Tema 6

Tema 6
En 1812, Laplace expuso y sistematizó su teoría de probabilidades en su obra
“Theorie analytique des probabilites”. En esta obra, entre otras cosas, expone el teorema
de Bayes y la teoría de los mínimos cuadrados. Es conveniente señalar que también se
ocuparon de esta teoría otros matemáticos, entre los cuales destacaremos a Gauss y al
francés Poisson. Ambos estudiaron las distribuciones que llevan hoy sus nombres.
La importancia del estudio de la probabilidad fue vista así por Laplace: “Es
notable que una ciencia que comenzó con las consideraciones de juegos de azar había de
llegar a ser el objeto más importante del conocimiento humano. Las cuestiones más
importantes de la vida constituyen en su mayor parte, en realidad, solamente problemas
de probabilidad.”
La definición clásica de probabilidad se debe a Laplace y dice: La probabilidad
de un suceso favorable, en una experiencia que puede presentar varios resultados, es
igual al número de casos favorables partido por el número de casos posibles, siempre
que éstos tengan la misma probabilidad.
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6.1 Experimentos aleatorios
En este apartado vamos a analizar lo que se entiende por experimento aleatorio y las
consecuencias más importantes que de él se pueden obtener.
Def.: Se llama experimento aleatorio aquel cuyo resultado no se puede predecir
aunque se realice muchas veces en análogas condiciones.
Un ejemplo típico consiste en lanzar un dado, antes del lanzamiento nunca sabemos qué
va a salir.
Este tipo de experimentos se contrapone a los experimentos deterministas, que son
aquellos en los podemos predecir los resultados si conocemos las condiciones iniciales,
por ejemplo, si soltamos una piedra, ésta cae.
Def.: Se llama espacio muestral de un experimento aleatorio al conjunto E de todos los
resultados posibles que pueden obtenerse al realizarlo.
En el ejemplo del dado que se lanza, sabemos que el conjunto de los posibles resultados
son los números del 1 al 6.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ejercicios:
Señala los espacios muestrales de los siguientes experimentos:
a)
b)
c)
d)
Sexo de un recién nacido.
Resultado de una partida de parchís.
Extracción de una carta de una baraja española.
Color con el que nos encontramos un semáforo.
Def.: A veces el experimento aleatorio que nos interesa está formado por dos o más
experimentos aleatorios individuales, se tratará entonces de un experimento aleatorio
compuesto.
Ejemplo: Lanzar al aire una moneda dos veces.
E = {CC, CX, XC, XX}
En general, si E es el espacio muestral correspondiente a la composición de dos
experimentos aleatorios sencillos, cuyos espacios muestrales están formados por n y m
elementos respectivamente, el número de elementos de E es igual a n · m.
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Ejemplo:
Determina los espacios muestrales siguientes:
a) Lanzar al aire un dado y una moneda.
b) Lanzar una moneda y extraer una carta de una baraja anotando el palo.
c) Lanzar dos dados al aire.
6.2 Sucesos y tipos de sucesos
Def.: Se llama suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo:
Del experimento “lanzar un dado”, determina los siguientes sucesos:
a) “Sacar un número impar”.
b) “Sacar un múltiplo de 3”.
c) “Sacar un número mayor que 4”.
6.2.1 Suceso seguro
Es aquel que siempre se va a verificar. Por ejemplo, lanzar un dado y obtener un número
menor que 10. El suceso seguro contiene, como poco, los mismos elementos que el
espacio muestral.
6.2.2 Suceso imposible
Es aquel que no se realiza nunca. Se designa por el símbolo de conjunto vacío: .
Ayudándonos del experimento anterior, suceso imposible sería “obtener múltiplo de
10”.
6.2.3 Suceso contrario
__
Se llama suceso contrario de A, A , aquel suceso que se verifica cuando no se verifica
A. Un suceso contrario de A tendrá los elementos del espacio muestral E que no estén
__
contenidos en A: A = E – A.
Ejemplos:
1. ¿Cuál será el suceso contrario de sacar par al lanzar un dado?
2. Escribe el suceso contrario de “sacar un número menor que 3” al lanzar un dado.
6.2.4 Sucesos compatibles
Dos sucesos son compatibles si se pueden realizar simultáneamente, en caso contrario
serán incompatibles.
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6.3 Operaciones con sucesos
6.3.1 Unión de sucesos
Def.: Dados los sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamaremos suceso
unión de A y B al suceso que se realiza cuando se realiza A o B.
El suceso A unión B se representa por A  B, y está formado por los elementos de A y
de B.
Ejemplo: consideremos en el experimento de lanzar un dado los siguientes sucesos:
A: “salir número par”: {2, 4, 6}
B: “salir número primo”: {(1), 2, 3, 5}
A  B: {(1), 2, 3, 4, 5, 6}
6.3.2 Intersección de sucesos
Def.: Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamaremos suceso
intersección de A y B al suceso que se realiza cuando se realizan simultáneamente los
sucesos A y B.
