MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS. Preproceso y

C
GM
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.
Preproceso y Postproceso de Resultados
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Felipe Gabaldón Castillo
Suavizado de
tensiones
Referencias
GM
C
Madrid, 20 de Diciembre de 2007
Índice
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
1
Introducción
2
Generación de mallas
3
Estimación de error
4
Remallaje adaptativo h
5
Suavizado de tensiones
6
Referencias
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
C
GM
Introducción
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
GM
C
Referencias
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
En la simulación computacional de un problema mediante
elementos finitos, todos los pasos referentes a la definición
del modelo (previos a la solución de las ecuaciones
algebraico-diferenciales) constituyen el preproceso.
Dentro del preproceso, la generación de la malla es una
parte clave ya que para geometrı́as complejas requiere un
tiempo importante y no se trata de una operación trivial.
Por otra parte la malla debe estar correctamente diseñada
ya que la calidad de los resultados depende de la calidad
de aquella.
Tipos de malla
Malla conforme/no conforme. En una malla conforme los
elementos adyacentes comparten nodos o caras.
C
GM
Tipos de malla
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Malla estructurada/no estructurada. En una malla
estructurada cada nodo del interior es compartido por el
mismo número de elementos.
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
GM
C
Referencias
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
Propiedades de los elementos
Propiedades de tipo geométrico:
La variación de tamaño entre elementos adyacentes debe
ser progresiva.
La densidad de elementos en algunas regiones de la malla
debe ser más alta (gradientes elevados de la solución).
En las mallas de elementos triangulares se deben evitar los
ángulos obtusos.
En general, los elementos deben ser suficientemente
regulares y satisfacer ciertas propiedades relativas a su
forma (distorsión, esbeltez, etc).
Propiedades de tipo fı́sico:
Puede haber aspectos fı́sicos del problema que condicionen
la geometrı́a de los elementos: anisotropı́a, formas de los
elementos impuestas, etc.
C
GM
Algoritmos de generación de mallas
Pre y
Postproceso
1
Manual o semi-automático.
Felipe
Gabaldón
2
Métodos basados en la transformación de un dominio con
geometrı́a simple.
3
Métodos basados en la solución de un sistema de
ecuaciones en derivadas parciales.
4
Métodos basados en la deformación y modificación local
de una malla sencilla.
5
Métodos basados en la composición de mallados de
subconjuntos del dominio a mallar, obtenidos por métodos
del tipo 2 o del tipo 3.
Métodos automáticos que obtienen la malla final, elemento
por elemento, a partir de la definición del contorno:
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
6
GM
C
Métodos de avance frontal
Algoritmos basados en la construcción de Voronoi-Delauny
Métodos de avance frontal
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
Desarrollado originalmente por Cavendish [1] y Lo [2] para
elementos triangulares, y generalizado posteriormente por
Peraire et al. [3] para elementos tetraédricos.
La extensión para elementos cuadriláteros o hexaédricos
no es fácil. Existen trabajos para cuadriláteros (Zhu y
Zienkiewicz [1] y Rank et al. [2]), pero no para hexaedros.
El dato de partida es una discretización del contorno
(segmentos en 2D y triángulos en 3D).
El procedimiento es iterativo: se parte de un frente al que
se le añaden elementos volviendo a actualizar el frente.
C
GM
Pre y
Postproceso
Métodos de avance frontal. Ejemplo
Patrones tipo para la redefinición del frente
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Ejemplo de propagación del frente
Suavizado de
tensiones
GM
C
Referencias
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Triangulación de Voronoi-Delauny
Una triangulación de Delauny verifica que las
circunferencias (esferas) circunscritas a cada triángulo
(tetraedro) no contienen vértices de otros elementos.
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
Uniendo los centros de las circunferencias (esferas)
circunscritas a todos los triángulos (tetraedros) que
comparten un vértice se obtienen los polı́gonos (poliedros)
de Voronoi.
C
GM
Triangulación de Voronoi-Delauny. Ejemplo
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
GM
C
Referencias
Introducción
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
El método de los elementos finitos proporciona una
solución aproximada del problema de contorno analizado.
