Intervalos de Confianza y Prueba de Hipótesis

Intervalos de Confianza y Prueba de Hipótesis
Antes de iniciar estudiaremos lo relacionado a probar diferentes tipos de hipótesis, empezando por
definir que es una hipótesis y una prueba de hipótesis, enlistaremos los pasos para probar una
hipótesis, y realizaremos pruebas de hipótesis relativas a la media de una población y a las medias
de dos poblaciones.
Aunque se pueden establecer pruebas de hipótesis para la proporción, para la varianza de una
población o para dos poblaciones. Esto último ya se presentó en clase.
En lo que respecta a Intervalos de confianza ya se presentó un documento similar
¿Qué es una hipótesis?
Hipótesis es una afirmación o suposición respecto al valor de un parámetro poblacional
Son ejemplos de hipótesis, o afirmaciones hechas sobre un parámetro poblacional las siguientes:
El ingreso mensual promedio de los trabajadores de la Ciudad de Puebla es $4500.00

El rendimiento de una reacción es del 80%
El 20% de los delincuentes capturados son sentenciados a prisión
El consumo de gasolina promedio por auto es de 10 litros diarios
Todas estas hipótesis tienen algo en común, las poblaciones de interés son tan grandes que no es
factible estudiar todos sus elementos. Como ya sabemos, una alternativa a estudiar la población
entera es tomar una muestra de la población de interés. De esta manera podemos probar una
afirmación para determinar si la evidencia soporta o no la afirmación.
¿Qué es una prueba de hipótesis?
Una prueba de hipótesis comienza con una afirmación o suposición acerca de un parámetro
poblacional, tal como la media poblacional. Una hipótesis podría ser que la colegiatura que pagan los
estudiantes universitarios de la República Mexicana es en promedio de 3000 pesos. Para comprobar
esta hipótesis no podríamos contactar a todos los estudiantes universitarios de la república, el costo
sería exorbitante. Para probar la validez de esta afirmación podríamos seleccionar una muestra de la
población de estudiantes y basados en ciertas reglas de decisión, aceptar o rechazar la hipótesis. Si
la media muestral fuera de 1000 pesos ciertamente tendríamos que rechazar la hipótesis, pero si la
media muestral fuera 2990 pesos ¿podríamos asumir que la media poblacional si es de 3000 pesos?,
¿podemos atribuir al error de muestreo la diferencia de 10 pesos entre las dos medias, o es una
diferencia significativa?
Prueba de hipótesis es un procedimiento basado en una evidencia muestral (es decir en el
estudio de una muestra) y la teoría de la probabilidad. Este procedimiento se usa para
determinar si la hipótesis es una afirmación razonable para no ser rechazada, o es una
afirmación poco razonable y ser rechazada.
Procedimiento de 4 pasos para probar una hipótesis
Hay un procedimiento de cuatro pasos que sistematizan la prueba de hipótesis. Para ilustrar el
procedimiento, completemos el ejemplo anterior. Supongamos que la muestra es de 20 estudiantes y
el nivel de significancia es de .05. Los cuatro pasos son los siguientes:
Paso 1. Establecer las hipótesis nula y alternativa
El primer paso es establecer la hipótesis a ser probada. Esta es llamada la hipótesis nula,
simbolizada por H0, el subíndice cero implica “cero diferencia”. Usualmente el término “no” es
encontrado en la hipótesis nula significando “no cambio”. La hipótesis nula de la introducción podría
ser “la colegiatura mensual promedio de los estudiantes universitarios no es diferente de 3000 pesos”.
Esto es lo mismo que decir “…es igual a 3000 pesos”. La hipótesis nula se puede simbolizar H0: µ =
3000.
La hipótesis nula es una afirmación que será aceptada si los datos de la muestra no nos proveen de
evidencia convincente de que es falsa, es decir, si se acepta la hipótesis nula decimos que la
evidencia no es suficiente para rechazarla pero no podemos afirmar que es verdadera.
La hipótesis alterna es la afirmación que se acepta si se rechaza la hipótesis nula. Esta hipótesis,
también llamada hipótesis de investigación, se simboliza con Ha. La hipótesis alterna es aceptada si
la evidencia proporcionada por la muestra es suficiente para afirmar que la Ho es falsa.
