Guía Ejercicios: Desigualdades e Inecuaciones

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3° medio
Desigualdades e Inecuaciones
El conjunto de los números reales, provisto de las operaciones de suma y multiplicación y de la relación de orden “mayor que” constituye el Sistema ( IR, +, ⋅, > ) y que, de acuerdo a los axiomas de cuerpo y la relación de orden descrita a continuación, hacen que el Sistema ( IR, +, ⋅, > ) , sea un Cuerpo Ordenado. Axiomas de Orden. Se define IR + , subconjunto de IR , llamado el conjunto de los reales positivos. En este conjunto se satisfacen los siguientes axiomas: O.1) Si a, b ∈ IR + , entonces ( a + b) ∈ IR + O.2) Si a, b ∈ IR + , entonces ( a ⋅ b) ∈ IR + O.3) Si a ≠ 0 , entonces a ∈ IR + ó − a ∈ IR + Definición de la relación “mayor que”. ∀ a, b ∈ IR, a > b si y sólo si ( a − b) ∈ IR + Esta relación cumple una serie de propiedades que nos permitirán definir otras relaciones de orden y resolver algunos problemas, en particular, inecuaciones. I.
Verificar mediante ejemplos numéricos adecuados, las siguientes propiedades: 1) Dados dos números reales a y b , sólo una de las condiciones se cumple: a = b ó a > b ó b > a 2) a 2 ≥ 0,
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
∀a ∈ IR Si a > b y b > c , entonces a > c Si a > b , entonces a + c > b + c, ∀c ∈ IR Si a > b y c > d , entonces a + c > b + d Si a > b y c > 0 , entonces ac > bc Si a > b y c < 0 , entonces ac < bc Si a > b , entonces − a < − b Si a > 0 , entonces a −1 > 0 10) Si a > b > 0 , entonces b −1 > a −1 > 0 II. En la resolución de inecuaciones, será frecuente encontrar subconjuntos de números reales que podremos expresar de al menos tres formas: 1) En lenguaje de conjuntos 2) En forma gráfica 3) Como intervalo Exprese gráficamente los siguientes conjuntos de números reales: A = {x ∈ IR : 3 ≤ x ≤ 5} B = {x ∈ IR : − 2 < x < 3} C = {x ∈ IR : x > −3} D = {x ∈ IR : x ≤ 4} Exprese en forma de intervalo, los conjuntos descritos en el ejercicio anterior. III. Las inecuaciones son desigualdades que contienen incógnitas. En esta guía nos abocaremos a las inecuaciones lineales. Resuelva las siguientes inecuaciones, expresando su conjunto solución como conjunto, gráficamente y como intervalo. 1) 5 x − 4 < 3x + 5 x−5 x+4 x+3
+
≥
3
2
6
2 x − 1 3x + 1 x − 5
3)
−
>
5
3
10
2 x − 7 x + 4 3x − 1 x − 3
+
≤
−
4)
4
2
8
6
5) 3 x − 1 + 2( x + 4) < 2( 2 x − 3) 2)
6)
2x − 3 x + 5 x − 4
≥
−
6
3
4
Es posible analizar algunos problemas a la luz de la resolución de inecuaciones lineales IV. Problemas. 1) Sabiendo que los tres jugadores más altos de un equipo de basquetbol tienen un promedio de estatura de 1.96 metros, ¿Qué promedio de estatura deben alcanzar los dos jugadores más bajos del equipo si el promedio del equipo debe ser por lo menos de 1.92 metros? 2) Durante cierto período, la temperatura en grados Celsius varió entre 25° y 30°. ¿Cuál fue el ⎛
⎝
intervalo en grados Fahrenheit para este período? . ⎜ F =
9
⎞
C + 32 ⎟ . 5
⎠
3) Para determinar el coeficiente intelectual de una persona se usa la fórmula: I =
100M
, C
donde I es el coeficiente intelectual, M es la edad mental (determinada mediante un test) y C es la edad cronológica. Si la variación de I de un grupo de niños de 11 años está dada por 80 ≤ I ≤ 140 , encuentre el intervalo de edad mental de este grupo. 4) Un furgón pesa 875 kg. La diferencia entre el peso del furgón vacío y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales de idéntico peso, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en ese furgón?. V. Sistemas de inecuaciones lineales Existen dos tipos de sistemas de inecuaciones: los sistemas con conjunción y los sistemas con disyunción. Los primeros están asociados a la intersección de conjuntos y los otros, a la unión de conjuntos. Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones: 5 x − 2 < 0 y 3 x − 1 > 0 3 x − 2 < −2 o 3 x + 2 > 2 1 < 4x + 3 < 9 − 25 ≤ 4 x + 3 ≤ 19 x − 5 x +1
x−2 x+3
y 5)
<
>
5
4
3
2
2x x − 1 1
x + 2 3x 3
6)
−
≤ o +
≥ 3
4
2
6
2 4
1)
2)
3)
4)
VI. Inecuaciones con expresiones fraccionarias: x−3
< 0 x+2
1)
2)
3)
2x − 1
≥ 0 x−2
3x − 2
>0 2x + 1
4)
x−4
≤2 x−3
VII. Determine la alternativa correcta en cada ejercicio: a) ¿Cuál de los siguientes números NO es una solución de la inecuación 5x – 4 < 12? A) ‐2 B) 3 C) 0 D) 1,8 E) 4 b) ¿De qué inecuación NO es solución el gráfico? A) ‐2x > 4 B) ‐4 > 2x C) –x < 2 D) 8 < ‐4x E) ‐2 > x c) Si 7 veces un número se disminuye en 5 unidades resulta un número menor que 47, entonces el número debe ser menor que: A) 42 B) 49 C) 52 D) 82/7 E) 52/7 d) El conjunto solución de 3x‐8 < 5x+5 es: A) x < 13/2 B) x > 13/2 C) x < ‐13/2 D) x > ‐13/2 E) x > ‐2/13 e) El conjunto solución de la inecuación 2 x + 1 3x − 4
<
es: 8
3
A) x > 0 B) x > 35/18 C) x < 35/18 D) x = 35/18 E) x > 18/35 2 x + 3 < 3⎫
⎬ es: x−2>4 ⎭
A) x ≤ 0 B) x ≥ 6 C) x < 0 o x>6 D) IR E) Otra solución f) El conjunto solución del sistema g) El conjunto solución de la inecuación 2x –[x –(x –50)] < x – (800 –3x) es: A) x<375 B) x>375 C) x<750 D) x>750 E) Otra solución