En consecuencia, dicha solución está afectada por diversas
fuentes de error.
Tipos de error en la solución de elementos finitos:
1
2
3
4
5
Error de discretización.
Error de aproximación de la geometrı́a.
Error en el cálculo de las integrales del elemento.
Errores en la solución del sistema de ecuaciones.
Errores asociados a la ecuación constitutiva.
C
GM
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Definición del error
El error es la diferencia entre la solución exacta y la
solución aproximada
Esta definición puede expresarse mediante:
Generación de
mallas
Eu (x) = u(x) − uh (x)
(1)
Estimación de
error
Eε (x) = ε(x) − εh (x)
(2)
Remallaje
adaptativo h
Eσ (x) = σ(x) − σh (x)
(3)
Suavizado de
tensiones
Referencias
La determinación del error local mediante (1), (2) o (3) no
es conveniente en general.
Es conveniente introducir normas del error que representen
una cantidad escalar integral del mismo:
GM
C
E = ||E||
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
(4)
Definición del error
Norma energética del error:
Z
1
Z
1
2
2
−1
||Eε || =
Eε · CEε dΩ , ||Eσ || =
Eσ · C Eσ dΩ
Ω
Ω
(5)
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
Norma L2 del error:
1/2
Z
||Eu || =
Eu · Eu dΩ
(6)
Ω
Localizando la expresión (4) sobre un elemento se obtiene
el error local E e :
Z
1/2
E e = ||Ee ||, ||Ee || =
(7)
Ωe
Con estas normas, la relación entre el error global y los
errores locales viene dada por un sumatorio.
C
GM
Estimadores de error para análisis lineal
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
1
Extrapolación de Richardson (Zienkiewicz y Morgan,
1983) [3]
Generación de
mallas
2
Estimadores residuales (Babuška y Rheinboldt, 1978) [1]
Estimación de
error
3
Estimadores basados en problemas locales de Neumann
(Bank y Weiser, 1985) [2]
4
Estimadores basados en problemas locales de Dirichlet
(Babuška y Rheinboldt, 1978) [3]
5
Estimadores basados en técnicas de suavizado
(Zienkiewicz y Zhu, 1987) [1]
Introducción
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
GM
C
Referencias
Estimador Z 2
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
Parte de la idea de que el campo de tensiones alisado σ ∗
es una aproximación mejor que la solución obtenida con el
MEF (con proyección discontinua en los nodos).
El estimador de error en cada punto se define como:
Eσ = σ ∗ − σ
(8)
Existen diversos procedimientos para obtener el campo de
tensiones alisado.
Se demuestra que la tasa de convergencia con este
m
estimador de error es ||Eσ || = O(h ), siendo m el grado
de las funciones de forma del campo de desplazamientos, y
h el tamaño medio de los elementos.
C
GM
Estimador Z 2
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
GM
C
Referencias
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
Solución “aceptable”
Generalmente se dice que la solución es “aceptable” si se
satisfacen las dos siguientes condiciones:
1 Condición de error global. La norma energética del error
global debe ser menor que un tanto por ciento de la
energı́a de deformación total:
Z
1/2
||Eσ || ≤ η||U||, ||U|| ≈
σ ∗ · C−1 σ ∗ dΩ
(9)
Ω
2
Condición de malla óptima. La distribución de los
elementos en la malla ha de satisfacer un “criterio de malla
óptima”:
||Eeσ || = ||Eeσ ||r
(10)
siendo ||Eeσ ||r el valor requerido de la norma de error del
elemento e, y que está definido de acuerdo con el criterio
de malla óptima elegido.
C
GM
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
Condición de error global
La desigualdad (9) permite definir un parámetro de error
global ξg como:
||Eσ ||
ξg =
(11)
η||U||
ξg = 1 indica que se verifica la condición de error global.
ξg > 1 y ξg < 1 indican que el tamaño de los elementos
debe refinarse o desrefinarse, respectivamente.
