Definición: Un endomorfismo de V es una aplicación lineal f : V

5.
5.1.
Endomorfismos
Endomorfismos
Definición: Un endomorfismo de V es una aplicación
lineal f : V =⇒ V .
Observación: para los endomorfismos, la base del
conjunto inicial y la base del conjunto final debe ser la
misma.
La fórmula del cambio de base será:
Mf,B0,B0 =
MB0 (B) Mf,B0,B0 MB (B 0)
= (MB (B 0))−1 Mf,B0,B0 MB (B 0).
Definición: dos matrices A, A0 ∈ Mn×n(K) son semejantes si existe P ∈ Mn×n(K) con det(P ) 6= 0
tal que
A0 = P −1 A P.
Propiedad: si A y A0 son semejantes (es decir, representan el mismo endomorfismo) =⇒ det(A) = det(A0).
El objetivo de este tema es: dada una matriz cuadrada ,
encontrar la matriz semejante más sencilla (es diagonal
o casi diagonal).
Hay mucho motivos por los que es útil, dado un endomorfismo, encontrar la matriz asociada más sencilla.
Por ejemplo, clasifica los endomorfismo y facilita operaciones con endomorfismos (especialmente la composición de un endomorfismo consigo mismo).
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5.2.
Autovalores y Autovectores. Polinomio caracterı́stico
Un autovector de f es un vector v ∈ V para el que
existe un λ ∈ K que verifica que
f (v) = λv.
Al escalar λ se le denomina autovalor correspondiente al vector v.
Observación: si v es un autovector de f , el subespacio L se transforma en sı́ mismo mediante f .
Definición: un subespacio invariante del endomorfismo f es un subespacio vectorial que se transforma en
sı́ mismo mediante f . Es decir, W ⊂ V es subespacio
invariante si f (W ) ⊂ W .
Determinación de los autovalores y autovectores en
base B:
v es autovector de f con autovalorλ
⇐⇒ f (v) = λv ⇐⇒ f (v) − λv = 0
⇐⇒ (f − λI)v = 0 ⇐⇒ v ∈ ker(f − λI)
⇐⇒
(x1, . . . , x
no trivial del
n )B =v es

