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UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE ECONOMIA
TEORIA DE JUEGOS
Profesora: Marcela Eslava
Parcial 3
17 de mayo de 2011
Usted tiene 2 horas para responder este examen
Nota: su examen sólo se considerará válido si su nombre y firma aparecen en la
siguiente afirmación:
Yo, _______________________________________________, doy mi palabra de
honor de haber respondido este examen de forma individual y honesta, sin copiar de
mis compañeros o mis apuntes.
Firmado: _________________________________________________
En cada pregunta aparece el puntaje. La mayoría de preguntas le piden consignar
su respuesta en un espacio a continuación de la pregunta. Para esas preguntas, no
calificaremos respuestas en otros espacios.
1. Suponga que dos almacenes, Naj-Naj y Tenias, compiten por el mismo mercado.
Buscando maximizar sus ganancias, cada almacén invierte una cantidad ci en
publicidad. Aunque el gasto en publicidad es un costo que el almacén tiene que
asumir, genera algunos beneficios en términos de atraer clientela. De otra parte,
las ganancias de cada almacén se ven reducidas por el gasto que el almacén
competidor haga en publicidad, pues este gasto atrae a los compradores hacia el
competidor. En particular, los beneficios de Naj-Naj están dados por:
UN = (1-cN)* (cN – cT)
donde cN es su propio gasto en publicidad y cT es el gasto de la competidora,
Tenias. Por su parte, Tenias tiene ganancias dadas por:
UT = (τ-cT)* (cT – cN)
donde τ es un parámetro dado, conocido por ambos jugadores. Los dos
almacenes toman su decisión acerca de ci de manera simultánea.
a. (0.2 puntos) ¿Cuál es el concepto de equilibrio que aplica para este juego?
Escriba su respuesta a continuación.
Equilibrio de Nash
b. (0.3 punto) Encuentre la función de reacción de cada jugador y escriba ambas
funciones a continuación (indicando claramente cuál es cuál). Use la hoja
adicional para su procedimiento, que debe quedar claramente descrito.
Función reacción N: cN= (1/2)*(1+cT). Función reacción T: cT= (1/2)*(τ+cN)
c. (0.3 puntos) De acuerdo con las funciones de reacción que encontró, en el
óptimo la movida de Naj-Naj es creciente o decreciente en cT? Explique la
intuición de este resultado. Responda a continuación.
Como es claro en la función de reacción de N, cN es creciente en cT. A más alto
gasto en publicidad de Tenias, más tiene que gastar Naj-Naj, para compensar la
pérdida de utilidad que le genera el gasto de su competidora (a través de la
pérdida de clientes).
d. (0.3 puntos) Encuentre el equilibrio del juego, según el concepto que aplica.
Desarrolle su procedimiento, de forma clara y bien justificada en la hoja
adicional que se le entregó. Escriba a continuación el equilibrio que encontró.
cN=(2+τ)*(1/3) cT=(2τ+1)*(1/3)
e.
(0.2 puntos) Encuentre las acciones de cada jugador en equilibrio y la utilidad
que cada jugador obtiene, suponiendo que τ=1. Escriba su respuesta a
continuación. OJO: Denote la movida de Tenias en este equilibrio como c*; esta
notación le será útil para el último punto del parcial.
cN=1, cT=1, UN=0, UT=0
2. Ahora suponga que el valor de τ es sólo conocido por Tenias, mientras que NajNaj sólo sabe que τ puede tomar un valor de 1 o un valor de 3, donde la
probabilidad de τ=1 es 1/2. Los dos almacenes deciden su nivel de ci de manera
simultánea.
a. (0.2 puntos) ¿Cuál es el concepto de equilibrio que aplica para este juego?
Responda a continuación.
Equilibrio de Bayes-Nash
b. (1 punto) Encuentre el equilibrio del juego, según el concepto que aplica.
Desarrolle su procedimiento, de forma clara y bien justificada en la hoja
adicional que se le entregó. Escriba a continuación el equilibrio que encontró.
EBN: cN=4/3, cT(τ=1)=7/6, cT(τ=3)=13/6
c. (0.2 puntos) Encuentre el resultado del juego (acciones que se juegan y utilidad
de cada jugador) suponiendo que τ=1. Escriba su respuesta a continuación.
cN=4/3, cT(τ=1)=7/6, UN= - (1/18), UT= (1/36)
d. (0.3 puntos) Compare el resultado del juego cuando τ=1 y esta información es
conocida por ambos jugadores (punto 1.c.) con el resultado del juego cuando
τ=1, pero sólo Tenias lo sabe (punto 2.c). A partir de esta comparación discuta
los efectos de haber introducido esta forma de información incompleta en el
juego.
Utilice el espacio a continuación (como es limitado, piense
cuidadosamente su respuesta, y cómo la escribirá, antes de escribir).
