Programación Entera - U

Introducción
Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Programación Entera
Nelson Devia C.
IN3701 - Modelamiento y Optimización
Departamento de Ingenierı́a Industrial
Universidad de Chile
2011
Basado en Bertsimas, D., Tsitsiklis, J. (1997)
“Introduction to Linear Optimization”
Capı́tulos 10 y 11
Nelson Devia C.
Programación Entera
Introducción
Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Contenidos
1
Introducción
2
Relajación Lineal
3
Métodos de Plano Cortante
4
Cortes de Gomory
5
Algoritmo Branch & Bounds
Nelson Devia C.
Programación Entera
Introducción
Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Introducción
Los problemas de programación lineal entera (IP1 ) son equivalentes a los
problemas de programación lineal (LP2 ), excepto que algunas de las
variables se restringen a tomar sólo valores enteros.
En general, se tiene el siguiente problema de programación
mixta(MIP3 ):
(MIP) mı́n z = c 0 x + d 0 y
Ax + By
=
b
y
≥
0
x
∈
Zn+
Si no hay variables continuas, entonces se tiene un problema de
programación entera:
(IP) mı́n z = c 0 x
1
2
3
Ax
=
b
x
∈
Zn+
Integer Programming
Linear Programming
Mixed Integer Programming
Nelson Devia C.
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Introducción
Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Introducción
Las variables binarias son aquéllas que sólo pueden tomar los valores 0
ó 1.
Claramente, las variables binarias también son enteras, ya que {0, 1} ⊂ Z
Si todas las variables son binarias se tiene un problema de programación
entera binaria:
mı́n z = c 0 x
Ax
=
b
x
∈
{0, 1}n
El caso más general es cuando se tienen todo tipo de variables:
mı́n z = c 0 x + d 0 y + e 0 z
Ax + By + Cz
=
b
x
≥
0
y
∈
Zn+
z
∈
{0, 1}m
Es importante destacar que para que un problema sea entero las
variables deben ser enteras, no ası́ el valor de la función objetivo.
Nelson Devia C.
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Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Introducción
Los problemas enteros y mixtos son más difı́ciles de resolver que los problemas
lineales, por varias razones:
No se tiene una región factible.
El conjunto S de soluciones factibles es no convexo.
El óptimo del problema entero no se encuentra necesariamente en un
“vértice” de S.
Ejemplo de Problema Entero en R2 :
máx x1
x1 + x2
≤
4
x1 − x2
≤
3
x1 , x2
∈
Z+
Nelson Devia C.
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Introducción
Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Introducción
Los problemas enteros y mixtos son más difı́ciles de resolver que los problemas
lineales, por varias razones:
No se tiene una región factible.
El conjunto S de soluciones factibles es no convexo.
El óptimo del problema entero no se encuentra necesariamente en un
“vértice” de S.
Ejemplo de Problema Mixto en R2 :
máx x1
x1 + x2
≤
4
x1 − x2
≤
3
x1
≥
0
x2
∈
Z+
Nelson Devia C.
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Relajación Lineal
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Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Relajación Lineal
La relajación lineal de un problema entero (o mixto) corresponde al mismo
problema, pero en el que se les permite a todas las variables ser continuas.
Ejemplo:
(P) máx z = x1
(PR) máx z = x1
x1 + x2
≤
4
x1 + x2
≤
4
x1 − x2
≤
3
x1 − x2
≤
3
x1 , x2
∈
Z+
x1 , x2
≥
0
⇒
Relajación
Lineal
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Relajación Lineal
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Algoritmo Branch & Bounds
Relajación Lineal
En toda relajación, se tiene que el conjunto de soluciones factibles es más
grande que el del problema original.
Si llamamos SP a la región factible del problema entero y SPR a la del
problema relajado, siempre se tiene que:
SP ⊆ SPR
Por esta razón, el óptimo del problema relajado siempre será mejor o
igual al óptimo del problema entero. En el ejemplo, como se trataba de
un problema de maximización:
∗
zPR
≥ zP∗
∗
Concretamente: zPR
= 3,5, mientras que zP∗ = 3.
∗
Notar que la solución óptima de (PR), xPR
= 3, 5
el problema (P), pues no es entera.
0,5 es infactible en
∗
En general, el óptimo del problema relajado (zPR
) sirve como una cota
para el problema original.
