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22
DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM PARTES IGUAIS
Dividir a circunferência em partes (ou arcos) iguais é o mesmo que construir
polígonos regulares. Isso porque os pontos que dividem uma circunferência num número
n (n>2) qualquer de partes iguais são sempre vértices de um polígono regular inscrito na
mesma.
Se dividirmos uma circunferência em n partes iguais, teremos também a divisão da
mesma em 2n partes, bastando para isso traçar bissetrizes.
Existem processos exatos e aproximados para a divisão da circunferência. Se
existe um processo exato para divisão da circunferência este deve ser utilizado (e não um
aproximado).
22.1
CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS QUANTO AO NÚMERO DE LADOS
Número de
lados
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Polígono
não existe
não existe
triângulo
quadrilátero
pentágono
hexágono
heptágono
octógono
eneágono
decágono
undecágono
dodecágono
tridecágono
tetradecágono
pentadecágono
hexadecágono
heptadecágono
Número de
lados
18
19
20
25
30
40
50
60
70
80
90
100
1000
1.000.000
109
10100
Polígono
octodecágono
eneadecágono
icoságono
pentacoságono
triacontágono
tetracontágono
pentacontágono
hexacontágono
heptacontágono
octacontágono
eneacontágono
hectágono
quilógono
megágono
gigágono
googólgono
circunferência
Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100
lados, basta se combinar os prefixos e os sufixos a seguir:
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Dezenas
20
30
40
50
60
70
80
90
e
icositriacontatetracontapentacontahexacontaheptacontaoctacontaenneaconta-
-kai-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Unidades
-hena-di-tri-tetra-penta-hexa-hepta-octa-enea-
sufixo
gono
Assim, um polígono de 42 lados deve ser nomeado da seguinte maneira:
Dezenas
tetraconta-
e
-kai-
Unidades sufixo
-di-gono
nome completo do polígono
tetracontakaidigono
O polígono de 50 lados da seguinte forma:
Dezenas
pentaconta-
22.2
e
Unidades sufixo
-gono
nome completo do polígono
pentacontagono
PROCESSOS EXATOS
Dividindo a circunferência em n partes iguais, estamos dividindo o ângulo central
de 360o em n partes também iguais. Logo, o ângulo cêntrico (vértice no centro e lados
passando por vértices consecutivos do polígono) correspondente à divisão da
circunferência em n partes iguais medirá 360o/n.
O lado de um polígono regular de n lados é denotado por
\Observação:
ln
2
ln .
≠ l2 n
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1) Dividir uma circunferência em n = 2, 4, 8, 16,... = 2.2m partes; m∈ N
O
Medida do l 4 numa circunferência de raio r é l 4 = r 2 .
n
2
4
8
16
Ângulo Cêntrico
180o
90o
45o
22,5o
Polígono Regular
“2 arcos capazes de 90o”
Quadrado
Octógono
Hexadecágono
2) Dividir uma circunferência em n = 3, 6, 12, ... = 3.2m partes; m∈N
O
Medida do l 6 numa circunferência de raio r é l 6 = r.
Medida do l3 numa circunferência de raio r é l3 = r 3 .
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n
3
6
12
Ângulo Cêntrico
120o
60o
30o
Polígono Regular
Triângulo equilátero
Hexágono
Dodecágono
3) Dividir uma circunferência em n = 5, 10, 20, ... = 5.2m partes; m∈N
Propriedade: O lado do decágono regular inscrito numa circunferência é o
segmento áureo do raio. Ou seja, l10 2 = r.(r- l10 ).
O
Medida do l10 numa circunferência de raio r é l10 = r( 5 -1)/2.
Propriedade: Para uma mesma circunferência, o l5 é hipotenusa de um triângulo
retângulo cujos catetos são o l 6 e l10 .
Medida do l 5 numa circunferência de raio r é l5 = r (
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5 − 5 1/ 2
)
2
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n
5
10
20
Ângulo Cêntrico
72o
36o
18o
Polígono Regular
Pentágono
Decágono
Icoságono
4) Dividir uma circunferência em n = 15, 30, 60, ... = 15.2m partes; m∈N
O
n
Ângulo Cêntrico
Polígono Regular
15
30
24o
12o
Pentadecágono
Triacontágono
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Exercícios
1. Construir os polígonos regulares de n lados sendo dado a medida do lado l.
a) n = 3
b) n = 4
c) n = 5
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d) n = 6
e) n = 8
f) n = 10
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2. Construir ângulos de 48o, 24o, 12o, 144o, 72o e 36o.
O
O
O
O
O
O
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3. Construir um pentágono regular dado o seu semiperímetro p = 10cm.
4. Construir um pentagrama, dado a medida l do lado.
22.3
PROCESSOS APROXIMADOS
Foram vistos processos para a divisão da circunferência em n partes iguais, por
exemplo, para n igual a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15,... É possível dividir uma circunferência
em 7, 9, 11, 13,... partes iguais, completando a primeira seqüência, porém estas divisões
são aproximadas.
