ELEMENTOS DE VARIABLE COMPLEJA
SAMAEL NAVARRETE MOLANO
Trabajo de grado para optar por el titulo de Matemático
DIRECTOR: JOSÉ JOAQUÍN VALDERRAMA
Matemático Universidad Nacional
Profesor facultad de Matemáticas
FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ
BOGOTÁ
Diciembre 2005
INDICE GENERAL
INTRODUCCION .............................................................................................4
I. ESTRUCTURA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS....................................5
1.1 NÚMEROS COMPLEJOS Y SU ALGEBRA. .......................................................................5
1.2 AXIOMAS DE CUERPO PARA NÚMEROS COMPLEJOS ..................................................5
1.3 LOS NÚMEROS REALES COMO SUBCONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS .......6
1.4 REPRESENTACIÓN CARTESIANA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS ..............................6
1.5 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA ...................................................................6
1.6 PROPIEDADES DE ESPACIO VECTORIAL PARA LOS NÚMEROS COMPLEJOS...............7
1.6.1 Para la Suma ........................................................................................................7
1.6.2 Para el Producto por Escalar..............................................................................7
1.7 ESPACIO VECTORIAL NORMADO. ...............................................................................8
1.8 COMPLEJO CONJUGADO ..............................................................................................9
1.8.1 Propiedades del Complejo Conjugado ..............................................................9
1.9 REPRESENTACIÓN POLAR .................................................................................9
1.9.1 Multiplicación de Números Complejos Bajo su Representación Polar ........11
1.9.2 División de Números Complejos .....................................................................12
1.10 DESIGUALDAD TRIANGULAR ..................................................................................13
1.11 SUPERFICIE DE RIEMANN .......................................................................................14
1.12 RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO .......................................................................15
1.13 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO..............................................................17
II. TOPOLOGIA DEL PLANO COMPLEJO C.............................................. 18
III. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA............................................. 20
3.1 FUNCIONES ...............................................................................................................20
3.2 LIMITES .....................................................................................................................21
3.2.1 Propiedades de los Límites. .............................................................................23
3.3 CONTINUIDAD. .........................................................................................................29
3.3.1 Propiedades Algebraicas para la Continuidad. ...............................................29
3.4 FUNCIONES CONTINUAS DE UNA VARIABLE ...........................................................30
3.5 DERIVADAS ................................................................................................................30
3.5.1 Derivadas Parciales...........................................................................................33
3.6 FUNCIÓN EXPONENCIAL COMPLEJA .......................................................................34
3.6.1 Propiedades de la Exponencial Compleja.......................................................35
3.7 MAPEO.......................................................................................................................36
3.8 FUNCIÓN LOGARITMO COMPLEJO ...........................................................................39
3.9 FUNCIÓN POTENCIA.................................................................................................42
3.10 FUNCIONES TRASCENDENTALES............................................................................42
3.11 CONDICIONES NECESARIAS PARA LA ANALITICIDAD ............................................45
3.12 CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA ANALITICIDAD ..........................................48
3.13 FUNCIONES ARMÓNICAS.........................................................................................50
3.14 ARMÓNICOS CONJUGADOS......................................................................................50
IV INTEGRAL COMPLEJA ............................................................................ 51
4.1 INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DE LÍNEA ..............................................................51
4.2 INTEGRALES DE LÍNEA.............................................................................................51
4.2.1 Propiedades de la Integral de Línea ................................................................54
4.4 FORMULA INTEGRAL DE CAUCHY.............................................................................60
2
CONCLUSIONES ............................................................................................ 65
BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 66
3
INTRODUCCION
Los números complejos fueron propuestos inicialmente en 1545, por el matemático
italiano Girolamo Cardano, en un tratado monumental acerca de la solución de las
ecuaciones cúbica y cuadrática. Para apreciar la dimensión de esta propuesta debe
tenerse en cuenta que el concepto de números negativos apenas había tenido
aceptación, y que aun había controversia en la relación con sus propiedades.
Las cantidades ficticias de Cardano fueron ignoradas por la mayoría de sus colegas,
hasta que el genio matemático Carl Friedrich Gauss les dio el nombre actual y las
utilizo para demostrar el Teorema Fundamental del Algebra, el cual establece que
todo polinomio que no sea constante tiene al menos un cero.
Otro descubrimiento de Gauss mucho más simple, pero no menos importante, fue
que la aritmética de los números complejos, introducida formalmente a partir de la
relación i = − 1 , tiene una interpretación geométrica sencilla si identificamos los
elementos de C con los puntos del plano. Esta interpretación puede considerarse
como el punto de partida del estudio analítico de los números complejos. En términos
modernos C recibe la topología de R 2 y la relación de esta topología con su
aritmética es la misma que se da en R .
4
I. ESTRUCTURA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
1.1 Números Complejos y su Algebra.
De los axiomas que gobiernan la relación < se deduce que el cuadrado de un número
no es nunca negativo. Entonces, ecuaciones cuadráticas elementales tales como, por
ejemplo x 2 = −1 no posee solución entre los números reales. Ahora con los números
complejos, podemos conseguir soluciones para tales ecuaciones. Resulta entonces que
al introducir los números complejos, se proporciona, soluciones de las ecuaciones
algebraicas de la forma
ao + a1 z + ... + an z n = 0
donde los coeficientes a 0 , a1 ,..., a n son números reales cualesquiera. (Este resultado
es conocido como Teorema fundamental del Algebra).
1.2 Axiomas de Cuerpo para Números Complejos
Por número complejo entenderemos un par ordenado de números reales, que
designaremos por ( x1 , x 2 ) . La primera componente, ( x1 ) se llama parte real del
número complejo; la segunda componente, ( x2 ) se llama parte imaginaria. Dos
números complejos x = ( x1 , x 2 ) e y = ( y1 , y 2 ) son iguales, y escribiremos x = y ,
si, solo si, x1 = y1 y x2 = y 2 . Definimos la suma x + y y el, producto xy por
x + y = ( x1 + y1 , x2 + y 2 ) ,
xy = x ∗ y = ( x1 y1 − x2 y 2 , x1 y 2 + x2 y1 )
las cuales satisfacen los siguientes axiomas.
Axioma 1. (Leyes conmutativas)
x + y = y + x y xy = yx .
Axioma 2. (Leyes asociativas)
x + ( y + z ) = ( x + y ) + z y x( yz ) = ( xy ) z .
Axioma 3. (Leyes distributivas)
x ( y + z ) = xy + xz y ( x + y ) z = ( az + bz ) .
Axioma 4. Identidades. La identidad aditiva 0 y la identidad multiplicativa 1 satisfacen
que 0 ≠ 1 y
x + 0 = x = 0 + x y x *1 = x = 1 * x .
Axioma 5. Inversos. Cada número complejo z tiene un inverso aditivo (− z ) y, si
z ≠ 0 un inverso multiplicativo z −1 que satisfacen
z + (− z ) = 0 = (− z ) + ( z ) y zz −1 = 1 = z −1 z .
5
El inverso multiplicativo de z = x + iy es
( x + iy ) −1 =
x − iy
x2 + y2 .
1.3 Los Números Reales como Subconjunto de los Números Complejos
Se identifica el par ordenado (x,0) con el número real x , notamos que la suma y la
multiplicación de tales pares satisfacen las operaciones usuales de suma y
multiplicación de números reales:
( x,0) + ( a,0) = ( x + a,0) y ( x,0)( a,0) = ( xa,0)
Entonces, el conjunto de números complejos incluye los números reales.
1.4 Representación Cartesiana de los Números Complejos
Considere el número complejo z = ( x, y ) escrito de la siguiente forma
z = ( x, y ) = ( x,0) + (0,1)( y ,0) ,
si se representa (x,0) por x y se denota (0,1) por el símbolo (i ) , se puede
reescribir z = ( x, y ) de la forma z = x + iy . Esta es la notación más conocida para
los números complejos. El símbolo (i ) se llama unidad imaginaria y satisface la
propiedad
i 2 = (0,1)(0,1) = (−1,0) o también i 2 = −1 .
Ejemplo 1
Encuentre las partes real e imaginaria de z = 2 + 3i .
Solución: tenemos que Re z =2 e Im z =3.
1.5 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA
Al asociar el número complejo z = x + iy con un punto del plano cuyas coordenadas
rectangulares son e . Cada número complejo corresponde a un punto. El número
− 2 + i , por ejemplo, se asocia al punto (-2,1) en la (figura 1.1).
El origen del sistema coordenado se denota por el número complejo 0. El modelo de
plano Cartesiano de los números complejos se llama plano complejo. Cuando nos
referimos al número complejo z = x + iy , llamamos a x parte real de z , y la
6
denotamos por Re ( z ). El número y llamado parte imaginaria de z , se denota por
Im ( z ). Si x = 0 , tendremos z = iy , y entonces se dice que z es imaginario puro.
Figura 1.1
1.6 Propiedades de Espacio Vectorial para los Números Complejos.
El conjunto C de los números complejos es un espacio vectorial sobre el cuerpo R
de los números reales con las operaciones de suma definida en C y producto por
escalares tal que para todo z ∈ C y α ∈ R , se tiene que αz ∈ C además se
cumplen las siguientes 10 propiedades para todo α, β de R y u, v, w de C:
1.6.1 Para la Suma
(i). v + w ∈ C . La suma vectorial es una operación cerrada en C .
(ii). u + (v + w) = (u + v) + w . Asociatividad de la suma vectorial en C .
(iii). Existe un elemento 0 en C tal que para todo v de C , v + 0 = v . Existencia del
elemento neutro de la suma vectorial en C .
(iv). Para todo v ∈ C , existe un elemento − v ∈ C , tal que v + (−v) = 0 .
Existencia del elementos opuestos respecto a la suma en C .
(v). v + w = w + v . Conmutatividad de la suma vectorial en C .
1.6.2 Para el Producto por Escalar
(i). αv ∈ C . El producto por escalares es una operación cerrada en C .
(ii). α ( βv) = (αβ )v . Asociatividad del producto por escalares en C .
(iii). Si 1 denota el elemento neutro de la multiplicación del campo de escalares R,
entonces 1v = v . Neutralidad del uno del campo de escalares.
7
(iv). α (v + w) = αv + αw . Distributividad con respecto a la suma vectorial.
(v). (a + b)v = av + bv . Distributividad con respecto a la suma escalar.
Las propiedades de la 1 a la 5 indican que C es conmutativo o Abeliano bajo la suma
vectorial.
Figura 1.2
De hecho la definición de suma coincide con la suma según la regla del paralelogramo
para la suma vectorial en R2. (Figura 1.2).
1.7 Espacio Vectorial Normado.
El modulo, o valor absoluto, de un número complejo z = x + iy se define como el
número real negativo
x 2 + y 2 y se denota por z ; esto es,
z = x2 + y2 .
C es un espacio vectorial. Una función que hace corresponder a cada vector z ∈ C el
número real z = z es una norma de C si, y solo si, para todos z , w ∈ C y k ∈ R ,
verifican los siguientes axiomas.
Axioma 1. z ≥ 0 y z = 0 si, y solo si, z = 0 .
Axioma 2. z + w ≤ z + w .
Axioma 3. kz = k z .
8
1.8 Complejo Conjugado
El complejo conjugado de un número complejo z = x + iy se obtiene cambiando el
signo de la parte compleja y se denota por el símbolo z . Entonces z = x − iy .
1.8.1 Propiedades del Complejo Conjugado
Dado que si z = x + iy , entonces
i) z + z = ( x + yi = + ( x + yi ) = 2 x = 2Re ( z ),
ii) z − z = ( x + yi ) − ( x − yi ) = 2iy = 2 i Im ( z ),
2
2
iii) z z = ( x + yi )( x − yi ) = x + y = z .
2
iv) De esta forma tendremos las identidades
z−z
z+z
Im( z ) =
,
,
2i
2
v) Si z1 = x1 + iy1 y z 2 = x 2 + iy 2 , entonces
Re( z ) =
z1 + z 2 = ( x1 + x 2 ) + i ( y1 + y 2 ) = ( x1 + x 2 ) − i ( y1 + y 2 )
= ( x1 − iy1 ) + ( x 2 − iy 2 ) = z1 + z 2 .
Luego, el complejo conjugado de la suma de números complejos es la suma de sus
conjugados:
z1 + z 2 = z1 + z 2 .
De manera semejante se muestra que
z1 − z 2 = z1 − z 2 ,
vi) z1 z 2 = z 1 z 2
⎛ z1 ⎞ = z1 z 2 , z ≠ 0 .
⎜ z ⎟
2
2
2⎠
⎝
z2
vii)
1.9 REPRESENTACIÓN POLAR
9
Figura 1.3
Los números complejos pueden representarse como vectores en el plano complejo,
utilizaremos el concepto de segmento de recta dirigido para determinar las
propiedades de la longitud y del ángulo de inclinación de un vector en plano complejo.