Como N enfrenta información completa, toma decisiones a partir del tipo esperado de su
competidor. El tipo esperado (Eτ=2) es mayor que el tipo verdadero (τ=1), por lo que N
espera un gasto más alto de su competidora del que efectivamente ésta querría hacer, lo
que a su vez lleva a N a gastar más de lo que haría bajo información completa. T
responde a esto también gastando más. La consecuencia final es una pérdida de utilidad
para N con respecto a lo que obtendría bajo información completa.
e. (0.4 puntos) Explique la intuición de que la acción de equilibrio de Tenias se vea
afectada por la introducción de fallas de información, aún cuando sólo sea NajNaj quien no tiene información completa.
Como lo muestra su función de reacción, la movida de equilibrio de Tenias es
creciente en la de N. La presencia de información incompleta para Naj-Naj
afecta cN y es esto lo que en últimas afecta también cT.
f. (0.4 puntos) Continúe considerando el caso de τ=1. Se puede demostrar que,
manteniendo constante la movida que encontró para Tenias en el equilibrio, la
utilidad Naj-Naj se incrementa si gasta menos en publicidad que el nivel de
equilibrio que usted encontró atrás. Teniendo lo anterior en cuenta, discuta la
siguiente afirmación:
“Si Naj-Naj puede subir su utilidad desviándose unilateralmente de su movida
de equilibrio, entonces esa movida de equilibrio no maximiza su utilidad dada la
movida de Tenias, y por tanto no es racional”. Utilice el espacio a continuación.
Aunque parezca paradójico, la movida de Naj Naj es su mejor movida posible,
considerando la información que tiene al momento de decidir cN. El hecho de que no
maximice su utilidad ex post solamente implica que, de haber tenido desde el comienzo
la información de que τ=1, N habría querido mover algo diferente. Pero lo cierto es que
N no tenía esa información al momento de mover.
3. Ahora suponga que, antes de que se juegue el juego del punto 2, hay una etapa
previa. Tenias es el único almacén del mercado en esa etapa inicial, y sabe que
en el segundo periodo entrará a competirle Naj-Naj. Cuando Naj-Naj entra, lo
hace con información incompleta sobre Tenias: sólo sabe que τ=1 con
probabilidad 1/2, y que τ=3 con la probabilidad complementaria.
La secuencia del juego es entonces la siguiente:
t=1: Tenias escoge cuanto gastar en publicidad para el primer periodo: cT, t=1.
Naj-Naj aún no ha entrado a competir, pero observa la movida de Tenias en el
primer periodo antes de entrar.
t=2: Tenias y Naj-Naj escogen simultáneamente cuánto gastar en publicidad
para el segundo periodo, cT, t=2, cN, t=2.
Tenias toma su decisión del primer periodo teniendo en cuenta las implicaciones
que ésta tendrá para el segundo periodo, incluyendo la posibilidad de que NajNaj use cT,t=1 para extraer información sobre τ. En particular, en t=1 Tenias
maximiza:
UT = (τ-cT,t=1)* cT,t=1+ (τ-cT,t=2)* (cT,t=2 – cN,t=2)
Mientras que en t=2, las funciones de utilidad son idénticas a las del punto 1
para cada jugador. En el análisis que sigue, restrinja los posibles valores de cT,t=1
a los valores que halló en el punto 1 y que denotó como c*y c*.
a. (0.2 puntos) ¿Cuál es el concepto de equilibrio que aplica para este juego?
Responda a continuación.
Equilibrio Bayesiano Perfecto
b. (0.4 puntos) Suponga que Naj-Naj va a usar la movida de Tenias en el
primer periodo para extraer información sobre el tipo de Tenias. ¿Qué
querría (si pudiera) Tenias: convencer a Naj-Naj de que τ=1 o de que τ=3?
Explique. Responda a continuación.
A Tenias le conviene que Naj Naj escoja el menor nivel posible de cN. Para ver esto
(que no es evidente porque cN no sólo afecta UT directamente, sino a través del efecto en
cT), note que Tenias conoce su propia función de reacción del periodo 2. Reemplazando
esa función en la función de utilidad de Tenias, se llega a: UT=(τ- τ/2-cN/2)(τ/2-cN/2),
que es decreciente en cN. Para obtener el menor cN posible T debe convencer a N de que
su τ es el menor posible (para que N espere un nivel bajo de cT). Por tanto, quiere enviar
la señal de que τ=1.
c. (0.4 puntos) Escriba a continuación una posible estrategia separadora para
Tenias en el primer periodo (recuerde que estamos restringiendo el espacio
de movidas de ese periodo a c*y c*).
Estrategia separadora para Tenias: cT= c* si τ=3, cT= c* si τ=1
d. (0.3 puntos) Si Tenias juega en el primer periodo la estrategia que usted
propuso arriba, cuáles son los valores de las siguientes probabilidades
condicionales asignadas por Naj-Naj luego de observar la movida del primer
periodo? Responda en el espacio asignado.
Pr(τ=3 | c*) = ____0______
Pr(τ =3 | c*) = _____1_____