Sobre unas propiedades de los espacios C (X) no hereditarias en

Sobre unas propiedades de los espacios C (X) no
hereditarias en los espacios C* (X)
por
Manuel López Pellicer (*)
PRESENTADO POR EL ACADÉMICO NUMERARIO D. DARÍO MARAVALL
CASESNOVES
ABSTRACT
If (X,'S) is a Hausdorff completely regular space and C (X) is the space of
•continuous real valued functions, endowed with the compact-open topology, then
tthe necessary and sufficient condition for Q (X) to be barrelled is that (X, 'S)
ás a /¿-pace ([2], [6], [7] y [9]; C (X) is ultrabornological if, and only if, occur
;sonie one of the following cases : a) X is real compact, b) Q (X) is bornological,
•c) the sequentially continuous linear functionals on C (X) are continuous, a) in
[11], b) in [6], [TJ, and c) in [5].
In this paper will be proved, by giving a counterexample, that this characterisations are not valid, in general, for the dense subspace of C (X) formed by the
¡bounded continuous functions.
I.
INTRODUCCIÓN
Sea (X, 'S) un espacio topològico de Hausdorff completamente
Tegular, (G (X), 1Se~) el espacio vectorial topològico real y localmente convexo formado por el conjunto de aplicaciones continuas
«de (X, 'S) en el espacio topològico real (R) provisto de la topolo(*) Estre trabajo ha sido realizado en el Departamento de Teoría de Funcio"tes de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Valencia, bajo la dirección
•del profesor Dr M. Valdivia.
— 120 —
già compcta-abierta y (C* (X), 'S*?*) el subespac:o de (G (X), 'Se >
formado por las aplicaciones acotadas.
En [6] y [7] L. Nachbin y T. Shirota han probado que:
(G (X), 'Se) es tonelada si, y sólo si, X es un \L-espacio (= en.
cada cerrado no compacto existe una función no acotada, [2] y [9]).
(G (X), 'Se) es Pomológico si, y sólo si, (X, 'S) es real-compacto ([3]-8).
Este último teorema ha sido extendido por M. de Wilde y
J. Schmets en [11], donde se demuestra que:
(G-\X), ^e) es ultra-b omologie o si, y sólo si, (X, 'S) es realmente compacto.
Nosotros hemos probado [5] que (G (X), "Se), es ultrabomològico si, y sólo si, las formas lineales su c e sianalmente continuas soncontinuas.
II.
ENUNCIADO DE PROBLEMAS
En este artículo vamos a contestar negativamente a las siguientes preguntas :
I. Si (X, 'S) es un ¡i-espacio, ¿es ((?•* (X), <Se*) tonelado,
II. Si (X,'S) es real-compacto, ¿es (G* (X), "Se*) ultrabornológico ?
III. Si las aplicaciones lineales de (G* (X), '&e*) en R sucesionalmente continuas son continuas, ¿es G* (X), 'S e*) ultrabornológico ?
IV. Los subespacios densos de un (G (X), 'Se) tonelado, ¿so»
tonelados ?
V. Los subespacios densos de un (C (X), %) ultrabornológico,,
son ultrabornológicos ?
El siguiente conocido lema nos permitirá con un solo contraejemplo contestar negativamente las cinco preguntas.
LEMA I. Si (X, 'S) es un espacio topològico completamente regular entonces C* \X) es un subconjunto denso en (G (X,~) "Se).
DEMOSTRACIÓN.—Sea / una función de G (X) ; para cada compacto K c: X sea /K una extensión continua a (X, 'S) de la restricción de / a K, tal que
supr 1 /K (x) [ = supr | / (*) ]
*ex
XC-K.
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(la existencia de / se demuestra en [3], 3.II (c) y 1.16).
Si ÍK es la familia de compactos de (X, 'S), entonces la red
{/K : K € 9 ? , c r }
esta en G* (X) y converge a / en (G (X), ^ e ) (puesto que dados > 0 y un compacto K para todo compacto K' que contenga a K,
se verifica que
supr ]/(*)- /K, (x) = O < «),
*€K
por tanto, C* (X) es denso en (G (X), tac). (Se deduce, pues, que
un espacio localmente compacto (X, 'S) es seudocompacto si, y sólo
si, (G* (X), "5è*) es completo).
El lema I implica que (C (X), 'Se) y (C* (X), 'S«.*) tienen el
mismo dual topològico, que lo llamaremos D ([4], 20.1 (1)).
Como todo espacio real-compacto es un Despacio ([2], [6], {?],.
[9]), si construimos un espacio completamente regular real-compacto, (X, 'S) tal que (G* (X), <üe*)no sea tonelado, tendremos resueltos negativamente los cinco problemas planteados.
