¿Cómo razonamos en nuestras vidas cotidianas? La regla de

28/08/2012
conceptos básicos:
la lógica
lógica proposicional
CONTENIDO
Fórmulas y su semántica [H6.2].
Funciones de verdad [H6.2]. Formas
lógica
normales [H6.2]. Razonamiento formal:
proposicional
1
reglas de inferencia, pruebas, sistemas
axiomáticos [H6.3]. Completitud y
sensatez [H6.2].
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
La lógica es la disciplina que trata con métodos de
razonamiento.
La lógica provee reglas y técnicas para determinar
si un argumento dado es válido.
2
HEIN, JAMES. Discrete Structures,
Logic and Computability. Jones and
Bartlett Publishers. 1995 - 2001
Augustus De Morgan
(1806-1871)
conceptos básicos:
la lógica
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
3
Pregunta:
¿Qué relación existe entre la lógica y la
computación?
mecanizar tareas complejas.
 verificación de programas (¿coincide lo que se
cree que hace el programa y lo que realmente
hace?).
 los ordenadores lo constituyen circuitos
lógicos.
 la lógica formal puede considerarse como una
especie de lenguaje de programación.

¿cómo razonamos?
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
4
¿Cómo razonamos en nuestras vidas
cotidianas?
Declaramos hechos y luego declaramos
conclusiones en base a esos hechos.
Utilizamos palabras o frases de la siguiente
lista para indicar que se realiza cierta
conclusión:
por lo tanto
entonces
de esto se concluye que
de esto sigue que
…
¿cómo razonamos?
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
5
La regla de inferencia más común se
denomina modus ponens y funciona de
la siguiente manera:
Supongamos A y B son sentencias y
asumamos que
A entonces B es verdadera y
A es verdadera
Entonces podemos concluir
B es verdadera
George Boole
(1815-1864)
¿cómo razonamos?
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
6
Ejemplo típico de inferencia por modus
ponens:
Si llueve entonces hay nubes en el cielo
Llueve
Por lo tanto hay nubes en el cielo
¿Cómo se aprende la regla de modus
ponens?
Probablemente
durante la infancia
1
28/08/2012
¿cómo razonamos?
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
7
Otra regla que se aprende durante la
infancia es llamada modus tollens y
funciona de la siguiente manera:
Supongamos A y B son sentencias y
asumamos que
¿cómo razonamos?
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
Falacias lógicas
Non sequitur: no se sigue
Ío es la luna de Júpiter
Titán es la luna de Saturno
La Tierra es el tercer planeta más cercano al sol
lógica
proposicional
8
Si un objeto es de oro, brilla.
Esta daga brilla.
Esta daga es de oro.
A entonces B es verdadera y
B es falsa
Entonces podemos concluir
A es falsa
Si es Bahiense es Argentino
No es Bahiense
No es Argentino
cálculo proposicional
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
9
Una oración que es verdadera o falsa se
denomina proposición:
Ejemplos
El verano comienza en junio en el
hemisferio Sur.
2+2=4.
Si llueve, entonces hay nubes en el cielo.
Puedo ir o no ir al cine esta noche.
Todos los enteros son pares.
Existe un número primo mayor que 10100
(googol).
cálculo proposicional
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
10
Conectivos lógicos
(o ’) negación
Λ conjunción
V disyunción
→ implicación
┐
Otros conectivos se
introducen para
simplificar notación
ej: ↔ equivalencia
A
B
┐A
AΛ B
AVB
A→B
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
sintaxis vs. semántica
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
11
Sintaxis:
¿Es esta sentencia gramaticalmente
correcta?
Semántica
¿Cuál es el significado de la siguiente
expresión?
sintaxis
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
12
Conjunto de símbolos:
Símbolos de verdad: v, f
Conectivos : Λ,V,→,┐
Variables Proposicionales: P, Q, R
Símbolos de puntuación: ( , )
2
28/08/2012
sintaxis
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
Definición informal de fórmula bien
formada (fbf)
Una fórmula bien formada es
un símbolo de verdad
una letra proposicional
la negación de una fbf
la conjunción de dos fbf
la disyunción de dos fbf
la implicación de una fbf a otra fbf
una fbf rodeada de paréntesis
13
sintaxis
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
Ejemplos de fbf:
verdadero, falso, P, ┐Q, P ΛQ, P→Q,
(PVQ) ΛR, PΛQ → R
14
Ejercicios
Dar una gramática BNF para las fbf del
cálculo proposicional.
Mostrar que PΛQVR es una fbf.
Mostrar que P→QV(RΛ┐Q) es una fbf.
sintaxis
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
¿Es posible asociar una tabla de verdad
a cada fbf?
Sí, pero antes debemos establecer una
jerarquía de precedencia para los
conectivos:
lógica
proposicional
15
┐ (mayor precedencia, aplicar primero)
Λ
V
→ (menor precedencia, aplicar último)
sintaxis
PVQΛR
significa
P V (Q Λ R)
P→Q→R
significa
(P → Q) → R
┐P V Q
significa
(┐P) V Q
┐
┐P) → ((P Λ Q) V R)
lógica P → P Λ Q V R
significa
(
proposicional
┐┐P
┐
significa
(┐ P)
16
Toda fbf tiene un árbol de sintaxis natural que muestra
claramente la jerarquía de los conectivos.
Λ
Ejemplo:
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
A continuación planteamos algunos
ejercicios para repasar el concepto de tablas
de verdad.
lógica
proposicional
Ejercicio

