Universidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias Escuela de

Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Física
Postgrado en Física
Mecánica Cuántica I
http://fisica.ciens.ucv.ve/~svincenz/mecanicacuantica_p.html
Tarea 6
Teoría de Perturbación Dependiente del Tiempo
Operadores de Creación y Aniquilación
http://fisica.ciens.ucv.ve/~svincenz/mecanicacuantica_p(t6).pdf
1°) Como se demostró en clase, la cantidad T m p , en primer orden, puede escribirse de la siguiente
forma:
(T m p )1er = −
2πi
V m p δ(Em − Ep ),
~
(1.1)
donde V m p (t) = hφm | V̂ |φp i es el elemento de matriz del potencial de interacción independiente del
tiempo V̂ = V (r). Los estados |φp i y |φm i son autoestados del operador no-perturbado Ĥ0 , es decir,
Ĥ0 |φn i = En |φn i, donde hφn | φm i = δn,m . De la misma forma, el término de segundo orden para la
cantidad T m p puede escribirse de la siguiente forma:
(T m p )2do = −
2πi X V m n V n p
δ(Em − Ep ).
~ n6=p Ep − En + i
(1.2)
De manera que la cantidad T m p hasta el segundo orden puede escribirse así:
Tmp = −
2πi
2πi X V m n V n p
δ(Em − Ep ) V m p −
δ(Em − Ep ).
~
~ n6=p Ep − En + i
(1.3)
Demuestre que la rata para la transición p → m viene dada por
Wmp =
con el reemplazo
Vmp → Vmp +
2π
| V m p |2 %(Ep )
~
(1.4)
Vmn Vnp
+ ··· .
E
−
E
+
i
p
n
n6=p
(1.5)
X
2°) Considere la emisión de una partícula, fotón o neutrón. Muy lejos, esta partícula puede ser
descrita por una onda plana (normalizada) de la forma
1
i
(p · r − Et) .
ψ(r, t) = √ exp
~
V
(2.1)
Aquí, V es el volumen de la caja donde toma lugar el proceso. Supondremos que la caja es cúbica,
de lado L y muy grande. Bajo estas circunstancias, la forma de la caja no es importante. Si se usan
27
condiciones de frontera periódicas, es decir,
(2.2)
ψ(x + L, y, z, t) = ψ(x, y, z, t),
y así sucesivamente, la especificación del momentum se puede obtener muy facilmente. (a) En efecto,
demuestre que esto implica que
exp
ipx L
~
= exp
ipy L
~
= exp
ipz L
~
= 1.
Por lo tanto, los momenta se especifican por
px =
2π~
n1 ,
L
2π~
n2 ,
L
py =
pz =
2π~
n3 ,
L
(2.3)
donde n1 , n2 y n3 son enteros, positivos y negativos. (b) En general, uno siempre está interesado en la
detección de la partícula final (fotón o neutrón) en algún rango de los momenta. Si estamos interesados
en el rango de los momenta (p, p + ∆p) entonces en lo que realmente estamos interesados es en la
siguiente rata de transición:
X
Γ=
Γk→m (p),
(2.4)
∆p
donde la suma se hace sobre todos los estados en ese rango. En nuestro caso, la suma sobre el intervalo
∆p se convierte en una suma sobre enteros:
Γ=
X
Γk→m (p) =
∆p
XXX
Γk→m (n) →
d3 n Γk→m (n).
(2.5)
∆n1 ∆n2 ∆n3
Y la suma se convierte en una integral porque en un gran volumen el triplete de enteros n = (n1 , n2 , n3 )
consiste de números muy grandes, así que ∆ni se hace infinitesimal. Demuestre que
d3 n = dn1 ∧ dn2 ∧ dn3 =
L
2π~
3
dpx ∧ dpy ∧ dpz =
V
d3 p.
(2π~)3
(2.6)
(c) Demuestre que la suma en (2.5) puede escribirse de la siguiente manera:
d3 p
Γ=
V 2π
|hm| U |ki|2 δ(Em − Ek + E).
(2π~)3 ~
(2.7)
En (2.7) se ha escogido un signo definido para la energía E, ya que se está discutiendo la emisión de
una partícula. Explique cada uno de los términos en (2.7). (d) Para evaluar a (2.7) tome un elemento
de volumen en el espacio p y escríbalo en términos de las coordenadas esféricas (en el espacio de los
momenta). Es decir,
d3 p = dΩp p2 dp = sin(θp ) dθp dφp p2 dp.