Consideremos el vector no nulo z = x + iy la longitud r del vector z se muestra en la
(figura 1.3) se puede determinar aplicando el teorema de Pitágoras.
Llamamos a esta longitud valor absoluto (norma ó magnitud) del número complejo
z, y lo denotamos como z =
x2 + y2 .
Regresando a la (figura 1.3) vemos que el ángulo θ que forma el vector z = x + iy
con el eje real positivo se llama argumento del complejo z y se nota arg(z), esta dado
por la expresión:
θ = arctan
x
+ 2kπ donde k = 0,±1,±2,...
y
El ángulo θ tal que − π ≤ θ < π , se llama valor principal del argumento y se designa
Arg(z).
Ejemplo 1
Encuentre la representación polar de 1 − i
Solución: remitiéndonos a la (figura 1.4). El valor absoluto de 1 − i es
1 − i = 12 + (−1) 2 = 2 ,
Mientras que el valor principal del argumento de 1 − i es
π
Arg (1 − i ) = − .
4
10
Como los ángulos polares no están determinados las superficies de Riemann se tienen
en forma única, y su argumento es
arg(1 − i ) =
−π
+ 2πk ,
4
Donde k es cualquier entero. Así, la representación polar de 1 − i es
⎡ ⎛ −π
⎞
⎛ −π
⎞⎤
1 − i = 2 ⎢cos⎜
+ 2πk ⎟ + isen⎜
+ 2πk ⎟⎥ .
⎠
⎝ 4
⎠⎦
⎣ ⎝ 4
Figura 1.4
1.9.1 Multiplicación de Números Complejos Bajo su Representación Polar
La multiplicación de los números complejos z y w tienen interpretaciones
geométricas cuando los escribimos en sus representaciones polares.
Sean θ = arg(z ) y φ = arg(w) . Se tiene
z = z (cosθ + isenθ ) y w = w (cosφ + isenφ ) .
Entonces,
zw = z w (cosθ + isenθ )(cos φ + isenφ )
= z w [(cosθ cos φ − senθsenφ ) + i(senθ cos φ + cosθsenφ )]
y, por las formulas de suma de ángulos de trigonometría,
zw = z w [cos(θ + φ ) + isen(θ + φ )].
Como
cos(θ + φ ) + isen(θ + φ ) = 1,
La ecuación
zw = z w [cos(θ + φ ) + isen(θ + φ )].
11
Figura 1.5
Conduce a
zw = z w
Y
arg( zw) = arg( z ) + arg( w) .
Por lo tanto la longitud del vector zw es el producto de las longitudes de los
vectores z y w , mientras que el ángulo polar del vector zw es la suma de los ángulos
polares de los vectores z y w . Ya que el argumento se determina hasta la
multiplicación de 2π la ecuación arg( zw) = arg( z ) + arg( w) se interpreta diciendo
que, si se asignan valore particulares a dos términos cualesquiera, existe un valor del
tercer término para el cual se cumple la igualdad.
La construcción geométrica del producto zw se muestra en la (figura 1.5). Para la
multiplicación, el ángulo entre w y zw debe ser idéntico al ángulo entre 1 y z en la
(figura 1.5). De ello, los triángulos de 0i 1 z y 0i w zw son semejantes.
1.9.2 División de Números Complejos
La división de números complejos conduce a la siguiente ecuación:
z
z
= [cos(θ − φ ) + isen(θ − φ )]
w w
=
re iθ
r
= e (θ −φ )
iφ
β
βe
12
=
como
r
β
[cos(θ − φ ) + isen(θ − φ )]
w = w , obtenemos, por las formulas de sumas de ángulos de la
trigonometría,
z
z w z (cos θ + isenθ ) w (cos φ − isenϕ )
=
=
, w ≠ 0.
2
w ww
w
Por lo tanto,
z
w
=
z
w
y
⎛z⎞
arg⎜ ⎟ = arg( z ) − arg( w) ,
⎝ w⎠
⎛z⎞
⎟ = arg( z ) − arg( w) , sujeta a una interpretación similar a la
⎝ w⎠
de la ecuación arg( zw) = arg( z ) + arg( w) .
con la ecuación arg⎜
1.10 Desigualdad Triangular
Definición 1.1
Dados dos números z1 y z 2 se verifica que
z1 + z 2 ≤ z1 + z 2
Demostración:
Si tomamos
z1 + z 2
2
= ( z1 + z 2 )( z1 + z 2 ) = ( z1 + z 2 )( z1 + z 2 )
= z1 z1 + z1 z 2 + z 2 z1 + z 2 z 2
z1 + z 2
2
≤ z1 + 2 z1 z 2 + z 2
2
2
= ( z1 + z 2 ) 2 .
Extrayendo la raíz cuadrada (recordemos que el módulo es siempre positivo),
recordemos que la longitud de un lado de cualquier triangulo es menor o igual a la
suma de las longitudes de los otros dos lados. De tal forma que la desigualdad del
triangulo también se puede deducir inmediatamente considerando el triangulo
sombreado en la (figura 1.6).■
13
Figura 1.6
1.11 Superficie De Riemann
Una superficie de Riemann es una generalización del plano complejo a una superficie
de más de una hoja tal que una función multivaluada tiene sólo un valor
correspondiente a cada punto de esa superficie. Una vez construida esa superficie para
una función dada, la función es univaluada sobre la superficie y se le puede aplicar allí
la teoría de funciones univaluadas (figura 1.7). Las complicaciones que aparecen
ligadas al carácter multivaluado de la función quedan así evitadas por un truco
geométrico. Sin embargo, la descripción de esas superficies y la relación entre sus
hojas pueden ser muy engorrosas.
Figura 1.7
14
Teorema 1.2 Teorema De Moivre
Si n es un número entero entonces
(cos θ + isenθ ) n = (e iθ ) n = e iθn = cos nθ + isennθ ,
Demostración.
Por inducción sobre n. El producto
zw = z w [cos(θ + φ ) + isen(θ + φ )],
donde θ = arg(z ) y φ = arg(w) , y cuando z = w obtendremos que:
Si θ = φ , tenemos
z 2 = z [cos(2θ ) + isen(2θ )]
2
con w = z 2 , obtenemos
z (z ) = z z [cos(θ + 2θ ) + isen(θ + 2θ )]
2
2
o
z 3 = z [cos(3θ ) + isen(3θ )] .
3
Como z = z (cos θ + isenθ ) , hemos demostrado que:
(cos θ + isenθ )2
y
= cos(2θ ) + isen(2θ )
(cos θ + isenθ )3 = cos(3θ ) + isen(3θ ) .
Mediante este proceso hemos obtenido el teorema De Moivre.
z = z (cosθ + isenθ ) y w = w (cosφ + isenφ ) .
Donde n es un entero positivo.
1.12 Raíces de un Número Complejo
Definición 1.3
Si z = w n , entonces w se llama la raíz enésima de z y podemos escribirla como:
w=n z
que posee n distintos valores. Es decir
Sean
n
z está multivaluada.
w = R(cos φ + isenφ ) ,
z = r (cosθ + isenθ )
15
Entonces por el teorema de Moivre:
wn = z
entonces
w n = R n [cos(nφ ) + isen(nφ )] = r (cos θ + isenθ )
luego
r = Rn o R = n r
y
nφ = θ + 2kπ o φ =
θ
n
+
2kπ
n
tomando los valores k = 0,1,...., n-1, obtendremos las n raíces.
Resumiendo:
n
⎛ ⎛ θ + 2kπ
z = n r ⎜⎜ cos⎜
n
⎝ ⎝
⎛ θ + 2kπ
⎞
⎟ + isen⎜
n
⎠
⎝
⎞⎞
⎟ ⎟⎟ , k = 0,1,..., n − 1 .
⎠⎠
Los n valores se reparten equitativamente en una circunferencia de radio n r con
centro en el origen, constituyendo los vértices de un polígono regular de n caras.
El valor de
n
z obtenido al tomar el valor principal de arg(z ) y k = 0 en la fórmula
de arriba se asume como valor principal de w = n z .
El teorema De Moivre también puede utilizarse para encontrar las raíces de un
número complejo. Si z es una raíz n-ésima del número complejo w , entonces
z n = w.
para encontrar z , establezcamos que
z = z (cos θ + isen θ
)y
w = w (cos φ + isenφ ) ,
donde θ = arg(z ) y φ = arg(w) . De tal forma que con el teorema De Moivre,
tenemos:
z
n
(cos θ + isenθ ) = w (cos φ + isenφ ) .
Así, podemos tomar
z = w
1 n
y
1
n
1
n
θ = arg(w) = ( Arg ( w) + 2πk ) ,
k = 0,±1,±2,... ,
16
aunque la ecuación anterior proporciona un número infinito de valores para θ , solo
se obtienen n ángulos polares diferentes porque:
2π (k + n ) 2πk
=
+ 2π
n
n
pues los ángulos polares se repiten cada n enteros. Por lo tanto, limitamos nuestra
atención a los n ángulos polares:
θ=
1
( Argw + 2πk ),
n
k = 0,±1,±2...., n − 1.
Ejemplo 2
Encontrar las tres raíces cúbicas de w = 1 − i , donde
2e
i ( 2 kπ −π )
4
= 1+ i = z3 .
Solución: sea z una raíz cúbica de 1 − i . Entonces z 3 = 1 − i , y por el teorema de
Moivre,
⎡ ⎛ −π
3
⎞
⎛ −π
⎞⎤
+ 2kπ ⎟ + isen⎜
+ 2kπ ⎟⎥ ,
z (cos 30 + isen30) = 2 ⎢cos⎜
⎠
⎝ 4
⎠⎦
⎣ ⎝ 4
De tal forma que
− π 2kπ
,
+
12
3
En consecuencia, las tres raíces cúbicas de 1 − i son:
z =2
1
y
6
⎡ ⎛ −π
z 0 = 6 2 ⎢cos⎜
⎣ ⎝ 12
θ=
k = 0,1,2.
⎞
⎛ − π ⎞⎤ 6 ⎡ ⎛ π ⎞
⎛ π ⎞⎤
⎟ + isen⎜
⎟⎥ = 2 ⎢cos⎜ ⎟ − isen⎜ ⎟⎥ ,
⎠
⎝ 12 ⎠⎦
⎝ 12 ⎠⎦
⎣ ⎝ 12 ⎠
⎡ ⎛ 7π ⎞
⎛ 7π ⎞⎤
z1 = 6 2 ⎢cos⎜
⎟ + isen⎜
⎟⎥ ,
⎝ 12 ⎠⎦
⎣ ⎝ 12 ⎠
⎡ ⎛ 5π ⎞
⎛ 5π
z 2 = 6 2 ⎢cos⎜ ⎟ + isen⎜
⎝ 4
⎣ ⎝ 4 ⎠
⎞⎤
⎟⎥ .
⎠⎦
Una consecuencia de estas definiciones es el siguiente teorema.
1.13 Teorema Fundamental del Cálculo.
Si una función real f(x) es continua en un intervalo a ≤ x ≤ b , entonces f (x) posee
antiderivadas en ese intervalo. Si f ( x) es cualquier antiderivada de f ( x) en
a ≤ x ≤ b entonces.
17
∫
b
a
f ( x)dx = F (b) − F (a) . Donde F ' ( x) = f ( x) .
II. TOPOLOGIA DEL PLANO COMPLEJO C
Si z = x + iy entonces B ( z 0 , r ) = {z : z − z 0 < r } son los discos abiertos en C.
Se define la topología generada por discos abiertos como:
Sea S un subconjunto de C, y sea a ∈ S . Entonces a se denomina punto interior de
S si existe una n-bola abierta con centro en a , contenida en S .
Interior de S se designa por (int S ).
Definición de Punto Interior 2.1
Un conjunto S de C es abierto si todos sus puntos son interiores o S es abierto si, y
solo si, S =int S .
Definición de Punto Adherente 2.2
Sea S un subconjunto de C, y sea z un punto de C, no necesariamente de S .
Entonces se dice que z es adherente a S si toda n-bola B (z ) contiene un punto de
S , por lo menos.
Definición de Punto Acumulación 2.3
Si S ⊆ C y x ∈ C , entonces z se llama punto de acumulación de S si cada n-bola
B(z ) contiene por lo menos un punto de S distinto de z .
Ejemplo 3
Sea S 0 el conjunto de todos los puntos z tales que z < 1 . Encuentre el interior, la
frontera y el exterior del conjunto S 0 .