17

Asumamos que P→Q es falso
¿Cuáles son los posibles valores de verdad
para las siguientes fbf?
PVQ
┐P → Q Λ R
¿Y si asumimos P→Q es verdadero?
¿Qué valores de verdad deben tener P, Q,
R, S y T para que la siguiente fbf sea falsa?
( P ΛQ ) Λ R  ( S V T )
┐
R)
Q
┐
R
árbol sintáctico
mostrando jerarquía
de conectivos
semántica
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
V
P
P Λ (Q V
Además Λ, V y → son asociativos a
izquierda
Notar analogía con expresiones aritméticas
semántica
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
18
Tautologías, Contradicciones y
Contingencias
Una fbf cuyos valores de verdad son
siempre verdaderos (v) es llamada
tautología.
Una fbf cuyos valores de verdad son
siempre falsos (f) es llamada
contradicción.
Una fbf cuyos valores de verdad son a
veces v y otras f es llamada
contingencia.
3
28/08/2012
semántica
Dos fbf son equivalentes si tienen la misma
tabla de verdad.
Se nota A ↔ B o A≡B
lógica
proposicional Ya vimos algunos ejemplos. Repasémoslos y
19
veamos algunos nuevos.
Algunas equivalencias básicas
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
Negación Disyunción Conjunción
┐┐A ≡ A
AΛv ≡ A
AVv≡v
AVf≡A
AΛf ≡ f
AVA≡A
AΛA ≡ A
A V ┐A ≡ v A Λ ┐A ≡ f
semántica
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
20
Implicación
A→v≡v
A → f ≡ ┐A
v→A≡A
f → ┐A ≡ v
A→A≡v
Algunas conversiones
A→B≡ ┐ A VB
┐(A→B) ≡AΛ┐B
A→B ≡ AΛ┐B → f
AVB≡BVA
AΛ B ≡ B ΛA
(A V B) V C ≡ A V (B V C)
(A Λ B) Λ C ≡ A Λ (B Λ C)
A Λ (B V C) ≡ (A Λ B) V (A Λ C)
A V (B Λ C) ≡ (A V B) Λ (A V C)
semántica
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
21
Leyes de absorción
semántica
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
A Λ (AVB)≡ A
A V (AΛB)≡ A
A Λ (┐AVB)≡ AΛB
A V (┐AΛB)≡ A VB
lógica
proposicional
22
Propiedades de la equivalencia:
 ≡ es una relación de equivalencia.
 Cualquier sub-fbf de una fbf puede ser
reemplazada por una fbf equivalente
sin cambiar el valor de verdad de la fbf
original.
Leyes de De Morgan
┐(AΛB)≡ ┐ A
V┐B
B
┐(AVB)≡ ┐ A Λ ┐
funciones booleanas
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
23
¿Que otros conectivos unarios existen
además de ‘’?
P
g1(P)
P
g2(P)
P
g3(P)
P
g4(P)
v
f
v
v
f
v
f
v
f
f
v
f
f
v
¿Cuántos
conectivos
binarios diferentes
podríamos definir?
En general
podemos
2n
definir 2 conectivos
n-arios
v
f
forma normal disyuntiva
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
24
Expresando otros conectivos en términos de
Λ,V y 
P Q
g(P,Q)
v
v
f
paso 1:
v
f
v
 PQ
P Q
g(P,Q)
f
v
v
 PQ
v v
v/f
f
f
f
v f
v/f
f
v
v/f
f
f
v/f
paso 2:
 (PQ)  (PQ)
Toda fbf es equivalente a una forma normal
disyuntiva (FND)
4
28/08/2012
forma normal conjuntiva
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
De manera análoga
P Q
lógica
proposicional
25
g(P,Q)
v
v
f
v
f
v
f
v
v
f
f
f
conjunto completo de conectivos
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
paso 1:
paso 2:
 P  Q
lógica
proposicional
26
Dado que se puede expresar cualquier
función de verdad utilizando sólo ‘’,
‘’, e ‘’, decimos que el conjunto de
operadores {, , } es completo.
Recordemos las leyes de De Morgan:
(P  Q) ≡ P  Q
(P  Q) ≡ P  Q
 (P  Q )  (P  Q)
Por la propiedad de substitución, dado
que {, , } es un conjunto completo,
de conectivos también lo son los
conjuntos {, } y {, }
PQ
Toda fbf es equivalente a una forma
normal conjuntiva (FNC)
un poco de terminología
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
27

