SOBRE LA RESOLUCION GRAFICA DE LA ,ECUACION CUBICA

-152-
SOBRE LA RESOLUCION GRAFICA DE LA
,ECUACION CUBICA
l. La sencilla r,epresentación gráfica de las raíces ünaginarias de la ecuación cuadrática dada por el ,Sr. Rebella, sugiere dar otra análoga para la de tercer grado, probablel11'ente
conocida también. Todo se reduce a sustituir el punto ünpropio
del 'ej,e x por la intersección r,eal a de la curva, que ",'e supone
dibujada. La abscisa p del punto de contacto de la tangente
trazada desde dicho punto aes la parte real de las ,raíces
inlaginarias; y trazada por a la recta de pendiente doble, las
proyecciones sobre el 'eje de los dos puntos de inters,ección.,
sonsünétricas r'especto de p, y su distancia () de él es la
componente imaginaria. Se deterlnin.ará Xo más exactalnente
con ,esta secante que con la tangente, pues ésta deja un tanto
indet'enninado el punto de contacto, lnientras que dicha secante
da lnuy ,exactamente las dos cOlnponentes de las 'raíces ünaginarias.
La demostración I~~ inmediata; sea la ecuación:
para toda recta y =k( x por la ,ecuación
k=a(x2-- 2PX+q)
x'+x"
-2-=P
x o) las intersecciol1es vienen dadas
de donde,
x'-x"
luego las proyecciones üenen el mismo punto nlledio p, que
len particular es 'la abscisa del punto de contacto de la tangente;
la pendiente de ésta e.s k' =a(q - p2) Y para 71; = 2k' resulta
como s81nidiferencia de raíces precismnente () = JI q - p2, que
es la componente ünaginaria de las raíces p
i.
En su nota de Math. ~fonthly (I94I), da Gelunan(1) como
± ()
(1) H. M. GEHMAN, Cornplex 1'00tS of a polynomial equaUon, American
MathematicaI Monthly, Vol. 48, 1941.
-153-
int,erpretación de la coniponente inlaginaria la raíz de la pendiente ele la tang'ente; pero aparte de exigir la construcción de
una media y una cuarta prüporciünal, tal regla es válida solam,ente cuando d cüeficiente les a = 1, Y ,esto. se ignora si se
da la curva sin su 'ecuación. En cambio, con la r,egla que damüs,.
X'
f
X"
construida. la tangente, conlO puede haoerse con excelente aproximación, y dibujada la recta ele pendiente doble, la proyección de sus intersecciünes representa gráfica~nenbe lel par de
raÍoes Ílllaginarias y da entrambas conlponent,és: p y b, cü1110
se ve en la figura.
J. R. P.
II. Otra cJnstruc~ión gráfica, por el nlétodo de las coordenadas, ele las raíces reales y cOlllplejas de la ,ecuación cúbica"
puede basarse sobr'e la siguiente propiedad: si para p> o. y
q'2 _ q2 = ltp3, las raíces de las :ecuaciones X3
27
+ px + q
=0.
Y
X3_ pX+q'=ü son, respectivmnente,
narias) y
X' 1
(real),
X' 2,3
Xl (r,eal), X2,3 (Ílllagi(in1aginarias) se verifica
Basta considerar que las dos ecuaciones anteriores tienen
como. radicales de Cardano, respectivalllente u, v y u, - v.
-154De donde,· si Ise representan gráficalTIlente las ecuaciones
(1)
X=y3_ py
43
x2_y2= L
27
(3)
las paralelas a los ejes por el punto ( - q', - q) de la hipérbola (3) delerIlllnan sobre (1) Y (2) los valores Xl y X' 1; vale
decir, la raíz real y n{llneros proporcionales a los con1ponentes
de las raÍCes oOll1plejas de alllbas ecuaciones x 3 +·px'+ q = o·;
x 3 _px+ q'=o.
Esta 111isma propiedad podría utilizarse para la deterIllinanOl11.ográfica de las raíces cOlllplejas ele la cúbica
x 3 -1-- px
q = o, superponiendo al clásico nOlllograma para la
ecuaoión (ver, por ejen1plo, D'OCAGNE, M., Cálculo gráfico y
nom,ografia, led.española, pág. 319) sobre la escala de puna
CiÓll
de
(~)
+
3
Y sobre la de q una de
~2,
Y dibujando el soporte de
la escala «n1uda» de [{ para cOlllpletar !el nOlllograIlla de ecuación '
con lo que las alineaciones p, q y - p, q' que se cortan sobre,
el soporte ele [( pern1iten conocer q' partiendo de q o vicev1ersa.
J. B.
CUESTIONES ELEMENTALES
15. - En qué direccióll debe' atravesarse una calle por la que avanza un
vehículo de modo que el riesgo de ser alcanzado al cruzar delante del mismo
sea mínimo~
16. - Dos cilindros circulares rectos, del mismo radio r = 1 Y de alturas
ilimitadas en ambas direcciones, están colocados de modo que sus ejes se cortan bajo un ángulo cp. Determinar, para O
cp < 90°, el volumen V(cp) de
la "penetración" o sea del conjunto de los puntos que pertenecen a los dos cilindros a la vez.
<