ejemplo de estimación paramétrica usando R

Supongamos que nuestro problema es estimar, para cierto tipo de componentes, la X = ’vida útil’ , pero que la
verdadera pregunta de interés es: qué proporción de ellos fallarán en menos de la mitad de su duración media.
Para ello, hacemos la hipótesis de que X tenga distribución
Gamma(w, λ), que tiene E[X] =w/λ , var(X) =w/λ2 ,
y cuyos parámetros estimamos
! por el METODO DE LOS MOMENTOS:
!
E[X] =w/λ = x̄
λ = x̄/VX
, luego
,
2
var(X) =w/λ = VX
w = x̄2 /VX
para luego hallar, bajo esa estimación, la P(X < µX /2).
(A) El siguiente código R simula el proceso bajo la hipótesis de que el modelo sea realmente ése, con parámetros
w= 7, factor de escala=1 (sin pérdida de generalidad) y compara los resultados con ‘la verdad’...
0.00
0.05
0.10
0.15
> w<-7;
# EL MODELO: Gamma con w=E[X]
(el factor de escala se toma =1)
> b<-qgamma(0.99,w); x<-(1:100)*b/100; fx<-dgamma(x,w); # para la gráfica de f_X
> w<-7;
# EL MODELO: Gamma con w=E[X]
(el factor de escala se toma =1)
> pgamma(w/2,w)*100
# P( X < E[X]/2 ), en % :
>> b<-qgamma(0.99,w);
x<-(1:100)*b/100;
fx<-dgamma(x,w);
para
la gráfica
f_X
w<-7;
# EL MODELO:
Gamma con w=E[X]
(el factor#de
escala
se tomade
=1)
[1] 6.52881
>> pgamma(w/2,w)*100
# P( X < E[X]/2 ),fx<-dgamma(x,w);
en % :
b<-qgamma(0.99,w); x<-(1:100)*b/100;
# para la gráfica de f_X
>
[1]
6.52881
> pgamma(w/2,w)*100
# P(X
P( X<<µ E[X]/2
),lineas
en %que
: siguen generan una M.A.S. de tamaño n = 100,
... que> como
se ve da un# 6.5 % como
/2) . MOMENTOS
Las
n<-100;
LA MUESTRA
YX SUS
>
[1]
6.52881
estiman
los parámetros λ, w media<-mean(xi);
por ese método y los Vxi<-var(xi)*(1-1/n);
usan para estimar la P(X < µX /2).
> xi<-rgamma(n,w);
>> n<-100;
#
LA MUESTRA Y SUS MOMENTOS
> la<- media/ Vxi; wa<- media*la; la; wa; pgamma(wa/2,wa)*100
# LA ESTIMACION:
n<-100;
#
LA MUESTRA Y SUSVxi<-var(xi)*(1-1/n);
MOMENTOS
>> xi<-rgamma(n,w);
media<-mean(xi);
[1] 1.019063
xi<-rgamma(n,w);
media<-mean(xi);
>> la<media/ Vxi; wa<media*la; la;Vxi<-var(xi)*(1-1/n);
wa; pgamma(wa/2,wa)*100
# LA ESTIMACION:
[1]
6.98162
> la<media/ Vxi; wa<- media*la; la; wa; pgamma(wa/2,wa)*100
# LA ESTIMACION:
[1]
1.019063
[1]
6.558573
[1]
1.019063
[1]
6.98162
> [1]
fe<-dgamma(x,wa,la);
plot(c(x,b,x),c(fx,min(fe),fe),'l',xlab='',ylab='')
[1]
6.98162
6.558573
> >[1]
n<-100;
#
LA
MUESTRA
Y SUS MOMENTOS
6.558573
fe<-dgamma(x,wa,la);
plot(c(x,b,x),c(fx,min(fe),fe),'l',xlab='',ylab='')
> >>
xi<-rgamma(n,w);
media<-mean(xi);
fe<-dgamma(x,wa,la);
plot(c(x,b,x),c(fx,min(fe),fe),'l',xlab='',ylab='')
n<-100;
#
LA MUESTRA
Y SUSVxi<-var(xi)*(1-1/n);
MOMENTOS
> >>
la<media/ Vxi;
la;Vxi<-var(xi)*(1-1/n);
wa; pgamma(wa/2,wa)*100
# LA ESTIMACION:
n<-100;
# wa<LA media*la;
MUESTRA Y SUS
