas tales como:
x = ( A cos 2Лt) / T
movimiento circular uniforme sobre Según la figura 1-8 el valor
expresión
que
se
logra la circunferencia, su proyección P absoluto de la componente QD
sustituyendo el valor de la sobre el diámetro efectúa un viene dado por la expresión:
velocidad angular w por su movimiento de velocidad variable
v = Vc sen ᶲ pero en virtud de
equivalente: 2Л / T. Si en vez de
que el vector v está dirigido hacia
figurar el período T se reemplaza
la izquierda, o sea en sentido
por el de la frecuencia se obtiene
negativo; debe anteponerse a la
también:
expresión anterior el signo menos
x = A cos 2Л t f
y por tanto debe escribirse:
v = - Vc sen ᶲ
Ejercicio de aplicación: una
partícula realiza un MAS siendo la
Como en el caso de la elongación,
amplitud de 0,10 metros y la
la ecuación anterior puede asumir
frecuencia de0.5Hz. Determinar
otras formas si se llevan a cabo
los valores de la elongación al
algunas
sustituciones
cabo de: 0,25; 1,2 y 4 segundos.
convenientes.
a) x = A cos 2Л t f
Por ejemplo, teniendo en cuenta
x = 0,10 cos 360 x 0,25 x 0,5
que: Vc = wA, relación ya
x = 0,10 cos 45
analizada
anteriormente,
la
x = 0,10 x 0,7
expresión
anterior
puede
x= 0,07m
presentarse como:
Nota: la expresión 2Л se sustituyó
v = -wA sen ᶲ
por su equivalente en grados, o
sea 360.
Figura 1-8. Velocidad en el MAS
pero como ᶲ = wt entonces:
b) x = A cos 2Л t f
x = 0,10 cos 360 x 1,2 x 0,5
Para determinar el valor de la v = -wA sen wt
x = 10 cos 216
velocidad con que se desplaza el
x = 0,01 x -0,80
punto P, debe descomponerse la y como w = 2 n/T entonces:
x = -0,08m
velocidad circunferencial Vc en
sus componentes rectangulares
c) x = A cos 2Л t f
v = (-2ЛA)/T sen(2Лt) / T
QD y QE, de las cuales interesa la
x = 0,01 cos 360 x 4 x 0,5
componente QD que representa la
x = 10 cos 720
velocidad con que se mueve el o también: v = -2Л f A sen2Л f t
x = 0,01 x 1
punto P, o sea la componente
x = 0,01m
paralela al diámetro.
Una forma útil de la expresión de
En el párrafo anterior aclaramos
la velocidad, es la que puede
que aunque el punto Q realiza un
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obtenerse
partiendo
expresión: v = -Vc sen ᶲ
de
Observando la figura 1-9
puede establecer:
la Entonces reemplazando Vc y senᶲ
por sus valores equivalentes se
tiene que:
se v = -wA ( A2  x 2 )/ A
y como: w = 2Л/T o w = 2Лf
se tiene finalmente:
v = -2Лf A2  x 2
Figura 1-9 Otra fórmula de la Velocidad
senᶲ = (QP)/A y como
QP2 = A2 – x2
Entonces: QP = A2  x 2
Luego: sen ᶲ= ( A2  x 2 )/ A ;
v = -0,314 sen 216
v = -0,314 x -0,58
v = 0,182 m/s
cosᶲ = QE / Ac y como: QE = a,
entonces: a = Ac cos ᶲ
c)
Velocidad a los 4 segundos: como: Ac = Vc2 / A; Vc = wA y
v = -2 x 3,14 x 0,5 x 0,10 sen 360 ᶲ = wt entonces:
x 4 x 0,5
v = -0,314 sen 720
v = -0,314 x 0
La expresión anterior se suele v = 0 m/s
denominar como ecuación de la
velocidad en función de la
El punto Q que se mueve
elongación.