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Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
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Algoritmo Branch & Bounds
Métodos de Plano Cortante
Como no existen algoritmos eficientes para resolver problemas enteros, se
plantean métodos que buscan el óptimo resolviendo una serie de problemas
lineales.
Ejemplo: Consideremos el problema (P) y su relajación (PR):
(P) mı́n c 0 x
Ax
(PR) mı́n c 0 x
=
b
x ∈ Z+
Un algoritmo de plano cortante genérico es el siguiente:
Ax
=
b
x
≥
0
1. Resolver la relajación lineal (PR). Sea x ∗ la solución óptima.
2. Si x ∗ ∈ Z+ terminar, x ∗ es el óptimo de (P).
3. Si no, agregar una restricción a (PR), tal que sea satisfecha por toda
solución entera de (P), pero no por x ∗ . Volver al paso 1.
Nota: La forma en que se eligen estas restricciones determina la eficiencia del
algoritmo.
Nelson Devia C.
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Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Métodos de Plano Cortante
(P) máx z = 3x1 − x2
Ejemplo:
x1 + x2
≤
4
x1 − x2
≤
3
x1 , x2
∈
(PR) máx z = 3x1 − x2
x1 + x2
≤
4
x1 − x2
≤
3
x1 , x2
≥
0
Z+
(PR1 ) máx z = 3x1 − x2
⇒
Plano
Cortante
Nelson Devia C.
Programación Entera
x1 + x2
≤
4
x1 − x2
≤
3
7x1 − x2
≤
21
x1 , x2
≥
0
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Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Cortes de Gomory
Uno de los primeros algoritmos para problemas enteros lo propuso Gomory
(1958), usando información que entrega Simplex:
Sea (PR) un problema lineal en forma estándar que representa la
relajación de un problema entero:
(PR) mı́n z = c 0 x
Ax
=
b
x
≥
0
De Simplex sabemos que, dada una base AB , se tiene que:
xB + A−1
B AN xN
xB + AN xN
=
=
A−1
B b
b
Sea aij = (Aj )i y supongamos que b i ∈
/ Z. Se tiene que:
X
xi +
aij xj = b i
j ∈B
/
Nelson Devia C.
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Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Cortes de Gomory
Denotamos bpc a la parte entera inferior de p.
Como se tiene que xj ≥ 0 ∀j, se tiene:
X
X
xi +
baij cxj ≤ xi +
aij xj
j ∈B
/
= bi
j ∈B
/
Como los xj deben ser también enteros, el lado izquierdo de la
desigualdad es entero, por lo que:
X
baij cxj ≤ bbi c
xi +
j∈B
/
Notar que esta desigualdad la satisfacen todas las soluciones enteras
factibles en (PR), pero no por el óptimo x ∗ , ya que xi∗ = b i ∈
/Zy
xj∗ = 0 ∀j ∈
/ B.
Nelson Devia C.
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Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Cortes de Gomory
Ejemplo:
mı́n z = x1 − 2x2
(P) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1 , x2
∈
Z+
⇒
Forma
Estándar
Nelson Devia C.
−4x1 + 6x2 + x3
=
9
+ x4
=
4
x1 , x2 , x3 , x4
∈
Z+
x1 + x2
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Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Cortes de Gomory
Ejemplo: El problema relajado es el siguiente:
(PR) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2 + x3
=
9
+ x4
=
4
x1 , x2 , x3 , x4
≥
0
x1 + x2
El óptimo de este problema está dado por la base: xB = {x1 , x2 } y
xN = {x3 , x4 }, donde:
−4 6
1 0
9
AB =
AN =
b=
1
1
0 1
4
−1
−1
15 6
6
10
10
10
A−1
AN = 10
b = 10
1
4
1
4
25
B =
10
10
Nelson Devia C.
10
10
Programación Entera
10
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Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Cortes de Gomory
Ejemplo:
(PR) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2 + x3
=
9
+ x4
=
4
x1 , x2 , x3 , x4
≥
0
x1 + x2
Luego, xB∗ + AN xN∗ = b implica que:
∗ 15 ∗ −1
6
x
x1
10
10
+
· 3∗ = 10
1
4
25
x4
x2∗
10
10
10
Con esto se tiene que:
−1 ∗
x3 +
10
1 ∗
x2∗ +
x3 +
10
x1∗ +
Nelson Devia C.
