12-condición necesaria para que un grafo bipartito contenga

Saber, Universidad de Oriente, Venezuela.Vol. 15. Nº 1 - 2: 75-77. (2003)
CONDICIÓN NECESARIA PARA QUE UN GRAFO BIPARTITO CONTENGA
UN [a,b]-FACTOR
NECESSARY CONDITION FOR A BIPARTITE GRAPH TO HAVE AN [a,b]-FACTOR
VALDIVIEZO MARTHA, BRITO DANIEL Y LÁREZ GLADYS
Departamento de Matemática. Escuela de Ciencia, Universidad de Oriente, Núcleo de Sucre, Cumaná
RESUMEN
En este trabajo se probará fundamentalmente la existencia de un [a,b]-factor en un grafo bipartito balanceado G de
orden 2n que cumple ciertas propiedades, tomando en cuenta que dicho resultado es una versión bipartita del teorema
dado en Yanjun Li y Cai Mao-chen (1998). Nuestro resultado es: Sea G un grafo bipartito balanceado de orden 2n y sean
a, b∈Ζ+ tales que 2≤a<b, entonces G tiene un [a,b]-factor si, δ(G)≥
2
1
(a + 1) , n≥ 2(a + b ) y max{d (u), d (v)} ≥ an ,
a+b
2
b
G
G
para cualquier par de vértices u,v∈ V(G) no adyacentes.
PALABRAS CLAVES: Grado, Bipartito, Factor.
ABSTRACT
In this work, we shall fundamentally prove the existence of an [a,b]-factor in a balanced bipartite graph G of 2n order
with certain properties, taking into account that this result is a bipartite version of the theorem given in Yanjun Li and Cai
Mao-chen (1998). Our result is: let G be a bipartite graph of 2n order and let a, b∈Ζ+ be such that 2=a<b, then G has an
[a,b]-factor if δ(G)≥
2
1
(a + 1) , n≥ 2(a + b ) and max{d (u), d (v)} ≥ an , for any two nonadjacent vertices u and v in G.
a+b
2
b
G
G
KEY WORDS: Grade, Bipartite, Factor.
INTRODUCCIÓN
que a ≤d (x) ≤ b,∀v∈V(G). Las definiciones básicas las
F
Un grafo G=(V,E) es bipartito si el conjunto de sus
podemos encontrar en Bondy, J. A. y Murty, U. (1976).
vértices puede particionarse en dos conjuntos A y B, de
RESULTADO
tal modo que todo par de vértices del mismo subconjunto
de la partición (de cada clase) son no adyacentes. Se denota
TEOREMA: Sea G un grafo bipartito balanceado de
G=(A∪B, E) con V = A∪B. G es bipartito balanceado si
orden 2n y sean a, b∈Ζ+ tales que 2≤a<b, entonces G
A= B. Un subgrafo H de un grafo G=(V,E) es el
1
2(a + b )2
tiene un [a,b]-factor si, δ(G)≥ (a + 1) , n≥
y
2
grafo H=(V(H),E(H)), tal que V(H)⊆V(G) y los lados de
an
a+b
H son aquellos lados de G con vértices extremos en V(H),
max{d (u), d (v)} ≥
así E(H) ⊆E(G). Se dice que H es un subgrafo generador
u,v∈V(G) no adyacentes.
G
G
b
, para cualquier par de vértices
de G si V(H)=V(G). Sea x un vértice en G, el subconjunto
de vértices adyacentes a x se define como vecindad de x y
Demostración
se denota N (x). El grado de x en G se denota como
La prueba se realiza por contradicción. Suponemos que
G
+
d (x)=N (x). Sean a,b∈Z tales que 1≤a≤b. Un [a,b]G
G satisface las hipótesis del teorema pero no contiene un
G
factor se define como un subgrafo generador F de G tal
–––––––
Recibido: enero 2002. Aprobado: julio 2002.
Versión final: noviembre 2002
[a,b]-factor.
75
BRITO et al.
Se puede ver que h ≤ h ≤ a-1, porque tanto h como
Por el teorema del (g,f)-factor de Lovász. (1970),
1
2
1
existen subconjuntos disjuntos S y T con S=s y T=t,
h son el menor número de lados entre vértices de T y
tales que:
e(v,V(G-S)) ≤ a-1; para cualquier vértice v en T, se cumple
∇:= bs-at +
≤ 0.
2
(1)
que ambos son menores que a-1, al mismo tiempo por la
selección de x y x
1
Establecemos las siguientes condiciones sobre los
2
1
G
1
an
a+b
d (x )≤ d (x ) y,
G
es cierto que h ≤h . Por lo tanto,
2
s
+h
2
1
≤
2
s
+h .
2
2
≤
subconjuntos seleccionados,
S ⊂ A∪B, T⊂ A∪B, T∩A=T∩B, S∩A=S∩B.
