Deducción de la ecuación dinámica del flujo

Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas
Nueva época. Publicación cuatrimestral. Enero-Abril 2007, volumen 3, número 1.
ISSN 1870-8196
Deducción de la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado
a partir de las ecuaciones de Saint Venant
Deduction of the dynamic equation of gradually
varied flow from Saint Venant equations
Carlos Francisco Bautista Capetillo
Julián González Trinidad
Dagoberto Chávez Carlos
Adalberto Castro Ávila
Unidad Académica de Ingeniería
Universidad Autónoma de Zacatecas
e–mail: [email protected]
Resumen
Para deducir la Ecuación Dinámica del Flujo Gradualmente Variado y obtener
así la variación de la profundidad del flujo, con respecto a la longitud en un
canal donde el agua circula a superficie libre y en condiciones permanentes,
por lo general, se utiliza la ecuación de la energía. No obstante, es posible
obtener esta misma expresión a partir de las ecuaciones de Continuidad y
Momentum de Saint Venant, las cuales son consecuencia de la aplicación de
los principios de la Conservación de la Masa y de la Conservación de la
Cantidad de Movimiento bajo ciertas hipótesis simplificatorias. En este trabajo se
obtiene la Ecuación Dinámica del Flujo Gradualmente Variado a partir de las
ecuaciones de Continuidad y Momentum de Saint Venant.
Palabras clave: canales; flujo gradualmente variado; ecuaciones de Saint
Venant.
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Abstract
In order to deduce the Dynamic Equation of Gradually Varied Flow and
therefore to obtain the variation of the flow depth with respect to the channel
length where water flows on a free surface and in steady conditions, the
equation of energy is generally used; nevertheless, it is possible to obtain the
same expression from the Continuity and Momentum Saint Venant equations,
which are a consequence of the application of Mass and Momentum
Conservation Principles under certain simplifying hypotheses. Based on the
above mentioned aspects, this paper shows how the Dynamic Equation of
Gradually Varied Flow from the Continuity and Momentum Saint Venant
equations is obtained.
Keywords: open channels; gradually varied flow; Saint Venant equations.
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Introducción
El manejo del agua en canales es fundamental para determinar las eficiencias
de operación en sistemas de conducción a superficie libre. El manejo está
relacionado con la regulación del flujo, que consiste en determinar los gastos
que circularán y/o los niveles a regular dentro de la red, de acuerdo con la
variación espacial y temporal durante la operación. Otro aspecto importante
tiene que ver con la medición del flujo en el sistema, por lo que es importante
conocer las características hidráulicas predominantes durante su operación y
definir las ecuaciones que mejor representen el fenómeno.
Cuando el régimen manifiesto en estos sistemas es el permanente no uniforme
(gradualmente variado o espacialmente variado), la ecuación de la energía se
emplea de manera generalizada en el análisis del fenómeno; sin embargo, el
flujo permanente no uniforme también se puede analizar a través de las
ecuaciones de Saint Venant, que expresan los principios de la conservación de
la masa y de la cantidad de movimiento. En esta investigación se exhibe el
análisis de la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado empleando las
ecuaciones de Saint Venant, así como las hipótesis básicas que representan el
fenómeno.
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Fundamentos del flujo gradualmente variado en canales
El flujo gradualmente variado (FGV) es aquél cuya profundidad varía a lo largo
de la longitud del canal, lo que implica las siguientes condiciones (Chow 1982):
ƒ
El flujo es permanente, es decir, que las características hidráulicas del flujo
permanecen constantes en el intervalo de tiempo considerado.
ƒ
Las líneas de corriente son prácticamente paralelas, esto es, que la
distribución hidrostática de la presión prevalece sobre la sección del
canal.
Además de las condiciones mencionadas con anterioridad, el desarrollo teórico
del FGV establece las siguientes hipótesis (Sotelo, 1989):
ƒ
La pendiente del fondo del canal es uniforme y pequeña, además no
ocurre arrastre de aire al interior del flujo.
ƒ
La curva de distribución de velocidades tiene la misma forma en
cualquier sección del canal, por lo tanto, el coeficiente de energía α es
constante.
ƒ
La perdida de energía más importante es la de fricción.
Las condiciones e hipótesis anteriores permiten emplear en el cálculo de la
profundidad del FGV, las expresiones establecidas para el movimiento uniforme
con aproximaciones satisfactorias (Silvestre 1983).
De esta manera, es posible describir el FGV en canales prismáticos con una
variable dependiente, tal como la profundidad de la sección del flujo, o en su
defecto, la profundidad del flujo (tirante hidráulico); en función de la longitud
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del canal, es decir, considerando la coordenada espacial x como variable
independiente.
