Espacios vectoriales reales

136 – Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal
Capı́tulo 9
Espacios vectoriales reales
9.1
Espacios vectoriales
Los conjuntos de vectores del plano, R2 , y del espacio, R3 , son conocidos y estamos acostumbrados a movernos
en sus direcciones (ancho, largo y alto), manejar sus medidas y ángulos. Pero todo eso es reflejo de su funcionamiento, mejor dicho, de la estructura que generan las pautas de su comportamiento y son estas pautas las
que vamos a extraer y fijar para exportar esta estructura tan cómoda y fiable
Definición 248.- Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto
con dos operaciones, una que recibe el nombre de suma de vectores y otra que recibe el nombre de producto
por escalares o producto de vectores por números reales, que verifican las siguientes propiedades:
(1) u + v ∈ V ;
∀ u, v ∈ V
(2) u + v = v + u ;
∀ u, v ∈ V
(3) u + (v + w) = (u + v) + w ;
∀ u, v, w ∈ V
(4) Existe un vector, llamado vector cero y denotado por , tal que:  + u = u +  = u ;
∀u ∈ V
(5) Para cada u ∈ V , existe un vector de V , llamado opuesto de u y denotado −u , tal que u + (−u) = 
(6) ku ∈ V ;
∀k ∈ R y ∀u ∈ V
(7) k(u + v) = ku + kv ;
(8) (k + l)u = ku + lu ;
(9) (kl)u = k(lu) ;
(10) 1u = u ;
∀ k ∈ R y ∀ u, v ∈ V
∀ k, l ∈ R y ∀ u ∈ V
∀ k, l ∈ R y ∀ u ∈ V
∀u ∈ V
Ejemplo Los conjuntos Rn , los conjuntos de polinomios reales Rn [X] = {P (X) ∈ R[X] : gr(P ) ≤ n} y los
conjuntos de matrices reales Mm×n = {matrices de tamaño m×n } , con las operaciones usuales en cada uno
de ellos, son espacios vectoriales reales. Por ser los escalares de R se dicen espacios vectoriales reales
Propiedades 249.- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:
(i) 0u = 
(ii) k = 
(iii) (−1)u = −u
(iv) ku =  ⇐⇒ k = 0 ó u = 
(v) El vector cero de un espacio vectorial es único.
(vi) El vector opuesto de cada vector del espacio vectorial es único.
9.2
.
Subespacios vectoriales
Definición 250.- Un subconjunto W de un espacio vectorial V se dice que es un subespacio vectorial de
V , si W es un espacio vectorial con las operaciones definidas en V .
Como W ⊆ V , todos los vectores de W verifican las propiedades 2 a 5 y 7 a 10, por tanto es suficiente probar
que las operaciones suma y producto por escalares son internas (se mantienen) en W , es decir
Proposición 251.- W ⊆ V es un subespacio vectorial de V si se cumplen las propiedades
( 1∗ ) u + v ∈ W ;
∀ u, v ∈ W
(6∗ ) ku ∈ W ;
Estas dos propiedades son equivalentes a la propiedad única:
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∀u ∈ W y ∀k ∈ R
ku + lv ∈ W ;
∀ u, v ∈ W y ∀ k, l ∈ R
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137 – Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal
9.3 Base y dimensión
Nota: Es claro, que si W es un subespacio de V , entonces  ∈ W .
Ejemplo R2 [X] es un subespacio de R4 [X] , pues es un subconjunto suyo y si P (X), Q(X) ∈ R2 [X] , el grado de
kP (X) + lQ(X) es gr(kP + lQ) = max{gr(kP ), gr(lQ)} ≤ max{gr(P ), gr(Q)} ≤ 2 , por lo que está en R2 [X] .
Sin embargo, {P (X) : gr(P ) = 2} no es un subespacio de R4 [X] , por dos razones: primero, porque no contiene
al polinomio cero; y segundo, no verifica la propiedad (1∗ ) ya que X2 y 2X − X2 son polinomios del conjunto
pero su suma X2 + (2X − X2 ) = 2X es un polinomio de grado 1 que no está en el conjunto.
4
Definición 252.- Se dice que un vector v ∈ V es una combinación lineal de los vectores v , v , . . . , vn si,
y sólo si, ∃ c1 , c2 , . . . , cn ∈ R tales que v = c1 v + c2 v + · · · + cn vn .
Definición 253.- Dado un conjunto de vectores S = {v , v , . . . , vk } de un espacio vectorial V , llamaremos
subespacio lineal generado por S y que denotaremos por lin S ó lin{v , v , . . . , vk } , al conjunto de todas
las combinaciones lineales que se pueden formar con los vectores de S :
n
o
lin S = lin{v , v , . . . , vk } = c1 v + c2 v + · · · + ck vk : ∀ ci ∈ R
y se dirá que S genera lin S o que los vectores v , v , . . . , vk generan lin S .
Naturalmente lin S es un subespacio vectorial de V , de hecho el más pequeño que contiene a S (Ejer. 9.234)
Definición 254.- Dado un conjunto S = {v , v , . . . , vk } de vectores del espacio vectorial V , la ecuación
vectorial c1 v + c2 v + · · · + ck vk =  tiene al menos una solución, a saber: c1 = c2 = · · · = ck = 0 . Si esta
solución es única, entonces se dice que S es un conjunto linealmente independiente (o que los vectores
de S son linealmente independientes). Si existen otras soluciones, entonces se dice que S es linealmente
dependiente (o que los vectores son linealmente dependientes).
Ejemplo El vector 2X − X2 de R2 [X] está generado por los vectores X − 1 y X2 − 2 
:
 −λ − 2µ = 0
λ=2
2X − X2 = λ(X − 1) + µ(X2 − 2) = λX − λ + µX2 − 2µ = (−λ − 2µ) + λX + µX2 =⇒