III.
CONSTRUCCIÓN DEL CONTRAEJEMPLO
Sea co0 el primer ordinal infinito, [1 u>,0] el conjunto de ordinalesmenores o iguales que u 0 , respecto al buen orden < usual entre
ordinales y 'S ^ la topología del buen orden citado. Por no ser posible la confusión, con las mismas letras se designarán los elemento del conjunto [!<>>„[ y los del conjunto de los números natura es.
Sea X el producto cartesiano [1 w0] x [1 ü>,o:] y 'S la topologíadefinida en X por la subbase formada por todos los conjuntos de la
topología producto *S.¿ x 'S ./y el conjunto
A = >{ (n ni) : m ^. n, n Ç [l « 0 ], m Ç [l <D O ] }.
Es inmediato comprobar que en la topología 'S el conjunto A esabierto y cerrado, por tanto (X, 'S) es completamente regular.
(X, 'S) no es compacto porque el subespacio de conjunto soporte[1'«>,„'['x {<!><,.} es "S-cerrado y no es compacto. (X, 'S) es HausdorfL
El conjunto X es numerable, por tanto X es real-compacto ([3],.
—
122 —
8.2). Vamos a probar què (C* (X), tSe*) no es tonelãdo, encontrando una sucesión en D (dual topològico), <r-(D, C* (X)) (= topólo
.già débil en D asociada al par dual (G* (X), D» convergente a
una forma lineal de D, y tal que el conjunto formado por las -unciones de la sucesión no sea < 5<?*-equicontinuo.
Para cada n Ç. [l <o0] el subconjunto de X, {n} x [l o>,0], es con Ia
topología inducida por "5 compacto ; por tanto, para cada / '€ Q (X)
•el supremo de su módulo es finito sobre el compacto {n} x [l «>„•'].
.La serie
_,/(«»»)
*»€[!<«,[
m
•es, pues, absolutamente convergente y la aplicación <?n de (G (X),"Ge }
en R tal que
•r-,
f (n m)
*.</)- w6,[lw
Z rc [^r•es lineal, V w € [l <>><,].
Veamos que ç* es continua, V w •€ •[! <o0], Sea {/T : Y-€ A, <}
una red que en (G (X), 'Ge) converge a /. Sea e un número arbitrário real positivo, y H un real positivo tal que
|/(*) | < H, V * € { » } x [l<o o ].
(1)
De Ia convergência uniforme de la red {/T : y ••€ A, <} a Ia fun•ción /, sobre el compacto {n} x [l <o0] se deduce que existe un
-Y! € A tal que si y > Y I; entonces
. |/ T (*) < 2 H ,
- V * € { » } x [1«.0].
(2)
Sea-Wo el ordinal finito tal que
V
1^<J_
3
*»€]•»,-«„[•"»'
"
• • • • - • • .
:
— 123 —
De (1) y (2) se deduce que
l L (n m) \
•2
(3)
•<y V r ^ y ,
ÎW6]OT 0 0) 0 [
J
^,
I / (n m) I
e
(4)
<T
mÁ0.l~~^
Para cada m € [1 mj la red numèrica {/Y (w m) : y € A, <}
•converge a /(% TO), por lo que
\
/ (n m)
:y€A, <
m?
we [!<«,„]
•converge a
„
/ O m)
we Li «-ol
w2
Dxiste un Y2 '€ A tal que
Ì(nm)
v-i
/T (n m)
2
OT'e,[lTO°]
OT
TO€Ìlm0]
^,,---
£
si
y > y2
OT2
O)
Sea YOun elemento de A posterior a Y! y YZ ; (3)> (*) 7 (5), junto
--a la convergencia absoluta de las series consideradas, implican que
-si YI > Yo» entonces
2
m€l[l<o [
0
f(nm)
TO
•^i
.»»€ [1%[
/T (» w»)
s
<
w2
s
s
T +T + T = £
"por lo que
I?»* (/)-<Pn (A) I = l9 M (/-/,)!<*
si
v>v
La relación (6) prueba la continuidad de ?„, para n € (1 taj.
(6)
— 124 —
Las funciones de (<5 (X), "üc) que se anulan en el subconjunto
compacto de (X, 'S), {n} x [l ü> 0 ] pertenecen al núcleo de la aplicación <9„. Para cualquier subconjunto compacto L, estrictamente contenido en {•»} x [1 o)0] es inmediato construir una función continuaque se anula en el compacto L, que toma sus valores en el intervalo [O 1'] y que en algún punto de {«} x {1 «<,{ vale 1 ; por loque el soporte de la aplicación continua <p„ es el compacto {n} x
* .;[!<].<[6] y •[*]).
