Compleción de los reales

Compleción de los reales
Def: Si X es un subconjunto de R, un número real β se dice que es una cota superior de X
si, para cualquier elemento x ∈ X, se cumple x ≤ β.
Análogamente, un número real α se dice que es una cota inferior de X si, para cualquier elemento x ∈ X, se cumple que α ≤ x.
Un subconjunto X de R se denomina acotado superiormente (respectivamente acotado inferiormente), si X tiene alguna cota superior (respectivamente inferior). Se dice que X es acotado si
lo es superior e inferiormente.
Si X es un subconjunto de R acotado superiormente, una cota superior s de X se denomina
supremo de X, escribiéndose s = supX, si s es menor que cualquier otra cota superior de X,
esto es, si satisface las dos condiciones siguientes:
1) x ≤ s ∀x ∈ X
2) Si x ≤ b ∀x ∈ X entonces s ≤ b.
De forma análoga, si X es un subconjunto de R acotado inferiormente, una cota inferior i de X
se denomina ı́nfimo de X, escribiéndose i = inf X, si i es mayo que cualquier otra cota inferior
de X, es decir, si verifica las 2 condiciones siguientes
1) i ≤ x ∀x ∈ X
2) Si b ≤ x ∀x ∈ X, entonces b ≤ i
Cuando el supremo s de un conjunto X cumple s ∈ X, se dice que el supremo de X es accesible
y se denomina entonces máximo de X, escribiéndose max X. Si el ı́nfimo de un subconjunto
X pertenece a dicho conjunto, se denomina mı́nimo de X y se escribe min X.
Ejemplos:
a) El conjunto R0+ = {x ∈ R| 0 < x} No esta acotado superiormente ya que no existe ningún
número real β tal que x ≤ β ∀x ∈ R0+ . No obstante dicho conjunto esta acotado inferiormente
+
+
puestodo
número
real negativo α es cota inferior de R0 ya que se cumple α < 0 < x ∀x ∈ R0 .
1 b)
n ∈ N Tiene cota inferior, tiene cota superior
n Tiene max = 1, tiene min = 0
1
1 c)
n ∈ Zyn 6= 0
n
1
Tiene cota inferior = − , tiene cota superior= 1
2
1
Tiene max = 1, tiene min = −
2
3
1
n + (−1) n ∈ N
Tiene cota superior= , tiene cota inferior= −1
d)
n
2
3
Tiene max = , no tiene min
2
Axioma del Supremo
Si S es un conjunto de números reales no vacı́o y acotado superiormente, existe sup S.
Teorema.- Si S es un conjunto de números reales no vacı́o y acotado inferiormente entonces
S tiene ı́nfimo.
Dem: Sea m una cota inferior de S y H el conjunto de las cotas inferiores. H es no vacı́o pues
m ∈ H. H esta acotado superiormente por cualquier elemento de S.
Sea M el supremo de H. Entonces µ = inf S
1) ∀x ∈ S se verifica µ ≤ x (µ es cota inferior)
2) ∀y ∈ H y ≤ µ.
Por tanto µ es el ı́nfimo de S.
Teorema.- Sea S un conjunto no vacı́o de números reales y acotado superiormente, entonces
M = sup S ⇔ 1) x ≤ M ∀x ∈ S y 2) ∀ε > 0 existe x ∈ S tal que M < x + ε.
Dem:
⇒ Sea M = sup S entonces 1) se cumple por definición de supremo, para 2) supongamos
que existe ε > 0 tal que ningún x ∈ S cumple 2).
∴ M − ε < x ∀ x ∈ S, es decir x ≤ M − ε ∀ x ∈ S y se tiene que M − ε < x ∀ x ∈ S
∴ M −ε es una cota superior de S y M no puede ser entonces supremo de S
⇐
CONTRADICCIÓN.
Supongamos que se cumple 1) y 2)
Por reducción al absurdo supongamos que M no es el supremo de S por 1), M es cota superior de S. Sea M 0 < M una cota superior y tomamos ε = M − M 0 entonces si M cumple
2) M < x+ε
⇒
M < x+M −M 0
⇒
M 0 < x para algún x
2
CONTRADICCIÓN.
Pues M 0 es cota superior de S. ∴ M = sup S.
Teorema 1. El conjunto N no esta acotado superiormente
Demostración. Supongamos que N estuviese acotado superiormente, como N 6= ∅ entonces
existe supN = α por lo que α ≥ n∀n ∈ N esto implica que α ≥ n + o ∀n ∈ N por lo tanto
α − 1 ≥ n∀n ∈ N lo cual no puede ocurrir ya que α − 1 < α y α − 1 seria cota superior de N lo
cual es absurdo, por tanto N no esta acotado superiormente
Teorema 2. ∀ > 0 existe un número natural n con
1
n
<
Demostración. Supongamos que esto no ocurre es decir
∀n ∈ N por tanto
1
1
n
≥ ∀n ∈ N esto implica que
1
≥n
es una cota superior para N lo cual no ocurre, por lo tanto ∀ > 0 existe
un número natural n con
1
n
<
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