µ
= −1
luego 2X − X2 = 2(X − 1) + (−1)(X2 − 2) .
Ejemplo Los polinomios X + 2 y X2 de R2 [X] son linealmente independientes: si λ(X + 2) + µX2 = 0 (al
polinomio cero), se tiene que 0 = λ(X + 2) + µX2 = 2λ + λX + µX2 =⇒ 2λ = 0 , λ = 0 y µ = 0 , ya que los
coeficientes de ambos polinomios deben coincidir.
4
Nota: Si los vectores {v , v , . . . , vk } son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede escribir como
una combinación lineal de los otros; y si son linealmente independientes ninguno de ellos puede ser generado
por los restantes. Tenemos ası́ la siguiente caracterización para la dependencia lineal (Ejer.o 9.235):
“Un conjunto de dos o más vectores es linealmente dependiente si, y sólo si, al menos uno
de los vectores es una combinación lineal de los restantes.”
9.3
Base y dimensión
Lema 255.- Si vn+ = c1 v + · · · + cn vn , entonces lin{v , . . . , vn , vn+ } = lin{v , . . . , vn }.
Es fácil asumir que este resultado es cierto, ya que cualquier combinacion lineal de los n + 1 vectores puede
reconvertirse a una combinación lineal de los n primeros, por simple sustitución. En otras palabras, puede
reducirse el número de generadores mientras haya dependencia lineal, lo que nos lleva a:
Definición 256.- Sean V un espacio vectorial y S un conjunto finito de vectores de V . Diremos que S es
una base de V si:
a) S es linealmente independiente
y
b) S genera a V
Observación: El lema y comentario anteriores a esta definición nos indican la manera de reducir un conjunto
generador del espacio a una base.
Igualmente, podemos construir una base a partir de un conjunto linealmente independiente de vectores:
si S es linealmente independiente y lin S 6= V , tomando v ∈ V pero que v ∈
/ lin S , el conjunto S ∪ {v} es
linealmente independiente (ver el Lema 257 siguiente); y ası́, se añaden vectores a S hasta generar V .
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9.3 Base y dimensión
Lema 257.- Si S es un conjunto linealmente independiente de vectores de V y v ∈ V −lin S , entonces S∪{v}
es linealmente independiente.
.
De cierta forma, estamos diciendo que una base tiene el menor número posible de generadores y el mayor
número posible de vectores linealmente independientes (ver Lema 258 siguiente); luego ¿no tendrá una base un
número fijo de vectores? La respuesta la proporciona el Lema siguiente y se recoge en el Teorema de la base.
Lema 258.- Sean V un espacio vectorial y B una base de V formada por n vectores. Entonces cualquier
conjunto {v , v , . . . , vm } de vectores de V, con m > n, es linealmente dependiente.
.
Teorema de la base 259.- Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos
Demostración:
La demostración es muy sencilla si tenemos en cuenta el Lema anterior, pues si B1 es una base de n elementos
y B2 es una base de m elementos, por ser B1 base y B2 linealmente independiente, m 6> n y por ser B2 base
y B1 linealmente independiente n 6> m, luego n = m .
Definición 260.- En un espacio vectorial V se llama dimensión de V , dim V , al número de vectores que hay
de cualquier base de V .
El espacio vectorial V = {} diremos que tiene dimensión cero
n
o
R2 [X] = P (X) ∈ R[X] : gr(P ) ≤ 2 tiene dimensión 3, pues B = {1, X, X2 } forman una base. En
n
o
general, dim(Rn [X]) = n + 1 y B = 1, X, . . . , Xn es una base suya.
Ejemplo
n
o
Ejemplo 261 Los conjuntos Rn = R×R×· · ·×R = (x1 , . . . , xn ) : xi ∈ R, ∀ i
con las operaciones habituales de suma y producto por escalares
x + y = (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
λx = λ(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn )
son espacios vectoriales con dim Rn = n , ya que cualquier vector x ∈ Rn puede escribirse de la forma
x = (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 (1, 0, . . . , 0) + x2 (0, 1, . . . , 0) + · · · + xn (0, 0, . . . , 1)
y este conjunto de vectores
n
o
B = e = (1, 0, . . . , 0), e = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1)
es linealmente independiente. A esta base se la denomina base canónica de Rn .
4
Conocer a priori la dimensión de un espacio facilita la obtención de bases:
Proposición 262.- Si V es un espacio vectorial, con dim V = n . Entonces, un conjunto de n vectores de V
es base de V ,
b) si genera a V .
.
a) si el conjunto es linealmente independiente, o
9.3.1
Coordenadas en una base
Definición 263.- Sean V un espacio vectorial de dimensión finita y B = {v , v , . . . , vn } una base de V . Para
cada vector v ∈ V , se llaman coordenadas de v en la base B a los n únicos números reales c1 , c2 , . . . , cn
tales que v = c1 v + c2 v + · · · + cn vn .
Fijando un orden para los vectores de la base, el vector de Rn , de las coordenadas de v en B se denota
por (v)B = (c1 , c2 , . . . , cn ) y más usualmente por [v]B cuando lo escribimos como vector columna en las
operaciones con matrices: [v]B = (c1 , c2 , . . . , cn )t .
Ejemplo Si B = {v , v , v } es una base de V y v = v − v + 2v , se tiene que
(v)B = (1, −1, 2)
(v )B = (1, 0, 0)
(v )B = (0, 1, 0)
(v )B = (0, 0, 1)