Solución: sea z 0 un punto cualquiera de S 0 . Note que el disco z − z 0 < ε esta
situado completamente dentro de S 0 siempre que ε < 1 − z 0 . Así, todo punto de
S 0 es un punto interior. Igualmente todo punto z 0 que satisfaga z > 1 será exterior
a S 0 . Si z 0 = 1 , entonces toda ε -vecindad de z 0 contendrá puntos que están en
S 0 y puntos que no lo están. Por tanto, la frontera de S 0 consiste en todos los
puntos sobre el circulo z = 1 , el interior es el conjunto z < 1 , y el exterior es el
conjunto de todos los puntos que satisfacen z > 1 (véase figura 1.8).
18
Figura 1.8
Definición de Conjunto Acotado 2.4
Un conjunto S es acotado si existe un número real positivo α tal que todo (z ) en
S satisfaga z < α . Si esta condición no se cumple decimos que S es no acotado.
Definición de Conjunto Inconexo 2.5
Un subconjunto A de C, es inconexo (o no conexo) si existen subconjuntos abiertos
G y H de C tales que A ∩ G y A ∩ H son conjuntos no vacíos disjuntos cuya unión
es A. en esta caso, G ∪ H e una inconexión de A. un conjunto es conexo si no es
inconexo.
Definición de Región 2.6
Un conjunto en C se llama región si es la unión de un conjunto conexo con alguno,
ninguno o todos sus puntos fronteras. Si ninguno de sus puntos frontera esta incluido
en la región, se dice que esta en una región abierta. Si todos los puntos frontera están
incluidos, se dice que la región es una región cerrada.
Teorema 2.7
Cualesquiera dos puntos de una región pueden unirse por medio de una línea
poligonal contenida en la región.
19
Demostración.
Por contradicción. Llamemos S a la región, y supongamos que z 0 esta dentro de S .
Denotaremos por S1 todos aquellos puntos de S que puedan unirse a z 0 por medio
de un polígono y denotaremos por S 2 aquellos puntos que no pueden unirse. Si z1
esta en S1 y por tanto en S , es un punto interior de S . Así, existe una vecindad de
z1 contenida en S : z − z1 < δ . Todos estos puntos están en S1 , ya que cada uno
puede unirse a z1 por medio de una que recta que pertenece a S , y que por ende
puede unirse a z 0 por medio de un polígono contenido en S . Entonces todo punto
de S1 es punto interior de S1 , así que S1 es abierto.
Si z 2 esta en S 2 , sea z − z 2 < δ una vecindad contenida en S . Ningún punto de
esta vecindad puede estar en S1 , porque si así fuera z 2 estaría en S1 . Por lo cual todo
punto de S 2 es punto interior de S 2 , entonces S 2 es abierto. Ningún conjunto
puede contener un punto frontera del otro, ya que ambos son abiertos y son ajenos.
Como S es conexo, uno de estos conjuntos debe ser vació. Pero z 0 esta en S1 , así
que S 2 es vació. Cualesquiera dos puntos pueden unirse a z 0 por medio de una
trayectoria poligonal contenida en S y, por tanto, puede unirse entre si por una
trayectoria poligonal que pasa por z 0 .■
III. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
3.1 Funciones
Definición de Función 3.1
Sea S un conjunto de números complejos. Una función f definida sobre S es una
regla que asigna a cada z en S un número complejo w . El numero w se llama el
valor de f en z y se denota por f ( z ) ; esto es,
w = f ( z) .
Para definir una función es necesario dar tanto una regla de asignación como un
dominio de definición. Si no se menciona el dominio de definición, sobreentendemos
que se toma el mayor conjunto posible.
Sea w = u + iv el valor de una función f en z = x + iy ; es decir,
u + iv = f ( x + iy ) .
Cada numero real u y v depende de las variables reales x y y , luego f ( z ) puede
ser expresado en terminote un par de función con valores reales de las variables reales
x y y;
20
f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) .
Ejemplo 4
Si f ( z ) = z 2 , entonces
f ( x + iy ) = ( x + iy ) 2 = x 2 − y 2 + i 2 xy .
Luego
u ( x, y ) = x 2 − y 2
y
v ( x, y ) = 2 xy .
Si se usan coordenadas polares r y θ , en vez de x y y , entonces u + iv = f (re iθ ) ,
donde w = u + iv y z = re iθ . En este caso podemos escribir,
f ( z ) = u ( r , θ ) + iv ( r , θ ) .
3.2 Limites
Definición 3.2
Se dice que la función f ( z ) tiene limite A cuando z tiende hacia a ,
lim f ( z ) = A ,
z →a
Si para todo ε > 0 existe un número δ > 0 tal que
f ( z) − A < ε
Siempre que 0 < z − a < δ . Además, la función f (z ) es continua en a si y sólo si
lim f ( z ) = f (a)
z →a
(Figura 2.0). Una función continua es aquella que es continua en todos los puntos
donde está definida.
Geométricamente, la definición de limite establece que cualquier ε -vecindad de a
contiene todos los valores que f toma en alguna δ -vecindad de a excepto
posiblemente en el valor f (a) . El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento usual
para determinar δ con un ε > 0 dado.
21
Figura 2.0
Ejemplo 5
Pruebe que lim
z →3
z −1
= 2.
z−2
Solución: con la expresión f ( z ) − a , simplificada, obtenemos
z −1
3− z
δ
−2 =
<
.
z−2
z−2
z−2
Puesto que 0 < z − 3 < δ donde δ debe todavía expresarse en términos de ε . Si
1
2
δ < , mediante la desigualdad del triangulo, tenemos
z − 2 = 1 − (3 − z ) ≥ 1 − 3 − z ) > 1 − δ >
1
2
de tal forma que
z −1
− 2 < 2δ .
z−2
⎛1 1 ⎞
⎝2 2 ⎠
Así dado cualquier número pequeño ε > 0 , si elegimos δ < min⎜ , ε ⎟ ,
obtenemos
22
z −1
−2 <ε .
z−2
Al igual que la definición de límite de una función compleja de una variable compleja
es idéntica a la de una función real de una variable real, y puesto que los valores
absolutos se comportan como en el caso real, se aplican exactamente las mismas reglas
de los límites.
3.2.1 Propiedades de los Límites.
Sean lim f ( z ) = A y lim g ( z ) = B .
z →a
z →a
Entonces
(i) lim[ f ( z ) + g ( z )] = A ± B ,
z →a
(ii) lim f ( z ) g ( z ) = AB ,
z →a
(iii) lim
z →a
f ( z) A
= , para B ≠ 0 .
g ( z) B
Demostración.
Dado ε > 0 existe un número δ 1 > 0 tal que f ( z ) − A < ε , si z − a < δ 1 , y un
número δ 2 > 0 tal que g ( z ) − B < ε , siempre que z − a < δ 2 . Sea z − a < δ ,
donde δ 1 = min(δ 1 , δ 2 ) . Entonces, por la desigualdad del triangulo,
[ f ( z ) + g ( z )] − ( A + B) = [ f ( z ) − A] + [g ( z ) − B ] ≤ [ f ( z ) − A] + g ( z ) − B
< ε + ε = 2ε
y
[ f ( z ) − g ( z )] − ( A − B) = [ f ( z ) − A] + [B − g ( z )] ≤
f ( z ) − A + B − g ( z ) < ε + ε = 2ε
.
Como ε > 0 es arbitrario, se muestra que f ( z ) ± g ( z ) puede estar arbitrariamente
cercano a A ± B eligiendo a z suficientemente cercano a a . Por tanto, la propiedad
(i) se cumple. Además,
f ( z ) g ( z ) − AB = f ( z ) g ( z ) − f ( z ) B + f ( z ) B − AB
f ( z) g ( z) − B + B f ( z) − A ≤ f ( z) g ( z) − B + B f ( z) − A
y
23
f ( z) A
f ( z) f ( z) f ( z) A
− =
−
+
−
g ( z) B
g ( z)
B
B
B
=
f ( z)
f ( z) − A
f ( z )[B − g ( z )] f ( z ) − A
.
+
≤
B − g ( z) +
Bg ( z )
B
B g ( z)
B
Si 0 < ε <
1
B , tenemos
2
B = B − g ( z) + g ( z) ≤ ε + g ( z) ,
de tal forma que
1
B
2
f ( z) = f ( z) − A + A ≤ A + ε ,
g ( z) ≥ B − ε <
por lo tanto
f ( z ) g ( z ) − AB ≤ ε ( A + B + ε ) ,
y
⎞
f ( z ) A ε ⎛⎜ A + ε
− < ⎜
+ 1⎟⎟ ,
g ( z) B
B ⎝1 2 B
⎠
así que podemos hacer f ( z ) g ( z ) y f ( z ) arbitrariamente cercanos a AB y A B ,
respectivamente, con z suficientemente cercano a a . Esto comprueba las reglas (ii) y
(iii).
Teorema 3.3
Sea
lim f ( z ) = w0 y lim F ( z ) = W0 .
z → z0
Entonces
z → z0
lim [ f ( z ) + F ( z )] = w0 + W0 ,
z → z0
y
lim [ f ( z ) F ( z )] = w0W0
z → z0
Y, si W0 ≠ 0 , entonces
lim
z → z0
f ( z ) w0
=
.
F ( z ) W0
El limite de un polinomio P ( z ) = a 0 + a1 z + a 2 z 2 + ... + a n z n cuando z tiende a
z 0 es el valor del polinomio en ese punto:
24
lim P( z ) = P( z 0 ) .
z → z0
Otra propiedad de los límites que nos será de utilidad.
lim f ( z ) = w0 , entonces lim f ( z ) = w0 .
z → z0
z → z0
En general las propiedades que aplican para los límites de los números reales también
son las mismas que se utilizan para los complejos. Las reglas de los limites pueden
usarse para probar que toda función polinomial en z
f ( z ) = a n z n + a n −1 z n −1 + ... + a1 z + a 0 es continua en los complejos.
Sea una función definida en todos los puntos z de un entorno abierto de z 0 . La
afirmación de que el limite de f ( z ) , cuando z tiende a z 0 , es número w0 , o sea
lim f ( z ) = w0 ,
z → z0
significa que el punto w = f ( z ) puede hacerse tan próximo como se quiera a w0 si
escogemos el punto z suficientemente cercano al punto z 0 , pero distinto de el.
Entonces la afirmación lim f ( z ) = w0 significa que, para cada número positivo ε ,
z → z0
existe un número positivo δ tal que
f ( z ) − wo < ε
siempre que
0 < z − z0 < δ .
Geométricamente, esta definición dice que para cada ε -entorno w − w0 < ε de
w0 , existe un δ -entorno abierto 0 < z − z 0 < δ de z 0 tal que todo punto z en él
tiene una imagen w que esta en el ε -entorno (figura 2.1).
Figura 2.1
25
Teorema 3.4
Sea f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) , z 0 = x0 + iy 0 , y w0 = u 0 + iv 0 .
Entonces
lim f ( z ) = w0
z → z0
Si y solo si
lim
( x , y )→( x0 , y0 )
u ( x, y ) = u 0 y
lim
v ( x, y ) = v 0 .
y
lim
( x , y ) → ( x0 , y 0 )
Demostración:
Supongamos que
lim
( x , y )→( x0 , y0 )
u ( x, y ) = u 0
( x , y ) → ( x0 , y 0 )
v( x, y ) = v0 entonces
lim f ( z ) = w0 .
z → z0
Supongamos que lim f ( z ) = w0 y de acuerdo con la definición de límites, donde
z → z0
para cada número positivo ε existe un número positivo δ tal que
(u − u 0 ) + i (v − v0 ) < ε
siempre que
0 < ( x − x0 ) + i ( y − y 0 ) < δ .
como
u − u 0 ≤ (u − u 0 ) + i(v − v0 ) ,
y
v − v0 ≤ (u − u 0 ) + i (v − v0 ) ,
se sigue que
u − u 0 < ε y v − v0 < ε ,
si
0 < ( x − x0 ) 2 + i ( y − y 0 ) 2 < δ .
Recíprocamente
lim
( x , y ) → ( x0 , y 0 )
supongamos
que
lim
( x , y )→( x0 , y0 )
u ( x, y ) = u 0
y
v( x, y ) = v0 . Para cada número ε positivo existen números positivos δ 1
y δ 2 tales que
u − u0 <
y
v − v0 <
ε
2
ε
2
si 0 <
( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < δ 1
si 0 <
( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < δ 2
,
sea δ el menor de los números δ 1 y δ 2 . Dado que
26
(u − u 0 ) + i (v − v0 ) ≤ u − u 0 + v − v0 ,
concluimos que
(u + iv) − (u 0 + iv0 ) < ε
siempre que
0 < ( x + iy ) − ( x0 + iy 0 < δ .
lo cual es igual a la ecuación lim f ( z ) = w0 .■
z → z0
Ejemplo para la superficie log(z ) .
Correspondiendo a cada número no nulo z, la función multivaluada
log( z ) = ln r + iθ
Tiene infinitos valores. Para describir log(z ) como función univaluada, sustituimos el
plano z , quitado el origen, por una superficie sobre la cual se coloca un nuevo punto
cada vez que el argumento de z crece o decrece en 2π o en un múltiplo entero de
2π .
