Funciones hiperbólicas en C. Funciones

Funciones hiperbólicas en C.
Definimos las funciones hiperbólicas en C de la misma manera que en R y obtenemos
sus expresiones en función de las componentes de z ∈ C.
a
−a
z
−z
a+bi
− e−a−bi = e (cos b + i sen b) − e (cos b − i sen b) =
1. senh z = e −2 e
= e
2
2
ea − e−a cos b + i ea + e−a sen b = senh a cos b + i cosh a sen b.
2
2
a
−a
z
−z
a+bi
+ e−a−bi = e (cos b + i sen b) + e (cos b − i sen b) =
2. cosh z = e +2 e
= e
2
2
ea + e−a cos b + i ea − e−a sen b = cosh a cos b + i senh a sen b.
2
2
3. tanh z = senh z = senh a cos b + i cosh a sen b = · · · = tanh a + i tan b .
cosh z
cosh a cos b + i senh a sen b
1 + i tanh a tan b
En el caso z = a ∈ R quedan las funciones hiperbólicas habituales en R.
Funciones trigonométricas en C.
• Si θ ∈ R, por la fórmula de Euler tenemos: eθi = cos θ + i sen θ; e−θi = cos θ − i sen θ,
de donde podemos despejar:
θi
−θi
θi
e−θi
cos θ = e +2 e ; sen θ = e −
2i
Análogamente definimos, para z ∈ C,
zi
e−zi , 5. cos z = ezi + e−zi , 6. tan z = sen z ,
4. sen z = e −
cos z
2
2i
zi
de donde obtenemos la fórmula de Euler en C: e = cos z + i sen z, z ∈ C.
• Entre las funciones hiperbólicas y trigonométricas en C existen las relaciones:
zi
−zi
a. senh(zi) = e −2 e
= i sen z (por 4).
zi
−zi
b. cosh(zi) = e +2 e
= cos z (por 5).
c. tanh(zi) =
senh(zi)
sen z = i tan z (a partir de a y b).
= icos
z
cosh(zi)
d. sen(zi) = sen z 0 = 1i senh(z 0 i) = −i senh(−z) = i senh z (a partir de a).
e. cos(zi) = cos z 0 = cosh(z 0 i) = cosh(−z) = cosh z (a partir de b).
f. tan(zi) =
sen(zi)
= i senh z = i tanh z (a partir de d y e).
cosh z
cos(zi)
Estas relaciones son válidas si z = b ∈ R, en cuyo caso zi = bi es imaginario puro.
• Obtenemos las funciones trigonométricas en C en función de las componentes de z.
4’. sen z = 1i senh(zi) = −i senh(−b + ai) = · · · = sen a cosh b + i cos a senh b (de a y 1).
5’. cos z = cosh(zi) = cosh(−b + ai) = · · · = cos a cosh b − i sen a senh b (de b y 2).
sen a cosh b + i cos a senh b
tan a + i tanh b
z
6’. tan z = sen
cos z = cos a cosh b − i sen a senh b = · · · = 1 − i tan a tanh b (de 4’ y 5’).
En el caso z = a ∈ R quedan las funciones trigonométricas habituales en R.