En este ejemplo las hipótesis serían las siguientes:
Ho: La colegiatura promedio de los estudiantes no es diferente de 3000 pesos
Ho: µ = 3000
Ha: La colegiatura promedio de los estudiantes es diferente de 3000 pesos
Ha: µ ≠ 3000
Paso 2. Determinar el criterio de decisión o de contraste
Determinar el criterio de decisión o de contraste consiste en especificar el nivel de significancia, el
tipo de distribución, y los valores críticos.
Existen cuatro posibilidades al tomar una decisión respecto a una hipótesis:
Aceptar Ho
Ho verdadera
Decisión
correcta
Error
Ho falsa
Tipo II
Rechazar Ho
Error
Tipo I
Decisión
correcta
Nivel de significancia es la probabilidad de rechazar una hipótesis nula verdadera
El nivel de significancia es simbolizado por α, y también es conocido como nivel de riesgo. Este
último término es más apropiado porque es el riesgo que se toma de rechazar una hipótesis
verdadera.
No hay un nivel de significancia para todos los estudios, se puede utilizar cualquier valor de
probabilidad entre 0 y 1. Tradicionalmente, el nivel de .05 es aplicado a proyectos de investigación, el
nivel .01 a control de calidad, y .10 a sondeos políticos. Tú como investigador debes decidir el nivel
de significancia antes de colectar la muestra de datos.
El tipo de distribución se determinará dependiendo de la naturaleza de la hipótesis y del tamaño de
la muestra. Cuando la hipótesis es relativa a medias poblacionales o proporciones y las muestras son
grandes (n>30) se utiliza la distribución normal. Cuando es relativa a la media y la muestra es
pequeña (n≤30) se utiliza la distribución t de student.
Cuanto se trata de hipótesis sobre la varianza se usa la distribución Chi2 y cuando se trata de
hipótesis entre varianzas de dos poblaciones se usa la distribución F.
Los valores críticos se determinan con el nivel de significancia y la distribución
correspondiente. Estos son los valores de la variable de la distribución que limitan el área crítica,
que es la parte de la curva que corresponde al nivel de significancia.
En este ejemplo de la colegiatura el nivel de significancia es de .05, se utiliza la distribución t de
student porque la muestra es pequeña, los valores críticos se encontraron de la siguiente manera
El área crítica cuando la hipótesis alterna tiene el símbolo ( ≠ ) se divide en dos y se dice que el
problema es de dos colas, y cada cola vale α/2. Si la Ha tiene el signo (<) el problema es de la cola
izquierda, si tiene el signo(>) es de la cola derecha, y en ambos casos la cola vale α. Este problema
es de dos colas:
Paso 3. Calcular el estadístico de prueba
El estadístico de prueba es un valor obtenido de la información de la muestra para compararlo con el
criterio de contraste y rechazar o aceptar la hipótesis. El estadístico de prueba cambia de acuerdo a
la distribución que se utilice. En este problema el estadístico de prueba es t y se simboliza t*
Supongamos que en una muestra las colegiaturas de los estudiantes universitarios entrevistados son
las siguientes:
2821
2329
3822
3054
3102
3109
3044
3281
2398
2725
3125
2292
2511
3627
2650
2952
3222
2933
2741
2462
La media y la desviación estándar de la muestra son 2910 y 411.95 respectivamente, se procede
enseguida a calcular el error estándar y la t*
Paso 4. Tomar decisión y conclusión
Una regla de decisión es establecer las condiciones sobre las cuales la hipótesis nula es rechazada o
no rechazada. Si el estadístico de prueba queda dentro de la zona crítica la hipótesis nula deberá ser
rechazada. Si el estadístico de prueba queda fuera de la zona crítica la hipótesis nula no deberá ser
rechazada.
En el ejemplo de las colegiaturas, como el estadístico de prueba quedó fuera de la zona crítica la
hipótesis nula no puede ser rechazada. La conclusión podría ser la siguiente:
“No hay evidencia suficiente para afirmar que la colegiatura que pagan en promedio los estudiantes
universitarios es diferente de 3000 pesos, en un nivel de significancia de .05”
Sin embargo en la clase se presentó otra forma de tomar la conclusión usando el valor p o p value.