Consideremos el plano z , sin el origen, como una fina hoja R0 cortada a lo largo del
eje real positivo. Sobre esa hoja, θ varía de 0 a 2π . Sea R 1 otra hoja cortada del
mismo modo y colocada sobre R0 . El borde inferior del corte en R0 se une entonces
con el borde superior del corte de R 1 . Sobre R 1 , θ varía de 2π a 4π ; así que
cuando z es representado por un punto en R 1 la componente imaginaria de log(z )
varía de 2π a 4π .
Se corta ahora de la misma manera otra hoja R2 y se coloca sobre R 1 . El borde
inferior del corte de R 1 se une con el superior del corte R2 , y análogamente para las
hojas R3 , R4 ,... Una hoja R−1 en la que θ varía desde 0 hasta − 2π se corta y se
coloca bajo R0 , con el borde inferior de su corte unido al borde superior del corte de
R0 . Las hojas R−3 , R− 4 ,... se construyen de forma similar. Las coordenadas r y θ de
un punto sobre cualquiera de las hojas pueden considerarse como coordenadas
polares de la proyección del punto sobre el plano z original, estando restringida la
variación de θ en cada hoja a un rango de 2π radianes.
Consideremos cualquier curva continua sobre esta superficie conexa de infinitas hojas.
Al describir un punto z esa curva, los valores de log(z ) varían continuamente ya
que θ , al igual que r, varía continuamente; y log(z ) toma exactamente un valor
correspondiente a cada punto de la curva.
27
Figura 2.2
Por ejemplo, si el punto da una vuelta completa en torno al origen sobre la hoja R0
por el camino indicado en la (Figura2.2), el ángulo cambia de 0 a 2π . Al atravesar el
rayo θ = 2π , el punto pasa a la hoja R 1 de la superficie. Mientras completa una
vuelta en R 1 , el ángulo θ varia de 2π a 4π , y al cruzar el rayo θ = 4π , el punto
pasa a la hoja R2 .
La superficie aquí descrita es una superficie de Riemann para log(z ) . Es una
superficie conexa de infinitas hojas, construida de modo tal que log(z ) es univaluada
sobre ella.
La transformación w = log(z ) aplica la superficie de Riemann completa de manera
uno a uno sobre todo el plano w . La imagen de la hoja R0 es la franja 0 ≤ v ≤ 2π .
Cuando un punto z se mueve por la hoja R 1 a lo largo del arco que muestra la
(Figura 2.3), su imagen w se mueve hacia arriba cruzando la recta v = 2π , como
indica la (Figura 2.3).
Nótese que log(z ) , definida sobre la hoja R 1 , representa la prolongación analítica de
la función analítica univaluada
f ( z ) = ln r + iθ ,
(0 < θ < 2π )
Por el eje real positivo hacia arriba. En ese sentido, log(z ) es no sólo una función
univaluada de todos los puntos de la superficie de Riemann, sino también una función
analítica en ellos.
Las hojas podrían haberse cortado, claro está, a lo largo del eje real negativo o de
cualquier otro rayo que parta del origen, y unidas adecuadamente por los bordes de
sus cortes formarían otra superficie de Riemann para log(z ) .
28
Figura 2.3
Como sabemos la longitud de cualquier triángulo es menor o igual a la suma de las
longitudes de los otros dos lados.
3.3 Continuidad.
Una función f es continua en un punto z 0 si satisface las siguientes condiciones:
1. lim f ( z ) existe,
z → z0
2. f ( z 0 ) existe,
3. lim f ( z ) = f ( z 0 ) .
z → z0
La afirmación (3) dice que para cada número positivo ε existe un número positivo δ
tal que,
4. f ( z ) − f ( z 0 ) < ε si z − z 0 < δ .
Una función de una variable compleja se dice que es continua en una región R si lo es
en todos sus puntos.
3.3.1 Propiedades Algebraicas para la Continuidad.
Si dos funciones son continuas en un punto, su suma y su producto también lo son; su
cociente es continua en las mismas circunstancias siempre que el denominador no se
anule en ese punto.
Se sigue directamente de la definición (4) que la composición de dos funciones
continuas es continua. Para verlo, sea w = f ( z ) una función definida para todo z de
un entorno de z 0 y sea g ( w) una función cuyo dominio de definición contiene a la
29
imagen de ese entorno. Entonces la composición g [ f (z )] esta definida para todo z
de ese entorno de z 0 .
Supongamos ahora que f es continua en z 0 y que g es continua en el punto
w0 = f ( z 0 ) . En vista de la continuidad de g en w0 , sabemos que para cada numero
positivo ε existe un número positivo γ tal que
g [ f ( z )] − g [ f ( z 0 )] < ε si f ( z ) − f ( z 0 ) < γ .
Ahora correspondiendo a γ , existe un número positivo δ la segunda de estas
igualdades se satisface siempre que z − z 0 < δ .
3.4 Funciones Continuas de una Variable
Una función continua de una variable compleja es una regla que asigna un numero
complejo w a cada numero complejo z de un conjunto S . Al escribir w = f ( z ) en
términos de las descomposiciones en partes real e imaginaria z = x + iy y
w = u + iv de
cada variable compleja, w = u ( z ) + iv( z ) = ( x, y ) + iv( x, y ), notamos que una
función compleja de una variable compleja consiste en un par de funciones reales de
dos variables reales.
Las funciones reales de una variable real y = f ( x ) pueden describirse
geométricamente por medio de una grafica en el plano xy . No es posible una
representación para w = f ( z ) , ya que se requeriría cuatro dimensiones, dos para
cada variable compleja. En lugar de esto, la información acerca de la función se
expresa dibujando planos complejos separados para las variables z y w , e indicando
la correspondencia existente entre puntos, o conjuntos de puntos, en los planos
(figura 2.4).
3.5 Derivadas
Definición 3.5
Sea f una función cuyo dominio de definición contiene un entorno de z 0 . La
derivada de f en z 0 , escrita f ' ( z 0 ) , se define por la ecuación,
f ( z) − f ( z0 )
,
z → z0
z − z0
Supuesto que ese límite exista. La función f se dice diferenciable en z 0 cuando
f ' ( z 0 ) = lim
existe su derivada en z 0 .
30
Figura 2.4
f ( z) − f ( z0 )
en términos
z → z0
z − z0
de la nueva variable compleja cuando z esta muy cerca de z 0 , se tiene,
Expresando la variable z de la ecuación f ' ( z 0 ) = lim
∆z = z − z 0
de donde
z = ∆z + z 0 ,
y la ecuación se puede escribir como
f ' ( z 0 ) = lim
∆z →0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 )
.
∆z
Siempre que ∆z sea suficientemente pequeño (Figura 2.5).
Al utilizar la ecuación f ' ( z 0 ) = lim
∆z →0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 )
de la definición de
∆z
derivada se suele omitir el subíndice de z 0 , y se introduce el número
Que denota el cambio en el valor de f correspondiente a un cambio ∆z en el punto
en el que evaluamos f . Entonces, si llamamos dw
f ' ( z 0 ) = lim
∆z →0
dz
a f ´(z ) , la ecuación
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 )
se convierte en
∆z
∆w
dw
= lim
.
dz ∆z →0 ∆z
31
∆w = f ( z + ∆z ) − f ( z ) ,
Figura 2.5
Todo polinomio:
P ( z )) a 0 + a1 z + a 2 z 2 + a 3 z 3 + ... + a n z n
Es entero, porque en cada punto z de los complejos tiene derivada
P ' ( z ) = a1 + 2a 2 z + 3a 3 z 2 + ... + na n z n −1 .
Ejemplo 6
2
Examinemos ahora la función f ( z ) = z . Aquí
Figura 2.6
∆w z + ∆z − z
=
∆z
∆z
2
2
=
( z + ∆z )( z + ∆z ) − z z
∆z
.
= z + ∆z + z
∆z
∆z
32
Si el límite de ∆w
∆z
existe, ese limite puede hallarse haciendo que el punto
∆z = (∆x, ∆y ) se aproxime al origen en el plano ∆z de forma arbitraria. En
particular, cuando ∆z tiende hacia el origen horizontalmente por los puntos (∆x,0)
del eje real (Fig. 2.6), podemos escribir ∆z = ∆z . Por tanto, si existe el límite de
∆w
∆z
, su valor ha de ser z + z . Sin embargo, cuando ∆z tiende al origen
verticalmente por los puntos (0, ∆y ) del eje imaginario, de modo que ∆z = − ∆z ,
hallamos que el límite debe ser z − z , si existe. Como los límites son únicos, se
deduce que z + z = z − z , o sea z = 0 , si ha de existir dw
Para ver que, en efecto, dw
nuestra expresión para ∆w
consecuencia, que dw
dz
dz
∆z
dz
.
existe en z = 0 , sólo necesitamos observar que
se reduce a ∆z cuando z = 0 . Concluimos, en
existe sólo en el punto z = 0 , y su valor es 0 allí.
El ejemplo anterior muestra que una función puede ser diferenciable en un cierto
punto sin serlo en ningún otro punto de un entorno suyo.
3.5.1 Derivadas Parciales.
Puesto que las partes real e imaginaria de f ( z ) = z
u ( x, y ) = x 2 + y 2
2
y
son
v ( x, y ) = 0 ,
Respectivamente, muestra asimismo que las componentes real e imaginaria de una
función de una variable compleja pueden tener derivadas parciales continuas de todo
orden y, no obstante, la función no ser diferenciable allí.
La función f ( z ) = z
2
es continua en todo punto del plano complejo, pues sus
componentes u ( x, y ) = x 2 + y 2 y v( x, y ) = 0 , lo son. Así que la continuidad de
una función en un punto no implica la existencia de derivada en él. Es cierto, sin
embargo, que la existencia de derivada de una función en un punto implica la
continuidad de la función en ese punto. Para verlo, supongamos que existe f ' ( z 0 ) y
escribamos
lim [ f ( z ) − f ( z 0 )] = lim
z → z0
De donde
z → z0
f ( z) − f ( z0 )
lim ( z − z 0 ) = f ´(z 0 ) * 0 = 0 ,
z → z0
z − z0
lim f ( z ) = f ( z 0 ) .
z → z0
33
Esto asegura la continuidad de f en z 0 .
3.6 Función Exponencial Compleja
Definición 3.6
La exponencial compleja dada por:
e z = e x (cos y + iseny )
Es una función entera con valor diferente de cero que satisface la ecuación diferencial:
f ' ( z ) = f ( z ),
f (0) = 1 .
Que e z ≠ 0 se sigue que ni e x ni cos y + iseny se anula. Además, observamos que
como z = x + iy , la notación conduce a:
e iy = 1 .
e iy = cos y + iseny ,
Así, la representación polar de un número complejo se transforma en:
z = z e i arg z .
Si z1 = x1 + iy1 ,∧, z 2 = x 2 + iy 2 , entonces las formulas trigonométricas para la suma
implican que
e z1 e z2 = e x1 e x2 (cos y1 + iseny1 )(cos y 2 + iseny 2 )
= e x1 + x2 [(cos y1 cos y 2 − seny1 seny 2 ) + i (seny1 cos y 2 + cos y1 seny 2 )]
= e x1 + x2 [cos( y1 + y 2 ) + isen( y1 + y 2 )]
= e x1 + x2 e i ( y1 + y2 ) = e z1 + z2
Ya que
e z1 − z2 e z2 = e z1 − z2 + z2 = e z1 ,
Se sigue que
e z1 − z2 = e
z1
e z2
.
Si usamos repetidamente la formula para la suma de exponentes, obtenemos
( )
n
e nz = e z . Esta identidad proporciona una prueba rápida del teorema de Moivre
cuando z = e iθ :
(cos θ + isenθ ) n = (e iθ ) n = e iθn = cos nθ + isennθ , Para n = 0 ± 1 ± 2 ± ... .
34
Con el teorema de Moivre, tenemos:
(1 − i ) 23 = ( 2e
=2
23
2
e
πi
4
−πi
4
) 23 = 2
= 211 ( 2e
πi
4
23
2
e
−23πi
4
)
= 211 (1 + i ).
3.6.1 Propiedades de la Exponencial Compleja.
Teorema 3.7
Si z1 = x1 + iy1 y z 2 = x 2 + iy 2 , son dos números complejos, entonces tenemos
e z1 e z2 = e z1 + z2 .
