Fundamentos teóricos y resolución gráfica

A partir del planteamiento del problema de Programación Lineal expresado en su
formulación estándar, vamos a estudiar las principales definiciones y resultados
que soportan el aspecto teórico del procedimiento de solución que veremos
posteriormente.
max
s.a.:
Z = CX
AX = B
X ≥0
A: matriz de coeficientes tecnológicos.
B: vector de disponibilidad de recursos.
C: vector de precios o costes unitarios.
3.1. DEFINICIONES
Algunos conceptos que utilizaremos en lo sucesivo son:
Función objetivo: la función a optimizar f(X).
Sistema de restricciones lineales: conjunto de todas las restricciones.
Solución factible: X = (x1 , , xn ) que satisfaga el conjunto de restricciones
lineales.
Solución factible básica: la que tiene a lo sumo m variables no nulas.
Solución factible básica no degenerada: la que tiene exactamente m variables no
nulas.
Solución óptima: la mejor entre las factibles.
Región de factibilidad (F): conjunto de todas las soluciones posibles o factibles.
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Siempre que el problema incluya únicamente dos o tres variables de decisión,
podemos representar gráficamente las restricciones para dibujar en su intersección
el poliedro convexo que conforma la región de factibilidad F.
Si el número de variables es dos, las restricciones, semiespacios cerrados, son
semiplanos delimitados por la recta que corresponde a cada restricción. Si el
número de variables es tres, los semiespacios en este caso están delimitados por
planos.
4.1. REGLA DE LOS CINCO PASOS
Para hallar, gráficamente, la solución de un problema de Programación Lineal con
dos variables, procederemos del siguiente modo:
Paso 1: representaremos todas las restricciones del problema para determinar la
región de factibilidad F. Si ésta es vacía, el problema no tiene solución óptima, se
dice que es inconsistente. En otro caso, ir al paso 2.
Paso 2: identificar los extremos o vértices de F.
Paso 3: dibujar una de las rectas que pertenece a la familia de rectas paralelas que
representa la función objetivo, f(X) = k. Habitualmente, suele dibujarse f(X) = 0 por
comodidad.
Paso 4: desplazamos paralelamente a sí misma la recta que representa la función
objetivo para determinar la dirección de mejora, que será aumento o disminución
según si el objetivo del problema es la maximización o minimización de dicha
función.
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Paso 5: el punto extremo de F al que corresponde el valor óptimo para la recta que
representa la función objetivo es la solución óptima finita del problema.
Nota: hay que tener en cuenta que pueden presentarse las situaciones estudiadas
en el apartado anterior, cuando existe más de un punto extremo o la región de
factibilidad es no acotada.
4.2. EJEMPLO (El problema de la ración)
Supongamos que se quiere elaborar una ración que satisfaga unas condiciones
mínimas de contenidos vitamínicos diarios, por ejemplo 2 mg de vitamina A, 60
mg de B y 40 mg de C. Para ello se van a mezclar dos clases de piensos, P y Q,
cuyo precio por kilogramo es, respectivamente, de 40 y 60 pesetas, y cuyo
contenido en las vitaminas citadas es:
A
B
C
1 kg de P
1 mg
20 mg
10 mg
1 kg de Q
0.5 mg
20 mg
20 mg
¿Cómo deben mezclarse los piensos para que satisfagan esas necesidades
vitamínicas con el menor gasto posible?.
Solución:
Denotamos: x = cantidad de P que se debe consumir diariamente.
y = cantidad de Q que se debe consumir diariamente.
La función objetivo a minimizar en este caso consiste en el coste producido
por la compra de los piensos P y Q, esto es:
f(x, y) = 40x + 60y
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Las restricciones lineales que aseguran que se satisfacen las necesidades
mínimas en contenido de vitaminas quedan expresadas como:
x + 0.5 y ≥ 2
20 x + 20 y ≥ 60
10 x + 20 y ≥ 40
(vitamina A)
(vitamina B)
(vitamina C)
Con todo ello, y las restricciones de no negatividad debido a la definición de
las variables, el problema queda planteado como sigue:
min
s.a.:
f(x, y) = 40x + 60y
x + 0.5 y ≥ 2
20 x + 20 y ≥ 60
10 x + 20 y ≥ 40
x ≥ 0, y ≥ 0
Dibujamos la región de factibilidad:
4
A
3
B
2
C
1
D
0
1
40x + 60y = 0
2
x + 0.5y = 2
3
4
10x + 20y = 40
20x + 20y = 60
El mínimo se alcanza en C(2,1), esto es, se necesitan 2 kilogramos de P y 1
kilogramo de Q, con un coste diario por animal de 140 pesetas.
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Otra opción de resolver este tipo de problemas en dos dimensiones consiste en,
una vez localizados los puntos extremos en el paso 2, sustituir los pasos 3, 4 y 5 del
método de resolución gráfica por una simple sustitución de los vértices en la
función objetivo para localizar visualmente en cuál se alcanza el óptimo buscado.
En esta segunda opción, hay que tener en cuenta que si la región de factibilidad no
está acotada como en el ejemplo, es necesario seleccionar, junto con los vértices, un
punto en cada una de las restricciones por las que no se cierra la región factible, y
una vez sustituidos en la función objetivo, realizar el límite a lo largo de la
restricción correspondiente. Ilustramos esta operación con el ejemplo que estamos
considerando.
En este caso, los vértices son: A(0,4), B(1,2), C(2,1), D(4,0), y consideramos dos
puntos de la forma E(x,0), F(0,y) que corresponden a las rectas que abren la región
factible. Sustituimos estos seis puntos en la función objetivo a minimizar:
f(A) = f(0,4) = 240
f(B) = f(1,2) = 160
f(C) = f(2,1) = 140
f(D) = f(4,0) = 160
f(E) = f(x,0) = 40x
f(F) = f(0,y) = 60y
lim 40 x = +∞
x → +∞
lim 60 y = +∞
y → +∞
Como es obvio, el resultado es el mismo. Es de destacar en este ejemplo que la
misma función con las mismas restricciones no posee máximo acotado.
4.3. OBSERVACIONES
Observación 1:
Si f(x, y) = ax + by, la dirección de “mejora” se obtiene geométricamente de la
siguiente manera:
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•
Si b > 0, el máximo se calculará trasladando paralelamente f(x, y) = k
hasta que toque al último vértice, donde se encontrará el máximo. Para
el caso de mínimo, se realizará lo mismo para el primer vértice.
•
Si b < 0, se procede de manera contraria, esto es, para el máximo nos
fijaremos en el primer vértice, y para el mínimo en el último.
Observación 2:
En caso de duda, calcular el valor de f en los vértices, si la región de factibilidad
está acotada. Si no lo está, mirar también en puntos “alejados” a ver que pasa
(como ya hemos mencionado antes).
Observación 3:
Observemos, por último, que este mismo procedimiento puede seguirse en el caso
de que el problema incluya tres variables, efectuando una representación espacial
en IR 3. Lógicamente, si la dimensión del problema es mayor, la representación
gráfica es imposible.
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