¿QUÉ MATEMÁTICAS NECESITA LA EMPRESA?

¿QUÉ MATEMÁTICAS NECESITA LA EMPRESA?
Raquel Garrido Abia y Angeles Cámara Sánchez
Universidad Rey Juan Carlos
Facultad de Ciencias Jurídicas y Sociales.
Paseo de los Artilleros, s/n. 28032 Madrid. Tel: 913019901.
E-mail: [email protected] y [email protected]
Resumen
La aplicación de la matemática a la ciencia económica y empresarial ha supuesto
un cambio, para algunos incluso una revolución, en la forma de afrontar los problemas
propios de dicha ciencia.
Durante el siglo XIX se fueron creando las bases, principalmente dentro del
ámbito del Cálculo Diferencial, necesarias para la gran evolución que se ha producido
durante todo el siglo XX. Tenemos que destacar sobre todo el desarrollo de los modelos
lineales, la teoría de juegos, la elección en condiciones de incertidumbre y la
agregación.
En la siguiente comunicación nos centraremos en la descripción de los diferentes
tipos de análisis que son propios de la problemática empresarial, viendo cómo el
razonamiento matemático, mediante la modelización, aporta una metodología propia
para su estudio. Para hacer una exposición ordenada los hemos clasificado en cuatro
grupos: análisis de compatibilidad, análisis de elección óptima, análisis de
comportamiento y análisis de valoración por agregación.
Creemos que los que enseñamos matemáticas en las facultades de economía y
empresa debemos hacer un esfuerzo para mostrar a nuestros alumnos el porqué de los
contenidos de las asignaturas de matemáticas.
1. Preliminares
Nos proponemos tratar en la presente comunicación la relación de la Matemática
con la ciencia económica y empresarial, es decir, la función que desempeñan las
técnicas matemáticas y el lenguaje matemático en la elaboración y desarrollo de la
Economía como ciencia. Todos sabemos que la aplicación del razonamiento matemático
a la descripción y estudio de los fenómenos y sistemas económicos ha hecho variar la
forma de entender la ciencia económica y empresarial.
Para empezar queremos poner de manifiesto que la matemática no aporta
únicamente un conjunto de técnicas y teorías para aplicarlas a la resolución de
problemas económicos, sino que proporciona una metodología para abordar los
diferentes problemas que presenta la actividad económica.
Pero la relación entre ambas ciencias, matemáticas y economía, no es
unidireccional. No sólo la matemática ha hecho crecer a la economía como ciencia sino
que la economía, con sus problemas específicos, ha dado a la matemática la posibilidad
de desarrollarse en una determinada dirección. En la búsqueda de soluciones para el
ámbito económico, la matemática ha desarrollado nuevas teorías y nuevos métodos de
investigación.
En esta comunicación nos centraremos en la descripción de los diferentes tipos
de análisis que son propios de la problemática empresarial, viendo cómo el
razonamiento matemático, mediante la modelización, aporta una metodología propia
para su estudio.
En un principio, en la llamada etapa marginalista, prácticamente sólo se
empleaba el Cálculo Diferencial e Integral (los objetos primarios del Análisis
Matemático, tales como los números reales y las funciones continuas y diferenciables,
sirven para representar magnitudes económicas como la demanda, la oferta o la
utilidad). Algunos economistas (Cournot, Walras, Jevons, Marshall, Edgeworth, Pareto)
vieron que los modelos económicos puramente cualitativos de épocas anteriores, si bien
eran útiles, se mostraban insuficientes para resolver los problemas que comenzaban a
plantearse. Así por ejemplo, se puede establecer una hipótesis de manera cualitativa
sobre la relación que existe entre la demanda, el precio y la cantidad de equilibrio (un
aumento de la primera supone un aumento de las dos últimas magnitudes); pero para
poder analizar cómo variará el precio y la cantidad en respuesta a una alteración de la
demanda, es necesaria una consideración cuantitativa, y es ahí donde el Cálculo
Diferencial se presenta como un instrumento natural.
A partir de estas bases, durante todo el siglo XX la aplicación de la matemática a
los problemas económicos ha evolucionado de forma vertiginosa. La economía
marginalista alcanzó su máximo esplendor con las obras Valor y Capital (1939) de John
R. Hicks y Fundamentos del Análisis Económico (publicado en 1949, pero escrito a
finales de los años treinta) de Paul A. Samuelson. Ambos libros recopilan y amplían las
teorías existentes utilizando técnicas matemáticas. En particular, el libro de Samuelson
(basado en su tesis doctoral) transformó el estilo de los libros de Análisis Económico,
que dejaron de ser exposiciones predominantemente literarias y gráficas, para
convertirse en tratados con un alto contenido matemático.