Para el análisis de fenómenos hidráulicos se dispone de tres ecuaciones
fundamentales: de continuidad, de la cantidad de movimiento (momentum) y
de la energía (Berezowsky y Jiménez, 1995; Barrios, 2000). Con base en la
naturaleza del FGV, sólo se requiere emplear una de aquellas para determinar
los valores de la variable independiente en función de la longitud del canal.
Por lo general, se aplica la ecuación de la energía para lograr la ecuación
dinámica del FGV (Chow 1982; Sotelo 1989; Naudascher 2000). Sin embargo, es
posible obtener esta misma ecuación a partir de las ecuaciones de continuidad
y cantidad de movimiento de Saint Venant.
Ecuaciones de Saint Venant
Las ecuaciones de Saint Venant describen el movimiento del agua a superficie
libre en un canal y son el resultado de aplicar los principios de la conservación
de la masa y de la cantidad de movimiento (Fuentes, et al. 2001), bajo ciertas
hipótesis simplificatorias. A continuación se indican las hipótesis básicas en las
que se basan las ecuaciones de Saint Venant (Chow et al. 1994):
ƒ
El flujo es unidimensional e incompresible, osea, con densidad constante.
El tirante hidráulico y la velocidad del flujo varían sólo en la dirección del
eje longitudinal del canal. La velocidad es uniforme y la superficie libre es
horizontal a través de cualquier sección perpendicular al eje.
ƒ
Las líneas de flujo no tienen curvatura pronunciada, esto significa que el
flujo varía gradualmente a lo largo del canal, de forma que las
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aceleraciones verticales puedan considerarse despreciables. Lo anterior
implica que la distribución de presiones sea hidrostática.
ƒ
El fondo del canal es fijo y de pendiente pequeña, de modo que la
profundidad del flujo y el tirante son aproximadamente idénticos, de tal
suerte que los efectos de socavación y deposición son despreciables.
ƒ
Los coeficientes de resistencia para flujo uniforme permanente turbulento
son aplicables de forma que relaciones como la ecuación de Manning
pueden utilizarse para describir los efectos de resistencia.
Con base en las hipótesis de Saint Venant y aplicando los principios de la
Conservación de la Masa y de la Conservación de la Cantidad de Movimiento
a un volumen de control elemental de longitud dx en un canal como el
mostrado en la Figura 1, resultan las ecuaciones de Continuidad (Ecuación 1) y
de Momentum (Ecuación 2) de Saint Venant.
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V2
2g
Línea de energía
Fw
Q
y
Q+
θ
h
So
z
Q dx
x
Ff
x
dx
Dat um
a) Vist a de perfil longit udinal
q
Fpb
Vw
Fpl
Volumen de cont rol
Fpr
Q/A
Fpb
a) Vist a en plant a
B
b
y
dw
h
w
z
Dat um
a) Sección t ransversal
Figura 1. Volumen de control elemental en un canal (Chow, et. al.,1994).
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ƒ
Ecuación de Continuidad
∂A ∂Q
+
=q
∂ t ∂x
ƒ
[1]
Ecuación de Momentum
⎛Q2 ⎞
∂⎜
A ⎟⎠
∂y
∂Q
⎝
+ gA + gA(S f − S 0 ) = qV
+
∂x
∂x
∂t
[2]
Donde:
A(x,t) área hidráulica (m2)
Q(x,t) el gasto (m3/s) que circula por A
V(x,t) la velocidad media (m/s) en la dirección del flujo
q (x) descarga lateral (m2/s) (q>0: flujo entrante y q<0: flujo saliente)
y(x,t) tirante hidráulico (m)
Sf(x,t) pendiente de fricción
S0 pendiente del fondo del canal
g aceleración de la gravedad (m/s2)
La pendiente de la línea de fricción (Ecuación 3) se determina a partir de la
fórmula de Manning (Litrico y Fromion 2002).
Q 2n2
Sf = 2 23
A R
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[3]
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En ésta, n corresponde al coeficiente de fricción de Manning (s/m1/3) y R el
radio hidráulico (m), definido por R=A/P, donde P es el perímetro mojado (m).