uniformemente
sobre
la
Regresando al problema de circunferencia está dotado sin
aplicación
propuesto
anteriormente hallar el valor de la embargo de una aceleración, que
velocidad para los mismos proviene de los cambios de
tiempos.
dirección experimentados por el
vector Vc, aceleración que tiene
a)
Velocidad
a
los
0,25
segundos:
utilizando
la
ex el carácter de centrípeta por
presión de velocidad en función de estar dirigida siempre hacia el Figura 1-10. Ecuación de la aceleración
la frecuencia se tiene:
centro O, como puede observarse
v = -wA sen ᶲ
A = (w2 A2)/A cosᶲ
en la figura 1-10
A = w2 A cosw t
v = -2ЛfA sen 360 x t x f
Recordando que el valor de la
v = -2 x 3,14 x 0,5 x 0,10
El
vector
aceleración
centrípeta
Ac
elongación es x = A cosw t,
sen360 x 0,25 x 0,5
el
sustituir éste en la ecuación
puede
descomponerse
en
sus
v = -0,314 sen 45
anterior
se llega finalmente a la
componentes
rectangulares,
v = -0,314 x 0,7
expresión:
correspondiendo la componente a = -w2x y como
v = -0,22 m/s
QE paralela al diámetro de la w = 2Л/T
b)
Velocidad
a
los
1,2 aceleración con que se mueve el x = A coswt
punto P y que tiene como
segundos:
entonces:
expresión el valor:
v = -2 x 3,14 x 0,5 x 0,10
sen360 x 1,2 x 0,5
a = 4Л2 / T2 A coswt
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FISICA GRADO ONCE
a = 4Л2 f2 A cos wt
en donde el signo menos se
explica por ser el valor de la
aceleración proporcional a la
elongación, pero de sentido
contrario.
Si en la ecuación anterior
cambia el valor de w por
equivalente 2Л/T se llega a
expresión:
a = (-4Л2x)/ T2
y despejando el valor de T
tiene:
T = 2Л(  x ) / a o sea:
se
su
la
Volviendo
al
problema
de
aplicación que hemos vendo
considerando, resolverlo también
para el valor de Aceleración en los
mismos tiempos.
a)
Aceleración a los 0,25
segundos,
en
función
de
frecuencia:
a = -4 x 9,85 x 0,25 x 0,10cos 360
x 0,25 x 0,5
a = -0,985 cos45 , a = 0,985 x 0,7
a = - 0,69 m/s2
Para entender con mayor claridad
el modo como varían con el
tiempo los valores de elongación,
velocidad y aceleración que tienen
como expresión respectivamente:
Elongación x = Acoswt
Figura 1-11. Gráficos de elongación,
velocidad y aceleración
Velocidad v = -wA senwt
Aceleración a = -w2 Acoswt
Se construyen las siguientes
gráficas para un intervalo de
Aceleración a los 1,2 tiempo de un período, figura 1-11.
se b)
segundos, en función del período: La construcción de las gráficas se
a = (-4 X 9,85 X 0,10)/4 cos360 x lleva
a
cabo
haciendo
1,2 x 0,5
sucesivamente:
a = - 0,985 cos 216
t = 0; T/4; T/2; 3T/4 y T
período=2Л(  elongacion)/aceleración
a = - 0,985 x -0,8
a = 0,788 m/s2
De otra parte sabemos que
c)
Aceleración
a
los
4
F = -kx y como F = ma,
segundos
a = (-4 X 9,85 X 0,10)/4 cos360 x
entonces: ma = -kx o sea que
4 x 0,5
m/k = -x/a
a = - 0,985 cos720
a = -0,985 x 1
2
Luego,
sustituyendo
en x = -0,985 m/s
T = 2Л(  x ) / a
se tiene
Nota: En las anteriores soluciones
m
hemos empleado indiferentemente
también que: T = 2Л
k
el valor de la frecuencia 0,5 o el
La fórmula final se utiliza del período 2
frecuentemente para el cálculo del
período del movimiento.
http://www.youtube.com/watch?v=yD 1-7. Gráficas de: elongación,
IUpoI8b6E
velocidad y aceleración
Observando la figura 1-11,
contestar:
1. ¿Cuándo es máximo el valor de
la elongación?