MOMENTOS
xi<-rgamma(n,w);
media<-mean(xi);
[1]
0.8817888
xi<-rgamma(n,w);
media<-mean(xi);
>> la<media/ Vxi; wa<media*la; la;Vxi<-var(xi)*(1-1/n);
wa; pgamma(wa/2,wa)*100
# LA ESTIMACION:
[1]
6.461026
> la<media/ Vxi; wa<- media*la; la; wa; pgamma(wa/2,wa)*100
# LA ESTIMACION:
[1]
0.8817888
[1]
7.467637
[1]
0.8817888
[1] 6.461026
> [1]
fe<-dgamma(x,wa,la);
plot(c(x,b,x),c(fx,min(fe),fe),'l',xlab='',ylab='')
[1]
6.461026
7.467637
> >[1]
7.467637
fe<-dgamma(x,wa,la); plot(c(x,b,x),c(fx,min(fe),fe),'l',xlab='',ylab='')
> >>
# fe<-dgamma(x,wa,la);
OTRO MODELO, SIN plot(c(x,b,x),c(fx,min(fe),fe),'l',xlab='',ylab='')
QUE LO SEPAMOS...:
>
>
c<-7;
fy<-dweibull(x,2,c);
P( X <a E[X]/2
), en
:
> ve,
# la simulación
OTRO MODELO,
QUE pweibull(c/2,2,c)*100
SEPAMOS...:
Como se
se ha SIN
repetido
2LOveces,
con resultados bastante #cercanos
‘la verdad’,
algo% menos
la
>
#
OTRO
MODELO,
SIN
QUE
LO
SEPAMOS...:
[1]
22.11992
c<-7;
pweibull(c/2,2,c)*100
# P( X <(laE[X]/2
), en
:
segunda> vez,
de lafy<-dweibull(x,2,c);
que vemos ahora un gráfico:
compara las dos funciones de densidad
‘verdadera’
y la%estimada)
>
c<-7;
fy<-dweibull(x,2,c);
pweibull(c/2,2,c)*100
# P( X < E[X]/2 ), en % :
> [1]
xi<-rweibull(n,2,c);
media<-mean(xi);
Vxi<-var(xi)*(1-1/n);
22.11992
[1]
22.11992
> >la<-media
/ Vxi; wa<-media*la;
la; wa; Vxi<-var(xi)*(1-1/n);
pgamma(wa/2,wa)*100 # LA ESTIMACION ERRONEA:
xi<-rweibull(n,2,c);
media<-mean(xi);
xi<-rweibull(n,2,c);
media<-mean(xi);
>> la<-media
la; wa; Vxi<-var(xi)*(1-1/n);
pgamma(wa/2,wa)*100 # LA ESTIMACION ERRONEA:
[1]
0.6122461 / Vxi; wa<-media*la;
> la<-media
[1]
0.6122461/ Vxi; wa<-media*la; la; wa; pgamma(wa/2,wa)*100 # LA ESTIMACION ERRONEA:
[1]
3.739277
[1]
0.6122461
[1]
3.739277
[1]
15.38061
[1]
3.739277
15.38061
> [1]
fe<-dgamma(x,wa,la);
plot(c(x,b,x),c(fy,min(fe),fe),'l',xlab='',ylab='')
[1]
15.38061
> fe<-dgamma(x,wa,la);
plot(c(x,b,x),c(fy,min(fe),fe),'l',xlab='',ylab='')
> fe<-dgamma(x,wa,la); plot(c(x,b,x),c(fy,min(fe),fe),'l',xlab='',ylab='')
0
> w<-7;
#
5
EL MODELO: Gamma con w=E[X]
10
15
(el factor de escala se toma =1)
(B)
ahora se repite lox<-(1:100)*b/100;
mismo suponiendo fx<-dgamma(x,w);
que la verdad es otra:
de X
> Pero
b<-qgamma(0.99,w);
# que
paralos
lavalores
gráfica
de siguen
f_X una Weibull
con
> exponente
n<-100; 2 y media = 7 (como en el caso anterior), pero que la estimación se realiza, ignorando eso, como
si >se tratase de una Gamma:
>
> #
OTRO MODELO, SIN QUE LO SEPAMOS...:
> c<-7; s<-2*c/sqrt(pi); fy<-dweibull(x,2,s); pweibull(c/2,2,s)*100
# P( X < E[X]/2 ), en % :
[1] 17.82750
>
... >y xi<-rweibull(n,2,s);
naturalmente ahora la p media<-mean(xi);
= P(X < µX /2) es Vxi<-var(xi)*(1-1/n);
muy distinta: 17.8 %.
