1 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional 3.1. Concepto de

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Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional
3.1. Concepto de variable aleatoria
Se llama variable aleatoria (v.a.) a toda aplicación que asocia a cada elemento del espacio muestral
(Ω) de un experimento, un número real.
Experimento de lanzar 3 monedas al aire. Denominando por (C) a Cara y (X) a Cruz,
el espacio muestral será:
Ω={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}
Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número de caras, asociando cada
suceso anterior con un número:
X(CCC)=3
X(CCX)=2
X(XXC)=1
X(XXX)=0
Experimento de lanzar 2 dados de 6 caras. El espacio muestral será:
Ω={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) … (6,5) (6,6) }
Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como la suma de las puntuaciones,
asociando cada suceso anterior con un número:
X((1,1))=2
X((3,4))=7
X((2,6))=8
X((5,6))=11
Probabilidad inducida
Px (Probabilidad inducida por X) representa la probabilidad de que ocurra un suceso cuyo valor
número asociado esté comprendido en el intervalo b.
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3.2. Variable aleatoria discreta.
Una variable aleatoria es discreta si toma un número de valores:
Finito,
O infinito numerable.
Ejemplo 1.
Experimento de lanzar 2 dados de 6 caras, definiendo la variable aleatoria X como la
suma de las puntuaciones de los 2 dados. La variable es discreta al tomar un número
finito de valores (naturales entre 2 y 12).
Ejemplo 2.
Una urna contiene 10 bolas blancas y 10 negras. Se extrae una bola y se introducen 2
bolas del mismo color que se ha extraído. Se realiza el experimento indefinidamente.
Definimos la variable aleatoria X como el número de bolas blancas que hay en la urna.
Función de probabilidad (V.A.Discreta)
Dada una variable aleatoria discreta X, llamaremos función de probabilidad a aquella que asocia a
cada posible valor de la variable la probabilidad de suceder.
Si la variable aleatoria X toma los valores:
x1
X2
X3
P(x1) P(x2) P(x3)
…
Xn
…
P(xn)
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Determinación de una función de probabilidad
Sobre el experimento de lanzar 3 monedas al aire, denominando (C) a cara y (X) a cruz, las
probabilidades de los posibles valores de la variable aleatoria X de cantidad de caras es:
xi
Sucesos asociados al valor xi
(cantidad de caras)
0
(XXX)
1
(CXX) (XCX) (XXC)
2
(CCX) (CXC) (XCC)
3
(CCC)
Número total de sucesos
P(xi)
(Probabilidad)
8
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0
1
2
3
Función de distribución ( F(x) ) (V.A.Discreta)
Dada una variable aleatoria discreta X, llamaremos función de distribución a aquella que asocia a
cada posible valor de la variable la probabilidad de que dicha variable tome un valor menor o igual
al correspondiente valor.
Propiedades:
1.
2.
3.
4.
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Determinación de una función de distribución
Sobre el experimento de lanzar 3 monedas al aire, denominando (C) a cara y (X) a cruz, las
probabilidades de los posibles valores de la variable aleatoria X de cantidad de caras es:
xi
(cantidad de caras)
0
1
P(xi)
(Probabilidad)
Intervalo de x
F(x)
2
3
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3.3. Variable aleatoria continua.
Una variable aleatoria es continua si toma infinitos no numerables valores.
Ejemplo 1.
Experimento de medir la duración de una bombilla. Toma todos los posibles valores
mayores que 0.
Función de densidad (V.A.Continua)
Dada una variable aleatoria continua X, llamaremos función de densidad a aquella que asocia a
cada posible valor de la variable la probabilidad de suceder.
La función de densidad cumple las siguientes condiciones:
1.
2.
Dada la siguiente función, determínese el valor de k para que f sea una función de
densidad.
