Clase 3

Proyección esterográfica o estereograma
El estereograma constituye un modo conveniente
para representar en un plano la simetría de objetos
tridimensionales.
Podemos imaginar una esfera, como la de la figura
de la derecha, en la que marcamos con O su centro
y denotamos NOS al diámetro que pasa por sus
polos Norte y Sur. Si trazáramos el circulo ecuatorial
perpendicular a NOS y un radio de la esfera que
llegue al punto P sobre la superficie de la esfera, la
línea recta que una S con P cortará al plano
ecuatorial en el punto X. Dicho punto X es la
proyección estereográfica del punto P. En el caso
del punto Si, que está en el hemisferio sur, ver
figura, su proyección estereográfica
debe hacerse desde el polo norte.
Para distinguir las proyecciones provenientes del polo Norte o Sur respectivamente podrían
emplearse caracteres con colores invertidos, como en la figura o círculos y circunferencias.
Lo que llamamos estereograma es el círculo ecuatorial visto desde el polo norte y puede
emplearse cuantitativamente para dibujar medidas goniométricas precisas Vamos a ver que
nos permite describir la simetría puntual de una molécula, un cristal o un objeto simétrico
cualquiera.
La figura de la izquierda muestra los estereogramas
correspondientes a las simetría de un objeto en el que
sólo existe la simetría de identidad (1), y ejes propios de
rotación de distinto orden compatibles con la
existencia de simetría de traslación (2, 3, 4,y
6).En el centro del círculo se muestra la
notación usual para los distintos órdenes de
ejes
propios.
Los
círculos
pueden
representar un motivo, un átomo de una
molécula o las perpendiculares a las caras de un cristal. Por ej. el estereograma 4 podría ser
la representación de las simetrías del prisma cuadrado de la derecha.Estos puntos sulen
denominarse equivalentes. Para 1 sólo existe (x, y, z). El eje doble genera dos putos
equivalentes ((x, y, z) y (-x, y, -z).
Los elementos de simetría impropios (o ejes de roto
inversión) dan lugar a los 5 estereogramas de la
derecha Todos los círculos llenos están situados a la
misma distancia por encima del plano y los vacios a la
misma distancia por debajo del plano. Los vacios
indican distinta quiralidad. En el caso del eje impropio de
orden 3 para generar el estereograma si empezamos en
el punto S la primera operación de simetría sería una
rotación en 120⁰ en sentido anti horario dando lugar al
punto 4 y luego la inversión que da lugar al punto 1 (con otra quiralidad), la segunda rotoinversión genera al punto 2 recuperando la quiralidad inicial. Si siguiéramos aplicando la
roto-inversión se irían generado los distintos puntos del estereograma hasta regresar al
punto 6 coincidente con S. Para denotar la existencia de un plano espejo coincidente con el
plano de proyección se ensancha la línea de la circunferencia. Notar: que el eje impropio de
orden 1 coincide con la inversión.. El eje 2 impropio coincide con un plano espejo, el eje
impropio de orden 6 con un eje de orden 3 perpendicular a un plano espejo (3/m).
Los puntos equivalentes relacionados por la inversión son (x, y, z) y (-x,-y,-z). Los
relacionados por un plano espejo perpendicular a y son (x, y, z) y (x, -y, z).
Si en el objeto en análisis pudiéramos distinguir dos ejes de simetría perpendiculares, estos
darían lugar a un tercero como se puede apreciar en la siguiente figura
(a)
a
222
322 (32)
422
(b)
332(23)
432
Sólo las combinaciones de ejes 222, 322, 422, 622, 332 y 432 son compatibles con la
simetría de traslación en 3D. En el estereograma del grupo 222, figura anterior (a) pueden
apreciarse los pasos seguidos para construir el estereograma. En este grupo los tres ejes
son independientes. No pasa lo mismo en el grupo 322 donde el eje 3 y un eje 2 son
suficientes para generar los otros dos ejes dobles por eso también se lo nota como 32. En el
grupo 422los ejes B y C están relacionados por un eje cuádruple, parecería no ser necesario
notarlo 422, sin embargo si aplicamos las correspondientes operaciones de simetría
encontraremos que dan lugar a otro par de ejes dobles D a 45⁰ de los anteriores. Por lo
tanto en el símbolo 422, el 4 representa el eje de orden 4 y los dos números 2 a los dos
conjuntos de ejes de orden 2.
En la figura anterior (b) los ejes de rotación en 432 son únicos, pero en el cúbico 332 los
ejes de rotación de orden 3 estan relacionados por ejes de rotación de orden 2 no son
únicos y por lo tanto el símbolo corto que se emplea es el 23 para poder diferenciarlo del
trigonal 32 mostrado en la parte (a) de la figura.
En la Tabla que sigue podemos ver que pueden reconocerse 7 clases de grupos de simetría
de acuerdo al orden de los ejes de simetría que incluyen
ORDEN Y
NÚMERO DE EJES
CLASE
DE ROTACIÓN
1
Triclínico
2
Monoclínico
222
Ortorrómbico
3, 322
4, 422
6, 622
332, 432
Trigonal
Tetragonal
Hexagonal
Cúbico
1 eje de orden 1
1 eje de orden 2
3 ejes de orden 2
independientes
1 eje de orden 3;
1 eje de orden 4
1 eje de orden 6
3 ejes de orden 3
Para ver una Tabla incluyendo las rotaciones impropias, que nos llevarán a los 32 grupos
puntuales y a partir de la cual podrán ver ejemplos dinámicos de las operaciones de simetría
en cada grupo ir a:
http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/index-en.html
oa
http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/index.html
Para seguir avanzando debemos ver cómo se pueden combinar los grupos de simetría
planos con las redes de Bravais planas para encontrar todas las posibilidades de simetrías
que puedan aparecer en un cristal bidimensional. Es decir ver como se puede acomodar en
un plano una base o motivo (con o sin simetrías) para dar lugar a un cristal 2D.
En paralelo con el desarrollo de cómo se llegó a la clasificación compacta de los cristales
mediante el análisis de grupos de simetría puntual y redes de Bravais que llenen todo el
espacio (de 2 o 3 D), necesitamos revisar temas de algebra vectorial y matricial.
La clase 4 que se pondrá en la página entre mañana y pasado contiene toda la información
que necesitan manejar al respecto con ejemplos.