2. ¿Cuándo es mínimo el valor de
la velocidad?
3. Cuándo la velocidad es máxima,
¿cuánto vale la elongación?
4. ¿Para qué valor del período se
anulan los valores de la
elongación y la aceleración?
5. ¿Cuándo es máximo el valor de
la aceleración?
1-8. Energía en el MAS
Observando el movimiento de un
péndulo, el que se considera como
armónico simple, es fácil anotar
que la masa oscilante, muestra en
forma evidente la transformación
continua de energía potencial en
cinética
y
viceversa,
conservándose como es natural, la
energía total para cualquier
posición, es decir, la suma de las
dos formas de energía, o sea:
energía total = energía cinética
más energía potencial.
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FISICA GRADO ONCE
Por ser nulo el valor de la
velocidad en los extremos de la
trayectoria y máximo en el punto
medio, se concluye que la energía
cinética tendrá su mayor valor en
el punto medio, siendo nulo en los
extremos.
Contrariamente,
la
energía potencial será máxima en
los extremos y nula en la posición
central. Para posiciones intermedias, parte de la energía será
cinética y parte potencial.
http://www.youtube.com/watch?v=g
W1-SGmxAS0
http://www.youtube.com/watch?v=Rq
LjKEWw0YQ&feature=related
Figura 1-12. Valores de la energía
La figura 1-12, muestra en forma
gráfica las variaciones de los
valores de la energía cinética
(línea continua) y la potencial
(línea discontinua) durante un
período.
Como puede evidenciarse la
energía cinética es máxima en el
centro y nula en los extremos a
diferencia de la potencial que es
nula en el centro y máxima en los
extremos.
1-9. Movimiento pendular
http://www.youtube.com/watch?v=Sz
gtR_U4eQ8
1-13. Movimiento pendular
Un péndulo, figura 1-13, consiste
en una masa que suspendida de
un hilo muy fino efectúa
oscilaciones a uno y otro lado de
su posición media. Cuando el
péndulo es separado a cualquiera
de sus lados, el peso de su masa
se resuelve en dos componentes
de las cuales la MB, tiene como
1-14. Leyes del péndulo
función mantener tenso el hilo y la
otra la MD busca restaurar el Regístrese
el
número
de
péndulo a su posición inicial.
oscilaciones que ejecuta cada
péndulo durante un minuto y con
En virtud de la ley de la base en los datos hallados,
conservación de la energía y de calcúlese el valor del período en
la inercia, el péndulo no solo cada caso.
alcanza la posición de equilibrio,
sino que llega hasta una posición Si el experimento se realiza varias
simétrica de donde es liberado.
veces es posible concluir que el
De éste momento en adelante el período de oscilación de un
movimiento se repite con similares péndulo es independiente del
características y sería indefinido, si material de que está construido.
a ello no se opusiera resistencias
pasivas imposibles de eliminar.
Si los péndulos del experimento
anterior se hacen oscilar con
Experimento: Háganse oscilar amplitudes diferentes no mayores
dos péndulos de igual longitud, a diez grados, y se vuelve a
usando masas pendulares de registrar el número de oscilaciones
diferente naturaleza (madera y efectuadas durante un minuto, y
metal) con amplitudes no mayor a se calculan los correspondientes
ocho grados. Figura 1-14(a)
períodos, se encuentra que las
oscilaciones de pequeña amplitud,
son isócronas, o sea que emplean
el mismo tiempo.
