Tema 12: Cálculo diferencial de funciones de varias variables I: Resumen
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Derivadas direccionales, derivadas parciales
una función f : Rn → R
un punto x0 = (a1 , ..., an ) ∈ Domf
v = (v1 , ..., vn ) un vector no nulo de Rn
Llamaremos derivada direccional de f en x0 en la dirección del vector v (denominada también derivada con respecto
a v) a
f (x0 + tv) − f (x0 )
f (a1 + tv1 , ..., an + tvn ) − f (a1 , ..., an )
Dv f (x0 ) =lim
=lim
t→0
t→0
t
t
Normalmente se podrá hacer también a partir de la función
g:R→R
definida por g(t) = f (x0 + tv)
calculando g 0 (0)
Sea C = {e1 , e2 , ..., en } la base canónica de Rn . Entonces para cada i = 1, 2, ..., n la derivada direccional respecto
del vector ei es
f (x0 + tei ) − f (x0 )
f [(a1 , ...., an ) + t(0, 0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)] − f (a1, ..., an )
=lim
=
t→0
t→0
t
t
f (a1 , ..., ai + t, ..., an ) − f (a1, ..., an )
= lim
t→0
t
Dei f (x0 ) =
lim
y la llamaremos derivada parcial i-ésima de f ó (suponiendo que designamos por xi a la variable i-ésima del espacio)
derivada parcial de f con respecto a xi en el punto x0 . Para designar a esta derivada parcial suelen utilizarse las
siguientes notaciones:
∂f
Di f (x0 ) fxi (x0 ) fx0 i (x0 )
∂xi (x0 )
Por ejemplo, para una función f de dos variables (x, y) las derivadas parciales en el punto x0 podrían denotarse así
∂f
{ ∂f
∂x (x0 ), ∂y (x0 )}
{D1 f (x0 ), D2 f (x0 )}
{fx (x0 ), fy (x0 )}
{fx0 (x0 ), fy0 (x0 )}
Y para una función f de tres variables (x, y, z) las derivadas parciales en el punto x0 podrían denotarse así:
∂f
∂f
{ ∂f
∂x (x0 ), ∂y (x0 ), ∂z (x0 )}
{D1 f (x0 ), D2 f (x0 ), D3 f (x0 )}
{fx (x0 ), fy (x0 ), fz (x0 )}
{fx0 (x0 ), fy0 (x0 ), fz0 (x0 )}
También pueden calcularse las derivadas parciales cogiendo
g(t) = f (a1 , a2 , ..., ai−1 , ai + t, ai+1 , ..., an−1 , an )
obteniendo
∂f
∂xi (a1 , a2 , ..., an )
= g 0 (0)
Nosotros calculamos las derivadas parciales habitualmente de un modo que ya conocemos (y es más sencillo): La
derivada parcial de f con respecto a la variable xi en el punto x0 = (a1 , ..., an ) puede hallarse calculando
la derivada de la función de una variable Fi (xi ) = f (x1 , ..., xn ), en la que dejamos fijas las variables distintas de
xi , en el punto x0 (o, de modo equivalente, tomando la función de una variable Gi (xi ) = f (a1 , ..., ai−1 , xi , ai+1 , ..., an ),
en la que hemos sustituido las variables xj , para j 6= i, por los correspondientes aj , y derivando en el punto ai ).
Nota: No hay una relación directa entre las derivadas parciales y la continuidad de una función en un punto. Hay
casos en los que no existe alguna de las derivadas parciales y la función es continua y hay casos en los que la función
no es continua pero sí tiene derivadas parciales. Por supuesto también hay casos en los que ambas cosas ocurren, es
decir, casos en los que la función es continua y existen las derivadas parciales, y también casos en los que ninguna de
estas cosas ocurre.
Para una función vectorial f = (f1 , f2 , ..., fn ) : Rn → Rm pueden definirse de modo similar sus derivadas direccionales y parciales, siendo éstas vectores de Rm y pudiendo hallarse coordenada a coordenada a partir de las funciones
coordenadas f1 , f2 , ..., fn .