A partir de la década de 1930 comienzan a emplearse técnicas matemáticas más
avanzadas, como son Teoría de Conjuntos, Topología, Análisis Funcional o Teoría de la
Medida. El uso de estos instrumentos matemáticos hizo que los esfuerzos se
encaminasen hacia la generalización de resultados y la elaboración de demostraciones
más rigurosas que las obtenidas en el periodo marginalista.
Los modelos lineales
Durante la década de 1940 se desarrollaron una gran variedad de métodos
nuevos, que dependían de la estructura lineal de determinados problemas económicos y,
en particular, del análisis input-output, de la programación lineal y de la teoría de
juegos.
Poco después su publicó el primer estudio sobre la programación lineal,
inspirado por problemas prácticos, como el “problema del transporte” y el “problema de
la dieta”. Aunque ambos problemas se resolvieron en 1941, los avances importantes
llegaron diez años después con el método del simplex creado por Dantzig y, sobre todo,
la teoría de la dualidad.
La teoría de juegos
La teoría de juegos, aunque surgió inicialmente como un aspecto de la teoría
lineal, ha sido suficientemente importante en el desarrollo de la economía de la
posguerra para merecer un análisis propio. Fue esbozada por primera vez por von
Neumann en 1929, pero la obra que atrajo la atención de los economistas en general fue
The Theory of Games and Economic Behaviour (1944) escrita en colaboración con
Morgenstern.
Desde la aparición de esta obra, los economistas y otros investigadores han
realizado numerosos estudios tanto sobre los juegos cooperativos como sobre los no
cooperativos. Especialmente importantes han sido la solución de Nash (1950) del juego
no cooperativo, que es una generalización del “equilibrio del duopolio de Cournot”; el
concepto de “núcleo”, definido por primera vez por Gillies (1959), y varios conceptos
de solución propuestos para los juegos cooperativos.
La elección en condiciones de incertidumbre
En este campo son tres los enfoques, relacionados entre sí, que han sido
especialmente importantes. El primero se debe a von Neumann y Morgenstern, que
desarrollaron una teoría de la maximización de la utilidad esperada, basándose en una
serie de axiomas sobre la conducta humana. El segundo enfoque es la teoría de la
“preferencia de los estados” de Arrow (1953), que distingue los bienes de acuerdo con
el “estado de la naturaleza” en el que puede disponerse de ellos. El tercer enfoque es el
de “la media y la varianza”, utilizado especialmente por Tobin (1958) y Markovitz
(1959) para analizar la demanda de títulos-valores.
La agregación
La mejora de las técnicas matemáticas ha permitido analizar con mayor
profundidad los problemas de agregación. Había dos teoremas a este respecto muy
conocidos: los de Hicks y Leontief. En Value and Capital (1939), Hicks demostró que
cuando los precios relativos de un grupo de mercancías eran constantes, este grupo
podía analizarse como si fuera una única mercancía. Algo más general era el teorema de
Leontief (1947), según el cual un grupo de mercancías podía agregarse si la relación
marginal de sustitución entre dos cualesquiera del grupo era independiente de la
cantidad de cualquier mercancía que no perteneciera a él.
2. Análisis cuantitativos en el ámbito empresarial
En el ámbito empresarial se pueden realizar análisis tanto cualitativos como
cuantitativos. Nosotros nos interesamos por los análisis cuantitativos, que tienen la
ventaja de ser precisos y no ser ambiguos, aunque no se adaptan a todas las situaciones
y requieren determinadas características para llevarse a cabo, como que las magnitudes
sean cuantificables y que sus relaciones puedan ser expresadas en términos
matemáticos.
Nuestro objetivo principal es la valoración de magnitudes. En todo sistema
económico existen unos agentes (consumidores, productores,...), unas disponibilidades
de medios o recursos productivos y una tecnología factible, de acuerdo a la cual se
combinan los recursos para obtener unos bienes y servicios que satisfagan las
necesidades. Todo sistema económico se enfrentará por tanto al problema de cómo
organizar la producción y cómo distribuir estos bienes y recursos.
