Ejemplo de solución óptima única Resolver el

Investigación de Operaciones
Ejemplo de solución óptima única
Resolver el siguiente problema por el método simplex tabular
Min
Sujeta a:
1. Se transforma el problema original a formato estándar
X0 + x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 0
x1 - 3x2 + x3
4x1 + 4x2 +
-2x1 + 2x2 +
x4
= 6
= 16
x5 = 4
x1 , x2 , x3 , x 4 , x5  0
2. Se forma la matriz simplex seleccionando las variables de holgura como las
variables básicas de inicio, de la siguiente manera:
Renglón Base
0
X0
1
X3
2
X4
3
X5
X0
1
0
0
0
De aquí la SBFI es: X1 = 0
X2 = 0
X1
1
1
4
-2
X2
3
-3
4
2
X3 = 6
X4 = 16
X3
0
1
0
0
X4
0
0
1
0
X5
0
0
0
1
Solución
0
6
16
4
X0 = 0
X5 = 4
Diana Cobos _____________________________________________________________________ 1
Investigación de Operaciones
3. Criterio de mejorabilidad
a. Si en el renglón cero todos los valores de las variables no básicas son no
positivos, la actual solución es la óptima.
b. Si una o más variables no básicas tienen un cero en tal renglón, la actual
solución es múltiple.
c. Si todas las variables no básicas tienen un valor negativo, la actual solución
óptima es única.
d. Si no tenemos ningún caso anterior pasar al siguiente paso.
4. Búsqueda de la variable de entrada a la base.
En el renglón 0, buscar entre las variables no básicas aquella que tenga el valor
más positivo y este número indicará cuál es la variable que entra a la base. En caso
de empate, romper éste arbitrariamente.
Renglón Base
0
X0
1
X3
2
X4
3
X5
X0
1
0
0
0
X1
1
1
4
-2
X2
3
-3
4
2
X3
0
1
0
0
X4
0
0
1
0
X5
0
0
0
1
Solución
0
6
16
4
Por lo tanto, la variable que entra a la base es X2
5. Búsqueda de la variable de salida de la base
a. Si en la columna de la variable de entrada todos los coeficientes son negativos,
entonces la solución es ilimitada.
b. Si no es así, se dividen los elementos de la columna Solución entre los
correspondientes en la columna de la variable de entrada (en este caso X2) y el
menor cociente positivo indicará la variable que sale de la base.
Diana Cobos _____________________________________________________________________ 2
Investigación de Operaciones
Para nuestro ejemplo tenemos:
6
 2
3
16
4
4
4
2
2

Así, la variable que sale en este caso es X3
Renglón Base
0
X0
1
X3
2
X4
3
X5
X0
1
0
0
0
X1
1
1
4
-2
X2
3
-3
4
2
X3
0
1
0
0
X4
0
0
1
0
X5
0
0
0
1
Solución
0
6
16
4
El elemento en el cruce de la variable que entra y la variable que sale se llama
pivote. En este ejemplo el pivote es el 2.
6. Formar la nueva base intercambiando el vector de salida por el de entrada
aplicando operaciones de fila y columna de la siguiente manera:
6.1 Convertir el pivote en 1 dividiendo todo el renglón de la variable de salida
entre el pivote (en nuestro ejemplo se divide todo el renglón X1 entre 20).
Renglón Base
0
X0
1
X3
2
X4
3
X5
X0
1
0
0
0
X1
1
1
4
-1
X2
3
-3
4
1
X3
0
1
0
0
X4
0
0
1
0
X5
0
0
0
1/2
Solución
0
6
16
2
Diana Cobos _____________________________________________________________________ 3
Investigación de Operaciones
6.2 Se convierten en 0's los demás elementos de la columna de la variable de
entrada
Renglón Base
0
X0
1
X3
2
X4
3
X2
Solución
X3 = 12
X4 = 8
X2 = 2
X0
1
0
0
0
X1
4
-2
8
-1
X1 = 0
X5 = 0
X2
0
0
0
1
X3
0
1
0
0
X0 = - 6
X4
0
0
1
0
X5 Solución
-3/2
-6
3/2
12
-2
8
1/2
2
No es sol. óptima
7. Regresar al punto 3, es decir, aplicar el criterio de mejorabilidad
Renglón Base
0
X0
1
X3
2
X4
3
X2
12
 6
2
X0
1
0
0
0
X1
4
-2
8
-1
8
1
8
X2
0
0
0
1
X3
0
1
0
0
X4
0
0
1
0
X5 Solución
-3/2
-6
3/2
12
-2
8
1/2
2
2
 2
1

Diana Cobos _____________________________________________________________________ 4
Investigación de Operaciones
Renglón Base
0
X0
1
X3
2
X4
3
X2
X0
1
0
0
0
X1
4
-2
1
-1
X2
0
0
0
1
X3
0
1
0
0
X4 X5 Solución
0 -3/2
-6
0
3/2
12
1/8 -1/4
1
0
1/2
2
Renglón Base
0
X0
1
X3
2
X1
3
X2
X0
1
0
0
0
X1
0
0
1
0
X2
0
0
0
1
X3
0
1
0
0
X4 X5 Solución
-1/2 -1/2
-10
1/4
1
14
1/8 -1/4
1
1/8 1/4
3
Sol. óptima
X3 = 14
X1 = 1
X2 = 3
X4 = 0
X5 = 0
X0 = -10
Sol. única
Diana Cobos _____________________________________________________________________ 5