Un literal es una letra proposicional o su negación

Una conjunción fundamental es un literal o una
conjunción de dos o más literales

Una forma normal disyuntiva (FND) es
una conjunción fundamental, o
la disyunción de una o más conjunciones
fundamentales
Ejemplos: P, Q, P, Q
Ejemplos: P, PQ
Ejemplos:
seguimos con funciones de verdad y formas normales …
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
28
P  (PQ)
(P Q)  (Q P)
(P Q R)  ( P Q R)
P
P
PP
 P Q
Previamente presentamos un método
que permite obtener la FND y la FNC
para cualquier función de verdad.
Pregunta:
¿Qué ocurre cuando queremos obtener
la FND (FNC) a partir de una tabla que
no tiene ningún valor verdadero
(falso)?
P   P ≡ falso
dos maneras para obtener FND
Podemos construir
una FND para
cualquier función de
verdad utilizando el
lógica
proposicional
método visto en la
29
clase previa
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
Otra manera es
mediante el uso de
equivalencias que
permiten transformar
una fbf en una fbf en
FND
P Q g(P,Q)
v
v
f
f
v
f
v
f
paso 1:
paso 2:
f
v  PQ
 (PQ)  (PQ)
v  PQ
f
método para transformar una fbf a FND
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
1.
2.
30
Remover todas las apariciones del
conectivo →
A→B≡  A VB
Llevar las negaciones hacia adentro para
crear literales utilizando leyes de De
Morgan
1.
¿Existe un método
automático para
tal fin?
P   P ≡ verdadero
2.
3.
(A  B) ≡ A  B
(A  B) ≡ A  B
Aplicar las leyes distributivas para obtener
una FND
A  (B  C) ≡ (A  B)  (A  C)
A  (B  C) ≡ (A  B)  (A  C)
5
28/08/2012
método para transformar una fbf a FND
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
Ejemplo
Escribir la siguiente fbf en FND
((P  Q)  (Q → R))
((P  Q)  (Q → R))
 (P  Q)   (Q → R)
( P   Q)   (Q → R)
( P   Q)   ( Q  R)
( P   Q)  (Q   R)
lógica
proposicional
31
≡
≡ (De Morgan)
≡ (De Morgan)
≡ (implicación)
(De Morgan)
más terminología: el caso de FNC
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
De manera análoga a la FND, existen dos
maneras para obtener una FNC para
cualquier función de verdad
lógica  Utilizando el
paso 2:
P Q g(P,Q) paso 1:
proposicional
método de la
 P  Q
f
v v
33
tabla de verdad v f v
 (P  Q )  (P  Q)
f v
v
visto en la
PQ
f
f f
clase previa

32
lógica
proposicional
35
Ejemplo
((P  Q)  (Q → R))
 (P  Q)  (Q → R)
(P   Q)   (Q → R)
(P   Q)   (Q  R)
(P   Q)  (Q  R)
≡
≡ (De Morgan)
≡ (De Morgan)
≡ (implicación)
(De Morgan)
La obtenida no es una forma completa.
Realizamos los siguientes pasos adicionales aplicando
equivalencias básicas y la ley distributiva:
(PQ)  (Q  R) ≡
(PQ)  (RR )  (QR)  (PP) ≡
(PQR)  (PQR)  (PQR)  (PQR)
Un forma normal conjuntiva (FNC) es una
disyunción fundamental o la conjunción de
dos o más disyunciones fundamentales.
formas completa
Supongamos que una fbf W tienen n letras
proposicionales diferentes. Una FND para W
se denomina forma norma disyuntiva
completa si cada conjunción fundamental
lógica
tiene exactamente n literales, uno para cada
proposicional
una de las n letras que aparecen en W.
34
Ejemplo
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
(P  Q  R)  ( P  Q  R) es una FND completa.
P  ( P  Q) es una FND pero no es una FND
completa.
Mediante el uso de equivalencias que
permiten transformar una fbf en una fbf en
FNC
Escribir la siguiente fbf en FND completa
((P  Q)  (Q → R))

