SUBGRUPOS DE S4 orden tipo de iso num normal 1 trivial 1 sı 2 Z

SUBGRUPOS DE S4
orden
1
2
3
4
6
8
12
24
tipo de iso
trivial
Z/2Z
Z/3Z
Z/4Z & V
S3
D4
A4
S4
num
1
9
4
7
4
3
1
1
normal
sı́
no
no
1 sı́ & 6 no
no
no
sı́
sı́
Orden 2. Hay 6 del tipo h(ab)i y 3 del tipo h(ab)(cd)i (¿por qué?). Ninguno puede ser normal ya que S4 no tiene
subgrupos normales de orden 2 (¿por qué?).
Orden 3. Hay 4 del tipo h(abc)i (¿por qué?). Ninguno puede ser normal ya que el que lo fuera tendrı́a que
contener los 8 elementos de S4 con estructura cı́clica (abc) (¿por qué?).
Orden 4. Hay 3 del tipo h(abcd)i (¿por qué?), 3 del tipo h(ab), (cd)i y
S = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}
que es el único normal ya que contiene todos los elementos que tienen la estructura cı́clica (ab)(cd).
Orden 6. Los 4 son Hi = {σ ∈ S4 | σ(i) = i}: Si H < G y |H| = 6 entonces H ∼
= D3 (¿por qué?). Tomemos
A ∈ H con o(A) = 3, necesariamente A = (abc) (¿por qué?). Buscamos ahora B ∈ H tal que B 2 = 1 y ABA = B.
Necesariamente B = (xy) con x, y ∈ {a, b, c} distintos (¿por qué?). De hecho para cualquier elección de x e y
con estas condiciones obtenemos el mismo subgrupo H = h(abc), (ab)i (¿por qué?) que es Hi donde i es el único
elemento de I4 \ {a, b, c}.
No son normales ya que dado que contienen un 3-ciclo, para que uno fuera normal deberı́a contener todos los
3-ciclos (¿por qué?).
Orden 8. Hay exactamente 3, no son normales y son isomorfos (esto se obtiene de los teoremas de Sylow que
veremos en el tema 8). Los tres son isomorfos a D4 .
K1 = h(1234), (13)i, K2 = h(1324), (12)i y K3 = h(1243), (14)i.
Orden 12. Hay exactamente uno que es A4 : Un subgrupo N de orden 12 de S4 debe ser normal (¿por qué?).
Contando los elementos de N A4 vemos que N ∩A4 tiene que tener orden un múltiplo de 6 (¿por qué?) y N ∩A4 CA4
(¿por qué?), por lo tanto N = A4 (¿por qué?).