solución
x1
0
sistema (A − λI)  ..  =  .. .
0
xn
Donde A es la matriz asociada a f en la base B.
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Conclusión:
1. λ es un autovalor de f ⇐⇒ det(A − λ I) = 0.
2. x = (x1, . . . , xn) es un autovector de f con autovalor λ ⇐⇒ (x1, . . . , xn) es solución del sistema
(A − λ I)x = 0.
3. V (λ) = {x = (x1, . . . , xn) ∈ V |(A − λ I)x = 0}
= ker(A − λI) es el subespacio de autovectores
correspondientes al autovalor λ.
Definición: Se llama polinomio caracterı́stico
del endomorfismo f al polinomio det(A − λI), siendo
A una matriz asociada a f .
Proposición: el polinomio caracterı́stico no depende
de la matriz asociada elegida
Definición: la multiplicidad algebraica m(λ) de
un autovalor λ de f es su multiplicidad como raı́z del
polinomio caracterı́stico de f .
La multiplicidad geométrica d(λ) de un autovalor λ de f es la dimensión del subespacio invariante
V (λ). Es decir,
d(λ) := dim(V (λ)) = dim(ker(A − λI))
= n − rango(A − λI).
Propiedad: 1 ≤ d(λ) ≤ m(λ).
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5.3.
Endomorfismos diagonalizables
Definición: un endomorfismo f : V −→ V es diagonalizable si existe una base de V de modo que la
matriz asociada a f en dicha base es diagonal.
Una matriz A es diagonalizable por semejanza si
existe una matriz P con det(P ) 6= 0 tal que P −1 A P
es diagonal.
Observación: f es diagonalizable ⇐⇒ cualquier matriz
asociada a f es diagonalizable por semejanza.
Teorema: f : V −→ V es diagonalizable ⇐⇒ existe
una base de V formada por autovectores.
Caracterización de endomorfismos diagonalizables: sea f : V −→ V un endomorfismo y λ1, . . . λs
sus autovalores. Entonces,
f es diagonalizable ⇐⇒
½
1. m(λ1) + · · · + m(λs) = n = dim(V )
2. m(λ1) = d(λ1), · · · , m(λs) = d(λs)
En este curso la condición 1. siempre se va a verificar.
Es decir, el polinomio caracterı́stico tiene n = dim(V )
raı́ces reales (contadas con su multiplicidad). Dicho de
otra forma, no vamos a tratar el caso en el
que el polinomio caracterı́stico tenga raı́ces
complejas.
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5.4.
Forma Canónica de Jordan
Sea f : V −→ V un endomorfismo y sea A la matriz
asociada a f en base B.
La forma canónica de Jordan, o la matriz semejante a A
más sencilla, se encuentra de la siguiente forma (utilizaremos un ejemplo en el que V = R9):
Primero se encuentran los autovalores de A y sus multiplicidades algebraicas. Supongamos que A tiene dos
autovalores: −1 y −2; y supongamos que m(−1) = 2
y m(−2) = 7.
Nuestro objetivo es encontrar una base {u1, . . . , u9}
de V tal que la matriz asociada a f en esa base sea
lo más sencilla posible. Como m(−1) = 2, dos de los
vectores de la base tendrá que ver con el autovalor −1;
y como m(−2) = 7, siete de los vectores de la base
tendrán que ver con el autovalor −2.
Empecemos por el autovalor −1. El subespacio de autovectores con autovalor −1 es V (−1) = ker(A + I).
Supongamos que la dimensión de ker(A + I) es dos.
Entonces encontramos una base de ker(A + I), o lo
que es lo mismo encontramos dos vectores u1 y u2 de
ker(A + I) que sean l.i. .
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Pasamos al caso del autovalor −2. Supongamos que
el subespacio de autovectores con autovalor −2 tiene
dimensión cuatro:
dim(ker(A + 2I)) = 4
No podemos hacer lo mismo que el caso anterior. Hacemos lo siguiente:
1. Calculamos ker(A + 2I)2, ker(A + 2I)3, . . .. La dimensión de estos subespacios irá creciendo hasta
alcanzar m(−2) que es siete y después se estabiliza.
Supongamos que
dim(ker(A+2I)2) = 6
y
dim(ker(A+2I)3) = 7.
2. Construimos un diagrama donde un conjunto de
área 4 representa un subespacio vectorial de dim 4.
K er(A + 2 I) 3
K er(A + 2 I) 3 \ K er(A + 2 I) 2
K er(A + 2 I) 2
K er(A + 2 I)
K er(A + 2 I) 2
\ K er(A + 2 I)
K er (A + 2I)
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Nuestro objetivo es encontrar un vector “por cada
unidad de superficie”; es decir, encontrar 7 vectores
l.i.. Vamos a ir rellenando de arriba a abajo.
3. Encontramos un vector u3 que cubra la unidad de
superficie de arriba. Es decir,
u3 ∈ ker(A + 2I)3 \ ker(A + 2I)2.
K er(A + 2 I) 3 \ K er(A + 2 I) 2
K er(A + 2 I) 3
u3
K er(A + 2 I) 2
K er(A + 2 I)
K er(A + 2 I) 2
\ K er(A + 2 I)
K er (A + 2I)
u4
u6
u5
u7
u8
u9
4. Ahora es conveniente “proyectar” hacia abajo el
vector u3. Es decir,
u4 := (A + 2I) u3
y
u5 := (A + 2I) u4.
5. El siguiente hueco que queda está en ker(A + 2I)2 \
ker(A + 2I). Por tanto, encontramos un vector
u6 ∈ ker(A + 2I)2 \ ker(A + 2I)
que sea l.i. con u4.
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6. Proyectamos u6 hacia abajo y obtenemos u7. Es
decir,
u7 := (A + 2I) u6.
7. Finalmente rellenamos los dos huecos que quedan
en ker(A+2I). Es decir, encontramos u8, u9 tal que
{u5, u7, u8, u9} son l.i..
Obsérvese que
u ∈ ker(A + 2I)3 ⇒ 0 = (A + 2I)3 u = (A + 2I)2[(A + 2I)u]
⇒ (A + 2I)u ∈ ker(A + 2I)2.
Como u1, u2, u5, u7, u8, u9 son autovectores y sus respectivos autovalores son −1, −1, −2, −2, −2, −2, sabemos que
f (u1) = −u1; f (u2) = −u2;
f (u5) = −2u5; f (u7) = −2u7; f (u8) = −2u8; f (u9) = −2u9;
Calculemos las imágenes de los vectores que faltan:
u4 = (A + 2I)u3 ⇒ Au3 = u4 − 2u3 ⇒ f (u3) = u4 − 2u3;
u5 = (A + 2I)u4 ⇒ Au4 = u5 − 2u4 ⇒ f (u4) = u5 − 2u4;
u7 = (A + 2I)u6 ⇒ Au6 = u7 − 2u6 ⇒ f (u6) = u7 − 2u6.
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Finalmente, la matriz asociada a f en la base B 0 =
{u1, . . . , u9} es

|
|
|
|
|
|
|
|
|

Mf,B0,B0 =  f (u1) f (u2) f (u3) f (u4) f (u5) f (u6) f (u7) f (u8) f (u9) 
|
|
|
|
|
|
|
|
|


−1 0 0 0 0 0 0 0 0
 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 


 0 0 −2 0 0 0 0 0 0 


 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 




=  0 0 0 1 −2 0 0 0 0  .


 0 0 0 0 0 −2 0 0 0 


 0 0 0 0 0 1 −2 0 0 


 0 0 0 0 0 0 0 −2 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 −2
Esta es la forma canónica de Jordan de la aplicación lineal f .
La matriz cambio de base será

|
P =  (u1)B
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|
|
|
|
|
|
|
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(u2 )B
(u3 )B
(u4 )B
(u5 )B
(u6 )B
(u7 )B
(u8 )B
(u9 )B
|
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|
|
|
|
|
|
Se verifica que
Mf,B0,B0 = P −1 A P.
9

.