> la<-media / Vxi; wa<-media*la; la; wa; pgamma(wa/2,wa)*100 # LA ESTIMACION ERRONEA:
[1] 0.6276832
[1] 4.525886
[1] 12.35883
> fe<-dgamma(x,wa,la); plot(c(x,b,x),c(fy,min(fe),fe),'l',xlab='',ylab='')
0.00
0.05
0.10
0.15
> b<-qgamma(0.99,w); x<-(1:100)*b/100; fx<-dgamma(x,w); # para la gráfica de f_X
> n<-100;
>
>
> #
QUE LOdeSEPAMOS...:
El código
queOTRO
sigueMODELO,
repite laSIN
operación
antes, produce el resultado (en el que naturalmente los ‘parámetros
> c<-7;nos<-2*c/sqrt(pi);
# peor
P( X que
< E[X]/2
estimados’
se corresponden confy<-dweibull(x,2,s);
nada y la estimación depweibull(c/2,2,s)*100
p es, como cabı́a esperar, mucho
antes) y), en %
[1] 17.82750
produce
un gráfico que compara las dos funciones de densidad (la ‘verdadera’ y la ‘estimada’):
>
> xi<-rweibull(n,2,s); media<-mean(xi); Vxi<-var(xi)*(1-1/n);
> la<-media / Vxi; wa<-media*la; la; wa; pgamma(wa/2,wa)*100 # LA ESTIMACION ERRONEA:
[1] 0.6276832
[1] 4.525886
[1] 12.35883
> fe<-dgamma(x,wa,la); plot(c(x,b,x),c(fy,min(fe),fe),'l',xlab='',ylab='')
>
>
0
5
10
15
(C) Vemos por último, para comparar sus formas, 3 densidades Gamma con distintos w (todas con factor de
*** caught bus error ***
escala =1), y el código que las produce.
address 0x9, cause 'invalid alignment'
ylab = "")
0.20
0.25
Traceback:
1: plot.new()
2: plot.default(c(x, b, x), c(fy, min(fe), fe), "l", xlab = "",
3: plot(c(x, b, x), c(fy, min(fe), fe), "l", xlab = "", ylab = "")
0.05
0.10
0.15
Possible actions:
1: abort (with core dump, if enabled)
2: normal R exit
3: exit R without saving workspace
4: exit R saving workspace
Selection:
Selection:
0.00
Selection:
> xi<-rweibull(n,2,c); media<-mean(xi); Vxi<-var(xi)*(1-1/n);
> la<-media / Vxi; wa<-media*la; la; wa; pgamma(wa/2,wa)*100 # LA ESTIMACION ERRONEA:
[1] 0.7035025
0
5
10
15
[1] 4.072229
[1] 14.00203
Gamma con w = 3, 7, 11
> fe<-dgamma(x,wa,la); plot(c(x,b,x),c(fy,min(fe),fe),'l',xlab='',ylab='')
>
> # LA 'FORMA' DE LAS Gamma
> fxw<- c(dgamma(x,3),0,dgamma(x,7),0,dgamma(x,11))
> plot(c(x,b,x,b,x),fxw,'l',xlab='Gamma con w = 3, 7, 11',ylab='')
>