Experimento: Operando con un
péndulo con longitudes sucesivas
de 10, 40, 90 y 160 centímetros,
regístrese
el
número
de
oscilaciones completas que en
cada caso verifica el respectivo
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péndulo durante un minuto. Con
los datos anteriores, calcúlese en
cada situación el valor del
correspondiente período. Con estos mismos datos hallados
elabórese un cuadro como el que
se muestra a continuación, en el
que se presentan las cifras que
nosotros hemos obtenido en
nuestros propios trabajos.
y 4 y que la columna de longitudes
aumenta en la relación 1; 4; 9 y
16, se puede deducir que el
período
de
un
movimiento
pendular
es
directamente
proporcional a la raíz cuadrada de
la longitud.
La conclusión anterior significa
que si se tiene un péndulo de
cualquier longitud y esa longitud
se hace treinta y seis veces
mayor, el período aumenta, pero
solamente por la raíz cuadrada del
aumento de la longitud, es decir,
seis en éste caso.
Si la longitud sólo aumentara por
veinticinco veces el período, sólo
crecería por cinco, es decir, la raíz
cuadrada de veinticinco.
Analizando las cifras que presenta
el cuadro se puede observar: a
medida que aumentan los valores
de la columna de longitudes, los
correspondientes valores de la
columna de períodos también
crece; pero la relación de
incrementos no es tan sencilla, ya
que si la longitud se hace cuatro
veces mayor, el período sólo aumenta por dos veces y si la
longitud se hace nueve y dieciséis
veces
mayor,
los
períodos
respectivos sólo aumentan por
tres y cuatro veces. Ahora bien,
teniendo en cuenta que las cifras
0,65;
1,30;
1,95;
y
2,60
correspondientes a la columna de
períodos crece en relación 1; 2; 3
razón inversa a la raíz cuadrada Descomponiendo el vector MC en
de la gravedad. Analíticamente la sus componentes tendremos
anterior ley se expresa, así:
T1 / T2
=
Componente restitutiva MD:
F = mg senα
Por otra parte:
Como resulta interesante deducir
F = ma
analíticamente una expresión para
Luego:
el
período
del
movimiento
ma = mg senα
pendular, recordemos que en el De donde:
estudio del MAS obtuvimos para el
a = g senα
período la expresión:
Por tratarse de un ángulo de
período
separación muy pequeño, la
) aceleración.
T = 2Л (elongación/
trayectoria
MO
puede
(
elongación/
)
a
celeración
considerarse
sensiblemente
igual
T = 2Л
.
a la elongación
Consideramos el péndulo AO, en ME = y , caso en el cual:
una posición cualquiera AM, de
modo que el ángulo (a) sea muy sen a = y/L ,
pequeño, aun cuando en la figura,
por razones de claridad se y reemplazando éste valor en la
expresión anterior se tiene:
Analíticamente
la
anterior
deducción se formularía así:
T1 / T2
es igual a la raíz
cuadrada de L1 / L2
Este enunciado constituye la
tercera ley.
Para la deducción de la cuarta ley
del péndulo, no existe la misma
facilidad experimental que para las
anteriores,
por
tratarse
de
examinar la influencia que la gravedad tiene en el período, lo que
exigiría llevar a cabo experimentos
en diferentes lugares del universo.
Quienes
han
realizado
la presenta muy grande.
investigación
completa
han
1-15. Leyes del péndulo
comprobado que: el período de
oscilación de un péndulo está en
a = g y/L
Y sustituyendo éste valor en la
ecuación inicial
T = 2Л
(elongación/
) aceleración.
Se llega finalmente a
T = 2Л raíz de (y/gy)/L
De donde T = 2Л raíz de L/g
El
resultado
final
obtenido
concuerda exactamente con las
deducciones experimentales que
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FISICA GRADO ONCE
se llevaron a cabo con respecto a
los factores que determinan el
valor del período. En efecto, como
en la ecuación final de T no figura
el factor masa, ello quiere decir
que en el período no tiene
influencia la masa, en cambio sí
influyen los factores: longitud y
gravedad; el primero en forma
directa a la raíz cuadrada y el
segundo en forma inversa a la raíz
cuadrada de la gravedad.
experimentalmente el período de
un péndulo cuya longitud sea de
un metro, al reemplazar los datos
hallados por los valores T y L de la
fórmula, se tendrá lo buscado; es
decir, el valor de g.