 
 
 
o también
1
1
0
0
[v]B =  −1 
[v ]B =  0 
[v ]B =  1 
[v ]B =  0 
2
0
0
1
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9.3 Base y dimensión
Nota: Al usar vectores de coordenadas, es imprescindible mantener el orden de los vectores. Si, en el ejemplo anterior, tomamos como base B1 = {v , v , v } , tenemos que (v)B1 = (−1, 2, 1) que es un vector de coordenadas
distinto de (v)B = (1, −1, 2) .
Fijada una base, la unicidad de las coordenadas asigna a cada vector de V un único vector de Rn , de manera
que disponer de las coordenadas es, en el fondo, disponer del vector. Además, se cumple (ver ejercicio 9.243):
[v+w]B = [v]B + [w]B
y
[λv]B = λ[v]B ,
luego
[λ1 v +· · ·+λn vn ]B = λ1 [v ]B + · · · + λn [vn ]B
y con esto, no es dificil probar que (ejer. 9.243):
v ∈ lin{v , . . . , vk } ⊆ V ⇐⇒ [v]B ∈ lin{[v ]B , . . . , [vk ]B } ⊆ Rn
{v , . . . , vk } lin. independiente en V ⇐⇒ {[v ]B , . . . , [vk ]B } lin. independiente en Rn
{v , . . . , vn } base de V ⇐⇒ {[v ]B , . . . , [vn ]B } base de Rn
por lo que se puede trabajar sobre las coordenadas en lugar de sobre los vectores.
9.3.2
Espacios de las filas y las columnas de una matriz
De lo anterior, tenemos que independientemente del espacio vectorial en que nos encontremos, fijada una base,
podemos trasladar todo el trabajo operativo sobre los vectores de Rn ; por lo que resulta muy interesante conocer
esta sección.


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


Definición 264.- Consideremos la matriz Am×n =  .
..
..  .
 ..
.
...
. 
am1 am2 . . . amn
Los m vectores de Rn : r = (a11 , . . . , a1n ) , r = (a21 , . . . , a2n ) , . . . , rm = (am1 , . . . , amn ) , se denominan
vectores fila de A y al subespacio lineal generado por ellos, Ef (A) = lin{r , r , . . . , rm }, espacio de las
filas de A. Por supuesto Ef (A) ⊆ Rn .
Los n vectores de Rm : c = (a11 , . . . , am1 ) , c = (a12 , . . . , am2 ) , . . . , cn = (a1n , . . . , amn ) , se denominan
vectores columna de A y el subespacio lineal generado por ellos, Ec (A) = lin{c , c , . . . , cn } , espacio de
las columnas de A. Por supuesto Ec (A) ⊆ Rm .
Proposición 265.- Si A es una matriz de tamaño m×n , entonces las operaciones elementales sobre las filas
(resp. columnas) de A no cambian el espacio de las filas (resp. columnas) de A.
Demostración:
Claro, puesto que hacer operaciones elementales es hacer combinaciones lineales de los vectores, y el subespacio
lineal generado es el mismo (Ejer. 9.238)
Corolario 266.- Sea A una matriz, entonces:
a) Los vectores no nulos de una forma escalonada de la matriz A , forman una base de Ef (A) .
b) Los vectores no nulos de una forma escalonada de la matriz At , forman una base de Ec (A) .
Demostración:
Basta probar que los vectores no nulos de una forma escalonada son linealmente independientes, pero eso se
comprueba fácilmente ya que debajo de cada elemento principal sólo hay ceros.
Teorema 267.- Sea A una matriz de tamaño m×n , entonces:
dim(Ef (A)) = dim(Ec (A)) .
Demostración:
El resultado es inmediato, teniendo en cuenta que rg(A) = rg(At ) , y que el rango coincide con el número de
vectores no nulos en la forma escalonada, ası́ como el resultado anterior.
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9.4 Cambios de base
Estos resultados nos permiten usar el método de Gauss, y por lo tanto nos ofrecen un operativo sencillo, para
comprobar cuando un conjunto de vectores es linealmente independiente y para obtener bases.
Ejemplo ¿Los vectores X − 1 , X + 1 y X2 − 1 de R2 [X] son linealmente independientes?
Tomemos la base B = {1, X, X2 } de R2 [X] , entonces formamos por filas la matriz:


 