Ejemplos: P  (P  Q),
(P  Q)  (Q  P)
(P  Q  R)  ( P  Q  R)
P
P
PP
PQ
La definición para forma norma conjuntiva
completa es análoga.
método para transformar una fbf a FND completa
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
Una disyunción fundamental es un literal o
una disyunción de dos o más literales.
Ejemplos: P, P  Q
lógica
proposicional
dos maneras para obtener FNC
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS

razonamiento formal
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
36
Las tablas de verdad son suficientes
para determinar si una fbf es
verdadera.
Sin embargo, construir una tabla de
verdad para una fbf con muchas
variables y conectivos puede volverse
una tarea muy compleja.
Alternativa: utilizar un sistema de
razonamiento formal.
6
28/08/2012
reglas de inferencia
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
37
Regla de inferencia:
Patrón sintáctico que establece que a
partir de un conjunto de premisas
(hipótesis o antecedentes) podemos
derivar una conclusión.
P1
…
Pk
C
“” significa “por lo tanto”
reglas de inferencia
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
38
lógica
proposicional
39
Modus Ponens (MP)
A
A→B
B
A
B
A→B
A  (A→B)
A  (A→B) → B
v
v
f
f
v
f
v
f
v
f
v
v
v
f
f
f
v
v
v
v
Cualquier tautología condicional de la forma P1  ... 
Pk → C puede ser usada como regla de inferencia.
Por ejemplo, la tautología
(A → B)   B →  A
da lugar a la regla de
Modus tollens (MT)
B
AB
A
lógica
proposicional
41
Silogismo Disyuntivo (SD)
A  B, A .
B
Silogismo Hipotético (SH)
A →B, B →C
A→C
Cuando P1  ...  Pk → C
es una tautología
(recordar definición de argumento
válido)
reglas de inferencia
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
40
reglas de inferencia
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
Pregunta: ¿Cuándo podemos
asegurar que una regla de
inferencia preserva la verdad?
P1
…
Pk
C
reglas de inferencia
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
Queremos que nuestras reglas de
inferencia preserven la verdad.
Listemos otras reglas de inferencia
Regla de Conjunción (Conj.)
A,B .
 AB
Regla de Simplificación (Simp.)
A  B.
A
Regla de Adición (Ad.)
A
.
 AB
axioma
Un axioma es una fbf que queremos usar
como base a partir de la cual podremos
razonar.
lógica
Un
axioma es usualmente una fbf que
proposicional
42
conocemos como verdadera (por ejemplo,
luego de verificar su valor de verdad usando
una tabla de verdad).
Cuando la lógica es aplicada a cierto tema,
entonces un axioma podría ser algo que
“queremos que sea verdadero” (ejemplo,
“dos puntos determinan una única recta”).
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
7
28/08/2012
sistemas de razonamiento
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
Reglas de
inferencia
Una teoría formal
lógica
proposicional
prueba
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
43
…
Axiomas de
la teoría
44
Una prueba es una secuencia finita de
fbf con la propiedad de que cada fbf en
la secuencia es
 un axioma, o
 puede ser inferido de fbf previas en la
secuencia
La última fbf en la secuencia es llamada
teorema.
Teoremas varios
adaptado de Rosen
pruebas
Escribiremos las pruebas en forma de
tabla, donde cada línea está
numerada y contiene una fbf junto
con la razón por la cual fue incluida.
Prueba
1.
W1 Razón para W1
2.
W2 Razón para W2
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
45
n.
prueba condicional (PC)
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
lógica
proposicional
47
P (premisa)
P
P
k.
D
…
1,2,3,k,PC
k+1. A B C → D
Wn Razón para Wn
Ejemplo
Probar la siguiente sentencia
(A  B)  (A  C)  A → B C
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
A