La estructura de la fórmula:
T = 2Л raíz de L/g
g = ( 4 x 3,14 2 x1) / 2,0032 ,
g = 9,82 m /s2
Ejemplo: un estudiante halló que
un péndulo de uní metro en
oscilación completa empleó 2,003
segundos ¿Cuál es el valor de g
en dicho lugar?
1-9. aplicaciones del péndulo
Debido al sincronismo de las
oscilaciones
observado
inicialmente por Galileo, los
médicos usaron el péndulo para
medir intervalos de tiempo, o sea
que desde la antigüedad el
péndulo ha permitido construir
relojes.
Otra importante aplicación del
péndulo es la facilidad que ofrece
para determinar la aceleración de
gravedad en cualquier lugar de la
tierra. En efecto, si de la fórmula
del
período
deducida
anteriormente se despeja el valor
g, se tendrá:
1-15. Leyes del péndulo
1-16. El péndulo de Foucault
Finalmente, el péndulo permite
demostrar el movimiento de
rotación de la tierra, operación que
llevó cabo FOUCAULT en la
siguiente forma: de un hilo 80
metros de longitud, suspendió una
bola metálica de 25 kilogramos de
masa, provista la bola en su parte
inferior de una aguja o estilete que
g = (4Л2 L) / T2
dibujaba una raya en el suelo, a
Luego, si un estudiante logra con medida que el péndulo oscilaba
paciencia
determinar
Inicialmente, el péndulo oscilaba
según un diámetro AB, el cual
debería conservar, pero al cabo de
cierto tiempo observó que el plano
de oscilación había cambiado.
Como
está
plenamente
demostrado que el plano de
oscilación es invariable, debe
entonces aceptarse, que el cambio
de plano es debido al movimiento
de rotación efectuado por la tierra
http://www.youtube.com/watch?v=g
W1-SGmxAS0
TALLERES
TALLER 1
Objetivo:
identificar las
características y propiedades del
movimiento periódico
Materiales: péndulo, reloj, tiple o
cuerda vibrante, resorte con peso
suspendido. Operación: retire la
lámina de su posición de equilibrio
y abandónela. ¿Qué observa?
Hale hacia abajo el peso
suspendido en el extremo libre del
resorte y a continuación suéltelo.
¿Qué nota? Separe la cuerda
tensa de su posición de equilibrio y
observe el movimiento que
ejecuta. Fíjese con atención en el
movimiento de las dos manecillas
del reloj. ¿Qué puede decir?
Retire el péndulo de su posición
de equilibrio y analice el
movimiento que efectúa. ¿Qué
nota? ¿Se observa alguna
característica común en todos los
movimientos? ¿Qué semejanza
encuentra entre los movimientos
observados, y los que realizan: la
Luna, la Tierra y los electrones
alrededor del núcleo? Si alguna
persona afirmara que en todos los
casos, los diferentes cuerpos han
realizado un movimiento periódico,
¿qué querría significar? ¿Cuál es
el sentido de la expresión
periódico? ¿Conoce usted algunos
ejemplos
de
movimientos
periódicos? Cite algunos ejemplos.
Si existen algunas semejanzas
entre los movimientos observados,
¿cuáles serían sus diferencias?
Como síntesis de su trabajo
experimental,
haga
una
clasificación de los diferentes
movimientos y ensaye dar una
definición de cada uno de ellos.
Tome dos péndulos de igual
longitud y con la misma
separación de su posición de
equilibrio,
póngalos
en
movimiento. ¿Cuál emplea mayor
tiempo
para
repetir
su
movimiento?
¿Cuántas
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oscilaciones ejecuta cada uno qué a los periódicos, elementos de
durante dos minutos?
información, se les llama así?