6 ∗
15
x4 =
10
10
4 ∗
25
x4 =
10
10
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Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Cortes de Gomory
Ejemplo:
(PR) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2 + x3
=
9
+ x4
=
4
x1 , x2 , x3 , x4
≥
0
x1 + x2
Notar que se trata de las restricciones activas en el óptimo de (PR)
Eligiendo cualquiera de las ecuaciones con lado derecho no entero, se tiene un
corte de Gomory:
−1 ∗
6
15
x3 +
x4∗ ≤
10
10
10
1
4
25
x2∗ +
x3∗ +
x4∗ ≤
10
10
10
x1∗ +
Nelson Devia C.
⇒ x1∗ + (−1) · x3∗ + 0 · x4∗ ≤ 1
⇒ x2∗ + 0 · x3∗ + 0 · x4∗ ≤ 2
Programación Entera
⇒ x∗1 − x∗3 ≤ 1
⇒ x∗2 ≤ 2
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Algoritmo Branch & Bounds
Cortes de Gomory
Si se elige la primera en el ejemplo, se tiene:
(PR1 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2 + x3
x1 + x2
x1
+ x4
=
9
=
4
+ x5
=
1
x1 , x2 , x3 , x4 , x5
≥
0
− x3
Notar que en la región factible de (PR1 ) se “cortó” la solución óptima de
(PR) sin eliminar ninguna de sus soluciones enteras factibles.
∗
25
0 0 0 no satisface la nueva restricción.
xPR
= 15
10
10
Nelson Devia C.
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Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Cortes de Gomory
Si se elige la segunda en el ejemplo, se tiene:
(P1 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2 + x3
x1 + x2
x2
=
9
=
4
+ x5
=
2
x1 , x2 , x3 , x4 , x5
≥
0
+ x4
Notar que en la región factible de (PR1 ) se “cortó” la solución óptima de
(PR) sin eliminar ninguna de sus soluciones enteras factibles.
∗
25
0 0 0 no satisface la nueva restricción.
xPR
= 15
10
10
∗
El óptimo de este nuevo problema es xPR
= 34 2 0 54 0
1
Nelson Devia C.
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Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Cortes de Gomory
(PR1 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2 + x3
x1 + x2
x2
+ x4
=
9
=
4
+ x5
=
2
x1 , x2 , x3 , x4 , x5
≥
0
Del mismo modo que en el caso anterior, se tiene que una de las
restricciones activas en el óptimo de (PR1 ) es:
1
6
3
x1∗ − · x3∗ + · x5∗ =
4
4
4
Luego:
x1∗ −
1
6
3
x3∗ +
x5∗ ≤
4
4
4
⇒ x1∗ + (−1)x3∗ + 1x5∗ ≤ 0
⇒ x∗1 − x∗3 + x∗5 ≤ 0
Reemplazando x3∗ y x5∗ con las demás restricciones, se tiene que:
−3x∗1 + 5x∗2 ≤ 7
Nelson Devia C.
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Algoritmo Branch & Bounds
Cortes de Gomory
Agregando esta nueva restricción a (PR1 ) se tiene el problema (PR2 ):
(PR2 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2 + x3
x1 + x2
+ x4
x2
+ x5
=
9
=
4
=
2
+ x6
=
7
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6
≥
0
−3x1 + 5x2
El óptimo de este problema se alcanza para:
∗
xPR
= 1
2
2
1
1
0
0 ∈ Z6
Como la solución de este problema es entera, tenemos una solución
óptima del problema original (P).
Nelson Devia C.
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Algoritmo Branch & Bounds
Algoritmo Branch & Bounds (B&B)
El algoritmo Branch & Bounds (Ramificación y Acotamiento) se basa en
la división o ramificación de la relajación lineal del problema entero, con
el objetivo de encontrar cotas al valor óptimo.
Consideremos el problema (P) y su relajación (PR):
(P) mı́n zP = c 0 x
Ax
(PR) mı́n zPR = c 0 x
=
b
Ax
=
b
x ∈ Z+
x ≥ 0
Una cota inferior al óptimo del problema entero (zP∗ ) es el óptimo de su
∗
relajación lineal (zPR
). (Cota superior si (P) fuera de maximización)
∗
zP∗ ≥ zPR
Una cota superior al óptimo del problema entero (zP∗ ) es el valor z de
cualquier solución factible en (P). (Cota inferior si (P) fuera de
maximización)
zP∗ ≤ z
La mejor solución factible Z encontrada hasta el momento se conoce
como incumbente.
