53 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 2. INTEGRALES TRIPLES En esta sección se presenta la integral triple para funciones de tres variables, funciones del tipo f : B ⊆ 3 → , tal como se hizo en la sección anterior para las integrales dobles. Así como se define la integral triple a partir de una triple suma de Riemann y se ilustra el proceso de resolución de la misma, de manera similar se puede esbozar la definición y el cálculo de integrales múltiples de funciones del tipo f : Q ⊆ 2.1 INTEGRAL TRIPLE SOBRE n → . UNA CAJA RECTANGULAR Sea f una función definida sobre la caja rectangular B , esto es f :B⊆ 3 → , donde B está definida como: B = [ a,b ] × [ c,d ] × [ r,s ] (II.1) o también: B= La caja rectangular B , también recibe el nombre 3 , O de rectángulo en intervalo tridimensional, aunque el nombre más apropiado para B es paralelepípedo. {( x, y,z ) ∈ 3 } a≤ x≤b ∧ c≤ y≤d ∧ r≤ z≤s (II.2) Sea P una partición del paralelepípedo B , la cual se logra con el producto cartesiano de las particiones Px , Py y Pz y de los intervalos [a, b] , [c, d ] y [ r,s ] , respectivamente, como se muestra a continuación: Px = {x 0 , x1 , x 2 , … , xi −1 , xi , … , x n −1 , x n } (II.3) Py = {y 0 , y1 , y 2 , … , y j −1 , y j , … , y m −1 , y m } (II.4) Pz = { z0 ,z1 ,z2 ,… ,zk −1 ,zk ,… ,zl −1 ,zl } (II.5) entonces UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 54 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones P = Px × Py × Pz (II.6) La partición P del paralelepípedo B , entonces se obtiene al dividirla en pequeñas cajas rectangulares tal como se muestra en la siguiente figura. Figura 2.1 Partición P de una caja rectangular B . Si la partición Px tiene n + 1 elementos y n subintervalos [ xi −1, xi ] de longitud ∆xi = xi − xi −1 ; la partición Py tiene m + 1 elementos y m [ ] subintervalos y j −1, y j de longitud ∆y j = y j − y j −1 y la partición Pz tiene l + 1 elementos y l subintervalos [ z k −1 ,zk ] de longitud ∆zk = zk − zk −1 , entonces la caja rectangular B queda dividida por la partición P en n ⋅ m ⋅ l paralelepípedos denominados Bijk , donde el volumen de cada una de estas pequeñas cajas o subparalelepípedos, denotado ∆Vijk , se obtiene de acuerdo a la siguiente ecuación: UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 55 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones ∆Vijk = ∆xi ⋅ ∆y j ⋅ ∆zk Al evaluar la función f en un punto arbitrario (II.7) (x * i , y j* ,zk* ) del subparalelepípedo Bijk , se puede establecer la triple suma de Riemann para la función f en la partición P , denotada como ST : n m l ST = ∑∑∑ f ( xi* , y j* ,zk* )∆Vijk (II.8) i =1 j =1 k =1 En la figura 2.2, se aprecia que: xi −1 ≤ xi* ≤ xi En la figura 2.2 se observa el punto ( xi* , y j* ,zk* ) contenido en el elemento Bijk de la partición P . y j −1 ≤ y j * ≤ y j zk −1 ≤ zk * ≤ zk Figura 2.2 Paralelepípedo genérico Bijk de la partición P . La norma de la partición P , denotada como P , es la longitud de la diagonal más grande de todos los paralelepípedos Bijk . Si se UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 56 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones selecciona una partición más fina, de manera que la norma de la partición tienda a cero, esto es P → 0 , entonces la expresión (II.8) cambia y recibe el nombre del límite de la triple suma de Riemann, como se muestra a continuación: n m l L im ST = L im ∑∑∑ f ( xi* , y j* ,zk* )∆Vijk P →0 P →0 (II.9) i =1 j =1 k =1 A partir del límite de la triple suma de Riemann se establece la definición de la integral triple de una función f en un paralelepípedo B . DEFINICIÓN: Integral triple de f sobre B Sea f : 3 → una función definida sobre un paralelepípedo B del espacio. La integral triple de f sobre B , denotada por ∫∫∫ f ( x, y,z ) dV , se define como: B ∫∫∫ B n m l f ( x, y,z ) dV = L im ∑∑∑ f ( xi* , y j* ,zk* )∆Vijk P →0 si el límite existe. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. i =1 j =1 k =1 (II.10) 57 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 2.2 TEOREMA DE FUBINI El teorema de Fubini proporciona un método práctico para evaluar una integral triple por medio de integrales iteradas, tal como se mostró para las integrales dobles en el capítulo anterior. TEOREMA de Fubini para Integrales Triples Sea f una función continua en el paralelepípedo B = [ a,b ] × [ c,d ] × [ r,s ] , entonces: s d b r c a ∫∫∫ f ( x, y,z ) dV = ∫ ∫ ∫ B Al igual que en el capítulo anterior; para la resolución de integrales triples, se emplearán los siguientes símbolos para identificar los límites de integración: : Valor de la variable a la salida de la región B (límite superior). : Valor de la variable a la entrada de la región B (límite superior). f ( x, y,z )dxdydz (II.11) La integral iterada presente en la ecuación (II.11) del teorema de Fubini también puede ser escrita de otras cinco formas diferentes, que se obtienen al cambiar el orden de integración de las variables x, y y z. Estas integrales iteradas son: d s b c r a s b d r a c b s d a r c b d s a c r ∫∫∫ f ( x, y,z ) dV = ∫ ∫ ∫ f ( x, y,z )dxdzdy (II.12) f ( x, y,z )dydxdz (II.13) f ( x, y,z )dydzdx (II.14) ∫∫∫ f ( x, y,z ) dV = ∫ ∫ ∫ f ( x, y,z )dzdydx (II.15) B ∫∫∫ f ( x, y,z ) dV = ∫ ∫ ∫ B ∫∫∫ f ( x, y,z ) dV = ∫ ∫ ∫ B B d b s c a r ∫∫∫ f ( x, y,z ) dV = ∫ ∫ ∫ f ( x, y,z )dzdxdy B UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. (II.16) 58 Geraldine Cisneros EJEMPLO 2.1 Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Evalúe la integral triple ∫∫∫ f ( x, y,z )dV y dibuje el paralelepípedo B B , donde f ( x, y,z ) = xz 3 (1 − y ) y B = [ 2,3] × [ −2,1] × 0 , 2 . Solución: Para resolver la integral triple de la función f se debe seleccionar primero el orden de integración. En la figura 2.3 se muestra el paralelepípedo B , donde además se señala, mediante la flecha que atraviesa verticalmente a la región B , que la integración se comienza con la variable z. Valor de z a la salida de B z= 2 Es común llamar I a la integral triple que desea resolverse. B Valor de z a la entrada de B z=0 Figura 2.3 Paralelepípedo B del ejemplo 2.1. A continuación se resuelve la integral triple: Figura 2.4 Proyección del paralelepípedo B del ejemplo 2.1 en el I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV = ∫ B plano xy La proyección de B mostrada en la figura 2.4, indica que la segunda integración se realiza respecto a la variable x. I =∫ I =∫ 1 -2 ∫ 3 2 1 xz 4 (1 − y ) 4 1 -2 2 0 3 ∫ ∫ 2 2 0 xz 3 (1 − y )dzdxdy dxdy = ∫ 1 -2 3 ∫ x (1 − y )dxdy 2 3 1 2 5 1 5 2 x (1 − y ) dy = ∫ (1 − y )dy = − (1 − y ) -2 2 2 2 -2 4 1 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 1 -2 = 45 4 59 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 1 3 -2 2 ∫ ∫ ∫ EJEMPLO 2.2 Evalúe la integral triple 2 0 xz 3 (1 − y )dzdxdy = ∫∫∫ f ( x, y,z )dV 45 4 y dibuje el paralelepípedo B π B , donde f ( x, y,z ) = x + y cos z y B = [ −1, 2] × [ 0,1] × 0 , . 