El suceso A intersección B se representa por A  B, y está formados por los elementos
comunes de A y de B.
Ejemplo: Dado el experimento anterior y los mismos sucesos, determina el suceso A
intersección B.
A  B: {2}
Ejercicio
En el experimento aleatorio “lanzar un dado”, consideremos los siguientes sucesos:
A: {1, 2, 3}
B: {1, 3, 5}
C: {4, 5}
D: {1, 3, 6}
Se pide:
a) A  B
c) A  C
e) A  D
g) B  C
i) C  D
b) A  B
d) A  C
f) A  D
h) B  C
j) C  D
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6.4 La regla de Laplace y algunas propiedades
Def.: La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables
y el número de casos posibles, siempre y cuando todos sean equiprobables (regla de
Laplace)
p( A ) 
casos favorables
casos posibles
Ejemplos:
1. Halla la probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara.
2. Halla la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 3.
3. Halla la probabilidad de obtener un oro al extraer una carta de una baraja.
4. Halla la probabilidad de obtener una figura al extraer una carta de una baraja.
PROPIEDADES
a) La probabilidad de cualquier suceso es un número comprendido entre 0 y 1.
b) La probabilidad de un suceso seguro es 1.
c) La probabilidad de un suceso imposible es 0.
__
d) La probabilidad de un suceso y de su contrario suman 1: p(A) + p( A ) = 1.
e) La probabilidad del suceso unión viene dada por:
p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B)
En el caso de que los sucesos sean incompatibles, el último sumando será cero y
nos quedaremos con la suma de las probabilidades de los sucesos A y B.
Ejercicios
1. Se lanza una moneda 3 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener solamente una
cara en los tres lanzamientos?
2. Se lanza un dado 2 veces, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los
lanzamientos sea igual a 7?
3. Disponemos de 10 pilas iguales de las cuales 4 están gastadas. Cogemos al azar 2 de
ellas. Halla la probabilidad de que ambas estén gastadas. Halla la probabilidad de
que las dos funcionen.
4. Determina la probabilidad de que al lanzar 3 monedas se obtenga al menos una cara.
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6.5 Probabilidad condicionada, total y a posteriori
6.5.1 Probabilidad condicionada
Veamos los siguientes casos:
Caso 1: De una baraja española se extrae una carta y se devuelve al montón. Se extrae
una nueva carta. Determina la probabilidad de obtener 2 oros.
Caso 2: De una baraja española se extraen dos cartas. Calcula la probabilidad de que
sean dos oros.
Ejercicios:
1. En una urna hay 3 bolas negras y 4 rojas. Halla la probabilidad de obtener 2 negras
y 1 roja en los siguientes casos:
a) Con devolución.
b) Sin devolución.
2. De una baraja española se extraen 2 cartas. Calcula las siguientes probabilidades:
a) Obtener dos copas.
b) Obtener copas sólo en la segunda extracción.
6.5.2 Probabilidad total
Fijémonos en el ejemplo a continuación.
Juan tiene en un cajón 10 calcetines azules y 6 marrones. Si por las mañanas se viste a
oscuras para no despertar a su hermano, calcula la probabilidad de que sean del mismo
color.
Ejercicios
1. En una clase hay 20 chicas y 18 chicos. Al elegirse al azar dos de ellos, calcula la
probabilidad de que sean del mismo sexo.
2. Una empresa de componentes de ordenador los fabrica en 3 lugares distintos. En
Honkong realiza el 50% de la producción; el porcentaje de componentes
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defectuosos es del 8%. En Bangkok, fabrica el 30%, siendo defectuosos el 4% de las
piezas. En Taiwan produce el 20% restante, con un porcentaje de piezas en buen
estado del 98 %. Si se escoge al azar una de las piezas, determina la probabilidad de
que sea defectuosa.
6.5.3 Probabilidad a posteriori
En este caso partimos de la probabilidad total, como veremos en el siguiente ejemplo.
Disponemos de 3 urnas. En la primera tenemos 7 bolas blancas y 2 negras, en la
segunda hay 1 bola blanca y 9 negras y la última contiene 5 bolas blancas y 2 bolas
negras. Calcula la probabilidad:
a) de sacar una bola blanca eligiendo las urnas al azar.
b) de que pertenezca a la segunda urna, sabiendo que la bola es blanca.
Ejercicio
En una clase hay 12 alumnas y 15 alumnos. El número de alumnas que aprueban a final
de curso es 10 y el de alumnos es 13. Escogiendo un estudiante al azar, calcula la
probabilidad de que:
a) haya suspendido.
b) sea niño, sabiendo que ha suspendido.
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