Del trabajo realizado, procure
Observe el movimiento de las deducir los conceptos de: periodo,
dos manecillas de un reloj y frecuencia, amplitud y diferencia
conteste: ¿emplean el mismo de fase. Escriba todas sus
tiempo
para
realizar
una conclusiones.
oscilación, o en este caso una
vuelta o un ciclo? ¿En igual tiempo
las dos manecillas ejecutan los TALLER 2
Objetivo: deducir las propiedades
mismos ciclos o vueltas?
del movimiento armónico simple,
Retomando el trabajo con los MAS.
dos péndulos reduzca la longitud Material: el sugerido en las
de uno de ellos y vuelva a secciones 1-4 y 1-5 de la unidad
ponerlos en movimiento con igual uno. Las conclusiones que se
separación de la posición de
equilibrio. ¿Tardan el mismo deriven del trabajo experimental
tiempo para hacer una oscilación? sugerido deben conducir a
¿Realizan el mismo número de precisar los siguientes puntos:
oscilaciones durante un segundo? a) propiedades y características
Volviendo a trabajar con del MAS.
péndulos de igual longitud e
velocidad
y
idéntica seperación, pero iniciando b) elongación,
aceleración
en
un
MAS.
el movimiento de los péndulos
desde dos posiciones opuestas, las
expresiones
matemáticas
¿se advierte alguna diferencia deducidas deben aplicarse a la
entre sus movimientos? ¿Son
movimientos sincronizados? ¿Hay solución de problemas
retardo o adelanto de un Resuelva:
movimiento con respecto al otro? 1. Una partícula realiza 120 ciclos
¿Qué significaría el hecho de
en 1 minuto ¿Cuál será el valor
afirmar que los dos movimientos
de su período y la frecuencia
están desfasados? ¿Qué clase de
del movimiento?
movimiento es el efectuado por el
corazón? ¿Con qué frecuencia 2. La
frecuencia
de
un
trabaja un corazón normal?
movimiento
oscilatorio
es
de
¿Podría utilizarse el corazón como
0,02 ciclos /segundo ¿Cuál
aparato para medir tiempos? ¿Por
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
será
el
período
del
movimiento?
Un
satélite
da
300
circunvalaciones a la Tierra en
27.103 minutos. Hállese el
valor de su frecuencia.
El período de un movimiento
oscilatorio es de 0,3 seg.
Determinar el número de
oscilaciones que se verifican en
1 minuto.
Cuánto tiempo tardará una
partícula en dar 600 ciclos,
sabiendo que su período es de
0,5 seg?
Un cuerpo realizó 240 ciclos en
2 minutos. Hallar el período y
su frecuencia
La
frecuencia
de
un
movimiento oscilatorio es de
0,01
ciclos/segundo.
Determinar el período del
movimiento.
El período de un movimiento
oscilatorio es de 0,2 seg
¿Cuántos
ciclos
/seg
realizará?
Un cuerpo que se mueve da
500 oscilaciones en 2 seg
¿Cuántos ciclos recorrerá en
cada seg?
10.Un cuerpo tiene una frecuencia
de 5 Hertz. ¿Cuánto tiempo
tardará en realizar un ciclo?
Nota : Un Hertz = 1 ciclo/seg
Se abrevia (Hz)
11.Un cuerpo realiza 1.000 Hz.
¿Cuál es su período?
12.Durante 6 seg un cuerpo oscila,
adquiriendo un período de 2,26
seg. ¿Cuántas oscilaciones
dio?
13.Cierta emisora de Pereira
transmite con una frecuencia
de 700 kilohertz. ¿Cuál será su
frecuencia en Hz?
14.Un cuerpo realiza 2.400 ciclos
cada 120 seg. Determinar el
período y la frecuencia del
movimiento.