F2 +F1
(X − 1)B
−1 1 0
−1 1 0
−1 1 0 F + 1 F
F3 −F1
2 2
 0 2 0
 0 2 0  3−→
A =  (X + 1)B  =  1 1 0  −→
2
(X − 1)B
0 0 1
−1 0 1
0 −1 1
Por lo anterior, los vectores fila de la última matriz son linealmente independientes y dim Ef (A) = 3 . En
consecuencia, los tres vectores fila de la matriz A inicial que generan Ef (A) son también base, luego linealmente
independientes y los polinomios del enunciado también son linealmente independientes.
Además, forman una base de R2 [X] (¿por qué?).
4
9.4
Cambios de base
Puesto que las coordenadas están referidas a una base, al cambiar la base de trabajo, habrá que cambiar a las
coordenadas en la nueva base. Pero este proceso puede realizarse fácilmente, teniendo en cuenta lo siguiente:
Definición 268.- Sean B1 = {u , u , . . . , un } y B2 = {v , v , . . . , vn } son bases de un espacio vectorial V .
Recibe el nombre de matriz de transición o matriz de cambio de la base B1 a la base B2 , la matriz de
dimensiones n×n , que por columnas es
[u ]B2
[u ]B2
···
[un ]B2
P =
,
es decir, la columna i-ésima está constituida por las coordenadas en la base B2 , del vector ui de la base B1 .
En otras palabras, la matriz de cambio de base tiene por columnas las coordenadas en la base de llegada de
los vectores de la base de partida.
El porqué la matriz de paso se contruye ası́, puede observarse en la prueba de la proposición siguiente:
Proposición 269.- Sea P la matriz de paso de una base B1 en otra base B2 de un espacio V . Entonces:
1.- ∀ x ∈ V se tiene que [x]B2 = P · [x]B1 .
2.- P es inversible y su inversa, P −1 , es la matriz de paso de la base B2 a la base B1 .
Demostración:
Sea B1 = {u , u , . . . , un } y sea x = c1 u + c2 u + · · · + cn un . Entonces, Apartado 1:


c1
 c 
 2
P [x]B1 = [u ]B2 [u ]B2 · · · [un ]B2  . 
 .. 
cn
= c1 [u ]B2 + c2 [u ]B2 + · · · + cn [un ]B2 = [c1 u + c2 u + · · · + cn un ]B2 = [x]B2
Apartado 2: como los vectores de la base B1 son linealmente independientes, sus vectores de coordenadas en
la base B2 también lo son. Luego las columnas de P son vectores linealmente independientes y rg(P ) = n ,
por lo que P es inversible.
Además, [x]B2 = P [x]B1 =⇒ P −1 [x]B2 = P −1 P [x]B1 =⇒ P −1 [x]B2 = [x]B1
y P −1 es la matriz de
cambio de la base B2 en la base B1 .
Ejemplo Consideremos las bases B = {1, X, X2 } y B1 = {X − 1, X + 1, X2 − 1} de R2 [X] .
La matriz de paso de la base B1 a la base B será:


 −1 1
−1 1 −1
2
2
P = [X − 1]B [X + 1]B [X2 − 1]B =  1 1 0  y P −1 =  12 12
0 0 1
0 0
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−1
2
1
2


1
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9.5 Espacios vectoriales con producto interior
la matriz de paso de B a B1 .
Ejemplo Consideremos en R3 la base canónica Bc = {e = (1, 0, 0), e = (0, 1, 0), e = (0, 0, 1)} y la base
B1 = {v = (1, 0, −1), v = (2, −1, 1), v = (0, −1, 1)}.
Como v = 1(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) − 1(0, 0, 1) = e − e , se tiene que (v )Bc = (1, 0, −1) ; y lo mismo para los
otros vectores, luego la matriz de paso de la base B1 a la base Bc será:
P =
[v ]Bc
[v ]Bc
[v ]Bc


1 2 0
=  0 −1 −1 
−1 1 1
−1
1 2 0
=  0 −1 −1 
−1 1 1

y
P −1
la matriz de paso de la base Bc a la base B1 .
4
Nota: A la vista del ejemplo anterior, obtener las coordenadas de un vector de Rn en la base canónica de Rn
es inmediato, pues (x)Bc = x . Pero ¡ciudado!, al trabajar con vectores de Rn no hay que confundir el vector
con las coordenadas en una base, pues la igualdad anterior únicamente es cierta en la base canónica.
9.5
9.5.1
Espacios vectoriales con producto interior
Producto interior. Norma. Distancia
Definición 270.- Un producto interior en un espacio vectorial real V es una función que a cada par de
vectores u, v ∈ V le asocia un número real, que denotaremos por hu, vi, de tal manera que se cumplen las
siguientes propiedades:
1.- hu, vi = hv, ui; ∀ u, v ∈ V .
2.- hu + v, wi = hu, wi + hv, wi ; ∀ u, v, w ∈ V .
3.- hku, vi = khu, vi ; ∀ u, v ∈ V y ∀ k ∈ R.
4.- hu, ui ≥ 0 ; ∀ u ∈ V
y
hu, ui = 0 ⇐⇒ u =  .
Otra propiedades que se deducen de las anteriores son:
1.- h, ui = 0
2.- hu, v + wi = hu, vi + hu, wi
3.- hu, kvi = khu, vi
Ejemplo Considerar en R2 [X] , la función hP (X), Q(X)i = P (1)Q(1) + P 0 (1)Q0 (1) + P 00 (1)Q00 (1) .
(1) hP (X), Q(X)i = P (1)Q(1) + P 0 (1)Q0 (1) + P 00 (1)Q00 (1)
= Q(1)P (1) + Q0 (1)P 0 (1) + Q00 (1)P 00 (1) = hQ(X), P (X)i
(2) hP (X) + R(X), Q(X)i = P (1) + R(1) Q(1) + P 0 (1) + R0 (1) Q0 (1) + P 00 (1) + R00 (1) Q00 (1)
= P (1)Q(1)+P 0 (1)Q0 (1)+P 00 (1)Q00 (1) + R(1)Q(1)+R0 (1)Q0 (1)+R00 (1)Q00 (1)
= hP (X), Q(X)i + hR(X), Q(X)i
0
0
00
00
(3) hkP (X), Q(X)i = kP
(1)Q(1) + kP (1)Q (1) + kP (1)Q (1)
= k P (1)Q(1) + P 0 (1)Q0 (1) + P 00 (1)Q00 (1) = khP (X), Q(X)i
2 2 2
(4) hP (X), P (X)i = P (1)P (1) + P 0 (1)P 0 (1) + P 00 (1)P 00 (1) = P (1) + P 0 (1) + P 00 (1) ≥ 0 .
Y, se da la igualdad si y sólo si, P (1) = P 0 (1) = P 00 (1) = 0 . Entonces, sea P (X) = a + bX + cX2 , de donde
P 0 (X) = b + 2cX y P 00 (X) = 2c; de las igualdades se
tiene:
a+b+c=0 
b + 2c = 0
P (1) = P 0 (1) = P 00 (1) = 0 ⇐⇒
⇐⇒ a = b = c = 0 ⇐⇒ P (X) = 0 .

