Desarrollo histórico de la Programación Lineal

Investigación de Operaciones
Desarrollo histórico de la Programación Lineal
La PL fue formalmente concebida en 1947, aunque sus principios pueden
remontarse tan lejos como se quiera dentro del campo científico. Por ejemplo, los
trabajos de Fourier en 1823 y de la Valle Poussin en 1911 pueden relacionarse
con la PL, sin embargo, estos fueron casos aislados. La creación de las bases
matemáticas que le dieron origen, aparte del álgebra lineal, ocurrió a principios del
siglo XX. En 1928, el conocido matemático John von Neumann publicó el
Teorema Central de la Teoría de Juegos; aunque el intento original de la teoría
era ajeno a la PL, más tarde se demostró que estaban muy relacionadas entre sí,
especialmente en el concepto de dualidad. En 1944, John von Neumann y Oscar
Morgenstern publicaron la Teoría de Juegos y el Comportamiento Económico,
en donde se demostró el interés existente por la Economía y la Teoría de Juegos.
Por otra parte, en 1932 Wassily W Leontief propuso un análisis entrada-salida al
cual llamó el Modelo Interindustrial Entrada-salida de la Economía
Norteamericana. Dicho modelo consistía en un conjunto de restricciones lineales,
aunque a diferencia de la PL, no tenía una función objetivo a ser optimizada.
El enfoque general de la PL se consideró seriamente a finales de los treinta y
principios de los cuarenta, cuando se formularon y resolvieron varios tipos de
problemas de PL. El matemático y economista soviético L.V. Kantorovich
formuló y resolvió un problema de PL relacionado con la planeación de la
producción. En 1941, Hitchcock propuso el problema especial de la PL conocido
como de Transporte . G.J. Stigler presentó en 1945 otro tipo diferente de
problema de PL llamado el problema de la dieta. Durante la Segunda Guerra
Mundial, el grupo de Investigación de Operaciones Militares trabajó con una gran
variedad de problemas relacionados con PL, aunque, es importante aclarar que no
fueron conocidos como tales, es decir, la PL no tuvo su origen formal durante la
Segunda Guerra Mundial, sino algunos años más tarde.
Un poco después de la Segunda Guerra Mundial, la Fuerza Aérea de los EUA
reunió un grupo de científicos para investigar la factibilidad de aplicar
herramientas matemáticas a problemas militares relacionados con la planeación y
programación presupuestal. La gran diversidad de problemas relacionados con la
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logística militar era en aquellos tiempos una gran preocupación. Entre los
miembros del grupo investigador estaba George B. Dantzing, quien es
posiblemente la persona más reconocida en la iniciación y el desarrollo de la PL.
La primera aportación trascendental de Dantzing a la PL fue reconocer la
posibilidad de que la mayoría de las relaciones en la planeación real o aplicada
pueden ser reformuladas como un sistema de desigualdades lineales, y la segunda
fue expresar el criterio de selección para los planes buenos u óptimos en términos
de objetivos específicos, y no en términos de reglas heurísticas o cualitativas.
Estas ideas de Dantzing llevaron a la Fuerza Aérea a bautizar al grupo de
científicos investigadores como el proyecto SCOOP (Scientific Computation of
Optimum Programs).
El proyecto SCOOP inició actividades en Junio de 1947 y dos meses más tarde
Danzting y sus asociados no solamente habían desarrollado el modelo general del
problema de PL, sino también un método general de solución para tal modelo
llamado el Método Simplex.
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El Desarrollo Histórico de la Programación Lineal
* 1823 Trabajos de Fourier
* 1911 Trabajos de la Valle Poussin
* 1928 El matemático John von Neumann publicó el teorema central de la Teoría
de Juegos, la cuál está relacionada con la PL en el concepto de dualidad.
* 1932 Wassily W. Leontief propuso el modelo interindustrial entrada-salida de la
Economía Norteamericana, el cual consistía en un conjunto de restricciones
lineales, aunque sin función objetivo a ser optimizada.