En este ejemplo se trata de una hipótesis bilateral y el valor de referencia es alfa = 0.05. A partir del
resultado del estadístico de prueba t = -0.097 (menos cero punto noventa y siete) se obtiene en R el
p value correspondiente con la instrucción pt(-0.097,19) de donde resulta un p value de 0.4618711
(observe que esta es un area bajo la curva hacia la derecha)
Dado que le valor p es mayor que el valor de referencia, entonces se dice que no existe evidencia
para rechazar la Hipótesis nula. Es decir que
“No hay evidencia suficiente para afirmar que la colegiatura que pagan en promedio los estudiantes
universitarios es diferente de 3000 pesos, en un nivel de significancia de .05”
Prueba de hipótesis relativas a dos medias
El siguiente ejemplo nos muestra el procedimiento de prueba de hipótesis relativas a la media de dos
poblaciones.
Ejemplo
Se realizó un estudio con un nivel de significancia de .05 para investigar si el número de u.e.a´s que
se dan de baja en la quinta semana es diferente entre los estudiantes de ingeniería de la UAM
iztapalapa y los estudiantes de ingeniería de la UAM Azcapotzalco. Se obtuvieron dos muestras
representativas de 40 estudiantes. La muestra 1 (UAM I) tuvo un puntaje medio de 3.5 (es decir dan
de baja en promedio 3.5 u.e.a´s) con una desviación estándar de 2, mientras que la muestra 2 (UAM
A) tuvo una media de 3 con una desviación de 2.2.
1.- Establecer las hipótesis
Ho: µ1 ≤ µ2
Ho: « El número de u.e.aás que dan de baja no es mayor en la UAM I que en la UAM A »
Ha: µ1 > µ2
Ha: « El número de u.e.a´s que dan de baja en la UAM I es mayor que en la UAM A ».
2.- Establecer el criterio de ecisión o contraste
Como en este problema, la hipótesis alternativa o alterna contiene el signo (>) el problema es de una
cola, es decir, la región crítica se ubica en el extremo derecho de la curva. Para determinar que tipo
de distribución se utilizará primero deberiamos estudiar si la muestra es pequeña o grande, vamos a
suponer que 30 es el limite:
Si n1 + n2 - 2 > 30 entonces se busca en la tabla el valor de z correspondiente a α/2.
Si n1 + n2 - 2 ≤ 30 se busca en la tabla el valor t correspondiente a Φ = n1+n2-2 y a α/2.
En este ejemplo, Φ = n1 + n2 - 2 = 40 + 40 - 2 = 78
distribución normal con α = .05
entonces Φ > 30 y por lo tanto se utiliza la
El valor .05 no está en la tabla, pero debería encontrarse entre estas dos cantidades
Z
1.6
4
.05050
?
.05
5
.04947
Se procede entonces con un procedimiento llamado interpolación, identificando la primera z como z1
y la segunda como z2. Las áreas como A1 y A2 respectivamente.
Z
1.6
Z1
4
.05050
Α1
Z
?
.05
A
Z2
5
.04947
Α2
Luego se aplica la fórmula de interpolación:
Z= Z1 + ( Z2 – Z1)
(A1 - A)
(.05050-.05)
= 1.64 + (1.65 -1.64)
= 1.6448
(A1 – A2)
(.05050-.04947)
Pero usted tiene suerte pues con R puede obtener el valor exacto con la instrucción qnorm(0.05,
lower.tail = F) ide donde resulta1.644854
3.- Calcular el valor del estadístico de prueba
En este ejemplo vamos a suponer que las varianzas de las dos poblaciones son iguales (aunque en
el examen usted deberá probar si esta hipótesis es plausible o valida).