La tecnología, junto con esta disponibilidad de recursos, determinará los planes
de producción que son factibles, pero es necesario conocer los comportamientos de los
agentes económicos y las reglas de funcionamiento del sistema económico para
determinar cuáles de los planes de producción factibles son los que han de llevarse a
cabo.
Actualmente, existe una gran diversidad de análisis económicos que se pueden
plantear en la problemática general de las empresas. Los hemos clasificado en cuatro
grandes grupos:
•
Análisis de compatibilidad
•
Análisis de elección óptima
•
Análisis de comportamiento
•
Análisis de valoración por agregación
2.1. Análisis de compatibilidad
Uno de los problemas básicos del análisis económico es la asignación eficiente
de recursos escasos entre usos alternativos. Más concretamente, se trata de buscar cómo
combinar los recursos disponibles, basándose en la tecnología en curso, para producir
bienes y servicios que procuren la satisfacción de las necesidades de acuerdo a unas
determinadas estructuras de preferencias. El funcionamiento del sistema económico
debe ser tal que conduzca a una asignación en la que los comportamientos de todos los
agentes sean compatibles simultáneamente. Para ello es preciso un mecanismo que
coordine la actuación de los agentes, o lo que es lo mismo, que considere la información
relevante que posee cada uno, haciendo así posible que el proceso de asignación
conduzca a un equilibrio. En ocasiones habrá que buscar, de todas las asignaciones
factibles, la que resulte más satisfactoria, o lo que es lo mismo, la que les reporte el
máximo rendimiento.
La escasez de recursos o las limitaciones tecnológicas determinan un conjunto
de restricciones que conducen a una situación que puede ser incompatible, determinista
o indeterminista. La finalidad del análisis es estudiar si un conjunto de relaciones es
compatible o incompatible (es decir, encontrar las alternativas que pueden ser
compatibles entre un conjunto de relaciones), o ver si existe una única solución con
sentido económico o bien existen infinitas soluciones, con lo cual entraríamos en el
siguiente tipo de análisis: el que se ocupa de elegir la solución óptima.
Los modelos lineales de compatibilidad tienen como objetivo determinar los
valores de n variables endógenas para las que se satisfacen simultáneamente n
relaciones lineales de igualdad. Así, nos podemos encontrar tres situaciones distintas:
1. Cuando las relaciones son incompatibles no podemos asignar valores a las
variables. No debemos olvidar que el hecho de que nos encontremos ante un
sistema consistente (con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas) no
garantiza la existencia de solución, ya que las ecuaciones pueden ser
contradictorias y, en consecuencia, no existir solución.
2. Cuando sólo existe una solución posible, una única elección para los valores
de las variables, con lo que nos encontramos ante una situación determinista
(que conduce a los análisis de equilibrio no finalista o de mercado). La
ausencia de incompatibilidad en un sistema consistente, así como la no
redundancia en las ecuaciones, garantiza la existencia de solución única.
En el caso de tener sentido económico la única solución existente tenemos un
modelo de equilibrio económico, siendo los valores de dicha solución los
valores de equilibrio. Estos análisis de equilibrio no finalista tienen su campo
de aplicación en la programación de la producción, en el equilibrio de
mercados (aislados o interrelacionados) y también, a nivel macroeconómico,
en la renta nacional de equilibrio y en los análisis input-output.
3. Puede ocurrir, por último, que existan infinitas opciones entre las que elegir
debido a la existencia de redundancia. Esta situación indeterminista (múltiples
soluciones) conduce a los posteriores problemas de optimización, en los que se
tratará de elegir la mejor opción entre todas las posibles. Nos encontramos así
con los análisis de elección óptima o de equilibrio finalista, en los que la
mejor opción dependerá de cual sea el objetivo que tengamos en cuenta.
La compatibilidad de los comportamientos de los agentes económicos equivale
al problema matemático de encontrar solución a un sistema de ecuaciones. En concreto,
cada uno de los tres casos anteriores corresponde a los tres tipos de sistemas lineales en
los que las incógnitas son las variables endógenas del modelo, siendo los coeficientes de
las incógnitas y los términos independientes valores exógenos. Son los llamados
sistemas incompatibles, sistemas compatibles determinados y sistemas compatibles
indeterminados.
Por último, es importante destacar que en la búsqueda de soluciones con sentido
económico debe darse la condición de no negatividad. Existe una condición necesaria y
suficiente, enunciada por Hawkins-Simon, que asegura la existencia de solución no
negativa. Tales sistemas son utilizados en los análisis input-output o análisis
interindustriales que fueron desarrollados por Wassily Leontief.