2c = 0
Luego tenemos un producto interno definido en R2 [X] .
4
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9.5 Espacios vectoriales con producto interior
A partir de un producto interior sobre un espacio V se definen los conceptos de norma, distancia y ángulo.
Definición 271.- Si V es un espacio vectorial con producto interior, entonces la
módulo) de un vector v ∈ V se denota mediante kvk y se define como
p
kvk = + hv, vi.
norma (o longitud o
La distancia entre dos vectores u y v de V se denota mediante d(u, v) y se define como
p
d(u, v) = ku − vk = + hu − v, u − vi.
Desigualdad de Cauchy-Schwarz 272.- Para todo u, v ∈ V, espacio con producto interior, se tiene
2
2
hu, vi2 ≤ kuk kvk
|hu, vi| ≤ kuk kvk .
o en la forma
Propiedades básicas de la norma 273.-
.
Propiedades básicas de la distancia 274.-
1.- kuk ≥ 0 ; ∀ u ∈ V
1.- d(u, v) ≥ 0 ; ∀ u, v ∈ V
2.- kuk = 0 ⇐⇒ u = 
2.- d(u, v) = 0 ⇐⇒ u = v
3.- kkuk = |k| kuk; ∀ u ∈ V y ∀ k ∈ R
3.- d(u, v) = d(v, u) ; ∀ u, v ∈ V
4.- ku+vk ≤ kuk+kvk; ∀ u, v ∈ V
4.- d(u, v) ≤ d(u, w)+d(w, v) ; ∀ u, v, w ∈ V
La prueba de estas propiedades es análoga a la de las Propiedades del módulo complejo 7.
Observación: Sean V un espacio con producto interior y B = {u , . . . , un } una base de V . Tomemos dos
vectores v = a1 u + · · · + an un y w = b1 u + · · · + bn un , entonces
hv, wi = ha1 u + · · · + an un , wi = a1 hu , wi + · · · + an hun , wi
= a1 hu , b1 u + · · · + bn un i + · · · + an hun , b1 u + · · · + bn un i
= a1 hu , u ib1 + · · · + a1 hu , un ibn + · · · + an hun , u ib1 + · · · + an hun , un ibn



