problemas EDO PLEV - Departamento de Ingeniería Matemática

Departamento de Ingenierı́a Matemática
Universidad de Concepción
Listado Ejercicios EDO.
EDO-Plev , 2009
Profesor: Felipe Maldonado
1. (Existencia y Unicidad + cambio de variable) Considere la ecuación diferencial
y 2 (x2 + y 3 )y 0 − x = 0
a) Encuentre la o las regiones donde se pueda asegurar existencia y unicidad de un
PVI asociado a la ecuación anterior.
b) Utilizando el cambio de variables z(x) = (x2 + y 3 ) resuelva el PVI
y 2 (x2 + y 3 )y 0 − x = 0
y(0) = −1.
2. Considere la ecuación diferencial ordinaria
y0 =
y 2 − 4xy + 2x2
y 2 − 4x2
Encuentre la o las regiones donde se pueda asegurar existencia y unicidad de un PVI
asociado a la ecuación. Dibuje además tales regiones.
3. (Trayectorias ortogonales + Bernoulli) Encontrar las trayectorias ortogonales a la
familia de curvas dadas por:
xy 2 + y 4 x −
x3
− kx,
2
k∈R
4. (Riccati)
a) Considere la ecuación diferencial:
y 0 = xy 2 + (1 − 2x)y + (x − 1)
(1)
y pruebe que yp = 1 es una solución particular de ella.
b) Realice el cambio de variable y = yp +
1
z
y resuelva la ecuación resultante para z.
c) Encuentre la solución para y(x).
5. (Ley de enfriamiento de Newton) Un ganadero salió una noche a cazar a un lobo
solitario que estaba comiéndose a su rebaño de ovejas. El cuerpo sin vida del ganadero
fue encontrado por un campesino, en un cerro cerca del rancho junto al animal cazado a
las 6:00 am del dı́a siguiente. Un médico forense llegó a las 7:00 y tomó la temperatura del
cadáver, a esa hora anotó 23 grados C, una hora mas tarde volvió a medir la temperatura
del cuerpo y observó que eran 18.5 grados C. Suponiendo que la temperatura ambiental
ha sido constante igual a 5 grados C desde la noche anterior y hasta las 8:00 am ¿A
qué hora murió el ganadero aproximadamente?
Orden superior y aplicaciones
1. (cambio de variable+pol caracterstico) Considere la siguiente EDO a coeficientes
variables:
[x2 y 0 (x) + 2x(1 − x)y(x)]0 = −2x2 y(x)
Pruebe que el cambio de variables u(x) = x2 y(x) transforma esta EDO en una a coeficientes constantes y encuentre la solución de la EDO obtenida. Finalmente encuentre
la solución al problema original, y(x) que satisface además y(1) = 0, y 0 (1) = e.
2. (Liouville + var. de parmetros) Considere la ecuacin:
3
1
t2 y 00 + ty 0 + (t2 − )y = t 2 ,
4
a) Demuestre que y1 = t
−1
2
t>0
(2)
cos t es una solucin de la EDO homognea asociada a (1).
b) Encuentre otra solucin l.i.
c) Encuentre una solucin particular yp y posteriormente entregue la solución general
de la EDO.
3. (Euler+ Aniquiladores) Encuentre la solución general de EDO de tipo Euler siguiente:
x2 y 00 (x) − 3xy 0 (x) + 5y(x) = x2 sin(ln(x))
4. (Liouville)Sea L un operador diferencial lineal de orden mayor o igual a dos con coeficientes variables.
Suponga que y1 es una solución de Ly = 0. Para buscar una segunda solución y2 de
Ly = 0, haga y2 (x) = y1 (x) · z(x) con z 0 (x) = u(x).
(i) Para x ∈ (0, ∞), verifique que y1 (x) = x2 es solución de la EDO lineal a coeficientes
variables x2 y 00 − 4xy 0 + 6y = 0. Encuentre otra solución linealmente independiente
con y1 .
(ii) Lo mismo anterior para (1 − x2 ) y 00 − 2x y 0 + 2y = 0 y la función y1 (x) = x.
5. (Aplicación Mecánica) Considere el sistema dado por una masa m atada a un resorte
de constante de rigidez k, que se encuentra unido a una pared en su otro extremo (no
hay amortiguamiento). El sistema se ve perturbado por una fuerza externa
F (t) =
N
X
an sin(nπt),
n=1
con N > 1 y los an son algunas constantes. Encuentre la solución a la EDO que describe
k
.
este movimiento, cuya ecuación viene dada por x00 (t) + λ2 x(t) = Fm(t) , donde λ2 = m
Separe el análisis en los casos:
a) λ 6= nπ,
∀n ∈ {1, ..., N }
b) λ = nπ para algún n,
Indicación: Primero resuelva el sistema con fuerza externa Fn (t) = an sin(nπt) para
un n fijo, y después utilice el principio de superposición.
6. (Euler) Considere la EDO
(ax + b)2 y 00 + a1 (ax + b)y 0 + a0 y = 0,
Determine un cambio de variables que transforma la EDO anterior en una ecuación de
Euler y utilice esto para resolver:
(x + 2)2 y 00 + 3(x + 2)y 0 − 3y = 0.
Laplace
−1
1. r
Suponga que la transformada de f (t) = t−1/2 existe y que se cumple que L[t 2 ](s) =
π
. Utilizando esto último más algunas propiedades vistas en clases, determine:
s
3
a) L[t 2 ](s)
e−2s
b) L [ 2
s
−1
r
π
+3
s
r
π
](t)
s+1
Bonus:
Pruebe, utilizando la definición de transformada de Laplace, que L[t
r
π
.
s
−1
2
](s) =
2. Usando Transformada de Laplace (y antitransformada), encontrar una expresión para
f (t), a partir de la siguiente ecuación integral-diferencial.
