Modelación de una Operación Aérea Diego Gerardo Roldán Jiménez* 21 de abril de 2011 Resumen Consideraremos operaciones aéreas donde hay un objetivo en tierra que debe ser destruido. Este es el caso de muchas de las operaciones que ha realizado la FAC a través de sus 92 años de historia, y en particular en el actual conflicto que se presenta en nuestro paı́s. De esta forma estudiaremos modelos matemáticos que permitan describir estos escenarios con el fin de dar a conocer las posibles consecuencias de las operaciones de acuerdo a como han sido planificadas. 1. Introducción. Para realizar operaciones aéreas donde se pretende la eliminación de un objetivo, se realizan diferentes estudios previos al ataque(inteligencia), que van desde la cantidad de personal asignado a la operación hasta el clima que predomina sobre el objetivo. El encargado de realizar este estudio es el centro de operaciones aéreas estratégicas, que analiza toda la información y se encarga de realizar una bitácora de operaciones. El factor de inteligencia aérea es vital para el desarrollo de la operación, pues sin esta información serı́a imposible enviar misiones. La sección de inteligencia aérea se encarga de conocer y determinar las acciones del rival, incorporando información exacta sobre coordenadas, tipo de defensa que dispone, clima usual, horarios, etc, toda la información que sea importante para el desarrollo de la misión. 2. Formulación del Problema Normalmente la FAC envı́a un número determinado de aviones en busca del objetivo, que dependiendo de la zona geográfica donde se encuentre y condiciones del terreno se hace mas ó menos accesible. Como pretendemos éxito total de la misión, necesitamos conocer la cantidad óptima de aviones que deben ser enviados para obtener el propósito deseado. * Dirección de contacto: Departamento de Matemáticas Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, [email protected] 1 Dada una cierta cantidad de aviones enviados a la misión, definimos X como la cantidad de aviones destruidos por las defensas, antes de que cumplan su misión. Primero vamos a obtener una expresión para la probabilidad Pi de que X = i aviones sean destruidos antes de que puedan destruir el objetivo y consideramos una distribución para X de tal forma que nos indique la probabilidad de que X aeronaves sean derribadas. Entonces si consideramos que las variable involucradas son aleatorias, debemos determinar una expresión S definida como: X S= Pi P (X = i) que representa la probabilidad de que la misión sea un éxito. Necesitamos una distribución de probabilidad adecuada para la variable aleatoria X, que describa la probabilidad de que sean derribadas X = i aeronaves despues de haber recibido un número determinado de misiles por parte del objetivo en tierra. Podemos suponer que dada la caracterı́stica del proceso el número de aeronaves destruidas X, tendrán una distribución binomial : m i P (X = i) = p1 (1 − p1 )m−i (1) i donde m es el número de misiles lanzados y p1 representa la probabilidad de que alguno de ellos impacte una aeronave. Ahora en orden de calcular la probabilidad de éxito de la misión S necesitamos determinar la cantidad mı́nima de aeronaves para que S sea lo suficientemente grande. Utilizamos simulación análitica para simular este modelo. Ası́ mismo planteamos simulaciones utilizando técnicas de Monte Carlo y Cadenas de Markov. 3. Resultados Figura 1. En la figura de la derecha se observa la variación de N para diferentes valores de S, y en la figura de la izquierda la grafica entre el éxito de la misión S y el número de bombarderos enviados N . Comparación de tres casos donde lanzan desde tierra m = 0, 4, y 10 misiles. Dependiendo de los valores suministrados por inteligencia, como el tipo de defensa que cuenta el objetivo, la precisión del armamento disponible, la velocidad 2 de alcance de radar, la velocidad de las aeronaves y la cantidad y velocidad de las baterı́as antiaéreas, realizamos simulación análitica sobre la variable aleatoria S, que determina la cantidad mı́nima de aeronaves a enviar. Tambı́en el modelo permite describir escenarios donde varı́a la cantidad de misiles lanzados a las aeronaves. En cuanto a la robustez del modelo, primero asumimos que cada aeronave adquiere el objetivo independientemente con la misma probabilidad. En realidad la primera bomba que cae sobre el objetivo causa polvo y humo, oscureciendo el aréa del objetivo. Esto quizá reduzca considerablemente la probabilidad de que los bombarderos adquieran el objetivo. Nosostros diseñamos un análisis de sensibilidad sobre este parámetro y observamos que el valor de N no es sensible a esta probabilidad. 4. Conclusiones El modelo menciona la cantidad de aeronaves necesarias para realizar una operación aérea de manera éxitosa determinando la cantidad óptima de aeronaves, es decir permite establecer una cota de recursos operacionales en estas misiones descartando por completo el uso de la fuerza bruta, tal como se hace hoy en dia. Tambı́en permite establecer que si se cuenta con aviones con mayor capacidad operacional (es decir aeronaves que viajan a mayor velocidad, y poseen alta precision adquiriendo e impactando un objetivo) el número necesario será menor y por lo tanto en caso de presentar misiones donde se prevé perdidas aliadas minimizar este número. Los resultados de las simulaciones que se realizaron utilizando simulación análitica, coincidieron con los resultados de las simulaciones hechas utilizando métodos de Monte Carlo. Concluimos que a pesar de que la simulación análitica es mas difı́cil de plantear, el costo computacional, es mucho menor que utlizando técnicas de Monte Carlo y Cadenas de Markov. Referencias [1] Barnier W.: Expected Loss in Keno, UMAP módulo 574. [2] Billingsley P. Probability and measure, Wiley, New York.(1979) [3] Cinlar E. Introduction to Stochastic Processes, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. [4] Carlson. Conditional Probability and Ambigous information UMAP módulo 391. [5] Moore P, McGabe G.: Introduction to the practice of Statistics, W.H. Freeman, New York , (1989). 3