b1
hu , u i · · · hu , un i

  .. 
..
..
t
..
= a1 · · · an 
  .  = (v)B QB [w]B = [v]B QB [w]B
.
.
.
hun , u i · · · hun , un i
bn
luego, fijada una base, un producto interior se puede obtener a partir de las coordenadas en la base.
Definición 275.- Sea B base de un espacio V con producto interior. Se llama matriz métrica (o de Gram)
del producto interior asociada a la base B , a la matriz QB tal que hu, vi = [u]tB QB [v]B para cada u, v ∈ V
Nota: Por las propiedades 1 y 4 (1 a parte) del producto interior, QB es simétrica y los elementos de la diagonal
positivos. Y de la propiedad 4 (2 a p.) debe cumplirse hu, ui = [u]tB QB [u]B > 0 para todo u ∈ V − {} . Una
matriz simétrica compliendo esto se dice matriz definida positiva (ver Tema 12 de Formas cuadráticas)
Proposición 276.- Una matriz simétrica A es definida
a11 a12 |a11 | > 0
···
a21 a22 > 0
9.5.1.1
positiva
si y solo
si son positivos los menores
a11 · · · a1k .. . .
.. > 0
···
|A| > 0
.
.
.
ak1 · · · akk El espacio euclı́deo n-dimensional Rn
Definición 277.- En el espacio vectorial Rn , la función que a cada x, y ∈ Rn le asocia
n
P
hx, yi = x · y = (x1 , . . . , xn ) · (y1 , . . . , yn ) = x1 y1 + · · · + xn yn =
xi yi
i=1
es un producto interior que se conoce como producto escalar euclı́deo o producto euclı́deo (ya usado en R2
y R3 ). Que da lugar a la norma y distancia euclı́deas, ya conocidas:
p
p
√
kxk = x · x = x21 + · · · + x2n y d(x, y) = kx − yk = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2
Se llama espacio euclı́deo n-dimensional a Rn con el producto interior euclı́deo.
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143 – Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal
9.5 Espacios vectoriales con producto interior
Nota: En Rn con el producto euclı́deo, la matriz métrica en la base canónica es la identidad. Pero también al
revés, cuando la matriz métrica sea la identidad cualquier producto interior se reduce al producto euclı́deo de
las coordenadas; y esto ocurre precisamente para las bases ortonormales que se estudian a continuación
9.5.2
Ortogonalidad
Definición 278.- Si u y v son vectores distintos de cero de un espacio con producto interior, como consecuencia
hu,vi
de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene que −1 ≤ kukkvk
≤ 1 y, por tanto, existe un único ángulo, θ ,
tal que
hu, vi
cos θ =
, con 0 ≤ θ ≤ π
kuk kvk
Definición 279.- En un espacio vectorial con producto interior, dos vectores u y v se dicen que son ortogonales si hu, vi = 0 . Suele denotarse por u ⊥ v .
Si u es ortogonal a todos los vectores de un conjunto W , se dice que u es ortogonal a W .
Se dice que S = {v , v , . . . , vk } es un conjunto ortogonal si los vectores son ortogonales dos a dos, es
decir, si vi ⊥ vj para todo i 6= j .
Ejemplo Los vectores de la base canónica de R3 con el producto escalar euclı́deo son ortogonales entre si,
pero no lo son si el producto interior definido es:
hv, wi = v1 w1 + v1 w2 + v2 w1 + 2v2 w2 + v3 w3 . (Pruébese
que es un producto interior). En efecto: he , e i = h(1, 0, 0), (0, 1, 0)i = 0 + 1 + 0 + 0 + 0 = 1 6= 0 .
4
Nota: Si dos vectores son ortogonales, el ángulo que forman es de π radianes (los famosos 90 grados). De hecho,
en Rn con el producto escalar euclı́deo, la ortogonalidad coincide con la perpendicularidad.
Una curiosidad:
Teorema general de Pitágoras 280.- Si u y v son dos vectores ortogonales de un espacio vectorial con producto interior, entonces
2
2
2
ku + vk = kuk + kvk .
Este resultado, de fácil comprobación, se reduce en R2 con el producto escalar al Teorema de Pitágoras.
También es sencillo probar el resultado siguiente (ver ejercicio 9.250):
Proposición 281.- Si w ⊥ {v , v , . . . , vk } , entonces w ⊥ lin{v , v , . . . , vk } .
Mucho más interesante es el siguiente, que relaciona ortogonalidad e independencia:
Teorema 282.- Si S = {v , v , . . . , vk } un conjunto finito de vectores no nulos, ortogonales dos a dos, entonces
S es linealmente independiente.
.
9.5.2.1
Bases ortonormales. Proceso de Gram-Schmidt
Definición 283.- Sean V un espacio vectorial de dimensión n con producto interior. Se dice que la base
B = {v , v , . . . , vn } es una base ortonormal de V , si B es un conjunto ortogonal y kvi k = 1 , ∀ i.
n
o
−1 √1
√1 , √1 , √
,
son ortonormales en R2 con el producto escalar
Ejemplo Las bases canónica y B1 =
2
2
2
2
√
euclı́deo. La base B2 = {(2, 0), (0, − 2)} es ortonormal para el producto interior hx, yi = x14y1 + x22y2 . 4
Teorema 284.- Si B = {v , v , . . . , vn }es una base ortonormal para un espacio V con producto interior,
entonces ∀ v ∈ V se tiene que (v)B = hv, v i, hv, v i, . . . , hv, vn i . Es decir,
v = hv, v iv + hv, v iv + · · · + hv, vn ivn ,
Demostración:
Si v = c1 v + · · · + ci vi + · · · + cn vn , para cada i, se tiene que
hv, vi i = hc1 v + · · · + ci vi + · · · + cn vn , vi i
2
= c1 hv , vi i + · · · + ci hvi , vi i + · · · + cn hvn , vi i = ci hvi , vi i = ci kvi k = ci