1
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Plano tangente a una superficie
Si tenemos una función real de dos variables f y que tomamos la superficie determinada por la ecuación z = f (x, y),
haciendo uso de las derivadas parciales de f es posible obtener el plano tangente a la superficie en un punto (a, b),
también se dice a veces en el punto (a, b, f (a, b)), cuya ecuación es
z = f (a, b) +
3
∂f
∂f
(a, b) · (x − a) +
(a, b) · (y − b)
∂x
∂y
Derivadas parciales de orden superior
Por ejemplo, para una función de dos variables las derivadas parciales segundas serían
∂2f
∂x2
y las terceras
∂3f
∂x3
∂2f
∂2f
=
∂x∂y
∂y∂x
∂3f
∂3f
∂3f
=
=
∂x2 ∂y
∂x∂y∂x
∂y∂x2
∂2f
∂y 2
∂3f
∂3f
∂3f
=
=
∂x∂y 2
∂y∂x∂y
∂y 2 ∂x
∂3f
∂y 3
Si f es una función para la que existen todas las derivadas parciales de orden k y son continuas en un abierto
Ω diremos que es de clase C k en Ω (C ∞ si existen las derivadas parciales de todo orden y sean continuas). Las
funciones usuales y las operaciones que habitualmente realizamos con ellas son funciones de clase C ∞ en todo punto
del interior del dominio.
∂2f
∂2f
Nota: Algunas de las derivadas parciales anteriores coinciden (por ejemplo
=
). Eso sucede por que
∂x∂y
∂y∂x
f es de clase C 2 (porque son derivadas segundas).
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Diferenciabilidad
Diremos que una función f : Rn → Rm es diferenciable en x0 cuando existe una aplicación lineal T : Rn → Rm de
modo que
f (x0 + x) − f (x0 ) − T (x)
lim
=0
x→0
kxk
Cuando esto ocurre la aplicación lineal T que cumple esa propiedad se denomina la diferencial de f en el punto
x0 y usaremos la notación T = df (x0 ).
Una función f = (f1 , ..., fm ) : Rn → Rm es diferenciable en un punto x0 si y sólo si f1 , ..., fm (las funciones
coordenadas de f ) son diferenciables en x0 . En esta situación se tiene además que la diferencial se calcula
coordenada a coordenada.
Propiedades:
1. La diferencial de una función diferenciable en un punto es única.
2. Toda función diferenciable en un punto es continua en ese punto (por lo que toda función que no sea continua
no es diferenciable).
3. (Teorema de la función compuesta o Regla de la cadena) Si
f : Rn → Rm es una función diferenciable en x0 y
g : Rm → Rp es diferenciable en f (x0 )
entonces la función compuesta g ◦ f es diferenciable en x0 . Además
d(g ◦ f )(x0 ) = dg[f (x0 )] ◦ df (x0 )
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4. Las funciones usuales (constantes, polinomios, exponenciales, logaritmos, trigonométricas, etc.), así como las
que son combinación de ellas mediante las operaciones básicas (suma, resta, producto, cociente, composición,
etc.) resultan diferenciables en todos los puntos posibles (en los puntos del interior del dominio).
Propiedad: Si una función f : Rn → Rm es diferenciable en un punto x0 entonces existe la derivada
direccional Dv f (x0 ) con valor finito para cualquier vector no nulo v = (v1 , v2 , ..., vn ) de Rn . En particular
existen las derivadas parciales de f en x0 con valor finito. Además, en esta situación se tiene que
n
X
∂f
Dv f (x0 ) = df (x0 )(v) =
(x0 ) · vi
∂x
i
i=1
Para el caso de 2 variables:
D(v1 ,v2 ) f (a, b) = df (a, b)(v1 , v2 ) =
∂f
∂f
(a, b) · v1 +
(a, b) · v2
∂x
∂y
Para estudiar la diferenciabilidad lo que debemos hacer por regla general es:
1) Si a simple vista se ve que f es de un tipo concreto (polinómica, exponencial, trigonométrica, etc. o
combinación de éstas), eso significará que la función es de clase C 1 (es decir tiene derivadas parciales de primer orden
continuas) luego será diferenciable.
2) Si ya hemos analizado o si se puede ver puede determinar fácilmente que la función no es continua, en
ese caso no será diferenciable (si no hemos determinado aún la no continuidad de la función, este criterio no es
aconsejable con carácter general, pues a veces es más costosa esta labor que realizar el análisis de los criterios que
vienen a continuación).
3) Si no existe (con valor finito) alguna de las derivadas parciales (de primer orden) de f en x0 sabemos
ya que f no es diferenciable en x0 .
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Matriz jacobiana
La matriz jacobiana de una función f = (f1 , ..., fm ) : Rn → Rm diferenciable en un punto x0 es la matriz asociada a
la aplicación lineal df (x0 ) : Rn → Rm respecto de las bases canónicas de Rn y Rm . Ésta vale
⎛
⎞
∂f1
∂f1
∂f1
· · · ∂x
(x0 )
∂x1 (x0 )
∂x2 (x0 )
n
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ ∂f
⎟
⎜ 2 (x0 ) ∂f2 (x0 ) · · · ∂f2 (x0 ) ⎟
⎜ ∂x1
⎟
∂x2
∂xn
⎜
⎟
·
·
Jf (x0 ) = ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
·
·
⎜
⎟
⎜
⎟
·
·
⎝
⎠
∂fm
∂fm
∂fm
(x
)
(x
)
·
·
·
(x
)
0
0
0
∂x1
∂x2
∂xn
Además se cumple que df (x0 )(v) = Jf (x0 ) · v (donde estamos poniendo el vector v en columna).