Deducción de la ecuación dinámica del FGV a partir
de las ecuaciones de Saint Venant
Cuando se analiza un canal donde el flujo que se presenta es en régimen
permanente,
es
∂A
=0
∂t
decir,
y
∂Q
=0
∂t
para
las
ecuaciones
1
y
2
respectivamente y además, que en aquel régimen es posible emplear la
ecuación de continuidad Q = AV para determinar el caudal que pasa a través
de una sección transversal específica; resulta que las ecuaciones de
continuidad [1] y de momentum [2] de Saint Venant se pueden escribir como:
Para continuidad
A
Para Momentum
(
dV
dA
+V
=q
dx
dx
)
d AV 2
dy
+ gA + gA(S f − S 0 ) = qV
dx
dx
[4]
[5]
Si se aplican las propiedades de las derivadas al primer término del lado
izquierdo de la ecuación 5, ésta se puede formular de la siguiente manera:
AV
dV
dA ⎞
dy
⎛ dV
+V⎜ A
+V
⎟ + gA + gA(S f − S 0 ) = qV
dx
dx ⎠
dx
⎝ dx
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De acuerdo con lo que se ha establecido en la ecuación 4, el segundo término
del lado izquierdo de la ecuación 6 se puede escribir como: qV , ya que
A
dV
dA
+V
= q , de donde resulta:
dx
dx
V
dy
dV
+g
= g (S0 − S f )
dx
dx
Por otro lado, despejando
[7]
dV
de la ecuación 4 y con el conocimiento de que
dx
dA = Bdy , donde B es el ancho de la superficie libre del líquido, se obtiene:
dV q VB dy
= −
dx A A dx
[8]
Al sustituir la ecuación 8 en la ecuación 7 resulta que:
dy ⎛ V 2 B ⎞
qV
⎜⎜1 −
⎟⎟ = (S 0 − S f ) −
dx ⎝
gA ⎠
gA
Por último, si se despeja
[9]
V 2B
dy
de la ecuación 9 y se considera que el término
dx
gA
define el número adimensional de Froude elevado al cuadrado (F2), se llega a
la siguiente expresión:
dy S 0 − S f
qV
=
−
dx 1 − F 2
gA 1 − F 2
(
)
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[10]
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Ésta representa la ecuación dinámica para flujo espacialmente variado con
caudal decreciente debido a las extracciones laterales dentro del tramo de
canal en análisis; la cual se obtiene, por lo general, al aplicar el principio de la
energía (Chow, 1982; Camargo y Franco s/fecha). Si en la longitud de canal en
estudio no se manifiestan extracciones laterales, osea, q = 0 ; resulta que
dy
se
dx
puede calcular como:
dy S 0 − S f
=
dx 1 − F 2
[11]
Tal expresión es la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado, igual a la
que se obtiene en el análisis del flujo en régimen permanente y a superficie libre
cuando se emplea la ecuación de la energía (Chow 1982; Sotelo 1989;
Naudascher 2000).
Conclusiones
Por lo general, la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado se obtiene
al aplicar la ecuación de la energía bajo ciertas hipótesis básicas; sin embargo,
esta misma expresión se obtuvo considerando las ecuaciones de Continuidad y
Momentum de Saint Venant en condiciones de flujo permanente.
Las hipótesis básicas bajo las cuales fueron formuladas las ecuaciones de Saint
Venant, son en gran medida las mismas hipótesis asumidas en el flujo
gradualmente variado; así que es válido aplicar las ecuaciones de Saint Venant
en la deducción de la expresión que representa el fenómeno.
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Bibliografía
[1] Barrios, D. J. N. (2003). «Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica»,
Maestría en Planeación de Recursos Hidráulicos, Universidad Autónoma
de Zacatecas.
[2] Berezowsky, V. M. y Jiménez, C. A. A. (1995). «Flujo no Permanente en
Ríos», Capítulo 6 del Manual de Ingeniería de Ríos, Instituto de Ingeniería
de la Universidad Nacional Autónoma de México, ISSN 0185-2345.
[3] Camargo, H. J. E. y Franco, V. (sin fecha). «Hidráulica de Canales. Manual
de Ingeniería de Ríos, Capítulo 5», Instituto de Ingeniería de la
Universidad Nacional Autónoma de México, Comisión Nacional del
Agua.
[4] Chow, V. T. (1982). «Hidráulica de los Canales Abiertos», Diana, ISBN 96813-1327-5.
[5] Chow, V. T.; Maidment, D. R. y Mays, L. W. (1994). «Hidrología Aplicada».
University of Illinois, Urbana-Champaing, USA, McGraw-Hill, ISBN 958-600171-7.
[6] Fuentes, C.; Parlange, J. Y.; Saucedo, H. (2001) «Una Solución de Similitud
de las Ecuaciones de Saint Venant», XI Congreso Nacional de Irrigación,
Guanajuato, México.
[7] Litrico, X.; Fromion, V. (2002). «Infinite Dimensional Modelling for OpenChannel Hydraulic Systems for Control Purposes», 41th IEEE Conf. on
Decision and Control, Las Vegas, Nevada, pp. 1681-1686.
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[8] Naudascher, E. (2000). «Hidráulica de Canales», Limusa, ISBN 968-18-58913.
[9] Silvestre, P. (1983). «Fundamentos de Hidráulica General», Limusa, ISBN
968-18-1579-3.
[10] Sotelo, A. G. (1989). «Apuntes de Hidráulica II». Facultad de Ingeniería,
División de Ingeniería Civil, Topográfica y Geodésica, Departamento de
Hidráulica, Universidad Nacional Autónoma de México.
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