15.Una partícula realiza 27.102
oscilaciones
cada
90
segundos. Calcular: el número
de ciclos, su frecuencia y su
período, al cabo de 4,5
minutos.
16.En un m.a.s. la amplitud tiene
un valor de 15 cm y el período
es de 1 seg. Calcular el valor
de la elongación, después de
un tiempo de 0,5 segundos de
haberse iniciado el movimiento.
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17.Sabiendo que el tiempo de una
partícula animada de m.a.s.es
elongación cuando su tiempo
T
T
es igual a 4
12 y que su amplitud 22.Una masa de 400g unida a un
igual a
es igual a 1,5 cm. Calcular el
resorte de k = 100 N/m realiza
valor de su desplazamiento
un M.A.S de amplitud 4 cm. a)
vertical al cabo de dicho
Escribe la ecuación de su
tiempo.
posición en función del tiempo,
18.Una partícula realiza un m.a.s.
si empezamos a contarlo
con una amplitud igual a 20 cm
cuando la soltamos desde la
y un período de 1 segundo.
posición extrema. b) Calcula el
Calcular los valores del
tiempo que tarda en pasar por
desplazamiento, velocidad y
primera vez por la posición de
aceleración verticales, después
equilibrio. c) ¿Cuánto tarda en
de un tiempo de 0,5 segundos
llegar desde la posición de
de
haberse
iniciado
el
equilibrio hasta una elongación
movimiento.
de 2 cm? ¿Y desde 2 cm al
19.En un m.a.s.la amplitud de la
extremo?.
d) ¿Cual es la
partícula tiene un valor de
velocidad media para el
10cm y un período de 0,4 seg.
recorrido que va desde el
Hallar el valor de la aceleración
centro hasta el extremo de la
al cabo de 0,2 seg de haberse
oscilación?.
e) ¿Será cero la
iniciado el movimiento.
velocidad media de una
20.Si la partícula del problema
oscilación completa?
anterior tiene una masa de 10 23.Una partícula que oscila con
gramos. Hallar la magnitud de
M.A.S. describe un movimiento
fuerza que actuó sobre dicha
de amplitud de 10 cm y periodo
partícula.
2 s. Cuando se encuentra 3 cm
21.Un cuerpo vibra con m.a.s.
del
origen
tiene
dos
siendo la amplitud de 10 cm.
velocidades, Una mientras va
Calcular el valor de su
hacia un extremo y otra cuando
regresa. a) Calcula estas
velocidades. b) Escribe la
oscilación de esa masa,
ecuación de la posición con un
cuando
se
desplaza
desfase,
suponiendo
que
verticalmente fuera de la
empezamos a contar el tiempo
posición de equilibrio? Nota:
cuando está en ese punto
tomar g = 9’8 m/s2).
(3cm).
27.Un punto material de 25 g
24.Una partícula de 10 Kg se
describe un M.A.S. de 10 cm
mueve sobre el eje X hacia el
de amplitud y período de 1 s.
origen sometida a una fuerza
En el instante inicial la
igual a – 40x (N), estando x
elongación
es
máxima.
expresada en metros. Si
Calcula: a) La velocidad
inicialmente se encuentra a 5 m
máxima que puede alcanzar la
del origen, con una velocidad
citada masa. b) El valor de la
de 15 m/s dirigida hacia el
fuerza recuperadora al cabo de
centro, calcula: a) La amplitud
un tiempo igual a 0’125 s.
del movimiento. b) El instante
en que pasa por primera vez
por el origen.
25.Un
objeto
realiza
un
movimiento armónico simple.
Cuando se encuentra a 3 cm
de la posición de equilibrio su
velocidades es 6 m/s, mientras
que si la distancia es de 5 cm,
su velocidades es 2 m/s.
Calcula
la
amplitud
del
movimiento.
26.Un resorte de acero tiene una
longitud de 8 cm, pero al colgar
de su extremo libre una masa
de 1 Kg, su longitud es de 14
cm. ¿Cuál será la frecuencia de