2.2. Análisis de elección óptima
Un comportamiento optimizador equivale al problema matemático de encontrar
los valores que han de alcanzar n variables para hacer máximo o mínimo el valor de una
función que depende de ellas (función objetivo), pudiendo estar las variables sometidas
a ciertas restricciones. Este problema matemático se conoce como Optimización
Matemática. Estas técnicas de optimización junto con la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales nos permitirán realizar los análisis de equilibrio económico.
Para alcanzar la posición de equilibrio se procede a la optimización
(maximización o minimización) de una magnitud que depende de las variables
endógenas del sistema. La función que expresa esta dependencia es llamada función
objetivo y se supone conocida. Los demás supuestos imponen restricciones a las
variables endógenas que determinan el llamado conjunto factible. El equilibrio se
alcanzará en aquel punto del conjunto factible en el que la función objetivo tome el
valor óptimo (máximo o mínimo), si existe.
Para resolver estos modelos de optimización estática se utiliza la Programación
Matemática. Cuando las restricciones del programa forman un conjunto de m
ecuaciones lineales se tratará de un problema de Programación Lineal que se expresa de
la siguiente forma:
Optimizar f ( x1 , x 2 ,K , x n )
sujeto a a11 x1 + a12 x 2 + K + a1n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + K + a 2 n x n = b2
LLLLLLLLLL
a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm
x1 , x 2 , K , x n ≥ 0
Las m restricciones han de formar un sistema indeterminado (m < n) y las n
desigualdades ( x1 , x 2 , K x n ≥ 0) son las restricciones de no negatividad, que se imponen
a las variables para que tengan significado económico.
Cuando se modeliza un problema de programación lineal, las m restricciones
suelen ser desigualdades (los programas formulados con restricciones de desigualdad se
dice que están en forma canónica, mientras que los que contienen restricciones de
igualdad estarían en forma estándar). Para resolverlos tendrán que formularse en forma
estándar introduciendo en cada desigualdad una variable no negativa en el lado
izquierdo que las trasforme en igualdades. Estas variables se denominan variables de
holgura y tienen significado económico. En las restricciones de desigualdad, el lado
izquierdo suele expresar la cantidad empleada de uno de los recursos, y el lado derecho
la disponibilidad del mismo. En este caso, la variable de holgura medirá la cantidad de
recurso ocioso.
Para la resolución analítica de estos programas existe un método desarrollado
por Dantzing que se conoce como método del Simplex y se elabora a través de las
teorías de espacios vectoriales, matrices y conjuntos convexos.
En general, el campo de la optimización abarca todos aquellos problemas en los
que uno o varios decisores han de efectuar la elección de una o varias variables,
referidas a un momento determinado o a lo largo de un horizonte temporal. Dada la gran
variedad de problemas que abarca, los clasificaremos en cuatro tipos:
1. Los problemas de optimización en los que interviene un único decisor y un solo
objetivo y tienen carácter estático forman la Programación Matemática, que a su
vez se divide en:
•
Programación lineal, donde la función objetivo y las ecuaciones que forman
el conjunto factible son lineales. Su gran flexibilidad para la modelización de
problemas reales y su facilidad de cálculo la han convertido en uno de los
instrumentos más eficaces para la resolución de problemas económicos.
•
Programación diferenciable, donde las funciones son diferenciables al menos
dos veces. En estos programas, la condición necesaria de óptimo local viene
dada por el teorema de Lagrange si las restricciones son de igualdad, y por el
teorema de Kuhn-Tucker para las de desigualdad.
2. Los problemas de optimización en los que interviene un único decisor y tienen
carácter estático pero existen múltiples objetivos, constituyen la llamada
Programación Multiobjetivo o Multicriterio. Hay que tener en cuenta que el
hecho de reducir la decisión a un único criterio, tal y como se plasma en los modelos
de decisión uniobjetivo, no representa la mayoría de los procesos de decisión.
Milton Friedman, en su libro Teoría de Precios, enfatiza el carácter multicriterio de
los problemas económicos, al considerar como tales solo aquellos en los que
subyace la existencia de criterios múltiples. Por el contrario, cuando un problema de
decisión se establece en base a un solo objetivo, nos enfrentamos a lo que él llama
problemas tecnológicos, ya que no existe un problema de decisión propiamente
dicho.