Demostración.
e z1 = e x1 (cos y1 + iseny1 ) ,
e z2 = e x2 (cos y 2 + iseny 2 ) ,
e z1 e z2 = e x1 e x2 [cos y1 cos y 2 − seny1 seny 2 + i (cos y1 seny 2 + seny1 cos y 2 )] .
z
Ahora bien, e 1 e
z2
= e z1 + z2 , ya que x1 y x 2 , son ambos reales. Además,
cos y1 cos y 2 − seny1 seny 2 = cos( y1 + y 2 )
y
cos y1 seny 2 + seny1 cos y 2 = sen( y1 + y 2 ) ,
y por lo tanto
e z1 e z2 = e x1 + x2 [cos( y1 + y 2 ) + isen( y1 + y 2 )] = e z1 + z2 .
En los teoremas siguientes z , z1 , z 2 designan números complejos.
Teorema 3.8
e z jamás es cero.
Demostración. e z e − z = e 0 = 1 . Por lo tanto, e z no puede ser cero.
Teorema 3.9
Si x es real, entonces e ix =1.
2
Demostración. e ix = cos 2 x + sen 2 x = 1 , y e ix >0.
Teorema 3.10
e z =1 si, solo si, z es múltiplo de 2πi .
35
Demostración. Si z = n , donde n es un entero, entonces
e z = cos(2πn) + isen(2πn) = 1 .
Recíprocamente, supongamos que e z =1. Esto significa que e x cos y = 1 y
e x seny = 0 . Como e x ≠ 0 , entonces debe ser seny = 0, y = kπ donde k es un
entero. Pero cos(kπ ) = (−1) k . Por lo tanto, e x = (−1) k ya que e x cos(kπ ) = 1 .
Como e x > 0 , k debe ser par. Por lo tanto e x = 1 y entonces x = 0 .■
Teorema 3.11
e z1 = e z 2 si, y solo si, z1 − z 2 = 2πin (donde n es un entero).
Demostración. e
z1
= e z 2 si, y solo si, e z1 − z2 = 1 .■
Definición 3.12
Sea la exponencial e x ( x real). Definimos e z para z complejo de tal forma que las
principales propiedades de la función exponencial real se conserven. Las citadas
propiedades de e x para x real son la ley de los exponentes, e x1 e x2 = e x1 + x2 , y la
ecuación e 0 =1. Daremos una definición de e z para z complejo que conserve estas
propiedades y que se reduzca a la exponencial ordinaria cuando z sea real.
Si escribimos z = x + iy (x, y reales), entonces para que se verifique la ley de los
exponentes deberíamos tener e x +iy = e x e iy .
Definición 3.13
z = x + iy , definimos
z
e = e x (cos y + iseny ) .
Si
e z = e x +iy
como
el
número
complejo
Esta definición coincide claramente con la función exponencial real cuando z es real
(esto es, y = O). Probaremos a continuación que la ley de los exponentes se cumple.
3.7 Mapeo.
La exponencial compleja juega un papel esencial en las aplicaciones. Con el fin de
entender completamente la exponencial compleja. Necesitaremos estudiar sus
propiedades como mapeo. Para visualizar el mapeo
w = e z = e x (cos y + iseny ) ,
observemos que la franja infinita − π ≤ y < π se mapea en C − {0} ; los puntos
sobre el segmento de recta x = 0 , − π ≤ y < π se mapean de manera uno a uno en
36
Figura 2.7
el circulo w = 1 , las rectas verticales a la izquierda del eje imaginario se mapean en
círculos de radio r < 1 , las rectas verticales a la derecha del eje imaginario sobre
círculos de radio r > 1 , la mitad izquierda de la franja en la (Figura 2.7) se mapea en
0 < w < 1 , y la mitad derecha va a w > 1 . Observe que e x tiene periodo 2πi ,
porque
e z + 2πi = e x + ( 2π + y )i = e x [cos(2π + y ) + isen(2π + y )] = e z ,
Así que los valores complejos e z y e z + 2πki , con k entero, son idénticos.
Por tanto, cada franja infinita − π ≤ y − 2πk < π , k = 0,±1,±2,... también se mapea
en C − {0} , y el mapeo e z : C → C − {0} manda un número infinito de puntos de
C al mismo punto en C − {0} . Este es un resultado indeseable, en vista de que no
permite la discusión de una función inversa, excepto sobre cada una de las franjas
infinitas descritas anteriormente. La función inversa es verdaderamente importante,
porque la inversa de la exponencial real es el logaritmo. Para eliminar esta dificultad,
imagine que el contradominio del mapeo consiste en un número infinito de copias de
C − {0} apiladas en capas unas sobre otras, cada una cortada a lo largo del eje real
negativo con el borde superior de una capa “pegada” al borde inferior de la capa
superior, produciendo un conjunto ℜ que asemeja una rampa infinita en espiral
(Figura 2.8).
El conjunto ℜ difiere de C − {0} en que cada punto de ℜ queda determinado
unívocamente en coordenadas polares, mientras que los puntos de C − {0} no se
pueden determinar en la misma forma, porque el argumento es multivaluado. Si
utilizamos a ℜ como el contradominio de la función e z y medimos distancias cortas
en ℜ de la manera obvia, observamos que e z mapea a C continuamente en ℜ y que
el mapeo es uno a uno. Así, e z : C → ℜ tiene inversa. La analiticidad de e z no se
afecta al hacer este cambio de contradominio, porque
⎛ eh − e0
e z+h − e z
= e z ⎜⎜
h
⎝ h
⎞
⎟⎟
⎠
37
Figura 2.8
Y la cantidad entre paréntesis tiende a e 0 cuando h → 0 , si e h pertenece a la misma
capa de ℜ que e 0 . De manera alternativa, si Im z ≠ (2k + 1)π y h es pequeño, z
y z + h pertenecerán a la misma franja, de tal forma que e z y e z + h se encuentren en
la misma copia de C − {0} .
El conjunto ℜ se llama superficie de Riemann; las líneas de corte en cada copia de
C − {0} cortes de ramificación; los extremos de los cortes de ramificación 0, ∞
puntos de ramificación; y cada copia de C − {0} se llama rama de ℜ .
Como e z : C → ℜ , es uno a uno, con ℜ como la superficie de Riemann ya
definida podemos definir su función inversa.
Imitando el caso real, llamamos a este inverso logaritmo y lo denotamos por:
log z = ℜ → C .
Como la exponencial compleja y el logaritmo son funciones inversas, se tiene que:
log e z = z , para todo z enC.
e log z = z , para todo z en ℜ .
La representación polar y la naturaleza inversa de las funciones logaritmo y
exponencial proporcionan una definición natural para el logaritmo complejo:
log z = log z ( z e i arg( z ) = log(e
log z + i arg( z )
= log z + i arg( z ) ,
Donde log z es el logaritmo natural del cálculo elemental.
Teorema 3.14
La función log z = log z + i arg( z ) es analítica para todo z en ℜ .
38
Demostración:
Como u = log z =
ux =
y
1
log( x 2 + y 2 ) , v = arg z = tan −1 + πn
x
2
−y
x
y
x
,uy = 2
, vx = 2
, vx = 2
,
2
2
2
x +y
x +y
x +y
x + y2
2
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen y las derivadas parciales son todas
continuas en ℜ . Porque la analiticidad es una propiedad local, y porque la prueba del
teorema sobre condiciones para la analiticidad, se basa en argumentos locales, log z
es analítica en ℜ .
3.8 Función Logaritmo Complejo
Como hemos visto e z nunca es cero. Nos podemos preguntar si hay otros valores
que e z no puede tomar jamás.
Teorema 3.15
Si z es un número complejo ≠ 0, existen números complejos w tales que e w = z .
Uno de tales w es el número complejo
log z + i arg( z ) ,
y todos los demás tienen la forma
log z + i arg( z ) + 2nπi ,
donde n es un entero.
Demostración.
Como
e
log z + i arg( z )
=e
log z
e i arg( z ) = z e i arg( z ) = z ,
vemos que
w = log z + i arg( z )
es una solución de la ecuación
ew = z .
w
Pero si w1 es otra solución, entonces e w = e 1 y, por lo tanto, w − w1 = 2nπi .■
Definición 3.16
Sea z ≠ 0 un número complejo dado. Si w es un número complejo tal que e w = z ,
entonces w se denomina un logaritmo de z . El valor particular dado por
39
w = log z + i arg( z ) ,
se llama logaritmo principal de z , y para este w escribiremos
w = Logz .
Teorema 3.17
Si z1 z 2 ≠ 0 , entonces
Log ( z1 z 2 ) = Logz1 + Logz 2 + 2πni ( z1 , z 2 ) ,
donde n( z1 , z 2 ) es un entero.
Demostración.
Log (z1 z 2 ) = log z1 z 2 + i arg(z 1 z 2 )
= log z1 + log z 2 + i[arg( z1 ) + arg( z 2 ) + 2πn( z1 , z 2 )].■
Definición 3.18
El logaritmo complejo tiene las propiedades usuales de un logaritmo:
log z1 z 2 = log z1 + log z 2 ,
z1
= log z1 − z 2 .
z2
En estas dos identidades suponemos que z1 y z 2 son puntos de la superficie de
Riemann ℜ . Como:
z = e log z
log
Para cualquier z en ℜ , aplicamos la regla de la cadena para la derivación y obtener:
1 = z = e log z (log z ) '
o
(log z ) ' =
1
, para z en ℜ .
z
Así, la formula usual de la derivada se cumple en ℜ . De la misma manera que
definimos el valor principal Arg ( z ) del argumento arg( z ) , podemos extender este
concepto al logaritmo. Al visualizar al logaritmo como el mapeo inverso de la
exponencial, llamamos a la rama de ℜ cortada a lo largo del eje real negativo, que se
mapea en la franja semiinfinita − π ≤ y < π , rama principal del logaritmo (véase
Figura 2.9).
Denotamos log z cuando se restringe la rama principal, por
40
log z = log z + iArg ( z ) ,
y llamamos a éste valor principal de log z .
Figura 2.9
Note que el valor principal log z se define sólo en aquella rama de ℜ para la cual
Arg ( z ) existe. Debe tenerse cuidado cuando se trabaje con la rama principal del
logaritmo log z , ya que las propiedades usuales de los logaritmos pueden no
cumplirse. Por ejemplo,
log i = log i + iArg (i ) = iπ
2
,
log(−1 + i ) = log − 1 + i + iArg (−1 + i ) = log 2 + i
pero
log[i (−1 + i )] = log(−1 − i )
= log − 1 − i + iArg (−1 − i )
= log 2 − i
así que
3π
,
4
3π
,
4
log[i (−1 + i )] ≠ log i + log(−1 + i ) .
Por el contrario, las dos expresiones difieren por un múltiplo de 2πi .
Las funciones logaritmo y exponencial complejas se pueden usar para definir las
funciones potencia.
41
3.9 Función Potencia.
Utilizando los logaritmos complejos, podemos dar ahora una definición de las
potencias complejas de los números complejos.
Definición 3.19
Si z ≠ 0 y si w es u numero complejo cualquiera, definimos
z w = e wLogz .
Los dos teoremas siguientes suministran las reglas de cálculo con potencias complejas.
Teorema 3.20
z w1 z w2 = z w1 + w1 si z ≠ 0 .
Demostración.
z w1 + w2 = e ( w1 + w2 ) Logz = e w1Logz e w2 Logz = z w1 z w2 .■
Teorema 3.21
Si z1 z 2 ≠ 0 , entonces
( z1 z 2 ) w = z1 z 2 e 2πiwn ( z1 , z2 ) ,
w
w
donde n( z1 , z 2 ) es entero.
Demostración.
( z1 z 2 ) w = e wLog ´( z1z2 ) = e w[Logz1 + Logz 2 + 2πin ( z1 , z2 ) ] .■
3.10 Funciones Trascendentales
La exponencial compleja puede utilizarse para definir funciones trigonométricas
complejas. Como e ix = cos x + isenx,∧, e − ix = cos x − isenx entonces:
e ix + e − ix
cos x =
2
e ix − e − ix
.
senx =
2i
Extendemos estas definiciones a los planos complejos como sigue:
Definición 3.22
z a = e a log z ,
a complejo ≠ 0 , z ≠ 0 .
42
La función z a : ℜ → ℜ es analítica uno a uno porque es la composición de
funciones de esos tipos. Por la regla de la cadena,
( z a ) ' = e a log z *
a
= az a −1 .
z
El valor principal de la función potencia esta dado por:
z a = e aLogz .
Definición 3.23
cos z =
e iz + e − iz
2
senz =
e iz − e − iz
.
2i
Estas funciones son enteras, pues sumas de funciones enteras y satisfacen:
ie iz − ie − iz
e iz − e − iz
=−
= − senz ,
(cos z ) =
2
2i
ie iz + ie −iz
e iz + e −iz
( senz ) ' =
=−
= − cos z.