(2.8)
Aquí, el factor dΩp es el ángulo sólido infinitesimal alrededor de la dirección de p. El resultado que
deberá obtener es el siguiente:
2π
Γ=
~
2π
=
~
V
dΩp
(2π~)3
V
dΩp
(2π~)3
p2 dp |hm| U |ki|2 δ(Em − Ek + E)
dE p2
dp
|hm| U |ki|2 δ(Em − Ek + E)
dE
28
=
2π
~
dp
V
p2
|hm| U |ki|2
(2π~)3
dE
dΩp
.
E=Ek −Em
(2.9)
En (2.9) la integral se hace sobre cualquier ángulo sólido que deseemos incluir. Éste podría ser el ángulo
sólido subtendido por un detector fijo; si no nos importa la direccion en la que la partícula es emitida
integramos sobre la totalidad de la esfera y obtenemos 4π. Note que el factor en el corchete se evalua
en el valor de E especificado por la delta de Dirac. (e) Si la partícula emitida es un fotón, entonces la
relación entre la energía y el momentum es E = cp, así que el factor p2 dp/dE es
p2
dp
~2
= 3 ω2,
dE
c
(2.10)
donde también se hizo uso de la relación E = ~ω. Demuestre este resultado. (f) Si la partícula emitida
tiene una energía dada por E = p2 /2m, entonces se tiene que
p2
√
dp
= m 2mE.
dE
(2.11)
Demuestre este resultado. Finalmente, podemos reescribir el factor que cuenta el número de estados en
(2.9) como sigue:
V
V d3 p
d3 n
2 dp
dΩp
p
=
=
≡ %(E).
(2.12)
(2π~)3 dE
(2π~)3 dE
dE
Esta cantidad es el número de estados en el intervalo de energía dE y por eso es llamado la densidad
de estados. Si se tienen diversas partículas libre en el estado final, la fórmula (2.7) se generaliza a
Γ = (Γi→f ) =
Y
d3 pk
k
X
V 2π
2
|hf
|
U
|ii|
δ(E
−
E
+
Ek ).
i
f
(2π~)3 ~
k
(2.13)
Una vez más, la delta de Dirac expresa la conservación de la energía. Aquí, toda la energía llevada
por las partículas libres es igual al cambio de energía en el sistema, y la integración es hecha sobre
los momenta independientes. Así que, si una partícula inestable decae en tres partículas hay entonces
solo dos momenta independientes ya que el tercero está fijado por la conservación del momentum. Sin
embargo, note que el producto de los factores “del espacio de fase” en (2.13) se hace sobre todas las
partículas en el estado final. Por lo tanto, eso involucra un factor V√N si hay N partículas en el estado
final. Esto es necesario para cancelar el cuadrado de los factores 1/ V para las N partículas.
3°) Un átomo esta inicialmente en el estado base de un oscilador armónico simple
Ĥ = ~ω↠â.
(3.1)
V 0 = ~Ω(↠+ â).
(3.2)
En t = 0 se enciende una perturbación
Encuentre la probabilidad de transición a cualquier estado excitado del sistema para t > 0. Aquí tiene
la respuesta:
Ω 2n
1
2
2
exp −Ω /ω
−
.
(3.3)
Pn (t) =
n!
ω
4°) Un átomo tiene dos niveles de energía ±~Ω. En t = 0 se enciende una debil perturbación V (t)
29
que conecta estos dos niveles y que varia periodicamente en el tiempo de la siguiente manera:
(4.1)
h1| V (t) |2i = ~Ω1 sin(ωt).
(a) Encuentre un Hamiltoniano modelo para este sistema. Aquí tiene la respuesta:
Ĥ = Ĥ0 + Ĥ 0 ,
(4.2)
donde
Ĥ0 = ~Ω
1 0
0 −1
!
= ~Ωσ3 ,
0
Ĥ = ~Ω1 sin(ωt)
0 1
1 0
!
= ~Ω1 sin(ωt)σ1 (t > 0).
(4.3)
(b) Si el átomo estaba originalmente en su estado base, estime la probabilidad P (t) que esté en su
estado excitado en el tiempo t. Aquí tiene la respuesta:
P (t) = |A(t)|2 ,
donde
A(t) =
i
2iΩ1 2iΩt h
−2iΩt
e
ω
cos(ωt)
−
ωe
−
2iΩ
sin(ωt)
.
ω 2 − Ω2
30
(4.4)
(4.5)