En la programación multiobjetivo o multicriterio, el concepto de óptimo en el
sentido tradicional pierde su interés debido a que, en general, los objetivos serán
contrapuestos, por lo que no existirá una alternativa factible que optimice todos los
criterios simultáneamente. En 1896, el economista italiano Vilfredo Pareto introdujo
en el marco de la economía del bienestar el concepto de optimalidad que lleva su
nombre, y que posteriormente ha jugado un papel esencial en los enfoques
multicriterio. Se define un óptimo de Pareto o eficiente como una solución factible
(valores de las funciones objetivo alcanzables), de forma que no exista ninguna otra
solución alcanzable que proporcione una mejora del algún objetivo, sin provocar el
empeoramiento de otro. Todos los enfoques multiobjetivo pretenden obtener
soluciones que sean eficientes u óptimos de Pareto. Puede decirse que la eficiencia
paretiana es la condición exigida como necesaria para poder garantizar la
racionalidad de las soluciones generadas por los diferentes enfoques multicriterio.
El propósito de la programación multiobjetivo, también llamada programación
vectorial, es encontrar el conjunto de óptimos paretianos. Esta tarea se aborda con
una información estrictamente técnica (expresiones matemáticas de los objetivos y
las restricciones) sin incorporar al análisis ninguna información sobre preferencias
del decisor no incluidas en funciones objetivo. Su operatividad consistirá en
desarrollar técnicas matemáticas que permitan generar los puntos de la curva
eficiente.
3. Los problemas de optimización de carácter dinámico en los que interviene un único
decisor constituyen la Optimización Dinámica, que es el conjunto de métodos de la
economía matemática mediante los cuales se pretende analizar los sistemas
dinámicos con el objeto de optimizar algún criterio de eficiencia de dichos sistemas.
Las técnicas de optimización dinámica tienen relación tanto con la teoría de sistemas
dinámicos como con las técnicas de programación matemática, ya que pueden ser
consideradas como técnicas de programación matemática dinámica. En particular se
han utilizado con éxito en Economía los resultados del cálculo de variaciones, de la
teoría del control óptimo de Pontryagin y de la Programación Dinámica de Bellman,
ésta última creada para los problemas en tiempo discreto, pero que posteriormente
fue generalizada para tiempo continuo. Estas técnicas generalizan al caso dinámico
los resultados que la programación matemática obtiene en el caso estático.
4. Finalmente, los problemas de optimización en los que intervienen los intereses de
varios decisores configuran lo que se denomina Teoría del Conflicto. La
incorporación de varios decisores al análisis implica que en este tipo de estudios se
ha de considerar que la toma de decisiones por un agente estará condicionada por las
decisiones que puedan tomar los demás decisores, de ahí que estos problemas de
comportamiento económico o social se modelicen matemáticamente como un juego
de estrategia, en el que cada agente ha de tener en cuenta la información que tiene
sobre los demás. La base conceptual y matemática de este tipo de situaciones se
conoce como Teoría de Juegos.
El enfoque utilizado por la teoría de juegos se muestra adecuado para el estudio de
situaciones en las que existen intereses encontrados y, por tanto, la posibilidad de
cooperar o competir. Fue creada por el matemático John Von Neumann y el
economista Oskar Morgenstern en su texto ya clásico The theory of games and
economic behavior publicado en 1944, aunque hay que mencionar la existencia de
algunos precedentes en el siglo XIX atribuibles a Cournot y Edgeworth. A pesar de
que en un principio esta disciplina suscitó gran entusiasmo, la falta de resultados
operativos alcanzados llevó al desánimo y a la desconfianza. Aportaciones
posteriores hechas por matemáticos como Zermelo, Borel y Nash, hicieron que
resurgiera el interés por la Teoría de Juegos y que hoy en día constituya un
importante instrumento de la Economía Matemática, utilizada principalmente por
economistas teóricos.
La teoría de juegos está dividida en la teoría de juegos no cooperativos y en la de
juegos cooperativos. Esta última, en un principio, solamente incorporaba la
presencia de posibles coaliciones entre varios jugadores y la distribución de los
beneficios entre los miembros de dichas coaliciones. Las posteriores contribuciones
de Nash hicieron que dentro de los juegos cooperativos se incluyeran los problemas
de negociación, cuyo objetivo es llegar a un acuerdo entre los jugadores. Entre las
soluciones de negociación se pueden destacar las obtenidas mediante la axiomática
de Nash y mediante la axiomática de Raiffa-Kalai-Smorodinski.