Entonces si esta hipótesis de igualdad de varianzas es válida, se calcula el error estándar de la
diferencia de las medias
Se calcula el valor del estadístico de prueba, en este caso Z*
Usted tiene las formulas que quizas no corresponden a la anterior, pero puede verificar si dan
resultados semejantes o no
4.- Tomar una decisión e interpretar
El estadístico de prueba queda localizado fuera de la zona crítica, entonces no podemos rechazar la
hipótesis nula ( Ho), de tal suerte que se concluye lo siguiente:
No hay evidencia suficiente, con un nivel de significancia de .05, de que la prensa popular
tenga una mayor orientación al tema sexual que la prensa de clase media
Pero pues a nosotros nos interesa aprender a tomar una decisión mediante el valor p o p value.
> pnorm(1.063, lower.tail = F)
[1] 0.1438910
Es decir el p value = 0.1438, como es de una cola se compara con 0.05 y como 0.1438n entonces No
hay evidencia suficiente, con un nivel de significancia de .05, de que los estudiantes de la UAM
I den de baj más u.e.aás que los estudiantes de la UAM A
Tambien podriamos presentar ejemplos sobre pruebas de hipótesis sobre varianzas, proporciones o
radio de varianzas. Pero esto ye lo vimos en clase
Para el examen usted deberá entregar el lunes al inicio de la clase es decir a las 8:30 hrs
las soluciones a los siguientes problemas
Como en la sección anterior presentar con claridad cada paso y dar una explicación
Según el tipo de problema presentar la formula correspondiente, los resultados intermedios más
importantes y el resultado finl del cálculo (usted puede usar una calculadora, las tablas o R) no deje
nada suponiendo que yo lo se, no es mi examen es el suyo. Usted es responsable de comprobar y
presentar claramente sus razonamientos.
Por supuesto usted deberá tomar sus decisiones usando los dos procedimientos de decisión, es decir
comparando la estadística de prueba con los límites de la region crítica (una si es unilateral o dos si
es bilateral) y usando el p value.
Problemas
1.- Una compañía de transportes desconfía de la afirmación de que la vida útil de ciertos neumáticos
es al menos 28,000 km. Para verificar la afirmación se prueba una muestra de estas llantas en los
camiones de la compañía, obteniéndose los siguientes resultados en miles de kilómetros:
25.6
27.4
27.1
29.7
31.1
29.5
26.5
27.7
26.5
27.1
28.3
31.2
29.4
29.5
27.3
29.6
23.4
25.8
26.4
28.0
26.5
26.4
29.0
27.3
25.8
28.8
31.2
27.5
27.3
28.0
27.9
27.5
26.0
26.9
27.8
a) ¿Es correcta la sospecha de la compañía de transportes en base a estos datos y a un nivel de
significancia de .01 ?
b) ¿Cual sería la conclusión si el nivel de significancia fuera .05?
c) Se sospecha que la varianza poblacional es superior a 3,000 ¿es correcta esta sospecha a un nivel
de significancia del 0.05 ?
d) Obtener el intervalo de confianza a un nivel del 95% para la varianza y el promedio de la vida útil a
un nivel de significancia del 0.05.
e) Obtener el intervalo de confianza a un nivel del 95% para la proporción de pneumáticos inferior a
28,000 km.
2.- usted realiza un experimento con dos grupos de estudiantes. A un grupo le aplica un examen y no
les permite usar formulario y al segundo grupo le aplica el mismo examen y les deja usar formulario.
Los tiempos que tardan en responder el examen son los siguientes:
52
46
51
60
72
66
53
62
Grupo 1
73 64
48
61 46
65
49 47
73
43 46
75
52
62
61
64
57
47
53
68
42
61
28
37
58
31
14
43
Grupo 2
35 51
51
32 47
60
64 37
65
45 58
18
47
29
60
39
35
35
48
41
a) ¿Existe evidencia de que las desviaciones estándar de los tiempos entre los dos grupos sean
diferentes a un nivel de 0.05?
b) ¿Existe evidencia suficiente de que el promedio de tiempo que tardan los estudiantes en resolver el
examen es diferente entre los dos grupos con un nivel de significancia de .05 ?
c) ¿Existe evidencia suficiente de que el tiempo que tardan los estudiantes del primer grupo es mayor
que el tiempo que tardan los del segundo grupo, con un nivel de significancia de .05 ?
d) ¿obtener el intervalo de confianza a un nivel del 95% para la diferencia de los promedios o medias
poblacionales de ambos grupos y para el radio de varianzas? Que relación observa con los
resultados de los incisos anteriores.