Si f es una funición real suele ponerse en forma de vector (fila o columna) y se le denomina también vector
∂f
∂f
gradiente de f en x0
5f (x0 ) = ( ∂x
(x0 ), · · ·, ∂x
(x0 ))
1
n
6
El Teorema de la función compuesta (la Regla de la cadena)
f
g
Si Rn → Rm → Rk son funciones diferenciables (f en x0 y g en f (x0 )) entonces J(g ◦ f )(x0 ) = Jg[f (x0 )] · Jf (x0 ). En
cuanto a las derivadas parciales se tiene que
∂(g ◦ f )
∂g ∂u1
∂g ∂u2
∂g ∂um
=
·
+
·
+ ... +
·
∂xi
∂u1 ∂xi
∂u2 ∂xi
∂um ∂xi
3
(Se supone que x = (x1 , ..., xn ) son las variables de Rn , u1 , ..., um las variables de Rm y f1 , ..., fm las funciones
coordenadas de f . Además en la fórmula hemos puesto ui en vez de fi ).
f
g
Ejemplo: Supongamos que tenemos funciones R2 → R3 → R2 y que queremos derivar la composición en los puntos
del dominio. Denominemos a estos puntos de forma genérica por (x, y) y a los del dominio de f por (u1 , u2 , u3 ). Además
usaremos la notación f = (f1 , f2 , f3 ) para las funciones coordenadas de f . Entonces
∂f1
∂f2
∂f3
∂(g ◦ f )
∂g
∂g
∂g
(f (x, y)) ·
(f (x, y)) ·
(f (x, y)) ·
(x, y) =
(x, y) +
(x, y) +
(x, y)
∂x
∂u1
∂x
∂u2
∂x
∂u3
∂x
∂f1
∂f2
∂f3
∂g
∂g
∂g
∂(g ◦ f )
(f (x, y)) ·
(f (x, y)) ·
(f (x, y)) ·
(x, y) =
(x, y) +
(x, y) +
(x, y)
∂y
∂u1
∂y
∂u2
∂y
∂u3
∂y
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Cambios de coordenadas
Partiremos originalmente de unas variables (x1 , ..., xn ) ∈ Rn para expresarlas en función de otras (u1 , ..., un ) mediante
alguna relación. Entonces nos interesaremos por la matriz jacobiana del cambio. Si denominamos Φ : Rn → Rn a
la aplicación que define dicho cambio, en el sentido (x1 , ..., xn ) = Φ(u1 , ..., un ). Esto es así porque si tenemos ahora
una función g : Rn → Rm que depende de las variables o coordenadas (x1 , ..., xn ), una expresión que dependa de g
y de algunas de sus derivadas parciales respecto de las variables (x1 , ..., xn ) podemos representarla en función de la
composición de g ◦ Φ = G y algunas de sus derivadas parciales respecto de las variables (u1 , ..., un ) sin más que realizar
el cambio de coordenadas. Aplicaremos para ello la fórmula
n
∂g X ∂G ∂uj
=
·
∂xi j=1 ∂uj ∂xi
(Donde se supone que g es una función que depende de las variables (x1 , ..., xn ) ∈ R, las cuales se expresan en función
de otras variables (u1 , ..., un ), y G es la función transformada de g que depende de las últimas variables). De modo
matricial
⎞
⎛ ∂u
∂u1
∂u1
1
· · · ∂x
∂x1
∂x2
n
⎜ ∂u2 ∂u2
∂u2 ⎟
⎟
⎜ ∂x1 ∂x2 · · · ∂x
n ⎟
⎜
³
´ ³
´ ⎜ ·
⎟
·
∂g
∂g
∂g
∂g
∂g
∂g
⎟
= ∂u
·⎜
· · · ∂x
· · · ∂u
⎟
⎜ ·
∂x1
∂x2
∂u2
n
1
n
·
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝ ·
·
∂uu
∂un
∂un
· · · ∂xn
∂x1
∂x2
Ejemplos de cambios:
a) Coordenadas polares en R2 :
x = ρ cos θ
y
= ρ sin θ
b) Coordenadas cilíndricas en R3 :
x = ρ cos θ
y
= ρ sin θ
z
= z
c) Coordenadas esféricas en R3 :
x = ρ cos θ sin φ
y
= ρ sin θ sin φ
z
= ρ cos φ
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