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144 – Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal
9.6 Ejercicios
Es decir, en una base ortonormal, la obtención de cordenadas es más sencilla. Y no sólo eso:
Teorema 285.- Si P es la matriz de paso de una base ortonormal B1 a otra base ortonormal B2 , entonces
P es una matriz ortogonal (es decir, P −1 = P t ).
La prueba es puramente operativa, con la definición y el apartado b) del ejer. 9.253 (ver también ejer. 9.258).
Definición 286.- Sean V un espacio con producto interior, W subespacio de V y B = {w , w , . . . , wk } base
ortonormal de W . Para cada v ∈ V , llamaremos proyección ortogonal de v sobre W al vector de W
ProyW (v) = hv, w iw + hv, w iw + · · · + hv, wk iwk .
Al vector v−ProyW (v) se le llama componente ortogonal de v sobre W .
La proyección ortogonal no depende la base ortonormal elegida, es decir, tomando otra se obtiene lo mismo. La
prueba puede encontrarse en el Anexo, pág. 144, tras la demostración del Lema 287 siguiente.
Lema 287.- Sean V un espacio vectorial con producto interior, W subespacio de V y B base ortonormal de
W . Entonces para cada v ∈ V , el vector v− ProyW (v) es ortogonal a W .
.
Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt 288.- Sean V un espacio vectorial con producto interior y
de dimensión finita. Vamos a describir este proceso que construye a partir de una base B = {v , v , . . . , vn }
una base ortonormal B ∗ = {u , u , . . . , un } .
Demostración:
1 a etapa.- Como v 6=  por ser de B , el vector u =
v
tiene norma 1 y lin{u } = lin{v } .
kv k
2 a etapa.- Sea W1 = lin{u } , por el Lema anterior, el vector v − ProyW1 (v ) es ortogonal a W1 , en
/ W1 = lin{v } , entonces tiene que
particular a u , y es distinto del vector  pues ProyW1 (v ) ∈ W1 y v ∈
v − ProyW1 (v )
v − hv , u iu
u = v − ProyW (v ) = kv − hv , u iu k ∈ lin{v , v }
1
es ortogonal a u y tiene norma 1. Además, lin{u , u } = lin{v , v } .
3 a etapa.- Sea ahora W2 = lin{u , u }, como antes, el vector v − ProyW2 (v ) es ortogonal a W2 , en
/ W2 = lin{v , v } , entonces
particular a u y u , y es distinto del vector , pues ProyW2 (v ) ∈ W2 y v ∈
se tiene que
v − ProyW2 (v )
v − hv , u iu − hv , u iu
u = v − ProyW (v ) = kv − hv , u iu − hv , u iu k ∈ lin{v , v , v }
2
es ortogonal a u y u , y tiene norma 1. Además, lin{u , u , u } = lin{v , v , v } .
n a etapa.- Con la repetición del proceso se ha construido un conjunto ortonormal de n vectores no nulos,
B ∗ = {u , u , . . . , un }, tal que lin B ∗ = lin B = V . Luego B ∗ es una base ortonormal de V .
9.6
Ejercicios
9.229 Determinar si son espacios vectoriales los siguientes conjuntos:
a) R2 con las operaciones: (x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ) y k(x, y) = (2kx, 2ky) .
b) A = {(x, 0) : x ∈ R} con las operaciones usuales de R2 .
c) R2 con las operaciones: (x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 + 1, y + y 0 + 1) y k(x, y) = (kx, ky) .
d) El conjunto de los números reales estrı́ctamente positivos, R+ −{0} , con las operaciones: x+x0 = xx0
y kx = xk .
9.230 ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R3 ó R4 ?
a) {(a, 1, 1) ∈ R3 : a ∈ R} ⊆ R3
b) {(a, b, c) ∈ R3 : b = a + c} ⊆ R3
c) {(a, b, c, d) ∈ R4 : a + 2d = 7} ⊆ R4
d) {(a, b, c, d) ∈ R4 : ba = 0} ⊆ R4
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145 – Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal
9.6 Ejercicios
9.231 Sean v = (2, 1, 0, 3) , v = (3, −1, 5, 2) y v = (−1, 0, 2, 1) vectores de R4 . ¿Cuáles de los vectores
(2, 3, −7, 3) , (0, 0, 0, 0) , (1, 1, 1, 1) y (−4, 6, −13, 4) , están en lin{v , v , v } ?
−1
−1
−1
−1 −1
9.232 ¿Para qué valores reales de λ los vectores v = (λ, −1
2 , 2 ) v = ( 2 , λ, 2 ) y v = ( 2 , 2 , λ) forman
3
un conjunto linealmente dependiente en R ?
9.233 Dados tres vectores linealmente independientes u , v y w , demostrar que u + v , v + w y w + u son
también linealmente independientes.
9.234 Sea V un espacio vectorial y S = {v , . . . , vk } un conjunto de vectores de V . Probar que:
a) lin S es un subespacio vectorial de V .
b) Si W es un subespacio de V que contiene a los vectores de S , entonces lin S ⊆ W .
9.235 Probar que si los vectores v , . . . , vk son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede
escribir como una combinación lineal de los restantes.
9.236 Determinar la dimensión de los siguientes subespacios de R4 :
a) Todos los vectores de la forma (a, b, c, 0) .
b) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con d = a + b y c = a − b.
c) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con a = b = c = d .
9.237 Probar que los vectores solución de un sistema no homogéneo compatible, AX = B , de m ecuaciones con
n incógnitas no forman un subespacio de Rn . ¿Qué ocurre si el sistema es homogéneo, es decir, si B = 0 ?
n
o
9.238 Sea W = lin v , v , v . Probar que, para λ 6= 0 , se cumple:
a)
n
o
lin v + λv , v , v = W
n
o
b) lin λv , v , v = W
9.239 Sean E y F subespacios de un espacio V . Probar que:
subespacio de V .
c)
n
o