3.- La compañía “X” que fabrica lámparas incandescentes, asegura que su producto es superior al de
su principal competidor, la compañía “Y”. En un estudio, en una muestra de 24 de las lámparas “X” y
una muestra de 20 lámparas “Y” se obtuvieron las siguientes duraciones en horas:
643
667
624
636
636
626
662
656
Lámparas “X”
630 645
635 652
633 645
610 645
630
622
691
621
624
629
690
630
611
665
641
652
655
696
673
641
Lámparas “Y”
630 639 622
665 573 639
649 597 629
688
585
648
a) En base a esta información, y usando el metodo de intervalos de confianza al 99%, ¿se debe
aceptar la afirmación de la compañía “X”?
b) La compañía “Y” afirma que las lámparas “X” duran menos de 650 horas, si el nivel de significancia
es .01, ¿se debe aceptar la afirmación de la compañía “Y”?
4.- En un laboratorio, se experimenta con dos drogas que reducen el tiempo de respuesta a cierto
estímulo. Se administra a 30 ratas la droga 1 y a 35 la droga 2. La reducción del tiempo de reacción
al estímulo de cada rata fue registrada como sigue:
Reducción del tiempo con la droga
1
28
31
33
23
20
30
22
34
32
35
30
33
36
34
43
26
28
27
23
29
28
33
33
29
38
27
26
21
24
24
Reducción del tiempo con la droga
2
11
21
7
21
23
23
24
27
23
30
17
17
16
16
25
37
29
22
12
26
27
15
23
29
19
16
17
33
36
14
27
15
28
19
27
a) Si el nivel de significancia es .05, y las desviaciones estándar poblacionales no se conocen (usted
deberá establecer y probar las hipótesis para decidir si son o no iguales) ¿es posible decir que no
existe diferencia entre la reducción del tiempo de respuesta con la droga 1 que con la droga 2?
b) Si el nivel de significancia es .05, ¿es posible decir que es mayor la reducción del tiempo de
respuesta de las ratas del grupo 1 que la de las del grupo 2?
c) Si el nivel de significancia es .05, y la desviación estándar de ambas muestras es 10 mseg, ¿es
posible decir que no existe diferencia entre el tiempo de respuesta con la droga 1 y el tiempo de
respuesta con la droga 2?
c) Si el nivel de significancia es .05, y la desviación estándar poblacionales se desconocen y se
supone son diferentes, ¿es posible decir que no existe diferencia entre el tiempo de respuesta con la
droga 1 y el tiempo de respuesta con la droga 2?
5.- La concentración promedio de albúmina (un tipo de proteína) en el suero de una población de
individuos es de 4.1 g/100 ml. A una muestra aleatoria de 25 individuos de esta población se les
aplicó una dosis diaria de esteroide ”A” y a otra muestra de 20 individuos se les aplico el esteroide
“B”, las concentraciones de albúmina de ambas muestras son las siguientes:
Concentraciones de albúmina con
Esteroide “A” (g/100ml)
4.1
3.7
4.1
4.0
4.3
3.7
4.4
3.8
3.5
3.4
4.0
4.3
4.5
4.0
3.5
4.3
3.4
3.3
4.3
2.9
3.8
3.8
4.1
4.4
4.1
Concentraciones de albúmina con
Esteroide “B” (g/100ml)
4.0
3.9
3.8
3.7
3.7
3.5
3.6
3.6
3.5
3.8
3.5
3.8
4.0
3.4
3.9
3.5
3.5
4.0
3.4
3.9
a) Si el nivel de significancia es .05, ¿podemos decir que en base a estos datos, que el esteroide “A”
disminuye el nivel de albúmina en el suero?
b) Si el nivel de significancia es .01, ¿podemos decir que en base a estos datos, que el esteroide “A”
disminuye el nivel de albúmina en el suero?
c) Si el nivel de significancia es .005, ¿podemos decir que en base a estos datos, que el esteroide “A”
disminuye el nivel de albúmina en el suero igual que el esteroide “B”?
d) Si su hubiese tratado de los mismos pacientes podriamos suponer que se trata de un experimento
apareado que concluye para la pregunta a.