2i
2
'
Las otras funciones trigonométricas, definidas en términos de las funciones seno y
coseno por medio de las relaciones usuales son analíticas, excepto donde se anulan sus
denominadores, y satisfacen las reglas normales de derivación.
tan z =
senz
cos z
sec z =
1
cos z
cot z =
cos z
senz
csc z =
1
.
senz
(tan z ) ' = sec 2 z
(sec z ) ' = sec z tan z
(cot z ) ' = − csc 2 z
(csc z ) ' = − csc z cot z .
Todas las identidades trigonométricas usuales son validas en variables complejas, y sus
demostraciones dependen de las propiedades de la exponencial. Por ejemplo
1
cos 2 z + sen 2 z = [(e iz + e −iz ) 2 − (e iz − e −iz ) 2 ] = 1 ,
4
y
e iz1 + e − iz1 e iz2 + e − iz 2 e iz1 − e − iz1 e iz2 − e − iz 2
cos z1 cos z 2 − senz1 senz 2 =
−
2
2
2i
2i
43
=
2e iz1 e iz 2 + 2e − iz1 e − iz 2
= cos( z1 + z 2 ) .
4
De la definición de cos z , tenemos
e − y +ix + e y −ix
cos z = cos( x + iy ) =
2
=
1 −y
1
e (cos x + isenx) + e y (cos x − isenx)
2
2
⎛ e y + e− y
= ⎜⎜
2
⎝
Así
⎞
⎛ e y − e− y
⎟⎟ cos( x) − ⎜⎜
2
⎠
⎝
⎞
⎟⎟ sen( x) .
⎠
cos z = cos( x) cosh( y ) − isen( x) senh( y ) .
De manera semejante encontramos
senz = sen( x) cosh( y ) + i cos( x) senh( y ) .
Teorema 3.24
Los ceros reales de senz y cos z son únicos ceros.
Demostración:
Si senz = 0 , tenemos que:
sen( x) cosh( y ) = 0
cos( x) senh( y ) = 0 .
Pero cosh( y ) ≥ 1 , lo cual implica que el primer término se anula solamente cuando
sen( x) = 0 , esto es, sen( x) = 0,±π ,±2π ,... sin embargo, para estos valores cos( x)
no se anula. Por tanto, debemos tener senh( y ) = 0 , sea y = 0 . Así,
senz = 0 implica z = nπ , con n entero.
Esta aseveración también se aplica a tan z , de igual forma encontramos que,
1⎞
⎛
cos z = 0 Implica z = ⎜ n + ⎟π , con n entero.■
2⎠
⎝
Las funciones hiperbólicas complejas se definen al extender las definiciones reales al
plano complejo.
Definición 3.25
44
senhz =
e z − e−z
,
2
cosh z =
e z + e−z
.
2
Nuevamente, todas las identidades y reglas usuales de derivación se aplican a las
funciones hiperbólicas complejas. Notemos además que:
e iz − e − iz
senhz iz =
= isenz
2
cosh iz =
e iz + e − iz
= cos z .
2
Así, las funciones hiperbólicas complejas están relacionadas con las funciones
trigonométricas complejas, ya que al multiplicar por i , simplemente se rota toda
vector en los complejos por 90° , en sentido contrario a la dirección que llevan las
manecillas del reloj. Por tanto, los ceros de senhz y cosh z son imaginarios puros.
3.11 Condiciones Necesarias Para La Analiticidad
Definición 3.26 Función Analítica.
Sea f = u + iv una función compleja definida en un conjunto abierto S del plano
complejo C. Se dice que f es analítica en S si existe y es continua la derivada f ' en
cada punto de S .
Como ya sabemos derivada de una función compleja de una variable compleja se
define, exactamente de la misma manera que el caso real del cálculo.
Definición 3.27
Sea f definida en G ⊂ C . La derivada f ' de f en a esta dada por
f ¡ (a) = lim
h →0
f ( a + h) − f ( a )
h
Cuando el límite existe. Se dice que la función f es analítica en la región G si tiene
derivada en cada punto de G, y se dice que f es entera si es analítica en todo C.
Lema 3.28: si f tiene derivada en a , entonces f es continua en a .
Demostración:
⎫
⎧⎡ f ( a + h) − f ( a ) ⎤
lim f (a + h) = lim⎨⎢
* h + f (a)⎬ = f (a) .■
⎥
h →0
h →0
h
⎦
⎭
⎩⎣
45
Si manipulamos la definición de derivada esta lleva a las reglas usuales de derivación:
( f ± g)' = f ' ± g ' ,
( fg ) ' = fg ' + gf ' ,
'
⎛f⎞
gf ' − fg '
⎜⎜ ⎟⎟ =
, g = 0,
g2
⎝g⎠
Regla de la cadena
( f ( g ( z ))) ' = f ' ( g ( z )) g ' ( z ),
Las pruebas son idénticas a las usadas en cálculo elemental.
Sea z = ( x, y ) , suponga que h es real y entonces:
f ' ( z ) = lim
h →0
f ( x + h, y ) − f ( x, y ) ∂f
=
( z ) = f x ( z ).
h
∂x
Pero entonces si h = ik es puramente imaginario, entonces:
f ' ( z ) = lim
k →0
f ( x, y + k ) − ( x, y ) 1 ∂f
=
( z ) = −if y ( z ) .
k
i ∂y
Así, la existencia de una derivada compleja obliga a la función a satisfacer la ecuación
diferencial parcial:
f x = −if y .
Si f ( z ) = u ( z ) + iv ( z ), donde u y v son funciones reales de una variable compleja,
y si igualamos las partes reales e imaginarias de:
u x + iv x = f x = −if y = v y + iu y ,
Obtenemos las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann
ux = vy ,
v x = −u y .
Y finalmente hemos probado el siguiente teorema.
Teorema 3.29
Si la función f ( z ) = u ( z ) + iv ( z ) tiene derivada en el punto z, las primeras derivadas
parciales de u y v , con respecto a x y y , existen y satisfacen las ecuaciones de
Cauchy-Riemann.
46
Ejemplo 7
Sea f ( z ) = z 2 = ( x 2 − y 2 ) + 2 xyi . Como f es entera, u = x 2 − y 2 y v = 2 xy
deben satisfacer las ecuaciones de Cauchy Riemann. Observemos que
u x = 2x = vx
Por otra parte, si f ( z ) = z
− ux = 2 y = vx .
y
2
= x 2 + y 2 , entonces u = x 2 + y 2 , v = 0 y u x = 2 x ,
u y = 2 y , v x = 0 = v y , así que f satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann solo
en 0. Aún más, f tiene derivada cuando z = 0 porque
f (0) = lim
'
h
h →0
2
h
= lim h = 0 .
h →0
Como ya hemos visto en las propiedades de los complejos ahora empecemos con la
exponencial e x . Deseamos definir una función f ( z ) = e z que sea analítica y que
coincida con la función exponencial real cuando z sea real. Recordando que la
exponencial real se determina por la ecuación diferencial
f ´(x) = f ( x) .
f (0) = 1 .
Nos preguntarnos si existe una solución analítica de la ecuación
f ´(z ) = f ( z ) ,
f (0) = 1
Si tal solución existe, necesariamente deberá coincidir con e x cuando z = x , pues
sólo así satisfará la ecuación que la determina sobre el eje real.
De la definición de f ´ , tenemos
u x + iv x = u + iv ,
u (0) = 1, v(0) = 0 .
Como u x = u v x = v , al separar, variables tenemos
u ( x, y ) = p ( y ) e x ,
v ( x, y ) = q ( y ) e x ,
como p (0) = 1 , q (0) = 0 por las condiciones iniciales. Derivaremos estas dos
ecuaciones con respecto a y aplicando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, para
obtener
p´( y )e x = u y = −v x = − q ( y )e x ,
q´( y )e x = v y = u x = p ( y )e x .
47
Por tanto, p´= −q , q´= p , así que
q´´= p´= − q ,
p´´= − q´= − p ,
y p, q son soluciones de la ecuación diferencial real φ '' ( y ) + φ ( y ) = 0 . Todas las
soluciones de esta ecuación son de la forma A cos y + Bseny , con A y B constantes.
Como q´(0) = p(0) = 1 , p´(0) = − p(0) = 0 , debemos tener p ( y ) = cos y ,
q( y ) = seny . Por tanto, obtenemos la función
f ( z ) = e x cos y + ie x seny = e x (cos y + iseny ) ,
Que coincide con e x cuando z = x y es analítica puesto que su construcción
automáticamente garantiza que las parciales son continuas y satisfacen las ecuaciones
de Cauchy-Riemann.
3.12 Condiciones Suficientes Para La Analiticidad
Aquí nos podemos preguntar si las ecuaciones de Cauchy-Riemann son suficientes
para garantizar la existencia de la derivada en un punto dado. El ejemplo siguiente, de
D. Menchoff, muestra que no es así. Sea
⎧ z5
⎪ 4 , z ≠ 0,
f ( z) = ⎨ z
⎪
⎩0, z = 0.
Entonces
4
f ( z ) ⎛⎜ z ⎞⎟
= ⎜ ⎟ , z ≠ 0,
z
⎝z⎠
Que tiene valor 1 sobre el eje real y valor -1 sobre la línea y = x . Así, f no tiene
derivada en z = 0 ; pero si se desarrolla la expresión para f se tiene
u ( x,0) = x ,
por lo que
u (o, y ) = 0 = v( x,0) , v(o, y ) = y ,
u x (0,0) = 1 = v y (0,0) ,
− u y (0,0) = 0 = v x (0,0) ,
y se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Sin embargo tenemos el siguiente teorema
Teorema 3.30
Sea f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) , definida en alguna región G que contiene al punto
z 0 , y que tiene primeras derivadas parciales continuas, con respecto a x y y , que
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en z 0 . Entonces f ' ( z 0 ) existe.
48
Demostración:
Si x ≠ x 0 y y ≠ y 0 , el cociente de diferencias se puede escribir:
f ( z ) − f ( z o ) u ( x, y ) − u ( x o , y o )
v ( x, y ) − v ( x o , y o )
=
+i
z − zo
z − zo
z − zo
=
x − x 0 ⎡ u ( x, y ) − u ( x 0 , y )
v ( x, y ) − v ( x 0 , y ) ⎤
+i
⎢
⎥
z − z0 ⎣
x − x0
x − x0
⎦
+
y − y 0 ⎡ u ( x0 , y ) − u ( x0 , y 0 )
v( x0 , y ) − v( x0 , y 0 ) ⎤
+i
⎢
⎥
z − z0 ⎣
y − y0
y − y0
⎦
=
x − x0
[u x ( x0 + t1 ( x − x0 ), y) + iv x ( x0 + t 2 ( x − x0 ), y)]
z − z0
+
y − y0
u y ( x0 , y o + t 3 ( y − y o )) + iv( x0 , y o + t 4 ( y − y o )) ,
z − z0
[
]
Donde 0 < t k < 1, k = 1,2,3,4, según el teorema del valor medio del calculo
diferencial. Este resultado también se cumple si x = x 0 y y = y 0 . Como las
derivadas parciales son continuas en z o , podemos decir:
f ( z ) − f ( z 0 ) x − x0
=
[u x ( z 0 ) + iv x ( z 0 ) + ε 1 ] +
z − z0
z − z0
y − y0
u y ( z 0 ) + iv y ( z 0 ) + ε 2 ,
z − z0
[
]
Donde ε 1 , ε 2 → 0 cuando z → z 0 . Aplicando las ecuaciones de Cauchy-Riemann
al último término, podemos cambiar los términos para obtener:
f ( z) − f ( z0 )
( x − x0 )ε 1 + ( y − y 0 )ε 2
= u x ( z 0 ) + iv( z 0 ) +
.
z − z0
z − z0
Como x − x0 , y − y 0 ≤ z − z 0 , la desigualdad del triangulo conduce a
( x − x0 )ε 1 + ( y − y o )ε 2
≤ ε 1 + ε 2 → 0 , cuando z → z 0 .
z − z0
49
Por tanto, el último término tiende a cero cuando z tiende a z 0 así que al tomar el
limite, tenemos:
f ' ( z 0 ) = lim
z → z0
f ( z) − f ( z0 )
= u x ( z 0 ) + iv x ( z 0 )
z − z0
En particular, si las hipótesis del teorema se cumplen en todos los puntos de la región
G, entonces f es analítica en G.■
En el caso de la variable real del cálculo elemental, sabemos que cuando la derivada de
una función es cero en algún intervalo, la función es constante en ese intervalo. Para
variables complejas se obtiene un resultado semejante.
3.13 Funciones Armónicas.
Ecuación de Laplace (u xx + u yy = 0)
Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, se tiene que
u xx = (u x ) x = (v y ) x = (v x ) y = (−u y ) y = −u yy
donde la ecuación de Laplace se cumple para u . De la misma forma se cumple para
v.
3.14 Armónicos Conjugados.
Tanto u como v son armónicos y cumplen las ecuaciones de Cauchy
u xx + u yy = 0
v xx + v yy = 0
ux = vy
u y = −v x
.