2 Solución: En la figura 2.5 se muestra el paralelepípedo B y se indica, además, que la primera integración parcial se realiza respecto a la variable x. Valor de x a la entrada de B x = −1 Figura 2.6 Proyección del paralelepípedo B del ejemplo 2.2 en el B plano yz Valor de x a la salida de B La proyección de B en el plano yz, muestra que la segunda integración parcial se realiza respecto a la variable z. x=2 Figura 2.5 Paralelepípedo B del ejemplo 2.2. I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV = ∫ B I =∫ 1 0 ∫ π 2 0 x2 2 + xy cos z UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 1 0 π 2 ∫ ∫ ( x + y cos z )dxdzdy 2 0 −1 2 −1 dzdy = ∫ 1 0 ∫ π 2 0 3 2 + 3 y cos z dzdy 60 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones π 1 3π 3 π 3 2 I = ∫ z + 3 ysenz dy = ∫ + 3 y dy = + y 0 2 0 24 0 4 1 π 1 3π 3 π 3 2 I = ∫ z + 3 ysenz dy = ∫ + 3 y dy = + y 0 2 0 4 2 4 0 1 π 3π 3 ∫ ∫ ∫ ( x + y cos z )dxdzdy = 4 + 2 1 0 2 0 2 −1 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 2 1 0 2 1 0 61 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 2.3 INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES MÁS GENERALES Así como en el capítulo anterior se definió la integral doble sobre regiones generales, en esta sección se amplía la definición de la integral triple de una función f sobre una región general B acotada del espacio tridimensional. Por ejemplo, considere una región B , más general que un paralelepípedo, del espacio tridimensional, tal como se ilustra en la figura 2.6. B Figura 2.6 Región general B del espacio tridimensional Para evaluar la integral triple de la función f : 3 → sobre la región general B , usando una integral iterada, primero debe seleccionarse el orden de integración. En la figura 2.7, donde se aprecian las superficies que acotan superior e inferiormente a la región B , se señala el orden de integración sugerido para esta región. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 62 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de z a la salida de B z = γ 2 ( x, y ) B D Valor de z a la entrada de B z = γ 1 ( x, y ) Figura 2.7 Primer orden de integración para una región general B Es decir, la región general B está acotada inferior y superiormente por las superficies γ 1 y γ 2 , respectivamente, y por lo tanto puede definirse como: B= {( x, y,z ) ( x, y ) ∈ D } ∧ γ 1 ( x, y ) ≤ z ≤ γ 2 ( x, y ) Luego, la integral triple de la función f : 3 → (II.17) sobre la región general B , puede obtenerse como: ∫∫∫ B f ( x, y,z ) dV = ∫∫ D γ 2 ( x ,y ) ∫γ ( 1 x ,y ) f ( x, y,z )dzdA (II.18) Para seleccionar el segundo orden de integración, se debe proyectar a la región B sobre el plano xy , obteniéndose así una región bidimensional D , que se observa en la figura 2.8. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 63 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D y = g2 ( x ) Observe, en la figura 2.8, que la proyección de la región B sobre el plano xy, es una región D bidimensional de tipo 1. x=b x=a Valor de y a la entrada de D D y = g1 ( x ) Figura 2.8 Proyección de la región general B sobre el plano xy Entonces, como la región general B está definida de la siguiente manera: B= {( x, y,z ) a ≤ x ≤ b, } g1 ( x ) ≤ y ≤ g 2 ( x ) , γ 1 ( x, y ) ≤ z ≤ γ 2 ( x, y ) (II.19) Se tiene que: ∫∫∫ B f ( x, y,z ) dV = ∫ b a ∫ g2 ( x ) g1 ( x ) γ 2 ( x ,y ) ∫γ ( 1 x ,y ) f ( x, y,z )dzdydx (II.20) Por otra parte, si la región general B se define como: B= {( x, y,z ) h ( z ) ≤ x ≤ h ( z ) , 1 2 β1 ( x,z ) ≤ y ≤ β 2 ( x,z ) , r ≤ z ≤ s} (II.21) Entonces: s h2 ( z ) r h1 z ∫∫∫ f ( x, y,z ) dV = ∫ ∫ B β 2 ( x ,z ) ( ) ∫β ( 1 x ,z ) f ( x, y,z )dydxdz (II.22) O también, para una región B como