Paralelismo y Perpendicularidad

Dibujo
Paralelismo y Perpendicularidad
De igual forma que en Geometría Métrica Plana hablamos de dos elementos
fundamentales: el punto y la recta, en Geometría del Espacio los elementos
fundamentales son tres: punto, recta y plano.
El plano se define como una superficie tal que toda línea real que tenga dos puntos
en dicha superficie estará totalmente contenida en ella.
Un plano se determina:
- Por una recta y un punto exterior.
- Por tres puntos no alineados.
- Por dos rectas que se cortan.
- Por dos rectas paralelas.
Postulados de posición:
Los dos primeros corresponden a la G. M. Plana, siendo necesario incorporar los
otros dos para el desarrollo de la Geometría del Espacio.
1.- Dos puntos determinan una sola recta.
2.- Dos rectas coplanarias distintas se cortan en un solo punto.
3.- Una recta y un plano definen un solo punto conocido como punto de
intersección (propio o impropio) o traza de la recta y el plano.
4.- Si una recta tiene dos puntos comunes con un plano, todos los puntos de la
rectapertenecen al plano.
----------------------------------------------------------------------PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD.
PROYECCIONES SOBRE UN PLANO.
----------------------------------------------------------------------PARALELISMO.
Recta y plano paralelos:
Una recta y un plano son paralelos cuando se cortan únicamente en el punto
impropio.
La condición necesaria y suficiente para que una recta sea paralela a un plano es
que lo sea a una recta cualquiera del plano.
Planos paralelos:
La condición necesaria y suficiente para que dos planos sean paralelos es que uno
de ellos contenga dos rectas paralelas a l otro no siendo paralelas entre si.
Teoremas sobre paralelismo:
1.- Si por una recta paralela a un plano se hace pasar un segundo plano que corte
al inicial,la intersección de estos dos planos es una recta paralela a la primitiva.
2.- Si dos planos paralelos son cortados por un tercero, las intersecciones son dos
rectas paralelas.
3.- Si dos rectas son paralelas, todo plano que corte a una de ellas corta también a
la otra.
4.- Si dos planos son paralelos:
- Toda recta que corta al primero corta tambén al segundo.
- Todo plano que corta al primero corta también al segundo.
5.- La intersección de dos planos paralelos a una misma recta es otra recta también
paralela a ella.
6.- Si dos planos paralelos cortan a dos recta también paralelas, los segmentos
intersectados de la recta son iguales.
7.- Si dos rectas cualesquiera son cortadas por un haz de planos paralelos, los
segmentos definidos entre los planos son proporcionales.
----------------------------------------------------------------------PERPENDICULARIDAD.
Recta y plano perpendiculares:
Una recta es perpendicular a un plano cuando lo es a todas las rectas de dicho
plano.
La condición necesaria y suficiente para que una recta sea perpendicular a un plano
es que lo sea a dos rectas no paralelas del plano.
Planos perpendiculares:
La condición necesaria y suficiente para que dos planos sean perpendiculares es
que uno de ellos contenga una perpendicular al otro.
Teoremas sobre perpendicularidad:
1.- Si dos rectas son paralelas, todo plano perpendicular a una de ellas lo es
también a la otra. De igual forma, si dos planos son paralelos, toda recta
perpendicular a uno de ellos lo es también al otro.
2.- Si una recta es perpendicular a un plano, toda perpendicular a esta recta es
paralela al plano o está contenida en él.
3.- Si dos planos P y P´ son perpendiculares a un tercer plano Q, su intersección
también lo es.
4.- Teorema de las tres perpendiculares: si por el pie O de la perpendicular a un
plano se traza de nuevo la perpendicular r a una recta cualquiera s del plano. La
recta r´que une el pie de esta segunda perpendicular con un punto cualquiera A de
la recta primitiva, es también perpendicular a la recta elegida del plano.
5.- Si una recta es perpendicular a un plano, todo plano que contenga a dicha
recta, o sea paralelo a ella, es perpendicular al plano inicial.
6.- Por una recta oblícua a un plano, sólo se puede trazar conteniéndola, un plano
perpendicular al dado.
7.- Si dado un punto exterior a un plano se trazan la perpendicular al mismo y
diversas oblicuas, se obtienen las siguientes consecuencias:
- Dos oblicuas cuyos pies distan lo mismo del pie de la perpendicular son iguales.
- La perpendicular es la más corta.
- De dos oblicuas que se alejen distinto, es mayor la que tenga mayor distancia del
pie de la perpendicular.
----------------------------------------------------------------------PROYECCIONES SOBRE UN PLANO.
Se llama proyección de un punto sobre un plano a la intersección del rayo
proyectante que pasa por el punto con el plano.
El rayo proyectante puede ser normal (perpendicular) u oblicuo con el plano.
Las proyecciones a su vez pueden ser de dos tipos: cónicas o cilíndricas.
Proyecciones cónicas:
Se llama proyección cónica de un punto A respecto de otro V, llamado vértice de
proyección, a la intersección A´ con el plano de proyección de la recta que
partiendo de V pasa por A.
La proyección cónica de un segmento AB se obtendrá con la proyección cónica de
dos de sus puntos.
Proyecciones cilíndricas:
Definida una dirección r y un plano P, la proyección cilíndrica de un punto A se
obtiene por la intersección A´con el plano de proyección de la recta paralela a la
dirección dada que pase por el punto A.
La proyección cilíndrica se denomina ortogonal cuando la dirección de proyección es
perpendicular al plano de proyección.
- Propiedades de las proyecciones cilíndricas:
1.- La proyección de una línea recta sobre un plano es otra línea recta.
2.- Las proyecciones de dos rectas paralelas sobre un plano son a su vez dos rectas
también paralelas.
3.- Si dos rectas son perpendiculares en el espacio sus proyecciones sobre un plano
paralelo a una de ellas son también perpendiculares.
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