Nelson Devia C.
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Métodos de Plano Cortante
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Algoritmo Branch & Bounds
Algoritmo Branch & Bounds (B&B)
Un algoritmo de ramificación y acotamiento genérico es el siguiente:
Inicialización:
Incumbente: Z = +∞
Problema activo: Pi = PR
1. Elegir problema activo Pi aún sin resolver. Si no hay, terminar: el óptimo
del problema entero es el incumbente Z .
2. Resolver el problema activo (Pi ).
3. Si Pi es infactible, volver a 1.
4. Sea x ∗ la solución óptima de (Pi ) y cx ∗ su valor óptimo. Si cx ∗ > Z ,
volver a 1.
5. Si x ∗ ∈ Z+ actualizar el incumbente Z = cx ∗ y volver a 1.
6. Si no, elegir xi∗ ∈
/ Z+ . Activar 2 nuevos problemas, agregando una de las
siguientes restricciones a cada uno:
a. (PR1 ) = (PR) ∪ {xi ≤ bxi∗ c}
b. (PR2 ) = (PR) ∪ {xi ≥ dxi∗ e}
Volver a 1.
Nelson Devia C.
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Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Algoritmo Branch & Bounds (B&B)
En otras palabras, en cada iteración en la que se llega a una solución no entera,
se generan 2 cortes que eliminan el intervalo no entero en el que se encontraba
alguna de las variables.
Notar que la ramificación de B&B tiene 3 criterios de detención:
1. Se llega a un problema infactible.
2. Se llega a una solución entera.
3. El valor óptimo encontrado es peor que el incumbente.
Ejemplo:
(P) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
x1 + x2
≤
4
x1 , x2
∈
Z+
Nelson Devia C.
9
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Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Algoritmo Branch & Bounds (B&B)
Resolvemos la relajación
lineal de (P):
(P0 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1 , x2
≥
0
Se obtiene que:
xP∗0 = 1,5 2,5
zP0 = −3,5
Elegimos una variable no
entera para ramificar: x1
Nelson Devia C.
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Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Algoritmo Branch & Bounds (B&B)
Resolvemos la relajación
lineal de (P):
(P0 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1 , x2
≥
0
Se obtiene que:
xP∗0 = 1,5 2,5
zP0 = −3,5
Elegimos una variable no
entera para ramificar: x1
Nelson Devia C.
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Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Algoritmo Branch & Bounds (B&B)
Resolvemos (P1 ):
(P1 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1
≤
1
≥
0
x1 , x2
Se obtiene que:
xP∗1 = 1 2,16
zP1 = −3.3
Elegimos una variable no
entera para ramificar: x2
Nelson Devia C.
Programación Entera
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Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Algoritmo Branch & Bounds (B&B)
Resolvemos (P1 ):
(P1 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1
≤
1
≥
0
x1 , x2
Se obtiene que:
xP∗1 = 1 2,16
zP1 = −3.3
Elegimos una variable no
entera para ramificar: x2
Nelson Devia C.
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Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Algoritmo Branch & Bounds (B&B)
Resolvemos (P3 ):
(P3 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1
≤
1
x2
≤
2
x1 , x2
≥
0
Se obtiene que:
xP∗3 = 0,75 2
zP3 = −3,25
Elegimos una variable no
entera para ramificar: x1
Nelson Devia C.
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Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Algoritmo Branch & Bounds (B&B)
Resolvemos (P3 ):
(P3 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1
≤
1
x2
≤
2
x1 , x2
≥
0
Se obtiene que:
xP∗3 = 0,75 2
zP3 = −3,25
Elegimos una variable no
entera para ramificar: x1
Nelson Devia C.
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Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Algoritmo Branch & Bounds (B&B)
Resolvemos (P5 ):
(P5 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1
≤
1
≤
2
≤
0
≥
0
x2
x1
x1 , x2
Se obtiene que:
xP∗5 = 0 1,5
zP5 = −3
Elegimos una variable no
entera para ramificar: x2
Nelson Devia C.
Programación Entera
Introducción
Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Algoritmo Branch & Bounds (B&B)
Resolvemos (P5 ):
(P5 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1
≤
1
≤
2
≤
0
≥
0
x2
x1
x1 , x2
Se obtiene que:
xP∗5 = 0 1,5
zP5 = −3
Elegimos una variable no
entera para ramificar: x2
Nelson Devia C.