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Función de distribución ( F(x) ) (V.A.Continua)
Dada una variable aleatoria continua X, llamaremos función de distribución a aquella que asocia a
cada posible valor de la variable la probabilidad de que dicha variable tome un valor menor o igual
al correspondiente valor.
para
Corolarios referentes a las v.a. continuas:
1.
2.
3.
Propiedades de la Función de Distribución (GENERAL)
Una función F(X) es una Función de Distribución de una variable aleatoria X si, y solo si, satisface
las siguientes condiciones:
a)
b)
c) La función F(X) es monótona no decreciente; es decir:
d)
e) La función F(X) es continua por la derecha; es decir:
f)
La continuidad por la izquierda solo se cumple en los puntos con
.
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Punto ordinario y punto de salto
Punto ordinario es aquel punto X=x que cumple
probabilística nula). En las V.A.Continuas se cumple que:
o
o
Todos los puntos son ordinarios.
Función de distribución es absolutamente continua.
Punto de salto es aquel punto X=x que cumple
probabilística positiva). En las V.A.Discretas se cumple que:
o
o
La Función de probabilidad es nula en todo
puntos de salto.
Función de distribución es escalonada.
Corolarios
C.1.C.2.-
se cumple:
C.2.1.C.2.2.C.2.3.C.2.4.-
C.3.-
Dada la siguiente f.d.d.:
Se pide:
a)
b)
c)
d)
(Masa
Valor de k.
Hallar la función de distribución F(x).
Representar gráficamente f(x) y F(x).
Hallar P[-2<x<2] y representarla sobre f(x) y F(x).
(Masa
, salvo en un conjunto numerable de
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Solución
a)
b)
c)
d)
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3.7. Momentos.
3.7.1. Esperanza matemática (valor esperado)
E[g(X)]
La esperanza matemática (o valor esperado) de la función g(X) de la V.A. X se define como:
V.A. Discreta
V.A. Continua
La esperanza existe solo si es absolutamente convergente
Caso particular: Cuando g(X)=X la esperanza matemática se denomina media de la V.A. X,
pudiéndose considerar como el centro de gravedad de su distribución:
V.A. Discreta
V.A. Continua
La esperanza existe solo si es absolutamente convergente
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Propiedades de la esperanza
1. Esperanza de una constante C. (
2. Esperanza de
.(
).
).
3. Medias de combinaciones lineales de V.A.
3.1.
Si
3.2.
Si
a.
b.
, donde a y b son constantes. (
son dos funciones de la V.A. X.
)
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3.7.2. Momentos de una variable aleatoria
Caso general
, donde X es una V.A., c=cte y
.
V.A. Discreta
V.A. Continua
Momento respecto de c
de orden k
Momento
respecto al origen
de orden k
( c=0 )
Momento central
de orden k
( c=µ=E[X] )
Corolarios
1. Todos los momentos de orden cero son iguales a la unidad.
2.
3.
4. La varianza de X:
5. Una distribución de la V.A. X es simétrica respecto a su media si se cumple:
V.A. Discreta
6. Para
se cumple las siguientes relaciones:
V.A. Continua
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Varianza de una función G(X) de la V.A. X
Desviación Típica (o Desviación Estándar) de una función G(X) de la V.A. X
Varianza de una V.A. X
V.A. Discreta
V.A. Continua
Sea la V.A. X con la siguiente función de probabilidad. Calcular la esperanza , la
varianza y la desviación típica.
x
P(x)
0
0.51
1
0.38
2
0.10
3
0.01
Sea la V.A. X con la siguiente función de densidad. Calcular la esperanza , la
varianza y la desviación típica.
=
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Propiedades de la varianza
1. La varianza de una constante C. (
2. Si
).
, donde a y b son constantes. (
).
