CiberEsquina - Universidad Nacional Abierta

Primera Prueba Parcial
Lapso 2015-2
753−759 –1/2
Universidad Nacional Abierta
Álgebra II (753−759)
Vicerrectorado Académico
Cód. Carrera: 508 – 126
Área de Matemática
Fecha: 09 – 01 – 2016
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos 1 al 3
OBJ 1 PTA 1 Determine la solución del siguiente problema, aplicando el método de eliminación de
Gauss.
Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, románticas y acción. Se sabe que:
El 60% de las películas infantiles más el 50% de las románticas representan el 30% del total de las
películas. El 20% de las infantiles más el 60% de las románticas más el 60% de las de acción
representan la mitad del total de las películas. Hay 100 películas románticas más que de infantiles.
Halle el número de películas de cada tipo.
Solución:
Para facilitar la formulación del sistema de ecuaciones que modela el problema llamaremos
x= películas infantiles, y= películas románticas y z= películas de acción.
Así, el sistema asociado al problema es:
60
50
30
( x + y + z)
x + 100
y = 100
100
 20
60
60
y + 100
z = 12 ( x + y + z ) .
100 x + 100
 y = x + 100

Al reordenar las variables del sistema de ecuaciones y aplicar el método de eliminación de Gauss, se
tiene que:
Tipo de película Cantidad
infantiles
500
románticas
600
acción
900
OBJ 2 PTA 2 Calcule de ser posible, la inversa de la siguiente matriz usando algún método numérico:
0 
6 2 3


3 
2 1 0
 2 0 1 − 2 .


0 2 − 2 6 


Solución:
Una manera de resolver este problema es la siguiente:
Sea A la matriz dada, de existir su inversa, ella debe cumplir las siguientes igualdades:
AxA−1 = I = A−1xA. ¿Por qué?
Supongamos,
 α1 α 2 α 3 α 4 


β 2 β3 β 4 
−1  β1
A =
.
γ1 γ 2 γ 3 γ 4 


δ δ δ δ 
2
3
4 
 1
Especialista: Alvaro Stephens
Evaluadora: Florymar Robles
Primera Prueba Parcial
Lapso 2015-2
753−759 –2/2
Por la unicidad de la inversa debemos probar que:
6

2
2

0

2 3
0   α1 α 2 α 3 α 4   1 0
 

1 0
3   β1 β 2 β 3 β 4   0 1
=
0 1 − 2  γ1 γ 2 γ 3 γ 4  0 0
 

2 − 2 6   δ1 δ 2 δ 3 δ 4   0 0
0
0
1
0
0   α1 α 2 α 3 α 4   6 2 3
0 

 

0   β1 β 2 β 3 β 4   2 1 0
3 
.
=
0  γ1 γ 2 γ 3 γ 4   2 0 1 − 2

 

1   δ1 δ 2 δ 3 δ 4   0 2 − 2 6 
De estas igualdades se obtienen cuatro sistemas de ecuaciones y al resolver cada sistema de ecuaciones
obtenemos los siguientes valores:
α1 = −1 / 4 α 2 = 1 / 2 α 3 = 3 / 4
α4 = 0
β1 = 1 / 2 β 2 = −3 / 2
β3 = 0
β4 = 3 / 4
.
γ1 = 1/ 2
γ2 = 0
γ 3 = −3 / 2 γ 4 = −1 / 2
δ1 = 0
δ 2 = 1 / 2 δ 3 = −1 / 2 δ 4 = −1 / 4
Desarrolle los
cálculos para llegar
a estos resultados.
Así tenemos que la inversa de la matriz dada es:
0 
 −1/ 2 1 3 / 2


−3 0
3/ 2 
1  1
.
0 −3
−1 
2 1



 0
1
−
1
−
1
/
2


Compruebe que
efectivamente
esta es la inversa.
Existen muchas maneras de responder esta pregunta, como por ejemplo, aplicando el método de
Gauss-Jordan simultáneamente a la matriz dada y a la matriz identidad del mismo orden.

OBJ 3 PTA 3 Demuestre que si E es un espacio vectorial real entonces S={ 0 } es un subespacio
vectorial de E.
Solución:

El subespacio S={ 0 } se conoce con el nombre de subespacio trivial ya que cumple trivialmente con la
definición de espacio vectorial. Verifique que efectivamente las cumple. Ver página 38 y 39 del texto
UNA, sección 6.
NOTA: Para que este objetivo se considere logrado el estudiante debe haber verificado explícitamente
que S cumple la definición de espacio vectorial.
FIN DEL MODELO.
Este modelo se elaboró para uso de asesores y estudiantes, debe servir
como material para la retroalimentación de los estudiantes.
Especialista: Alvaro Stephens
Evaluadora: Florymar Robles