PRACTICA 4
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
Además de probar hipótesis relativas a dos varianzas, un segundo uso de la
distribución F involucra la técnica de Análisis de la Varianza, abreviado ANOVA
(Analysis of variance). Básicamente, el análisis de la varianza utiliza
información proveniente de muestras para determinar si tres o más tratamientos
producen diferentes resultados. El uso de la palabra tratamiento tiene su origen
en la investigación agrícola. Las tierras se trataron con diferentes fertilizantes,
para determinar si habría una diferencia significativa en las producciones.
Nosotros podríamos probar la hipótesis de que cinco diferentes aditivos de
gasolina (tratamientos) resultan en un diferente kilometraje por litro. También
podríamos contestar la pregunta, ¿son cuatro métodos de capacitación y
entrenamiento (tratamientos) igualmente efectivos?
Procedimiento del análisis de la varianza
El procedimiento ANOVA puede ser ilustrado usando un ejemplo. Se quiere
probar la hipótesis, en el nivel de significancia de .05, de que la cantidad de
tabletas de alimento que un grupo de ratas consume está en relación con el
tiempo transcurrido desde su última comida. Para comprobar esta hipótesis,
selecciona al azar tres grupos de ratas con seis ratas en cada grupo. Después
de someter a cada grupo a un entrenamiento preliminar, prueba al grupo A, tres
horas después de comer; el grupo B, doce horas después de comer y al grupo
C, veinticuatro horas después de comer. La cantidad de tabletas consumidas
por cada animal en un periodo de diez minutos fueron las siguientes:
Grupo A
0
7
2
1
1
7
Σx = 18
Σx2 =104
Grupo B
5
2
3
9
6
5
Σx = 30
Σx2 =180
Grupo C
5
11
9
9
4
10
Σx = 48
Σx2 =424
1.- Establecer las hipótesis
La hipótesis nula establece que no hay diferencia entre las medias de los
tratamientos, mientras que la hipótesis alterna establece que por lo menos una
media es diferente.
Ho: μ1 = μ2 = μ3
“La cantidad promedio de tabletas que comen las ratas es igual en cualquiera
de los grupos, o sea, no está en relación directa con el tiempo transcurrido
desde su última comida”
Ha: la media de los tratamientos no es la misma
“La cantidad promedio de tabletas que comen las ratas no es igual en los tres
grupos, o sea, si tiene relación directa con el tiempo transcurrido desde su
última comida”
2.- Establecer el criterio de contraste (valores críticos)
Como queremos determinar si la variación
por los tratamientos es
significativamente más grande que la variación por el error, entonces la prueba
estadística adecuada es la distribución F. La distribución F es la razón entre dos
varianzas:
F=
La estimación de la varianza de la población
basada en la variación por tratamientos
La estimación de la varianza de la población
basada en la variación por el error
La varianza por tratamientos, que es el numerador, tiene grados de libertad
igual a ν = k – 1, donde k es el numero de tratamientos. La varianza por error,
que es denominador, tiene grados de libertad igual a ν = n – k, donde n es el
número total de observaciones. En el ejemplo de las ratas los grados de libertad
por tratamientos son ν = 3 – 1 = 2, y los grados de libertad del error son ν = 18 –
3 = 15. Entonces el criterio de contraste será el valor encontrado en la tabla de
F para α = .05 de la siguiente manera:
F para
2
α = .05
15
3.68
Si localizamos este valor en la curva de la distribución F, la regla de decisión
será aceptar la hipótesis nula si el estadístico de prueba ( F* ) es menor de
3.68, y aceptar la hipótesis alterna si el estadístico de prueba es mayor de 3.68.