Donde:
Por lo tanto:
3. La varianza es el menor momento de segundo orden.
Ya que
solo si
solo si
Centrado y Tipificado de una variable aleatoria
Sea X una variable aleatoria con
y
(
Y = Variable centrada de X
W = Variable tipificada de X
Ya que:
Ya que:
y,
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3.7.3. Otros parámetros característicos de una distribución de probabilidad
Para analizar y estudiar una variable es necesario realizar una serie de operaciones:
1. Obtención de datos (de la población completa o de una muestra).
2. Ordenación de los datos.
3. Análisis de los datos a través de las Medidas Descriptivas, para describir la variable:
a) Medidas de centralización. Valores únicos que representan a todos los datos.
b) Medidas de posición (o cuantiles). Distribución de datos en distintos intervalos.
c) Medidas de dispersión. Condensación/Separación de los datos respecto al
parámetro de centralización anteriormente citado.
d) Medidas de forma. Comparación de la representación gráfica de los datos
(histograma) con la distribución normal.
Medidas de centralización
Parámetro
Descripción
Cálculo
V.A.Discretas
Promedio aritmético de las
observaciones.
Media ( )
(esperanza)
V.A.Continuas
V.A.Discretas
Mediana (
)
Valor que separa por la mitad la
cantidad de observaciones.
V.A.Continuas
Valor de la variable que más veces
se repite, pudiendo no ser única.
Moda (
)
V.A.Discretas
V.A.Continuas
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Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional
Medidas de posición (o cuantiles)
Cálculo
Parámetro
V.A. Discreta
V.A. Continua
Cuantil de
orden p
( xp )
Cuartil
( Q1, Q2, Q3 )
Decil
( D1,…, D9 )
Percentil
( P1,…, P99 )
Medidas de dispersión
Parámetro
Parámetro
Cálculo
V.A. Discreta
V.A. Continua
Rango o
Recorrido
(R)
Absolutas
Varianza
( Var(X),
)
Desviación
Típica
( )
Relativa
Coeficiente
de Variación
de Pearson
( CV )
Para poder comparar la dispersión de distribuciones con diferentes escalas.
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Medidas de forma
Parámetro
Descripción
Si (
Si (
Si (
), distribución simétrica.
), distribución asimétrica por la derecha. (
), distribución asimétrica por la izquierda. (
Coeficiente de
Asimetría o
Sesgo
(
)
Si (
Si (
Si (
Coeficiente de
Apuntamiento
(Curtosis)
( Cap )
), distribución mesocústica.
), distribución leptocúrtica.
), distribución platicúrtica.
Cálculo
)
)
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Sea la V.A. X con la siguiente función de distribución (en meses).
Calcular:
a) El instante en el que fallarán el 50% de los componentes.
b) El instante en el que fallarán el 10% de los mismos.
c) El instante que corresponde a la moda de la variable aleatoria.
a)
b)
c)
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3.8. Desigualdad de Tchebychev
Sea X una V.A. para la que existe
y
se verifica:
Suceso complementario:
Sea la V.A. X con una distribución desconocida de media
. Hallar las cotas para las siguientes probabilidades:
Calcular:
a)
b)
c)
d)
y varianza
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3.9. Función característica
Sea la V.A. X la Función Característica de X se construye como:
V.A. Discreta
V.A. Continua
Sea C una constante y la f.d.d. de la V.A. X es:
Hallar la función característica de X.
3.10. Función generadora de momentos
Sea la V.A. X la Función generatriz de momentos de X se construye como:
Esta función no siempre existe, muy útil en las distribuciones.
V.A. Discreta
V.A. Continua
Propiedades
1. Función generadora de momentos de la V.A.
, existiendo
.
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2. Si existe
entonces existe
:
Y en general
Sea una V.A. X con f.d.d.:
Hallar la función generadora de momentos, la media y la esperanza de X.
3.11. Propiedad reproductiva de algunas variables aleatorias
Si dos V.A. X1, X2 con Funciones de Distribución del mismo tipo (normal,…) con parámetros
La función de distribución de la suma
Si X1 y X2 son independientes se verifica:
será del mismo tipo con
1,
2.