La clausura de la unión de los soportes de las aplicaciones <p,Kr
n. € [1 <o0'] es el espacio X. Por ser (X, 'S) no compacto resulta que
el conjunto{<p n : n Ç [1<4 0 ]} no es 'Se-equicontiuo. ([8], lema 2), portanto, el conjunto
U = { / € C (X) : • ! < / , ? > „ > < 1 , V « € [!«•„]}
es un <7-(C? (X), D)-cerrado que no es Tu-entorno del origen ([4]r.
21.3, (1)).
El cerrado U contiene al conjunto
V = { / € C * ( X ) : </, <p n > | < l, y * € [1 «„] }•
Si V fuese un "Seí-entorno del origen, entonces al ser £* (X)*
denso en (G (X), 'Sc) se tendría que Ve«? sería un "üc-entorno del.,
origen, lo que contradice la siguiente relación:
"V^e C Vo <-e «>• D ) c U.
Por tanto, el conjunto de aplicaciones {9* : w € [1 w^]} no es.
'S e* -equicontinuo.
Finalmente, vamos a ver que en el espacio (D, <r (D,C* (X))) lasucesión {<pn,n€ [1 w 0 [} es convergente a tpw..
Dada una función / € (?* (X) existe un número real positivo k~
tal que
| / ( * ) ] < fe, V * € X,
por lo que dado un número real positivo arbitrario e, existe un ordinal finito m1 tal que
k
•^i
X^
r
»»€]»»!«„[
"
»z«
E
8
125
-
«de lo que deducimos que
f (n m)
„
J—J
—
„¡f
V »'€[!<-„].
(7)
O
w è JmjítJ
«(Ya se indicó que se usaría la misma notación para designar a los
•elementos del conjunto de los números naturales y a los ordinales
íinitos.)
La sucesión
f (ní)
/ (» 2)
/ (n m)
-^+-¿-+~ + -¿r-> •**••*•
•converge en R a
/K 2 )
//("»i)
12
\
+
/K^)
22
»y
por lo que existe un w„ tal que n >••«„ implica
/ (»„ 1)
/Oy2)
12
22
/ («,0 ^)
/ (« 1)
/ (n 2)
l2
22
/ (n ^)
»a^
.<?
(»1
Has desigualdades (7) y (8) y la convergencia absoluta de las séries
.usadas implican que si n >• n0, entonces
„
/(o)0m)
4-'
_
«€{!»„[
/ K *rc)
^
*—*
m g [1m,]
+
„
yt
wj2
m.2
-4-J
w €.[!»„[
/(rem)
•y.
+
2
m'
m g [IwJ
Z
/(MOT)
<
9 M „(/)-^(/)l =
»»'€ .]*»!<!>,,[
•4->
/ (»o m)
_
m 6 ]m1o)0[
m2
f(nm)
<T+ 3 + 3 "* S
«c. q. d.
NOTA.—^Por reducción al absurdo es inmediato probar que dado
—
126 —
un compacto K contenido en el espacio topològico (X, 'S) existe uns.
«K '€ [l <o„[ tal que
• K f) •{ (« í») € X : « € [«K <D O [
y
» < m <; o>0 } = 0,
'
por lo que la sucesión de compactos
[KKA= { (n-m) •€ X : » < »K } U { (» »») •£ X : « > >» }, « K '€ N]
es fundamental. El espacio que hemos usado es hemicompactd- '([10]',.
p. 265) y por el teorema de Arens ([1], teoremas 7 y 8) (C (X), 'Sc).
es metrizable (esta observación simplifica la demostración del contraejemplo, en las partes donde se han usado redes, pues es suficiente con usar sucesiones).
En consecuencia, (C* (X), tac») es bornológico (por ser metri-zable) y "Se* es una topología de Mackey, por lo que el compacto
débil no equicontinuo que hemos manejado {cj, <p2, ..., <p„, ..., <fa>, \
tendrá la propiedad de que ni su envoltura convexa, ni su envo-tura.
real-absolutamente convexa son débilmente relativamente compactas,
pues en caso contrario la envoltura absolutamente convexa cerrada
sería débilmente compacta y al no ser un conjunto "Se* -equicontinuoresultaría que 'Ge* no sería de Mackey.
Finalmente, en los espacios (G* (X), -*Se*) las propiedades de ser bornológico y ultrabornológico no son equivalentes, y existen.,
espacios (<?* (X), ^e») en los que las formas lineales sucesionalmente continuas son continuas y no son ultrabornológicos, según lo*prueba el ejemplo considerado.
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