3.15 Teorema de la Derivada Nula
Sea f analítica en una región G y f ' ( z ) = 0 en todo z de G. Entonces f es
constante en G. Se tiene la misma conclusión si Re f , Im f , f
o arg( f ) es
constante en G.
Demostración:
Como f ' ( z ) = u x ( z ) + iv x ( z ) , si la derivad se anula implica u x = v y , v x = −u y
son todas cero. Así, u y v son constantes a lo largo de cualquier recta paralela a los
50
ejes coordenados y como G es conexo mediante un polígono entonces f = u − iv es
constante en G.
Si
u (ov )
es
constante
v x = −u y = 0 = u x = v y ,
lo
cual
implica
que
f ' ( z ) = u x ( z ) + iv x ( z ) = 0 y f es constante.
Si f es constante, también f
2
= u 2 + v 2 , lo es, esto implica que
uu x + vv x = 0 ,
uu y + vv y = vu x − uv x = 0
Resolviendo estas dos ecuaciones para u x , v x , tenemos u x = v x = 0 a menos que el
determinante u 2 + v 2 se anule. Como
f
2
= u 2 + v 2 , es constante entonces
u 2 + v 2 = 0 en un punto, entonces es constantemente cero, y f
idénticamente. De otra manera, las derivadas se anulan y f es constante.
se anula
Si arg f = c, f (G ) estará contenida en la recta
v = (tan c) * u ,
A menos que u ≡ 0 , en cuto caso terminamos. Pero (1 − i tan c ) f es analítica
Im(1 − i tan c ) f = v − (tan c )u = 0 ,
Lo que implica que (1 − i tan c ) f es constante. Así f lo es también.■
IV INTEGRAL COMPLEJA
4.1 Introducción a la Integral de Línea
La naturaleza bidimensional del plano complejo sugiere considerar integrales a lo largo
de curvas arbitrarias en C en lugar de segmentos del eje real únicamente. Estas
“integrales de línea” tienen propiedades interesantes y poco comunes las cuales
veremos.
4.2 Integrales de Línea.
Como ya vimos anteriormente las funciones analíticas, son resultantes de la
derivabilidad de la función. En cálculo real, el teorema fundamental revela una
conexión entre las derivadas y las integrales definidas.
Un arco γ en el plano es cualquier conjunto de puntos que pueden describirse en
forma paramétrica por:
γ : x = x(t ) ,
y = y (t ) ,
α ≤t≤β.
51
Con x (t ) y y (t ) funciones continuas de la variable real t en el intervalo real cerrado
[α , β ]. En el plano complejo se describe el arco γ por medio de la función compleja
continua de una variable real,
γ : z = z (t ) = x (t ) + iy (t ) ,
α ≤t≤β.
Definición 4.1 Arco suave
Sea γ un arco suave si la función z ' (t ) = x ' (t ) + iy ' (t ) no se anula y es continua en
α ≤ t ≤ β entonces γ es un arco suave.
Definición 4.2 Arco suave por partes (spp).
Consiste en número finito de arcos suaves unidos por sus extremos. Si γ es un arco
spp, entonces x (t ) y y (t ) son continuas, pero sus derivadas x ' (t ) y y ' (t ) son
continuas por partes.
Definición 4.3 Arco de Jordan.
Si z (t1 ) = z (t 2 ) solo si t1 = t 2 esto es, si no se intersecta a si mismo, o
autointersecta. Un arco es una curva cerrada si z (α ) = z ( β ) y una curva de Jordan si
es cerrada y simple excepto en los extremos α y β . La (figura 3.0) ilustra algunos de
estos conceptos.
Teorema 4.4 La Curva de Jordan.
Una curva de Jordan separa el plano en dos regiones simplemente conexas, que tienen
a la curva como su frontera.
La región que contiene el punto al infinito se llama exterior de la curva; la otra región
se llama interior.
4.5 Definición de Integral.
Sea γ : z = z (t ), α ≤ t ≤ β , un arco suave, y f ( z ) = u + iv continua en γ . Así la
integral de línea de f sobre γ estará dada por:
∫γ
β
f ( z )dz = ∫ f ( z (t )) z ' (t )dt
α
[
]
= ∫ [u ( z (t )) + iv( z (t ))] x ' (t ) + iy ' (t ) dt
β
α
β
[
]
β
[
]
= ∫ u ( z (t )) x ' (t ) − v( z (t )) y ' (t ) dt + i ∫ u ( z (t )) y ' (t ) + v( z (t )) x ' (t ) dt .
α
α
52
Figura 3.0
Teorema 4.6
Sea γ 0 una curva de Jordan spp tal que su interior contiene las curvas de Jordan spp
disjuntas, γ 1 ,..., γ n , ninguna de las cuales esta contenida en el interior de la otra.
Suponga que f ( z ) es analítica en una región G que contiene al conjunto S, el cual
consiste en todos los puntos sobre y en el interior de γ 0 pero no en los interiores de
γ k , k = 1,..., n . Entonces,
∫γ
n
0
f ( z )dz = ∑ ∫ f ( z )dz .
k =1
γk
Demostración:
Figura 3.1
53
Siempre se podrán encontrar arcos Lk , k = 0,..., n , spp disjuntos, que unan a γ k con
γ k +1 (donde Ln une a γ n con γ 0 ) que formen dos curvas de Jordan spp, cada una
contenida en alguna subregión simplemente conexa de G. (Sobre bases intuitivas
omitimos la prueba, véase (figura3.1).
Por el teorema de Cauchy, la integral de f ( z ) sobre estas curvas, cada una recorrida
en sentido positivo se anula. Pero la contribución total de estas dos curvas es
equivalente
al recorrido de γ 0 en el sentido positivo, γ 1 ,..., γ n , en el sentido negativo lo
(contrario), y L0 ,..., Ln en direcciones opuestas. Así, las integrales sobre los arcos Lk
se cancelan, y:
0=∫
n
γ0−
f ( z )dz = ∫ f ( z )dz − ∑ ∫ f ( z )dz .■
n
∑γk
γ0
k =1
k =1
γk
Definición 4.7
Dada la función compleja de la variable real z (t ) = x(t ) + iy (t ) continua en [a, b] ,
se define la integral definida de z (t ) sobre [a, b] como
∫
b
a
b
b
a
a
z (t )dt = ∫ (t )dt + i ∫ y (t )dt
4.2.1 Propiedades de la Integral de Línea
Sea f analítica en el interior y en los puntos de un entorno cerrado simple c ,
orientado positivamente si z 0 es un punto interior a C entonces:
f ( z )dz
1
∫
2πc c z − z 0
n!
f ( z)
f n (a ) =
dz; n = 1,2,3...
∫
2πi ( z − a ) n +1
f (z0 ) =
Luego
z 0 ∈ In(c).
Teorema 4.8
i ) ∫ [αf1 ( z ) + β f 2 ( z )]dz = α ∫ f1 ( z )dz +β ∫ f 2 ( z ).
γ
γ
γ
54
ii ) ∫
γ 1 +γ 2
f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz + ∫ f ( z ) dz , donde γ 1 + γ 2 es la trayectoria que
γ1
γ2
consiste en recorrer primero γ 1 seguido de γ 2 .
iii ) ∫ f ( z )dz = − ∫ f ( z )dz , donde − γ es la trayectoria que recorre el arco γ en
−γ
γ
sentido inverso.
iv ) ∫ f ( z )dz ≤ ∫ f ( z ) dz , donde definimos dz como la diferencial con respecto
γ
γ
a la longitud de arco, con:
dz = dx + idy = (dx) 2 + (dy ) 2 = ds .
Demostración:
Para probar (iv), obsérvese que para cualquier constante real
(
)
β
β
α
α
Re e iθ ∫ f ( z )dz = ∫ Re(e iθ f ( z (t )) z ' (t ))dt ≤ ∫ f ( z (t )) z ' (t ) dt ,
γ
[∫ f ( z)dz ], la expresión de la izquierda
Ya que la parte real de un número complejo no puede exceder su valor absoluto. Si se
escribe
∫γ f ( z )dz
en forma polar y θ = arg
γ
se reduce al valor absoluto de la integral y se cumple la (i) desigualdad. Las demás
pruebas son consecuencias inmediatas de la definición de integral de línea.■
Si f ( z ) ≤ M en todo punto z de u arco γ de longitud L. La parte (iv) del teorema
proporciona la desigualdad,
∫γ f ( z )dz ≤ M ∫γ dz = ML .
De la definición y las propiedades de la integral definida de funciones reales de
variable real, se deduce de forma inmediata, siendo z 0 ( x), z1 ( x), z 2 ( x) , continúas
en I = [a, b] :
1.
2.
∫
b
a
∫
b
a
b
z ( x)dx = − ∫ z ( x)dx .
a
b
b
a
a
[ z1 ( x) + z 2 ( x)]dx = ∫ z1 ( x)dx + ∫ z 2 ( x)dx .
3.
∫
b
a
c
b
a
c
z ( x)dx = ∫ z ( x)dx + ∫ z ( x)dx .
También se cumple:
55
4. Re
5.
∫
b
b
z ( x)dx = ∫ Re[ z ( x)]dx .
a
a
b
b
a
a
∫ αz ( x)dx = α ∫
α ∈C .
z ( x)dx ,
Si la función compleja de variable real z (x) verifica z ' ( x) = z ( x) , entonces:
b
6.
∫
7.
∫
z ( x)dx = z (b) − z (a ) .
a
se verifica también:
b
b
z ( x)dx ≤ ∫ z ( x) dx .
a
a
Demostración.
Sea
∫
b
a
z ( x)dx = ( R)(e iθ ) .
entonces
∫
b
a
Si f ( x) = u ( x) + iv( x) verifica que
∫
b
a
La integral
∫
b
a
b
b
a
a
z ( x)dx = R = e iθ ∫ z ( x)dx = ∫ e iθ z ( x)dx .
∫
b
a
f ( x)dx es real entonces
b
f ( x)dx = ∫ Re[ f ( x)]dx
a
e −iθ z ( x)dx es real por ser igual a R.
Luego
∫
b
a
b
b
a
a
z ( x)dx = ∫ e −iθ z ( x)dx = ∫ Re[e −iθ z ( x)]dx
Ahora el integrando es una función real de variable real y además:
Re[e −iθ z ( x)] ≤ e −iθ z ( x) = z ( x)
Entonces tenemos que
∫
b
a
b
b
a
a
z ( x)dx = ∫ Re[e −iθ z ( x)]dx ≤ ∫ z ( x) dx .■
56
La integral de línea sobre un arco γ spp se obtiene al aplicarse la definición anterior a
un número finito de intervalos cerrados, en los cuales z (t ) es suave, y sumar los
resultados.
Ejemplo 8
Para evaluar
∫γ xdz , a lo largo del arco γ
spp, mostrado en la (figura 3.2)
Figura 3.2
Parametrizamos γ por
⎧1 + it ,
⎩(2 − t ) + i,
γ : z (t ) = ⎨
0 ≤ t ≤ 1,
1≤ t ≤ 2
Entonces
⎧i,
z ' (t ) = ⎨
⎩− 1,
0 ≤ t ≤ 1,
1≤ t ≤ 2
Con derivadas izquierda y derecha diferentes en t = 1 . Por definición integrar sobre
cada uno de los intervalos 0 ≤ t ≤ 1 y 1 ≤ t ≤ 2 , se obtiene
1
2
1
xdz
=
idt
+
∫γ
∫0 ∫1 (2 − t )(−1)dt = − 2 + i ,
Ya que x(t ) = 1 en 0 ≤ t ≤ 1 y x(t ) = 2 − t en 1 ≤ t ≤ 2 .
Al escoger una parametrización diferente para γ , por ejemplo
⎧1 + i log t ,
⎪
γ : z (t ) = ⎨ t
⎪⎩2 − e + i,
1 ≤ t ≤ e,
e ≤ t ≤ 2e,
Se tiene
⎧i ,
⎪ t
z ' (t ) = ⎨
⎪⎩− 1 e ,
1 ≤ t ≤ e,
e ≤ t ≤ 2e,
Y
57
∫γ xdz = ∫
e
1
2e ⎛
1
i
t ⎞⎛ − 1 ⎞
dt + ∫ ⎜ 2 − ⎟⎜ ⎟dt = − + i .
e
2
t
e ⎠⎝ e ⎠
⎝
Por lo tanto, la integral de línea es independiente de las dos parametrizaciones de γ .
Este caso se dará siempre y cuando el cambio de parámetros sea derivable por partes,
como puede comprobarse fácilmente al utilizar la fórmula del cambio de variable del
cálculo integral.