lin v , v , v = W
E ∩ F = {v ∈ V : v ∈ E y v ∈ F } es un
9.240 Considerar en R4 los conjuntos de vectores:
A = {(1, 2, −1, 3), (0, 1, 0, 3)}
B = {(1, −1, 1, 0), (2, 3, 1, 2), (0, 0, 0, 1)}
a) Hallar las dimensiones de lin(A) y de lin(B) , y encontrar una base
b) Hallar las ecuaciones paramétricas de lin(A) y de lin(B) .
c) Hallar las ecuaciones cartesianas de lin(A) y de lin(B) .
d) Hallar la dimensión de lin(A) ∩ lin(B) .
9.241 Consideremos en el espacio vectorial R3 la base B = {u , u , u } . Sea E el subespacio engendrado por
los vectores
v = u + 3u , v = 2u − 3u + u , v = 4u − 3u + 7u .
Sea F el subespacio engendrado por los vectores
w = u + u + u , w = 2u + 3u + 4u , w = 3u + 4u + 5u .
Hallar una base de E , una base de F , el subespacio E ∩ F y una base de E ∩ F .
9.242 Sea M2×2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 sobre R y sea E el subconjunto de
a
b+c
M2×2 formado por las matrices de la forma
con a, b, c ∈ R .
−b + c a
a) Demostrar que E es un subespacio vectorial.
1 0
0 1
0 1
b) Probar que las matrices A1 =
, A2 =
y A3 =
, forman una base de E .
0 1
−1 0
1 0
9.243 Sea B una base de un espacio vectorial V de dimensión n . Demostrar que el conjunto {v , v , . . . , vn }
es una base de V si, y sólo si el conjunto {[v ]B , [v ]B , . . . , [vn ]B } es una base de Rn .
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146 – Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal
9.6 Ejercicios
9.244 En una cierta base {u , u , u , u } de un espacio vectorial V , un vector w tiene por coordenadas
(3, 1, 2, 6) . Hallar las coordenadas de w en otra base {v , v , v , v } cuyos vectores verifican que v =
u +u , v = 2u −u , v = u −u y v = 2u −u .
9.245 En R3 se consideran las bases B = {v = (2, 0, 0), v = (0, −1, 2), v = (0, 0, −3)} y la base canónica
Bc = {e , e , e } . Hallar las coordenadas respecto de la base B del vector x = 4e + e − 5e .
9.246 Se consideran en R3 las bases B = {u , u , u } y B 0 = {v , v , v }, siendo
u = (−3, 0, −3) , u = (−3, 2, −1) , u = (1, 6, −1) y
v = (−6, −6, 0) , v = (−2, −6, 4) , v = (−2, −3, 7) .
a) Hallar la matriz de paso de B a B 0 .
b) Calcular la matriz de coordenadas, [w]B , siendo w = (−5, 8, −5) .
c) Calcular [w]B 0 de dos formas diferentes
9.247 Sean u = (u1 , u2 , u3 ) y v = (v1 , v2 , v3 ) . Determinar si hu, vi = u1 v1 − u2 v2 + u3 v3 define un producto
interior en R3 .
9.248
a) Encontrar dos vectores de R2 con norma euclı́dea 1 y cuyo producto euclı́deo con (−2, 4) sea cero
b) Probar que hay infinitos x ∈ R3 con kxk = 1 y el producto euclı́deo x · (−1, 7, 2) = 0
−1
9.249 Sean a = ( √15 , √
) y b = ( √230 , √330 ) . Demostrar que {a, b} es ortonormal si R2 tiene el producto interior
5
hu, vi = 3u1 v1 + 2u2 v2 donde u = (u1 , u2 ) y v = (v1 , v2 ) , y que no lo es si R2 tiene el producto euclı́deo
9.250 Sea V un espacio con producto interior. Probar que si un vector w es ortogonal a cada uno de los vectores
v , v , . . . , vk entonces es ortogonal a todo el conjunto lin{v , v , . . . , vk }
9.251 Considera R3 con el producto interior euclideo. Utiliza el proceso de Gram-Schmidt para transformar, en
cada caso, la base {u , u , u } en una base ortonormal.
a) u = (1, 1, 1) , u = (−1, 1, 0) , u = (1, 2, 1) .
b) u = (1, 0, 0) , u = (3, 7, −2) , u = (0, 4, 1) .
9.252 Sea R3 con el producto escalar hu, vi = u1 v1 + 2u2 v2 + 3u3 v3 . Utilizar el proceso de Gram-Schmidt para
transformar la base formada por los vectores (1, 1, 1) , (1, 1, 0) y (1, 0, 0) en una base ortonormal
9.253 Sea B = {v , v , v } una base ortonormal de un espacio V con producto interior. Comprobar que:
2
a) kwk = hw, v i2 + hw, v i2 + hw, v i2 ; ∀ w ∈ V .
b) hu, wi = (u)B · (w)B = [u]tB [w]B ; ∀ u, w ∈ V .
9.254 Tomemos en R4 el producto interior euclideo. Expresar el vector w = (−1, 2, 6, 0) en la forma w =
w +w donde, w esté en el subespacio W generado por los vectores u = (−1, 0, 1, 2) y u = (0, 1, 0, 1) ,
y w sea ortogonal a W .
9.255 Suponer que R4 tiene el producto interior euclideo.
a) Hallar un vector ortogonal a u = (1, 0, 0, 0) y u = (0, 0, 0, 1) , y que forme ángulos iguales con los
vectores u = (0, 1, 0, 0) y u = (0, 0, 1, 0) .
b) Hallar un vector x de longitud 1, ortogonal a u y a u , tal que el coseno del ángulo entre x y u
sea el doble del coseno del ángulo entre x y u .
9.256 Hallar la distancia del vector u = (1, 1, 1, 1) de R4 al subespacio generado por los vectores v = (1, 1, 1, 0)
y v = (1, 1, 0, 0) .
9.257 Dados los vectores x = (x1 , x2 , x3 ) e y = (y1 , y2 , y3 ) de R3 , demostrar que la expresión hx, yi =
2x1 y1 + 2x2 y2 + x3 y3 + x1 y2 + x2 y1 define un producto interior.
Encontrar una base {u , u , u } ortonormal respecto al producto interior anterior tal que u y u tengan
igual dirección y sentido que los vectores (0, 1, 0) y (0, 0, 1) , respectivamente.
9.258 Probar que una matriz A de orden n es ortogonal si, y sólo si sus vectores fila forman un conjunto
ortonormal en Rn .
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