la siguiente: B= {( x, y,z ) ω ( y,z ) ≤ x ≤ ω 1 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 2 ( y,z ) , c ≤ y ≤ d, } j1 ( y ) ≤ z ≤ j2 ( y ) 64 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones (II.23) La integral triple es: d j2 ( y ) c j1 ( y ) ∫∫∫ f ( x, y,z ) dV = ∫ ∫ B EJEMPLO 2.3 Evalúe la integral triple ∫∫∫ B ω2 ( y ,z ) ∫ω ( 1 y ,z ) f ( x, y,z )dxdzdy (II.24) dV , donde B es la región del espacio tridimensional definida como: B= {( x, y,z ) 0 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ x2 , x + y ≤ z ≤ x2 + y 2 } Solución: Para evaluar ∫∫∫ B dV , se debe seleccionar la variable con respecto a la cual se realiza la primera integración parcial. En la siguiente figura se visualiza la región B . Valor de z a la salida de B z = x2 + y 2 En la figura 2.9, se aprecia que el recinto B está limitado superiormente por la superficie z = x 2 + y 2 e inferiormente por la superficie z = x + y . B Valor de z a la entrada de B z = x+ y Figura 2.9 Región UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. B del ejemplo 2.3 65 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Por lo tanto, la primera integración se realiza respecto a la variable z, considerando a x y a y constantes. En la figura 2.10 se muestra la proyección de la región B sobre el plano xy. Adicionalmente se ilustra el segundo orden de integración seleccionado. Valor de y a la salida de D y = 4x x=2 Cuando se proyecta la región B sobre el plano xy, tal como se muestra en la figura 2.10, se obtiene una región D bidimensional de tipo 1. D Valor de y a la entrada de D y = x2 Figura 2.10 Proyección de la región B del ejemplo 2.3 en el plano xy Resolviendo la integral triple, se tiene: I = ∫∫∫ dV = ∫ B 2 0 x2 x2 + y 2 4x x+ y ∫ ∫ dzdydx = ∫ 2 0 ∫ (y x2 2 4x + x 2 − x − y )dydx x 6 x 4 79 x3 I = ∫ − − + − 12 x 2 dx 0 3 3 2 2 2 x2 x2 + y 2 0 4x x+ y ∫ ∫ ∫ UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. dzdydx = 6724 105 66 Geraldine Cisneros EJEMPLO 2.4 Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones ∫∫∫ Evalúe la integral triple B dV , donde B es la región tridimensional comprendida entre los planos cartesianos y el plano x + y + z = 10 . Solución: ∫∫∫ Para resolver la integral triple, B dV , es necesario ilustrar el orden de integración. En la siguiente figura, mediante la flecha que atraviesa horizontalmente a la región B , se ilustra el valor que toma la variable y a la entrada y la salida de la misma. En la figura 2.11, se aprecia que el recinto B está limitado por la izquierda por el plano cartesiano xz y por la derecha por el plano de ecuación y = 10 − x − z Valor de y a la salida de B Valor de y a la entrada de B y = 10 − x − z y=0 B Figura 2.11 Región B del ejemplo 2.4 Al proyectar la región B en el plano cartesiano xz, se obtiene una región bidimensional mostrada en la figura 2.12. En esta figura, se ilustra además, el segundo orden de integración seleccionado para resolver la integral triple UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. ∫∫∫ B dV . 67 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de z a la salida de D z = 10 − x x=0 En la figura 2.12 se observa que la proyección de la región B sobre el plano xz, es una región D de tipo 1 o tipo 2; sin embargo, se trabaja como una región tipo 1. D Valor de z a la entrada de D z=0 Figura 2.12 Proyección de la región B del ejemplo 2.4 en el plano xz Resolviendo la integral triple: I = ∫∫∫ dV = ∫ B 10 0 ∫ 10 − x 0 ∫ 10 − x − z 0 dydzdx = ∫ 10 0 ∫ 10 − x 0 10 x2 I = ∫ 50 + − 10 x dx 0 2 10 10 − x 0 0 ∫ ∫ UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. ∫ 10 − x − z 0 dydzdx = 500 3 (10 − x − z )dzdx 68 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 2.