El nuevo tamaño del elemento b
he será:
e
h
e
b
(12)
h = 1/m
ξg
GM
C
Como el valor de ξg es el mismo para toda la malla, todos
los elementos modificarı́an su tamaño en igual proporción.
En consecuencia es necesario introducir un criterio de error
local que permita modificar el tamaño de los elementos de
manera selectiva en diversas partes de la malla.
Condición de malla óptima
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
De la expresión (10) se puede definir un parámetro de
error local como:
||Eeσ ||
e
ξ =
(13)
||Eeσ ||r
e
ξ = 1 indica que el tamaño de elemento es óptimo,
e
e
ξ > 1 y ξ < 1 indican que el tamaño del elemento debe
disminuirse o agrandarse, respectivamente.
Se puede definir único parámetro de refinamiento del
elemento que englobe los dos anteriores:
||Eσ ||||Eeσ ||
ξ = ξg ξ =
η||U||||Eeσ ||r
e
e
(14)
C
GM
Estrategia de refinamiento de la malla
Pre y
Postproceso
De acuerdo con los conceptos anteriores, se puede diseñar
una estrategia de refinamiento con los siguientes objetivos:
Felipe
Gabaldón
1
Introducción
Generación de
mallas
2
Estimación de
error
Obtener una distribución óptima de tamaños de elemento,
que satisfaga (10).
Conseguir que el error global satisfaga (11)
Con el primer criterio, se hace la modificación del tamaño:
Remallaje
adaptativo h
e
hξe = he (ξ )−1/q
Suavizado de
tensiones
(15)
y la segunda modificación es:
Referencias
e
−1/m
h = hξe ξg
(16)
GM
C
En todo lo anterior, la definición del error requerido en
cada elemento es clave. Esta definición puede basarse en
diferentes criterios de malla óptima.
Pre y
Postproceso
Criterios de malla óptima
1
Este criterio de malla óptima supone que la distribución de
elementos en una malla es óptima si el error global se
reparte por igual en todos los elementos:
Felipe
Gabaldón
Introducción
||Eσ ||
||Eeσ ||r = √
n
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
Equidistribución del error global
2
(17)
Equidistribución del error especı́fico
Una alternativa al criterio anterior es suponer que una
malla es óptima si el error por unidad de área (o volumen)
es el mismo en toda la malla:
||Eeσ ||
||Eσ ||
√
= √
(18)
Ωe
Ω
Comparando (10) y (18) se obtiene que el error elemental
requerido es:
e 1/2
Ω
e
||Eσ ||r = ||Eσ ||
(19)
Ω
C
GM
Ejemplo
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
GM
C
Referencias
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
Introducción
En la práctica tiene interés obtener el valor de las tensiones
en los nodos: dibujo de contornos, estimación de error, etc.
Por ejemplo, para el nodo i del elemento e:
σi = CB(ξi )de
(20)
El inconveniente de la expresión anterior es que en la
formulación estándar del MEF los requisitos de
continuidad se exigen al campo de desplazamientos y no a
las tensiones.
Para obtener un sólo valor de las tensiones en cada nodo
es necesario alisar las tensiones nodales.
C
GM
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Extrapolación y alisado global
Con este procedimiento se extrapolan a los nodos los
valores de las tensiones en todos los puntos de Gauss de la
malla.
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
∗
σ =
Suavizado de
tensiones
Referencias
n
X
(21)
i=1
siendo:
Ni = Ni 1nσ
GM
C
σie Ni = NσAe
y
 e 
σ1 




 σe 

2
e
σA =
..

. 