Para determinar o erro teórico que se comete nas construções aproximadas
determina-se o lado de um polígono regular de n lados em função do ângulo central (ou
cêntrico) correspondente, ou seja, l n vale:
 180
l n = 2 r sen 
 n
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0



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1) Dividir uma circunferência em n = 7, 14, 28, ... = 7.2m partes; m∈N
O
Medida do l 7′ numa circunferência de raio r é l 7′ = l 3 /2 = r 3 /2 ≅ 0,86602 r
Medida do l 7 numa circunferência de raio r é l 7 = 2r sen(180o/7) ≅ 0,86776 r
Erro teórico cometido: εt = l 7′ - l 7 = -0,00174 r
Ou seja, o erro é por falta e da ordem de dois milésimos, pois 0,0017 ≅ 0,002
n
7
14
Ângulo Cêntrico
51,4o...
25,7o...
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Polígono Regular
Heptágono
Tetradecágono
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2) Dividir uma circunferência em n = 9, 18, 36, ... = 9.2m partes; m∈N
O
Medida do l 9′ numa circunferência de raio r é l 9′ = r - (r 3 - r 2 ) ≅ 0,68216 r
Medida do l 9 numa circunferência de raio r é l 9 = 2r sen(180o/9) ≅ 0,68404 r
Erro teórico cometido: εt = l 9′ - l 9 = -0,00188 r
Ou seja, o erro é por falta e da ordem de dois milésimos, pois 0,0018 ≅ 0,002.
n
9
18
Ângulo Cêntrico
40o
20o
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Polígono Regular
Eneágono
Octadecágono
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3) Dividir uma circunferência em n = 11, 22, 44, ... = 11.2m partes; m∈N
O
Medida do l11′ numa circunferência de raio r é l11′ = r 5 /4 ≅ 0,55901 r
Medida do l11 numa circunferência de raio r é l11 = 2r sen(180o/11) ≅ 0,56346 r
Erro teórico cometido: εt = l11′ - l11 = -0,00445 r
Ou seja, o erro é por falta e da ordem de quatro milésimos.
n
11
22
Ângulo Cêntrico
32,7o...
16,3o...
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Polígono Regular
Undecágono
Icosikaidigono
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4) Dividir uma circunferência em n = 13, 26, 52, ... = 13.2m partes; m∈N
O
Medida do l13′ numa circunferência de raio r é l13′ =
2r 17
≅ 0,48507 r
17
Medida do l13 numa circunferência de raio r é l13 = 2r sen(180o/13) ≅ 0,47863r
Erro teórico cometido: εt = l13′ - l13 = 0,00644r
Ou seja, o erro é por excesso e da ordem de seis milésimos.
n
13
26
Ângulo Cêntrico
27,69o...
13,84o...
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Polígono Regular
Tridecágono
Icosikaihexagono
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5) Dividir uma circunferência em n = 15, 30, 60, ... = 15.2m partes; m∈N
O
′
′
Medida do l15 numa circunferência de raio r é l15 = r 2 - r ≅ 0,41421r
Medida do l15 numa circunferência de raio r é l15 = 2r sen(180o/15) ≅ 0,41582r
′
Erro teórico cometido: εt = l15 - l15 = -0,00161 r
Ou seja, o erro é por falta e da ordem de aproximadamente dois milésimos.
Observação: Apesar de existir um processo exato que forneça o l15 , nota-se que
este implica em muitos erros gráficos. O processo aproximado para a obtenção do l15 , a
construção do l15′ dada acima, obtem melhores resultados graficamente.
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Exercício: Construir os polígonos regulares de n lados sendo dado a medida do lado l.
n=7
n=9
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n = 11
n = 15
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181
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22.4
PROCESSOS GERAIS
Quando se propõe uma divisão da circunferência em n partes iguais, se existir um
processo exato, este deverá sempre ser utilizado. Nos casos em que não exista tal
processo, pode-se utilizar os anteriores ou os gerais – isto é, para qualquer número de
partes aplica-se um mesmo procedimento.
22.4.1 Processo de Rinaldini
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22.4.2 Processo de Bion
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22.4.3 Processo de Tempieri
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184
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23
POLÍGONOS ESTRELADOS
Definições:
1) Polígono estrelado é um polígono cujos ângulos são alternadamente salientes e
reentrantes, e cujos lados pertencem a uma linha poligonal fechada que é
percorrida sempre no mesmo sentido.
2) Polígono regular estrelado é aquele que se forma de cordas iguais e onde há
lados iguais e ângulos iguais.
Propriedade: Pode-se obter tantos polígonos estrelados de n vértices quantos
números p há, exceto a unidade, menores que a metade de n e primos com n.
Processo Geral de Construção: Para obter um polígono regular estrelado de n
vértices, deve-se dividir a circunferência em n partes iguais, e unir os pontos de divisão de
p em p, sendo que p < n/2, p ≠ 1 e p e n primos entre si.
Exercícios:
1. Construir os polígonos estrelados de n lados.
a) Para n=7 ⇒ 3;2;1 < 7/2 = 3,5 ∴ p=3;2
O
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O
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b) Para n=15 ⇒ 7;6;5;4;3;2;1 < 15/2 = 7,5 ∴ p=7;4;2
O
O
c) Para n=8 ⇒ 3;2;1 < 8/2 =4 ∴ p=3
O
O
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2. Dada uma circunferência de centro O e raio r=3cm, construir os seguintes polígonos
regulares estrelados:
a) Pentágono (n=5, p=2)
b) Octógono (n=8, p=3)
O
c) Decágono (n=10, p=3)
O
O
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3. Quantos polígonos regulares estrelados distintos podem ser traçados quando uma
circunferência está dividida em 20, 24, 30 e 36 partes iguais?
4. Construir o pentágono regular estrelado dado a medida a=4cm do seu lado.
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