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLE A continuación se presentan las propiedades de la integral triple de una función f : 3 → real de tres variables sobre una región general B del espacio tridimensional. Estas propiedades son similares a las propiedades de las integrales dobles. 2.4.1 Propiedad de linealidad 3 Sean f : → 3 y g: → dos funciones reales y continuas definidas en una región tridimensional B , y sean α y β dos números reales cualesquiera, entonces: ∫∫ B α f ( x, y, z ) + β g ( x, y, z ) dV = + ∫∫ α f ( x, y, z )dV ∫∫ β g ( x, y, z )dV B + (II.25) B 2.4.2. Propiedad de orden 3 Sean f : definidas → en 3 y g: una → región dos funciones reales y continuas tridimensional B, tales que f ( x, y,z ) ≥ g ( x, y,z ) ∀ ( x, y,z ) ∈ B , entonces: ∫∫ f ( x, y, z )dV ≥ ∫∫ g ( x, y, z )dV B B (II.26) 2.4.3. Propiedad aditiva respecto a la región de integración Sea f : 3 → una función real y continua definida en una región general tridimensional B . Si la región B está dividida en dos subregiones B1 y B2 (es decir B = B1 ∪ B2 ), entonces: ∫∫ f ( x, y, z )dv = ∫∫ f ( x, y, z )dV + ∫∫ B B1 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. B2 f ( x, y, z )dV (II.27) 69 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones EJEMPLO 2.5 Evalúe la integral triple ∫∫∫ f ( x, y,z ) dV , donde f ( x, y,z ) = xyz y B B es el recinto definido como: B= {( x, y,z ) x 2 } + y 2 + z 2 ≤ 4 , x 2 + y 2 ≥ 1, x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 Solución: El recinto B es la región del primer octante que se encuentra dentro de la esfera, de radio 4 y centro en el origen del sistema de coordenadas; y fuera del cilindro circular recto de radio 1 y que tiene como eje directriz al eje z. En la figura 2.13 se muestra el recinto B . Valor de z a la salida de B z = 4 − x2 − y 2 En la figura 2.13, se muestra el recinto B, del ejemplo 2.5. Esta región está acotada superiormente por la superficie de ecuación e z = 4 − x2 − y 2 inferiormente por plano cartesiano ( z = 0 ). el xy B Valor de z a la entrada de B z=0 Figura 2.13 Región B del ejemplo 2.5 Seleccionando a z como la primera variable de integración se tiene: I = ∫∫∫ xyzdV = ∫∫ B UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. D ∫ 4 − x2 − y 2 0 xyzdzdA 70 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Donde D es la proyección del recinto B sobre el plano xy. Esta región se muestra en la figura 2.14. Valor de y a la salida de D1 y = 4 − x2 Cuando se proyecta la región B sobre el plano xy, se obtiene una región D que no es de tipo 1 ni de tipo 2, por lo que se divide en dos subregiones tipo 1. x =1 Valor de y a la salida de D2 D1 y = 4 − x2 D2 Valor de y a la entrada de D1 y = 1 − x2 Valor de y a la entrada de D2 y=0 Figura 2.14 Proyección de la región B del ejemplo 2.5 en el plano xy Luego, D = D1 ∪ D2 , donde: {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 1 ∧ D = {( x, y ) 1 ≤ x ≤ 2 D1 = 2 1 − x2 ≤ y ≤ 4 − x2 ∧ 0 ≤ y ≤ 4 − x2 } } Resolviendo la integral triple, se tiene: I = ∫∫∫ xyzdV = ∫ B I =∫ 1 0 ∫ 4 -x 2 1-x 2 1 0 ∫ 4 -x 2 1-x 2 ∫ 4− x2 − y 2 0 xyzdzdydx + ∫ 2 xy 2 2 4 − x − y dydx + ( ) ∫1 ∫0 2 4 -x 2 2 1 ∫ 4 -x 2 0 ∫ 4 − x2 − y 2 0 xy 2 2 2 ( 4 − x − y ) dydx 5 1 9x 2 x 9 9 I = ∫ dx + ∫ − x 3 + 2 x dx = + 0 1 16 16 8 8 ∫∫∫ B UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. xyzdV = 9 8 xyzdzdydx 71 