2.3. Análisis de comportamiento
Otro tipo de análisis general para la empresa es el análisis del comportamiento
de las distintas magnitudes que intervienen en el sistema económico que se quiere
analizar. En Economía es frecuente que para determinar el valor de una magnitud que
depende de una variable los supuestos de partida, basados en gran medida en la lógica
económica y en los datos empíricos disponibles, hagan referencia al ritmo de variación
de la magnitud respecto a la variable de la que depende, o respecto a otra magnitud con
la que esté relacionada. Conocida la tasa de variación de la magnitud, se dispone de una
ecuación que, una vez resuelta, permitirá obtener la expresión de la magnitud que se
quiere valorar en función de las otras. Por ejemplo, podemos obtener el valor total a
partir del valor marginal, o determinar la demanda a partir de la elasticidad.
El comportamiento de estas magnitudes puede venir determinado por una
función, pero esta no es la única forma. Muchas veces se aprecian más los cambios en
una situación que la situación misma, y es entonces cuando el análisis se hace a través
de ecuaciones diferenciales o de ecuaciones recurrentes (estas últimas analizan una
magnitud en un periodo de tiempo a través de lo ocurrido en periodos anteriores). Para
cada uno de estos análisis de comportamiento tendremos un instrumento matemático
adecuado que se ocupará de su estudio:
1. Cuando el análisis se realice a través de funciones utilizaremos las técnicas del
Cálculo Diferencial. Habrá que suponer que todas las variables pueden variar en
cantidades arbitrariamente pequeñas (divisibilidad perfecta) para hacer posible el
empleo de variables reales, y asumir que los cambios infinitesimales en las variables
independientes conducen a cambios infinitesimales en las dependientes. Con ello
damos cabida a las condiciones matemáticas de diferenciabilidad y continuidad,
ganando así en operatividad.
Esta herramienta matemática se muestra como una de las más idóneas para el
estudio de los modelos estáticos no lineales. Los supuestos económicos de cambios
suaves, divisibilidad perfecta y sustitución perfecta permiten el uso de funciones
continuas y diferenciables, tanto para valorar magnitudes económicas como para
expresar las relaciones entre las variables de los modelos. En otros ámbitos como la
Teoría Económica se habla del comportamiento de una magnitud económica al
incrementar uno de los factores en “una peseta adicional” o en “una unidad
adicional” o, en el caso de las elasticidades, en “un 1% adicional”. En nuestro
contexto utilizamos variaciones infinitesimales, que es una aproximación admisible
cuando hablamos, por ejemplo, del incremento de una unidad monetaria con relación
a una gran masa monetaria. Si las funciones son lineales no existe ningún problema,
pero en el caso más general se ha de estudiar el comportamiento en un entorno o, en
un lenguaje más económico, en un contexto más reducido.
2. Cuando el análisis se realice a través de ecuaciones recurrentes tendremos que
recurrir a las Ecuaciones en Diferencias, como es el caso de los modelos de ciclo
económico.
Hay que destacar que en este caso nos estamos moviendo en el campo discreto y así
estamos considerando a las variables. Esto es así porque los datos estadísticos
disponibles sobre la evolución de ciertas magnitudes de interés como pueden ser el
IPC, el PIB, el consumo o el ahorro, suelen aparecer referidos a intervalos fijos
(periodos de tiempo mensuales, anuales,...) con lo que en estos casos la
consideración del tiempo como una variable de tipo discreto, que sólo toma valores
enteros interpretables como periodos de tiempo, parece la más realista. En tal caso,
la ecuación que recoge la tasa de cambio por unidad de tiempo es una ecuación en
diferencias, cuya solución permitirá disponer de la trayectoria de la magnitud en
cuestión para ser analizada posteriormente. Es por ello que las ecuaciones en
diferencias, como expresiones que van a permitir relacionar el valor de una variable
en un periodo con su valor en uno u otros periodos, desempeñan un papel esencial
en este tipo de análisis dinámicos.
Las aplicaciones económicas de este campo son muy numerosas. Entre los muchos
ejemplos que podemos encontrar destacan el modelo de la telaraña o el modelo de
crecimiento de Harrod (dentro de los modelos económicos dinámicos por periodos),
modelos de ciclo económico y casos particulares como el modelo de Domar sobre la
expansión del capital. También podemos formular la matemática financiera clásica
mediante ecuaciones recurrentes.
