Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.1

Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.1. Sucesiones. Sucesiones convergentes
Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE
NÚMEROS REALES
XIV.1. Sucesiones. Sucesiones convergentes
Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.1. Sucesiones. Sucesiones convergentes
1. Sucesiones
DEF. Una sucesión infinita de números reales es una función
cuyo dominio es N y su imagen un subconjunto de R:
x: N → R
n 7→ x(n) ≡ xn
x1 , x2 , · · · se denominan términos de la sucesión
xn es el término general o término n-ésimo
Notación: (xn ) para la sucesión
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2. Sucesiones monótonas
DEF. Una sucesión (xn ) se dice que es
(monótona) creciente si xn+1 ≥ xn
∀n ∈ N
(monótona) decreciente si xn+1 ≤ xn
∀n ∈ N
estrictamente (monótona) creciente si
xn+1 > xn ∀n ∈ N
estrictamente (monótona) decreciente si
xn+1 < xn ∀n ∈ N
monótona si es creciente o decreciente
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3. Sucesiones acotadas
DEF. Se dice que una sucesión (xn ) está acotada, acotada
superiormente o acotada inferiormente si lo está el conjunto
de sus términos.
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4. Subsucesiones
DEF. Una subsucesión de una sucesión (xn ) viene definida
por una aplicación estrictamente creciente:
N → N
k 7→ nk
La subsucesión se representa por (xnk ), k ∈ N
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5. Límites
DEF. Una sucesión (xn ) tiene límite l ∈ R si para cualquier
entorno (l − ε, l + ε) de l, se cumple que todos los términos de
(xn ) a partir de uno de ellos pertenecen al entorno:
∀ε > 0, ∃N ∈ N/ si n > N ⇒ xn ∈ (l − ε, l + ε)
Notación: lim xn = l
n→∞
Las sucesiones que tienen límite se llaman convergentes
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6. Propiedades de las sucesiones convergentes
1) Si una sucesión tiene límite, éste es único
2) Si dos sucesiones convergentes se diferencian en un
número finitos de términos, su límite coincide
3) Si lim xn = l, entonces todas las subsucesiones de (xn )
n→∞
tienen límite l.
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6. Propiedades de las sucesiones convergentes (II)

lim xn = x

 n→∞
lim yn = y
4) Si

 n→∞
xn ≤ yn ∀n ∈ N



, entonces x ≤ y


5) Si (xn ) tiene límite l 6= 0, entonces existe N ∈ N tal que
∀n > N, signo(xn ) = signo(l)
6) Propiedad del Sandwich
Sean (xn ), (yn ), (zn ) tales que xn ≤ yn ≤ zn
Si lim xn = lim zn = l, entonces lim yn = l
n→∞
n→∞
n→∞
∀n ∈ N
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7. Convergencia y acotación
Toda sucesión convergente es acotada
Toda sucesión monótona creciente y acotada
superiormente es convergente
Toda sucesión monótona decreciente y acotada
inferiormente es convergente
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8. Límites infinitos
DEF. Una sucesión (xn ) tiende a +∞ cuando fijado k ∈ R,
todos los términos xn a partir de uno de ellos son mayores o
iguales que k:
∀k ∈ R, ∃N ∈ N/ si n ≥ N ⇒ xn ≥ k
DEF. Una sucesión (xn ) tiende a −∞ cuando fijado k ∈ R,
todos los términos xn a partir de uno de ellos son menores o
iguales que k:
∀k ∈ R, ∃N ∈ N/ si n ≥ N ⇒ xn ≤k
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9. Operaciones y transformaciones con sucesiones
convergentes
1
Si lim xn = x y lim yn = y, entonces:
n→∞
n→∞
lim (xn + yn ) = x + y
n→∞
lim (xn · yn ) = x · y
yn
y
Si x 6= 0, lim
=
n→∞ xn
x
lim (λxn ) = λx ∀λ ∈ R
n→∞
n→∞
lim (λ + xn ) = λ + x
n→∞
2
∀λ ∈ R
Si lim xn = x y f es alguna de las funciones sen x, cos x,
n→∞
ex o ln x, entonces lim f (xn ) = f (x)
n→∞
3
Si lim xn = x, xn , x > 0∀n ∈ N y lim yn = y, entonces
n→∞
y
lim xn n = x y
n→∞
n→∞
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10. Criterio de Stolz
Sea (bn ) estrictamente creciente tal que lim bn = +∞, y
n→∞
an
.
xn =
bn
an − an−1
an
Si existe lim
= l entonces existe lim
=l
n→∞ bn − bn−1
n→∞ bn
(l puede ser infinito)