Programación Entera
Introducción
Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Algoritmo Branch & Bounds (B&B)
Resolvemos (P7 ):
(P7 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1
≤
1
≤
2
≤
0
x2
≤
1
x1 , x2
≥
0
x2
x1
Se obtiene que:
xP∗7 = 0 1
zP7 = −2
Como se tiene que
xP∗7 ∈ Z2+ se detiene la
ramificación y se actualiza
el incumbente Z = −2.
Nelson Devia C.
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Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Algoritmo Branch & Bounds (B&B)
Resolvemos (P7 ):
(P7 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1
≤
1
≤
2
≤
0
x2
≤
1
x1 , x2
≥
0
x2
x1
Se obtiene que:
xP∗7 = 0 1
zP7 = −2
Como se tiene que
xP∗7 ∈ Z2+ se detiene la
ramificación y se actualiza
el incumbente Z = −2.
Nelson Devia C.
Programación Entera
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Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Algoritmo Branch & Bounds (B&B)
Resolvemos (P8 ):
(P8 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1
≤
1
≤
2
≤
0
x2
≥
2
x1 , x2
≥
0
x2
x1
Se obtiene un problema
infactible, por lo que se
detiene la ramificación.
Nelson Devia C.
Programación Entera
Introducción
Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Algoritmo Branch & Bounds (B&B)
Resolvemos (P8 ):
(P8 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1
≤
1
≤
2
≤
0
x2
≥
2
x1 , x2
≥
0
x2
x1
Se obtiene un problema
infactible, por lo que se
detiene la ramificación.
Nelson Devia C.
Programación Entera
Introducción
Relajación Lineal
Métodos de Plano Cortante
Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Algoritmo Branch & Bounds (B&B)
Resolvemos (P6 ):
(P6 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1
≤
1
≤
2
≥
1
≥
0
x2
x1
x1 , x2
Se obtiene que:
xP∗6 = 1 2
zP6 = −3
Como se tiene que
xP∗6 ∈ Z2+ se detiene la
ramificación y se actualiza
el incumbente Z = −3.
Nelson Devia C.
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Resolvemos (P6 ):
(P6 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1
≤
1
≤
2
≥
1
≥
0
x2
x1
x1 , x2
Se obtiene que:
xP∗6 = 1 2
zP6 = −3
Como se tiene que
xP∗6 ∈ Z2+ se detiene la
ramificación y se actualiza
el incumbente Z = −3.
Nelson Devia C.
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Algoritmo Branch & Bounds
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Resolvemos (P4 ):
(P4 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1
≤
1
x2
≥
3
x1 , x2
≥
0
Se obtiene un problema
infactible, por lo que se
detiene la ramificación.
Nelson Devia C.
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Resolvemos (P4 ):
(P4 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1
≤
1
x2
≥
3
x1 , x2
≥
0
Se obtiene un problema
infactible, por lo que se
detiene la ramificación.
Nelson Devia C.
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Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Algoritmo Branch & Bounds (B&B)
Resolvemos (P2 ):
(P2 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1
≥
2
≥
0
x1 , x2
Se obtiene que:
xP∗2 = 2 2
zP2 = −2
Como se tiene que
zP∗2 > Z = −3 se detiene la
ramificación, ya que
cualquier subproblema de
(P2 ) tendrá una solución
mayor o igual a zP∗2 .
Nelson Devia C.
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Resolvemos (P2 ):
(P2 ) mı́n z = x1 − 2x2
−4x1 + 6x2
≤
9
x1 + x2
≤
4
x1
≥
2
≥
0
x1 , x2
Se obtiene que:
xP∗2 = 2 2
zP2 = −2
Como se tiene que
zP∗2 > Z = −3 se detiene la
ramificación, ya que
cualquier subproblema de
(P2 ) tendrá una solución
mayor o igual a zP∗2 .
Nelson Devia C.
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Cortes de Gomory
Algoritmo Branch & Bounds
Algoritmo Branch & Bounds (B&B)
Como no quedan
problemas por resolver se
tiene que el óptimo de
(P) es el incumbente
Z = −3, generado por el
nodo P6 :
x∗ = 1 2
z ∗ = −3
Nelson Devia C.
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Como no quedan
problemas por resolver se
tiene que el óptimo de
(P) es el incumbente
Z = −3, generado por el
nodo P6 :
x∗ = 1 2
z ∗ = −3
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