Sí el subconjunto T-N (x ) es no vacío, consideramos
T
1
w el número de componentes de G-(S∪T), entonces
Sin pérdida de generalidad, escogemos T tal que T
0≤ w ≤2n-s-t.
sea mínima.
Definimos p:=N (x ), es claro que p≤h <h +1,
1. T≠φ. Sí T=φ, T= t =0, el producto at =0, luego
T
además
∇>0, esto contradice la hipótesis.
t
2
1
1
t
≥
2
p ≥ 1, donde
1
p+1 y h ≤a-1.
2
h
2. E(v,V(G-S))≤a-1, ∀ v∈V(T).
Como 2n-s-t ≥w ≥ 0 y a - 22 ≥1, el producto
h
(2n-s-t)(a- 22 ) ≥0 ≥ ∇ y por hipótesis tenemos que:
Sí E(v,V(G-S)) ≥ a-1, ∑v∈T dG - S(v) ≥ t(a-1), entonces,
h
(2n-s-t)(a- 22 ) ≥ bs-at + ∑v∈T d G −S (v) + 1 .
∇=bs-at+t(a-1)+1= bs-t+1, pero s-t >0, porque t es
mínimo, en consecuencia bs-t >0 y ∇>0, contradicción.
t
∑v∈T d G−S (v) = h p+h ( 2 -p).
1
y escogemos x ∈V(T)∩A,
Definimos h =
1
(x )=h =N
(G-S)∩B
1
1
1
(G-S) ∩B
1
s
s
con s´< 2 ,
2
d (x ) = h +s´ < h +
G
h
1
(x ) entonces,
1
h
h
h
t
2na - 2n 22 -sa+ s 22 - ta + t 22 ≥ bs - at + h p + h 2 -h p + 1.
1
2
2
s
v∈T∩A . d (v) ≤h + 2 .
G
t
Así, (2n-s-t)(a- 22 ) ≥ bs - at + h p + h ( 2 -p) + 1.
1
2
1
tal que d
2
1
h
(2n-s)(a- 22 ) - bs ≥ ( h - h )p + 1.
1
2
Si los conjuntos, N (x )≠φ y (T-N (x ))∩B≠φ
T
podemos definir h =
min
1
{d G−S (v)}
2 v∈T − N T ( x1 )
2
T
(x ) = h =N
(G–S)∩A
2
2
d (x ) ≤h +s´≤h +
G
2
2
2
1
y
El término (h -h ) < 0 y p < h +1, de donde
1
x ∈(V(T) – N (x )) ∩B, tal que
seleccionamos
d
T
s
,
2
2
1
(h -h )p ≥ (h -h ) ( (h +1).
1
1
2
1
2
1
(x ), análogamente,
(G –S)∩A
2
s
∈T∩B, d (v)≤h + 2 .
G
h
Queda que, (2n-s)(a- 22 ) - bs ≥ (h -h )(h +1) + 1
1 2
1
2
76
(2)
Condición necesaria para que un grafo...
Sabemos que
s-
2an
a+b
s
2
+ h ≥ d (x ) ≥
2
G
2
an
a+b
Desarrollamos y factorizamos todo este término y
, entonces,
queda: 0 ≥ h 2 – (h -1)h + (h -1)2 + h . Si se deriva este
≥ -2h .
1
2
1
2
2
término en función de h para buscar un mínimo, nos
2
1
queda que ese valor se obtiene cuando h =
1
Por hipótesis 2 ≤ a <a+b, de donde 2-h ≤ a- h < a+b-h y
2
2
2
a+b- h >a- h .
2
2
(s -
2an
a+b
0≥
(h 2 − 1)2 − (h 2 − 1)(h 2 − 1) + (h
4
2
2
− 1)2 + h 2 >
h2 − 1
.
2
3
(h2 − 1)2 >0.
4
Así ∇>0 y esto contradice lo supuesto al principio de la
) (a+b-
Por hipótesis n ≥
donde
h2
2
) ≥ -2h (a+b2
2(a + b )2
b
nb
≥ 2( a + b) , Luego,
a+b
h2
2
)
(3)
prueba.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
, entonces nb ≥ 2(a+b) , de
2
2h (a+b) ≤ h  nb 
2
2
a+b
BONDY, J. A AND U. S. R. MURTY. Graphs Theory
with Applications. North Holland. New York.
(1976).
(4)
LOVÁSZ. L. SUBGRAPHS with Prescribed Valencies. J.
Combinatorial Theory (8). (1970). 391-416.
Sumando (2), (3) y (4) nos queda que:
h
h
2an
 nb 
YANJUN LI AND CAI MAO-CHENG. A Degree Condition for
a Graph to have [a,b]-Factor. J. Graph Theory,
(27). (1998). 1 - 6.
(2n-s)(a- 22 )-bs+(s - a + b )(a+b- 22 ) + h  a + b ≥

2
(h -h )(h +1) + 1- h (a+b-h ) +h (a+b).
1
2
1
2
2
2
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