forma logarítmica

Funciones hiperbólicas inversas.
a) Argumento seno hiperbólico.
y
−y
y = arg shx =⇒ x = senh y = e −2 e =⇒ 2x = ey − e−y .
Multiplicando por ey , 2xey = e2y − 1 =⇒ e2y − 2xey − 1 = 0,
√
de donde ey = x ± x2 + 1, es decir
³
´
√
y = ln x + x2 + 1 , x ∈ (−∞, ∞)
Nota 1: La función no existe para el signo − delante de la raı́z.
b) Argumento coseno hiperbólico.
y
−y
y = arg chx =⇒ x = cosh y = e +2 e =⇒ 2x = ey + e−y .
Multiplicando por ey , 2xey = e2y + 1 =⇒ e2y − 2xey + 1 = 0,
√
de donde ey = x ± x2 − 1, es decir
³
´
√
y = ln x + x2 − 1 , x ∈ [1, ∞)
Nota 2: El logaritmo existe para ambos signos, si x ∈ [1, ∞). Pero tomamos
uno sólo (el positivo) por tratarse de una función.
c) Argumento tangente hiperbólica.
y
−y
2y
y = arg thx =⇒ x = tanh y = ey − e−y = e2y − 1 .
e +e
e +1
+ x , es decir
Entonces x (e2y + 1) = e2y − 1 =⇒ e2y = 11 −
x
r
µ
¶
1
1+x
1+x
y = ln
= ln
, x ∈ (−1, 1)
2
1−x
1−x
Ejercicio: Razónense los campos de existencia indicados.
d) Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas.
³
´0
√
2+1
x
+
x
√
£ ¡
¢¤0
√
(arg shx)0 = ln x + x2 + 1 =
= √ 21
.
2
x+ x +1
x +1
³
´0
√
2−1
x
+
x
√
£
¡
¢¤
0
√
= √ 21
.
(arg chx)0 = ln x + x2 − 1 =
x + x2 − 1
x −1
h ³
´i
³
´ ³
´
+x 0 = 1 1+x 0 : 1+x = 1 .
(arg thx)0 = 21 ln 11 −
x
2 1−x
1−x
1 − x2