 e 

σn
(22)
Extrapolación y alisado global
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
El error entre la solución alisada y la global en cada punto
es:
e = σ ∗ − σ = NσAe − CBde
(23)
El problema se transforma ahora en uno de mı́nimos
cuadrados, en el que se minimiza el error medio dado por
la expresión integral:
Z
F =
(σ ∗ − σ) · (σ ∗ − σ)dΩ
(24)
Ωe
Referencias
resultando:
∂F
=2
∂σAe
Z
Ωe
NT · (σ ∗ − σ)dΩ = 0
(25)
C
GM
Extrapolación y alisado global
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
En la ecuación (25), llamaremos:
Z
Z
Me =
NT NdΩ; re =
Ωe
NT σdΩ
Las matriz Me y el vector re se ensamblan en la forma
estándar:
nelm
def
M=
A
Me ,
e=1
r
nelm
def
=
re
e=1
A
GM
C
Felipe
Gabaldón
Introducción
(27)
obteniéndose las tensiones nodales alisadas:
σA = M−1 r
Pre y
Postproceso
(26)
Ωe
(28)
Extrapolación y alisado local
El procedimiento explicado en el apartado anterior se
aplica a cada elemento por separado:
σAe = Me −1 re
(29)
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
Las tensiones nodales obtenidas son discontinuas. El valor
final de cada nodo es el valor medio de las tensiones de
cada uno de los elementos que comparten el nodo.
Un método más directo es la extrapolación de las
tensiones en los puntos de Gauss a los nodos del elemento
mediante las funciones de forma modificadas para que
valgan uno o cero en los puntos de Gauss:
C
GM
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
Bibliografı́a
Cavendish, J.C.
Automatic triangulation of arbitrary planar domains for the
finite element method.
International Journal for Numerical Methods in
Engineering. Vol 8. pp 679–696, 1974.
Lo, S.H.
A new mesh generation scheme for arbitrary planar
domains.
International Journal for Numerical Methods in
Engineering. Vol 21. pp 1403–1426, 1985.
GM
C
Peraire, J., Vahdati, M., Morgan, K. and Zienkiewicz, O.C.
Adaptive remeshing for compressible flow computations.
Journal of Computational Physics. Vol 72. pp 449–466.
1987.
Bibliografı́a (cont.)
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
Zhu, J.Z., Zienkiewicz O.C., Hinton. E. and Wu, J.
A new approach to the development of automatic
quadrilateral mesh generation.
International Journal for Numerical Methods in
Engineering. Vol 32. pp 849–866, 1991.
Rank, E., Schweingruber, M. and Sommer, M.
Adaptive mesh generation.
Communications in Applied Numerical Methods. Vol 9. pp
121–129. 1993.
Zienkiewicz, O. y Morgan, K.
Finite elements and approximation.
John Wiley and Sons, 1983.
C
GM
Bibliografı́a (cont.)
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
Babuška, I. y Rheinboldt, W.
Error estimates for adaptive finite element computations.
SIAM Journal of Numerical Analysis,
tomo 15:págs. 736–754, 1978a.
Bank, R. y Weiser, A.
Some a posteriori error estimators for elliptic partial
differential equations.
Mathematics of Computation, tomo 44:págs. 283–301,
1985.
GM
C
Babuška, I. y Rheinboldt, W.
A posteriori error estimates for the finite element method.
International Journal for Numerical Methods in
Engineering , tomo 12:págs. 1597–1613, 1978b.
Bibliografı́a (cont.)
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
Zienkiewicz, O. y Zhu, J.
A simple error estimator and adaptive procedure for
practical engineering analysis.
International Journal for Numerical Methods in
Engineering , tomo 24:págs. 337–357, 1987.
Oñate, E.
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos
Finitos. Análisis estático lineal.
CIMNE. Segunda edición, 1995.
George, P.L.
Automatic Mesh Generation. Application to Finite Element
Methods.
Wiley. 1991.
C
GM
Páginas web
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldón
Introducción
Generación de
mallas
Estimación de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
Pre y postprocesador gmsh
http://geuz.org/gmsh/
Scientific Applications on Linux (Discrete Methods &
Related Tools):
http://ceu.fi.udc.es/SAL/index.shtml
Meshing Research Corner
http://www.andrew.cmu.edu/user/sowen/mesh.html
Pre y postprocesador GID
http://gid.cimne.upc.es
Generador de mallas EMC2
http://www-rocq1.inria.fr/gamma/cdrom/www/
emc2/eng.htm