Geraldine Cisneros EJEMPLO 2.6 Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Evalúe la integral triple ∫∫∫ ( xyz ) dV , B donde B es la región del primer octante comprendida entre los conos, cuyas ecuaciones son z = 2 ( x 2 + y 2 ) y z = x 2 + y 2 ; y el plano z = 4 . Solución: Al graficar el recinto B se obtiene el sólido mostrado en la figura 2.15. Valor de z a la salida de B Valor de z a la salida de B z = 2 ( x2 + y 2 ) z=4 En la figura 2.15, se muestra el recinto B. Observa que la flecha que se encuentra a la izquierda sale de la región en el plano de ecuación z = 4 , mientras que la flecha de la derecha sale de la región por la superficie del cono z = 2 ( x 2 + y 2 ) . B Valor de z a la entrada de B Valor de z a la entrada de B z = x2 + y 2 z = x2 + y2 Figura 2.15 Región B del ejemplo 2.6 Según la gráfica anterior, la variable z, toma diferentes valores a la salida del recinto B, por lo cual la integral triple debe resolverse empleando la propiedad 4.3. ∫∫∫ B ( xyz ) dV = ∫∫ D1 ∫ 4 x2 + y ( xyz ) dzdA + 2 ∫∫ ∫ D2 ( 2 x2 + y 2 x2 + y 2 ) ( xyz ) dzdA Para la primera de estas integrales, donde el límite superior para z es 4, la proyección de la región B en el plano xy, es una región denominada D1 se muestra a continuación: UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 72 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D1.A y = 16 − x 2 La región D1, de la figura 2.16, no es de tipo 1 ni de tipo 2, por lo que se divide en dos subregiones tipo 1. x= 8 D1.A Valor de y a la salida de D1.B y = 16 − x 2 Valor de y a la entrada de D1.A D1.B y = 8 − x2 Valor de y a la entrada de D1.B y=0 Figura 2.16 Primera proyección de la región B del ejemplo 2.6 en el plano xy Luego, D1 = D1. A ∪ D1. B , donde: {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 8 ∧ D = {( x, y ) 8≤x≤4 D1.A = 8 − x 2 ≤ y ≤ 16 − x 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 16 − x 2 1.B } } Con la figura anterior se establece el segundo orden de integración de la primera integral triple planteada, resultando: ∫∫ ∫ 4 x2 + y 2 D1 ( xyz ) dzdA 8 ∫ ∫ = 0 + 16 − x 2 8− x 2 16 − x 2 4 ∫ ∫ 8 ∫ 0 4 x2 + y 2 ∫ ( xyz ) dzdydx + 4 x2 + y 2 ( xyz ) dzdydx Para definir el segundo orden de integración en la ∫∫ ∫ D2 ( 2 x2 + y2 x2 + y2 ) integral ( xyz ) dzdA , se proyecta la región B, sobre el plano xy en la siguiente figura. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 73 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D2 y = 8 − x2 x=0 La región D2, mostrada en la figura 2.17, es una región de tipo 1. D2 ( 8 ,0 ) Valor de y a la entrada de D2 y=0 Figura 2.17 B del ejemplo 2.6 en el plano xy Segunda proyección de la región Donde: D2 = {( x, y ) ( ) 0 ≤ x ≤ 8 ∧ 0 ≤ y ≤ 8 − x2 } Resultando: ∫∫ ∫ D2 2 x2 + y 2 x2 + y 2 8− x2 8 ( xyz ) dzdA = ∫ ∫ 0 0 ∫ ( 2 x2 + y 2 x2 + y 2 ) ( xyz ) dzdydx Por lo tanto: I = ∫∫∫ ( xyz ) dV B ∫ ∫ + 4 + Resolviendo, se tiene: UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 16 − x 2 8 = 8− x 0 ∫ ∫ 8 ∫ ∫ 0 16 − x 2 0 8− x 2 8 0 2 ∫ ∫ 4 ∫ 4 x2 + y 2 x2 + y 2 ( ( xyz ) dzdydx + ( xyz ) dzdydx + 2 x2 + y 2 x2 + y 2 ) ( xyz ) dzdydx 74 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones I= + I= 8 ∫ ∫ 0 16 − x 2 8− x 2 8− x 2 8 ∫ ∫ 0 ∫ 8 0 0 xy (16 − y 2 − x 2 )dydx + 2 xy 2 ( y + x 2 ) dydx 2 8 xdx + ∫ 16 − x 2 4 ∫ ∫ 8 0 x5 − 4 x 3 + 32 x dx + 8 8 4 I = 32 + 32 64 + = 64 3 3 Entonces, la integral triple pedida es: I = ∫∫∫ ( xyz ) dV = 64 B UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. ∫ 8 0 xy (16 − y 2 − x2 ) dydx + 2 x5 − + 8 x dx 8