B
C
46
prueba condicional
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
1.
2.
3.
AB
AC
A
B
C
BC
(A  B)  (A  C)  A → B C
prueba condicional: simplificaciones
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
P
P
P
1,3,SD
2,3,SD
4,5,Conj
1,2,3,6,PC
lógica
proposicional
48
Ejemplo
Probar la siguiente sentencia
((A  B) → (B C)) → (B → C)  D
1. ((A  B) → (B C))
P
2.
B
P – sub-prueba (B → C)
3.
AB
2,Ad.
4.
B C
1,3,MP
5.
C
4,Simp.
6. B → C
2,5,PC – fin sub-prueba
7. (B → C)  D
6,Ad.
8. ((A  B) → (B C)) → (B → C)  D 1,7,PC
Advertencia: no usar líneas de la sub-prueba
para inferir líneas que aparezcan luego de que la
sub-prueba haya finalizado
8
28/08/2012
prueba condicional: simplificaciones
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
49
Ejemplo
Probar la siguiente sentencia
(A  B)  (B  C)  (C → D) → (A → D)
prueba indirecta (PI)
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
1. (A  B)
P
Nota: podemos
utilizar reglas de
2. B  C
P
equivalencia
3. C → D
P
4. A  B
1, (A  B) ≡ A  B
5.
A
P
6.
B
4,5,SD
7.
C
2,6,SD
8.
D
3,7,MP
9. A → D
5,8,PC
10. (AB)(BC)(C→D)→(A→D) 1,2,3,9,PC
lógica
proposicional
50
1.
2.
3.
A
B
C
P
P
P
4.
D
P para PI
k.
falso
…
1,2,3,4,k,PI
k+1. A B C → D
prueba indirecta
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
51
Ejemplo
Probar la siguiente sentencia
(A  B)  A  (C → B) → C
1. A  B
2. A
3. C → B
4. C
5. B
6. A
7. A  A
8. falso
9.(A  B)  A  (C → B) → C
pruebas
Ejercicio
Supongamos que tenemos las siguientes
premisas:
lógica
“No está soleado y no hace frío”
proposicional
52
“Si no está soleado entonces no vamos a
nadar”
“Si no vamos a nadar entonces vamos al
cine”
“Si vamos al cine entonces regresamos a
casa tarde.”
Probar que las premisas anteriores implican
“Regresamos a casa tarde”
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
P
P
P
P para PI
3,4,MP
1,5,SD
2,6,Conj
7,AA ≡ falso
1,2,3,4,8,PI
sensatez y completitud
pruebas
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
53
Ejercicio:
Mostrar que los siguientes argumentos
son válidos:
“Pedro sacó dos A’s, pero si Pedro no promocionó
entonces Pedro no sacó dos A’s, entonces Pedro
promocionó”.
“Si el programa es eficiente, entonces ejecuta
rápidamente. O bien el programa es eficiente o
bien tiene un error. Sin embargo, el programa no
ejecuta rápidamente. Por lo tanto el programa
tiene un error”.
Sensatez:
(correctitud/sanidad):
Queremos que todas
lógica las pruebas de
proposicional
teoremas devuelvan
54
tautologías.
tautologías
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
teoremas
tautologías
Completitud:
Queremos que todas
las tautologías puedan
ser probadas como
teoremas.
teoremas
9
28/08/2012
sistema de Hilbert (similar al original)
Axiomas
1. A  A → A
2. A → A  B
lógica
proposicional
3. A  B → B  A
55
4. (A → B) → (C  A → C  B)
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
5. A → B ≡  A  B ≡  (A   B)
pruebas usando el sistema de Hilbert
Teorema 1: (A → B)  (B → C) → (A → C)
1. (A → B)
P
2. (B → C)
P
3.
A
P
lógica
B
1,3,MP
proposicional 4.
5.
C
2,4,MP
56
6. A → C
3,5,PC
7. (A → B)  (B → C) → (A → C) 1,2,6,PC
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
David Hilbert
(1862-1943)
Reglas
 Regla de inferencia Modus Ponens
(MP)
 Regla de Prueba Condicional (PC)
Podemos usar teoremas previamente probados para
probar nuevos teoremas
Teorema 2: A → A
1. A → A  A
axioma 2
2. A  A → A
axioma 1
3. A → A
1,2, Teorema 1,MP
pruebas usando el sistema de Hilbert
LENGUAJES
FORMALES
Y
AUTÓMATAS
lógica
proposicional
57
Ejercicios
Dar una prueba para los siguientes
teoremas usando el sistema de Hilbert
Teorema 3:  A  A
Teorema 4: A   A
Teorema 5:  A    A
Teorema 6: A →  A
Teorema 7:   A→ A
10