Se obtiene un valor diferente si se integra sobre el segmento de línea γ * que une a 1
con i . Así,
γ * : z (t ) = (1 − t ) + it , 0 ≤ t ≤ 1 ,
Así que
1
∫ xdz = ∫ (1 − t )(−1 + i)dt =
γ
0
−1+ i
.
2
Este ejemplo muestra que no se puede obtener un teorema similar al teorema
fundamental del cálculo para todas las funciones complejas continuas f (z ) .
Consideremos por otra parte únicamente aquellas funciones f (z ) , que son derivadas
de una función analítica F = U + iV en alguna región G que contenga el arco suave
γ . Entonces, por definición,
∫γ
β
f ( z )dz = ∫ F ' ( z )dz = ∫ F ' ( z (t )) z ' (t )dt .
γ
α
Con la regla de la cadena obtenemos,
β
β
d
β
d
β
d
∫α F ( z (t )) z (t )dt = ∫α dt [ F ( z (t ))]dt ] = ∫α dt [U ( z(t ))]dt + i ∫α dt [V ( z (t ))]dt .
'
'
'
Si se aplica el teorema fundamental del cálculo a cada una de estas integrales reales, se
obtiene
∫γ f ( z )dz = [U ( z(β )) − U ( z(α ))] + i[V ( z(β )) − V ( z(α ))] = F ( z (β )) − F ( z(α ))
.
Además, se pude extender fácilmente este resultado a los arcos spp con la suma de los
resultados obtenidos de los subarcos suaves. Como el resultado depende únicamente
de los puntos extremos de cada subarco suave, se habrá probado el siguiente teorema.
Teorema 4.4 Teorema Fundamental del Cálculo.
Si F (z ) es una función analítica con derivada continua, f ( z ) = F ' ( z ) en una
región G que contiene el arco spp γ : z = z (t ), α ≤ t ≤ β , entonces:
58
∫γ f ( z)dz = F ( z(β )) − F ( z (α )) .
Como la integral solo depende de los extremos del arco γ , es independiente de la
trayectoria. De esta forma se obtiene el mismo resultado para cualquier arco spp en G
con estos extremos. Para curvas γ , spp cerradas, el teorema fundamental establece
que:
∫γ f ( z )dz = 0 ,
ya que F ( z ( β )) = F ( Z (α )) .
Ejemplo 9
Sea P(z ) cualquier polinomio, y γ un arco spp. Muestre que :
∫γ P( z )dz = 0 si γ e una curva cerrada.
(b) ∫ P( z )dz depende solo de los extremos de γ .
γ
(a)
Solución: todo polinomio P(z ) es continuo en C. Además, si
P ( z ) = an z n + an−1 z n−1 + ... + a1 z + a0 ,
entonces P(z ) será la derivada del polinomio analítico
Q( z ) =
an z n+1 an−1 z n
a z2
+
+ ... + 1 + a0 z .
2
n +1
n
De esta forma se satisface el teorema fundamental y se cumple las partes (a) y (b).
Teorema 4.9 Teorema de Green.
Sea G la región interior de una curva de Jordan γ spp y suponga que las funciones
reales p y q son continuas en G ∪ γ con primeras parciales continuas en G.
Entonces:
∫∫ ( p
G
x
+ q y ) dxdy = ∫ pdy − qdx .
γ
Ahora, si f = u + iv es analítica sobre y en el interior de una curva de Jordan γ spp,
reescribimos la integral de f a lo largo de γ en la forma:
∫γ f ( z )dz = ∫γ (u + iv)(dx + idy) =∫γ udx − vdy + i ∫γ vdx + udy .
59
Si f ' es continua en G, entonces las primeras parciales u x , u y , v x , v y también lo son.
Al aplicar el teorema de Green a las dos integrales de línea de la derecha, se obtiene:
∫γ f ( z )dz = −∫∫ (v
G
x
+ u y )dxdy + i ∫∫ (u x − v y )dxdy .
G
Las primeras parciales satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, u x = v y y
u y = −v x , por que f es analítica. Por tanto, ambos integrandos del lado derecho son
cero. Como f ' ( z ) es continua en G hemos probado el teorema siguiente.
Teorema 4.10 Teorema de Cauchy.
Sea f ( z ) una función analítica sobre y en el interior de la curva de jordan γ spp.
Entonces:
∫γ f ( z )dz = 0 .
Ejemplo 10
Evalué
ez
∫ z =1 z 2 + 4 dz .
Solución: la notación empleada significa que la integración se toma sobre el círculo
unitario en su sentido positivo. La función f ( z ) = e z z 2 + 4 y su derivada
z 2 − 2z + 4 z
e
( z 2 + 4) 2
son analíticas sobre y en el interior de z = 1 . Como la derivada es analítica, es
f ' ( z) =
continua. Por ende el teorema de Cauchy de aplica y
ez
∫ z =1 z 2 + 4 dz = 0 .
4.4 Formula Integral de cauchy
Sea f ( z ) una función analítica en una región simplemente conexa que contenga a la
curva de Jordan γ spp. Entonces,
f (ξ ) =
f ( z)
1
dz ,
∫
2πi γ z − ξ
Para todos los puntos ξ en el interior de γ .
60
Demostración:
Se fija ξ . Entonces, dado ε < 0 , existe un disco cerrado z − ξ ≤ r en el interior de
γ para el cual f ( z ) − f (ξ ) < ε . (Figura 3.3).
Figura3.3
Como f ( z )
(Z − ξ )
es analítica en una región que contiene aquellos puntos sobre y
en el interior de γ , que satisfacen z − ξ ≥ r , el teorema de Cauchy para regiones
múltiplemente conexas implica:
f ( z)
f ( z)
1
1
dz =
dz.
∫
∫
γ
z
−
ξ
=
r
2πi z − ξ
2πi
z −ξ
Pero
∫
z −ξ = r
f ( z)
f ( z ) − f (ξ )
dz
dz = f (ξ ) ∫
+∫
dz.
z −ξ = r z − ξ
z −ξ = r
z −ξ
z −ξ
La primera integral del lado derecho será igual a 2πi, entonces:
∫
z −ξ = r
f ( z ) − (ξ )
f ( z)
dz − 2πif (ξ ) ≤ ∫
dz < 2πε .
z −ξ = r
z −ξ
z −ξ
Como ε puede elegirse arbitrariamente cercano a cero completamos la
demostración.■
Ejemplo 11
Integre
61
cos z
dz
3
+z
∫γ z
sobre las curvas dadas: (a) γ : z = 2 , (b) γ : z = 1 2 y (c) γ : z − i 2 = 1 .
Solución: (a) γ : z = 2 . Al descomponer la integral por fracciones parciales, se
obtiene
cos z
cos z
1 cos z
1 cos z
dz = ∫
dz − ∫
dz − ∫
dz
3
γ
+z
2 γ z +i
2 γ z −i
z
∫γ z
1
1
⎡
⎤
= 2πi ⎢cos(0) − cos(i ) − cos(i )⎥ = 2πi[1 − cosh(1)] .
2
2
⎣
⎦
(b) γ : z = 1 2 . Como cos z ( z 2 + 1) es analítica sobre y en el interior de γ , la
integral es igual a 2πi veces su valor en z = 0 , esto es,
cos z
dz = 2πi
3
+z
∫γ z
(c) γ : z − i 2 = 1 . Como cos z ( z + i ) es analítica sobre y en el interior de γ , por
fracciones parciales se tiene
1
1 ⎞
⎛1
= i⎜ +
⎟,
z ( z − i) ⎝ z z − 1 ⎠
por lo cual
⎡ ⎛ cos(0) ⎞ ⎛ cos(i ) ⎞⎤
cos z
⎡ 1
⎤
dz = 2πi ⎢i⎜
⎟ − i⎜
⎟⎥ = 2πi ⎢1 − cosh(1)⎥ .
3
+z
⎣ 2
⎦
⎣ ⎝ i ⎠ ⎝ 2i ⎠⎦
∫γ z
Por supuesto, en los tres ejemplos se puede utilizar la descomposición por fracciones
parciales de la parte (a), por que las integrales correspondientes se anulan cuando los
puntos 0 o ± i están en el exterior de γ .
Teorema 4.11 Teorema de Morera.
Si f (z ) es continua en una región simplemente conexa G y satisface que
∫γ f ( z )dz = 0 ,
Para todas las curvas γ spp cerradas en G, entonces f (z ) es analítica en G.
62
Demostración:
Elegimos un punto z 0 en G y definimos
z
F ( z ) = ∫ f (ξ ) dξ ,
z0
Para todo z en G. luego entonces, F (z ) esta bien definida por que es independiente
de la trayectoria: si γ 1 y γ 2 son curvas spp en G que van de z 0 a z , entonces
γ = γ 1 - γ 2 es una curva spp en G, y
0 = ∫ f (ξ ) dξ = ∫ f (ξ ) dξ − ∫ f (ξ ) dξ .
γ
γ1
γ2
Si f es continua, para cualquier punto z en G y ε > 0 existe un disco ξ − z < δ
en G talque f (ξ ) − f ( z ) < ε . Si h < δ , se tiene
z
1 z+h
F ( z + h) − F ( z ) 1 ⎡ z + h
=
f (ξ )dξ − ∫ f (ξ )dξ ⎤ = ∫ f (ξ )dξ ,
∫
⎥⎦ h z
z0
h
h ⎢⎣ z0
Donde la integración puede tomarse sobre la recta desde z hasta z + h . Como
f ( z) z+h
dξ ,
h ∫z
f ( z) =
Por sustracción se obtiene
F ( z + h) − F ( z )
1 z+h
1
− f ( z ) = ∫ [ f (ξ ) − f ( z )]dξ ≤
z
h
h
h
∫
z+h
z
f (ξ ) − f ( z ) dξ < ε .
Por tanto F ' ( z ) = f ( z ) , así que f e analítica en G. Pero entonces F tiene
derivada analítica, lo que implica que f también es analítica en G.■
Ejemplo 12
Integre
∫γ z
Sobre (a) γ : z =
cos z
dz .
( z − 1)
2
1
1
, (b) γ : z − 1 = y (c) γ : z = 2 .
3
3
63
Solución: (a) γ : z =
1
. En este caso cos z ( z − 1) es analítica sobre y en le interior
3
de γ , así que, por el teorema de Cauchy para las derivadas, se obtiene
⎛ cos z ⎞
⎜
⎟
⎝ z − 1 ⎠ dz = 2πi⎛ cos z ⎞
⎜
⎟
∫γ z 2
⎝ z −1 ⎠
= −2πi .
z =0
1
. Ahora que z −2 cos z es analítica sobre y en el interior de γ , por lo
3
tanto, la integral es igual a 2πi veces el valor de z −2 cos z en z = 1 , esto es,
z −2 cos z
1 1 ⎞
⎛ 1
∫γ z − 1 dz = ∫γ cos z⎜⎝ z − 1 − z − z 2 ⎟⎠dz
(b) γ : z − 1 =
= 2πi[cos(1) − cos(o) + sen(0)] = 2πi[cos(1) − 1] ,
Por el teorema de Cauchy para las derivadas.
64
CONCLUSIONES
Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de números
negativos. Así se abre la puerta a un curioso y sorprendente mundo en el que todas las
operaciones (salvo dividir entre 0) son posibles.
Inicialmente en 1545, el matemático italiano Girolamo Cardano, en un tratado
monumental acerca de la solución de las ecuaciones cúbica y cuadrática hizo la
introducción de los números complejos. Más tarde el matemático Gauss demostró que
todo polinomio con coeficientes complejos se descompone en factores lineales, es
decir, que tiene todas sus raíces en C: este es el teorema fundamental del álgebra. Otro
descubrimiento de Gauss, fue que la aritmética de los números complejos, introducida
formalmente a partir de la relación i = − 1 , tiene una interpretación geométrica
sencilla si identificamos los elementos de C con los puntos del plano.
Lo cual me motiva al estudio de las estructuras de los números complejos, su algebra,
sus axiomas de cuerpo, representación geométrica y polar sus derivadas e integrales,
etc. La importancia de los números complejos está marcada por sus múltiples
aplicaciones en diversas Áreas (Matemáticas, Física, Ingeniería, Tecnología, etc.
Contribuyendo así al desarrollo de la tecnología del actual siglo.
En general los números complejos son la base y la estructura matemática más
importante para el análisis y desarrollo de nuevas propuestas tanto científicas como
intelectuales de la humanidad en el transcurso de los siguientes años.
65
BIBLIOGRAFÍA
[A] Apóstol, T. M. Análisis Matemático, Reverte, Barcelona, 1994.
[C] Churchill, R. V. Variable Compleja y Aplicaciones, McGraw-Hill, Nueva York,
1992.
[D] Derrick, W. R. Variable Compleja con Aplicaciones, Grupo Editorial
Iberoamérica, México, 1984.
[L] Lipschutz, S. Topología General, McGraw-Hill, Nueva York, 1970.
66
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