* A finales de los treintas y principios de los cuarentas, se formularon y resolvieron
varios tipos de problemas de PL. El matemático y economista soviético L.V.
Kantorovich formuló y resolvió un problema de PL relacionado con la planeación
de la producción.
* 1941
Hitchcock propuso el modelo de transporte.
* 1944 John von Neumann y Oscar Morgenstern publicaron la Teoría de Juegos y
el Comportamiento Económico, en donde se demostró el interés por la economía y
la teoría de juegos y por ende por la PL.
* 1945
G.J. Stigler presentó el problema de la dieta.
* Durante la segunda Guerra Mundial, el Grupo de Investigación de Operaciones
Militares trabajó con una gran variedad de problemas relacionados con PL.
* 1947 Fue formalmente concebida la PL.
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¿Qué es la Investigación de Operaciones?
La Investigación de Operaciones nació en Inglaterra durante la Segunda Guerra
Mundial, cuando fue reunido un grupo multidisciplinario de científicos
denominado "Grupo de Investigación de Operaciones Militares"
Objetivo original
Buscar soluciones a los problemas tanto tácticos como estratégicos de los aliados
¿Qué tipo de problemas se resolvían con IO?
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Encontrar la profundidad óptima para detonar la carga antisubmarina.
Seleccionar la localización óptima del armamento.
Determinar el tamaño óptimo de los convoyes militares.
Obtener el programa de ataque para minimizar el daño del enemigo.
¿Qué sucedió terminada la guerra?
El conocimiento ganado durante la guerra se estructuró, llegándose a especificar
técnicas de solución vinculadas con problemas de:
* Control de Inventarios
* Asignación de Recursos
* Programación Lineal
* Líneas de Espera, etc.
Algunos importantes promotores de la IO
C. W. Churchman
R. L. Ackoff
R. Bellman
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Definición de Investigación de Operaciones
La Investigación de Operaciones es el desarrollo, la solución y el análisis de
modelos cuantitativos para apoyar a la toma de decisiones en problemas complejos
de sistemas reales.
Modelo
Es una representación abstracta y particular de la realidad
¿Qué tipo de problemas resuelve la IO?
La IO ha desarrollado modelos específicos para solucionar problemas generales
como los de inventarios, líneas de espera, reemplazo, mantenimiento, asignación
de recursos etc.
¿Qué es la Programación Lineal?
La PL puede definirse desde el punto de vista primo y dual.
Punto de vista primo. Herramienta cuantitativa para resolver problemas de
programación de actividades.
Punto de vista dual. Técnica cuantitativa para solucionar problemas de
asignación de recursos.
Programación porque es un proceso sistemático mediante el cual se diseña un
determinado curso de acción.
Lineal refleja el requisito de que todas las relaciones involucradas en el sistema
deben ser representadas por funciones lineales.
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Un problema de programación de actividades
Consiste en determinar el nivel y el tiempo de un conjunto de actividades
interdependientes, llamado plan o programa, para llevar un sistema de su estado
actual a un objetivo especificado.
Un problema de asignación de recursos
Estriba en encontrar la distribución de un conjunto de recursos disponibles, entre
actividades interdependientes que compiten por ello, para alcanzar un objetivo.
La Programación Lineal
Pretende fundamentalmente encontrar mediante la utilización de funciones
lineales, un programa óptimo de actividades interdependientes a realizar
considerando la limitación en los recursos disponibles para efectuarlas.
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Aplicaciones de la Programación Lineal
1.- Aplicaciones Financieras
1.1 Selección de un portafolios de inversión.
1.2 Estrategia de mezcla financiera
2.- Aplicaciones a la Mercadotecnia
2.1 Elaboración de una campaña publicitaria
2.2 Obtención de una estrategia de ventas
3.- Aplicaciones en Producción
3.1 Programación de la producción
3.2 Asignación de mano de obra.
4.- Aplicaciones Tradicionales
4.1 El problema del transporte
4.2 El problema de asignación
4.3 El problema de mezclado
4.4 Problemas de inventarios
4.5 El problema de la dieta.
4.6 El problema del horario
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