3. Por último, cuando el análisis se realice a través de ecuaciones diferenciales
utilizaremos las técnicas del Cálculo Integral. Habrá que tener en cuenta que si las
relaciones son lineales bastarán los métodos algebraicos, pero en otro caso será
necesario recurrir al cálculo de primitivas.
Cuando el tiempo se considera como una variable de tipo continuo, como en este
caso, estamos ante un modelo dinámico en tiempo continuo, y podemos considerar
variaciones infinitesimales, de manera que el valor del ritmo temporal de la
magnitud irá asociado a la derivada, surgiendo así las ecuaciones diferenciales. Es
decir, estamos expresando la valoración de una magnitud que depende de una
variable, en este caso el tiempo, a partir de una ecuación diferencial. Resolviendo la
ecuación podemos obtener la expresión de la magnitud en función del tiempo, es
decir, su trayectoria temporal y a partir de esta, analizar su comportamiento.
Podemos encontrar ejemplos en múltiples modelos, siendo especialmente interesante
la posibilidad de construir toda la matemática financiera clásica mediante ecuaciones
diferenciales, trabajando en capitalización continua y con rentas continuas, donde
los flujos de capital no se han de entender como cuantías discretas sino como
distribuciones de densidad de cuantía.
Ejemplos de aplicación económica de las ecuaciones diferenciales de primer orden
son el modelo de ajuste dinámico del precio de un bien en el mercado y la conocida
curva logística. Como aplicación de las ecuaciones diferenciales de orden n se
amplía el modelo anterior de ajuste dinámico del precio, de manera que las
cantidades ofrecidas y demandadas de un bien dependan no solo de su propio precio,
sino también de las expectativas sobre su evolución.
2.4. Análisis de valoración por agregación
Hemos visto que existen magnitudes que se encuentran distribuidas a lo largo
del tiempo, que a su vez puede ser considerado de manera discreta o continua. Cuando
estudiamos estas magnitudes, además de conocer cómo es su distribución (de lo que se
ocupa principalmente la estadística), nos puede interesar obtener su valor agregado, bien
entre dos puntos concretos o bien de toda la distribución.
Ahora bien, puede ocurrir que los valores distribuidos no sean agregables por
carecer de homogeneidad, en este caso aparece un problema previo a la agregación, el
de la homogeneización. Dentro de este tipo de análisis se encuentran todos los análisis y
valoraciones financieras tanto en el caso finito como en el infinito (rentas perpetuas).
La agregación sólo tiene sentido cuando existe homogeneización entre los
valores agregados, ya que las dificultades surgen precisamente cuando no existe esta
homogeneidad. No obstante, hay que tener en cuenta que este problema se sale del
campo estrictamente matemático, pudiendo llegar a ser de una gran complejidad unida a
menudo con una gran carga de subjetivismo. Encontrar coeficientes de ponderación que
ayuden en esta tarea no es fácil. Además, el problema de la homogeneización no sólo se
presenta cuando queremos agregar, sino también cuando queremos comparar.
Podemos encontrar muchas situaciones en el campo económico, por ejemplo,
cómo se distribuyen los fondos entre las distintas Comunidades Autónomas y qué
baremos de ponderación se tienen en cuenta: tamaño, número de habitantes, necesidad
de infraestructura, extensión por habitante, ...
Algunas veces la homogeneización puede ser más o menos objetiva, ya que se
puede basar en unos coeficientes de ponderación basados en la posición que ocupe la
magnitud dentro de la distribución. Esto se aprecia claramente en el campo financiero,
donde se observa que antes de desarrollar su labor, la de agregación, hay que resolver
este problema previo de homogeneización.
Para realizar la agregación, la matemática dispone de dos instrumentos, las
Series Numéricas y las Integrales Definidas, según nos encontremos en el campo
discreto o en el continuo. Así pues, la forma de la distribución puede venir dada de dos
maneras:
1. Por una sucesión en el caso discreto ( las funciones de cuantía en estadística).
Aquí, una vez que las variables están homogeneizadas, tendríamos que sumar la
serie resultante. Un ejemplo serían los sucesivos pagos que amortizan un
préstamo.
2. Por una integral definida en el caso continuo (las funciones de densidad en
estadística). Podemos citar como ejemplos el volumen de figuras distribuidas a lo
largo de su eje y el valor total de una magnitud distribuida según su valor
marginal (función de densidad de la función de valor total).