Z
t
f (x) sin (t − x)dx =
0
−1 0
tf (t), f (0) = 1.
2
3. Sea a > 0, n ∈ N. Denotamos Ln = L{sinn (at)}(s). El objetivo de este problema es
calcular Ln , ∀n ∈ N.
a) Calcular L1 y L2 .
b) Pruebe que Ln = Ln−2 − L{sinn−2 (at) cos2 (at)}(s), ∀n ≥ 3.
c) Comprobar que se cumple:
L{sinn−2 (at) cos2 (at)}(s) =
s
!
2
a2 n(n
− 1)
+
1
Ln , ∀n ≥ 3
n−1
Indicación: Integrar por partes astutamente.
a2 n(n − 1)
d) Deduzca que Ln = 2
Ln−2 , ∀n ≥ 3, y escriba una fórmula cerrada para
s + a2 n2
Ln .
e) Encuentre una fórmula de convolución para sinn (at) en función de sinn−2 (at).
Sistemas
1. Encuentre la solución general del sistema no homogéneo.
0 1
− sin t
0
X (t) = AX(t) + G(t), donde A =
y G(t) =
1 0
cos t
2. Sea x ∈ R, y A =
a b
, demuestre que se tiene:
−b a
cos bx sin bx
Ax
ax
e =e
− sin bx cos bx
Problemas de certámenes
1. (15 pts.) Usted se encontraba viendo la nueva teleserie de TVM, Vuelve Tempranito
en vez de estudiar para el curso, sin embargo algo llamó su atención: un cadáver fue encontrado tras un supuesto accidente automovilı́stico; se alertó a las autoridades quienes
llegaron con un equipo forense. A las 6 a.m. se tomó la temperatura del cuerpo que resultó ser 18◦ C. Una hora mas tarde se volvó a medir y resultó ser de 15◦ C. Asumiendo
que la temperatura normal de un cuerpo es de 36◦ C, y que durante la noche y hasta
esas horas la temperatura ambiental se ha mantenido constante igual a 6◦ C el forense
determinó que el joven falleció a las 11 p.m. No obstante usted no está de acuerdo con
esto y cree que el forense mintió a propósito.
Determine, por su propia cuenta, la hora estimada de muerte del joven. ¿Por qué cree
que el forense mintió?
2. (17 pts.) Resolver la siguiente EDO:
(2 cos(x) +
2 sen(x) 2ex
ex
)dx + (3 −
− 2 )dy = 0
y
y
y
c para ello
3. La compañı́a Orange quiere lanzar un nuevo teléfono celular, el oPhone ,
disponen de un modelo que estima la cantidad de celulares vendidos en el tiempo. La
EDO que representa este modelo viene dada por
y 0 (t) = [Po g(t) − f (t)]y(t) − g(t)y 2 (t) + P0 f (t),
donde P0 es una constante que representa la población total de compradores potenciales;
y(t) representa la cantidad de personas que han comprado el celular en el instante t;
g(t) se conoce como coeficiente de compras por imitación (si mi vecino tiene el celular,
yo también lo quiero); y finalmente f (t) representa los estı́mulos publicitarios.
a) (6 pts.) Pruebe que y1 (t) = P0 es una solución de la EDO anterior, y utilizando el
1
cambio de variables y(t) = y1 (t) +
encuentre una EDO para la variable z(t).
z(t)
b) (12 pts.) Si f (t) = c1 t, g(t) = c2 t, con c1 , c2 algunas constantes conocidas. Determine la solución y(t).
P0
c) (10 pts.) Finalmente usando que y(0) = 0 encuentre el tiempo t1 en que
2
personas habrán comprado el celular.
Bonus: ¿Qué condición se debe cumplir con las constantes involucradas de modo que
el problema tenga sentido?
4. (15 pts.) Resolver la ecuación integro-diferencial siguiente:
Z t
f (t − x)ex dx = tf 0 (t),
f (0) = 4.
0
5. (27 pts.) Una empresa sospecha que alguien está saboteando la fabricación de sus
productos en una etapa especı́fica de la producción, tal etapa consiste en la compresión
y dilatación de una barra de metal especı́fico. Este complejo proceso se ha podido
modelar muy bien considerándolo como un resorte de constante K = 13[N/m] con
una masa m = 1[Kg] en su extremo derecho y atado a una pared, en presencia de un
roce cinético de constante c = 4[N s/m] y expuesto a un forzamiento externo dado por
FE (t) = 2 cos(3t). Además se considera que el sistema parte en reposo.
No obstante en los últimos dı́as el resultado obtenido dista mucho de lo que predice la
ecuación de movimiento anterior, se cree que alguien ha estado interviniendo el sistema
dándole 2 golpes súbitos en la primera hora de funcionamiento (llame t1 , t2 a esos
instantes) a la maquinaria de manera de alterar el proceso.
Usted es contratado por la empresa para corroborar las sospechas y con esta información
determinar quien es el responsable. Para ello debe resolver la EDO que incluye los golpes
súbitos y con esto explicarles del porqué esta solución demuestra que efectivamente
alguien ha estado manipulando las máquinas. A su criterio ¿Realmente afecta en la
solución estos intentos de sabotaje considerando que la máquina funciona todo el dı́a?
Indicación: Al resolver la EDO identifique cuales son los términos asociados a los golpes
súbitos.
6. (18 pts.) Resuelva por el método de valores y vectores propios el siguiente sistema
lineal de EDO con condiciones iniciales:
 0
 x (t) = −x(t) + 5y(t)

y 0 (t) = −x(t) + 3y(t)
Mail: [email protected]
x(0)
y(0)
=
2
3
12 de marzo de 2014