Péndulo simple

Prácticas de laboratorio de Fı́sica I
Péndulo simple
Curso 2010/11
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Objetivos
• Comprobar los factores que determinan el periodo de un péndulo simple.
• Determinar la aceleración de la gravedad a través del periodo de un péndulo.
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Material
• Trı́pode con barra soporte.
• Hilo de nylon.
• Bolas de diferentes materiales.
• Regla graduada.
• Cronómetro.
• Célula fotoeléctrica y ordenador portátil
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Fundamento teórico
Un péndulo simple está formado por una pequeña masa, m, colgada del extremo de un
hilo, que se supone de masa despreciable e inextensible, unido por el otro extremo a un
soporte fijo. De este modo, cuando se da un pequeño impulso a la masa, oscila alrededor
de la posición vertical de equilibrio. Las fuerzas que actúan sobre la masa, cuando está
separada un ángulo θ de la posición de equilibrio, son las que se muestran en el esquema.
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θ
l
T
m
s
θ
P
Si denominamos s al desplazamiento sobre el arco de circunferencia y aplicamos la
segunda ley de Newton en la dirección del movimiento:
ft = −m g sen θ = m
d2 s
dt2
donde ft son las fuerzas tangenciales (en la dirección del movimiento) y el signo negativo
se debe al sentido elegido para el movimiento (hacia la izquierda). En términos de ángulos
(s = lθ):
−g sen θ = l
d2 θ
dt2
−→
d2 θ
g
= − sen θ
2
dt
l
Si consideramos que el ángulo θ es suficientemente pequeño se puede hacer la aproximación sen θ ' θ y se obtiene:
d2 θ
g
=− θ
2
dt
l
Con esta hipótesis resulta que la aceleración angular es proporcional al ángulo, lo que
da lugar a un movimiento oscilatorio de tipo armónico simple. La solución de la ecuación
diferencial anterior se puede expresar como:
θ = θ0 cos(ωt + δ)
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donde θ0 y δ son el desplazamiento angular y el desfase iniciales, respectivamente y ω es
la frecuencia angular de la oscilación: ω 2 = g/l. Por lo tanto, el periodo de oscilación
(tiempo que tarda la masa en realizar una oscilación completa, hasta regresar al punto de
partida) resulta ser:
s
2π
l
= 2π
T =
ω
g
En consecuencia, dentro de las hipótesis que consideramos se puede afirmar que el
periodo de oscilación de un péndulo simple no depende de su masa sino únicamente de la
longitud del hilo y del valor particular de g en el lugar donde se encuentra el péndulo.
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Realización práctica
4.1
Influencia de la masa
Se coloca una de las masas que se suministran colgada del hilo con una longitud aproxi◦
mada de 1 m. Se separa un ángulo pequeño (∼ 10 ) de la posición vertical de equilibrio y
se deja oscilar. Con el cronómetro se mide el tiempo que tarda el péndulo en completar 25
oscilaciones y se determina el periodo de la oscilación. Repite la medida 3 veces y toma
para T el valor medio. Vuelve a realizar el procedimiento con las otras masas disponibles.
Representa en una tabla las medidas obtenidas.
Calcula el periodo también con la célula fotoeléctrica y el programa DataStudio. Para
ello, mide directamente el periodo con la célula 3 veces para cada masa y toma el valor
medio.
4.2
Influencia de la longitud del hilo
Con objeto de estudiar la dependencia del periodo con la longitud del hilo, utiliza la masa
esférica y disminuye la longitud del hilo 10 cm. Mide el periodo realizando 3 observaciones
de 25 oscilaciones cada una. Repite el proceso disminuyendo de 10 en 10 centı́metros la
longitud del hilo hasta completar un total de 6 longitudes distintas.
Para cada longitud calcula también el periodo con la célula fotoeléctrica, repitiendo
la medida 3 veces.
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4.3
Influencia de la amplitud inicial
Con la masa esférica y fijada la longitud del hilo aproximadamente a 90, 80, y 70 cm
◦
determina el periodo si la amplitud inicial es mucho mayor que 10 (por ejemplo, deja
◦
oscilar el péndulo desde un ángulo inicial de 45 aproximadamente). Representa en una
tabla las medidas obtenidas.
Para cada amplitud calcula también el periodo con la célula fotoeléctrica, repitiendo
la medida 3 veces.
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Resultados a obtener
1. Comparando las medidas realizadas con la longitud fija (1 m) y distintas masas,
discute cuál es la influencia de la masa en el periodo del péndulo, tanto en las
medidas realizadas con cronómetro como con la célula fotoeléctrica. ¿Está esto de
acuerdo con la teorı́a?
2. Representa gráficamente T 2 = T 2 (l) y ajusta por mı́nimos cuadrados tomando los
valores de T y l obtenidos en los apartados 4.1 y 4.2 para la bola esférica de acero.
A partir del ajuste, calcula el valor de la aceleración de la gravedad, g. Repite estos
cálculos y la figura con las medidas tomadas con el ordenador.
3. Calcula g a partir de los resultados del apartado 4.3 para amplitudes iniciales
grandes. ¿El valor que obtienes es más próximo al valor teórico para g que el resultado obtenido en el apartado anterior? Según la teorı́a, ¿deberı́a ser más próximo o
más lejano?
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Cuestiones
1. ¿Bajo qué hipótesis básicas el periodo de un péndulo sólo depende de la longitud
del hilo y de g?
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2. Imagina dos péndulos idénticos, uno situado a nivel del mar y el otro a 6000 m de
altitud, ¿sus periodos serán idénticos?
3. Si un péndulo de 1 m de longitud se quiere utilizar como reloj, ¿cuántas oscilaciones
representan 1 hora?
4. Un péndulo ha sido diseñado para funcionar como reloj cuando la temperatura
◦
ambiente es de 20 C. ¿Qué sucederá en un dı́a de verano si la temperatura se
◦
aproxima a los 40 C, el reloj se adelantará o se atrasará?
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