3.- Calcular el estadístico de Prueba ( F* )
Para facilitar el cálculo del estadístico de prueba ( F* ) se elabora una tabla para
registrar todos los cálculos. El formato general de una tabla de un análisis de
varianza es el siguiente:
Fuente de la
variación
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
SCT
k–1
Tratamientos
n – k
Error
SCE
Total
SCtotal
Media cuadrada
SCT
k–1
SCE
MCE =
n – k
Estadístico
de prueba
MCT =
F* =
MCT
MCE
Para encontrar las sumas de cuadrados se realizan los siguientes cálculos:
a) Encontrar el Factor de Corrección
FC=
( 18 + 30 + 48 )2
( X )2
=
= 512
6+6+6
n
b) Encontrar la Suma Total de Cuadrados
SCTotal = X 2 - FC = ( 104+ 180 + 424 ) - 512 = 196
c) Encontrar la Suma de Cuadrados por tratamientos
SCT =

( X )²
- FC =
n
( 18 )²
( 30 )²
(48)²
+
+
- 512 = 76
6
6
6
d) Encontrar la Suma de Cuadrados del error
SCE= SCTotal - SCT = 196.0 - 76.0 = 120.0
Una vez calculado las sumas de cuadrados se procede a completar la tabla
Fuente de la
variación
Tratamientos
Error
Total
Suma de
cuadrados
SCT = 76
SCE = 120.0
Grados de
libertad
Media
Estadístico de
cuadrada
prueba
76
k – 1= 3 – 1 = 2 MCT=
=38
2
38
F*=
= 4.75
120
8
=8
n – k= 18 - 3 = 15 MCE=
15
SCTotal = 196
4.- Tomar Decisión y Conclusión
Como el Estadístico de Prueba (F* = 4.75) es más grande que el valor crítico
del Criterio de Contraste (F = 3.68), entonces F* queda dentro de la zona crítica
y por lo tanto aceptamos la hipótesis alterna en el nivel de significancia de 0.05,
y la conclusión podrá ser como la siguiente:
“Hay evidencia suficiente, en un nivel de significancia de .05, de que
la cantidad de tabletas que comen las ratas no es igual en los tres
grupos, es decir está en relación con el periodo de tiempo que ha
transcurrido desde su última comida”.
Ejercicios
1.- Un inspector de un distrito escolar quiere estudiar el ausentismo de los
profesores de diversos grados escolares. Se seleccionaron muestras aleatorias
de profesores en escuelas primarias, secundarias, y preparatorias, y el número
de días de ausencia el año anterior fue como sigue:
Primaria
7
4
10
6
5
Secundaria
13
14
9
8
7
10
Preparatoria
7
2
6
9
9
Con un nivel de significancia de .025, determine si hay una diferencia en el
ausentismo entre los diversos grados.
2.- El propietario de una distribuidora de combustible pretende investigar la
rapidez con la cual le pagan sus facturas en tres áreas suburbanas. Se
seleccionaron muestras de clientes en cada zona y se registró el número de
días entre la entrega y el pago de la factura, con los siguientes resultados:
Área 1
8
18
14
20
12
14
15
16
Área 2
10
16
28
25
7
17
Área 3
32
8
16
27
17
20
19
21
20
Con un nivel de significancia de .025, determine si hay una diferencia en la
rapidez con que pagan las facturas en estas tres áreas.
3.- Un agrónomo desea estudiar el rendimiento (en libras) de cuatro variedades
diferentes de calabacitas. Se dividió una parcela en 16 lotes y se asignaron
cuatro lotes al azar a cada variedad. Los resultados del experimento (en libras)
fueron
Calabacita
redonda
86
74
88
76
Calabacita
común
40
48
54
46
Calabaza
alargada
30
36
42
34
Calabacita
rayada
48
54
42
56
Con un nivel de significancia de .01, determine si hay una diferencia en el
rendimiento de las diferentes variedades de calabacitas.
4.- Un distribuidor de automóviles nuevos quiere estudiar la cantidad de dinero
aplicado a la compra de equipo opcional en automóviles de tamaño grande. Se
seleccionó una muestra de 20 compras. Los sujetos se dividieron en las
siguientes clasificaciones por edades: 18-24, 25-29, 30-39, 40-59, 60 y más. La
cantidad de equipo opcional comprado (en miles de pesos) se organizó en
grupos de edad como sigue:
18-24
6.31
4.27
5.75
25-29
7.64
5.36
3.85
6.24
Edad
30-39
8.37
9.26
10.16
6.48
7.86
40-59
11.23
10.64
8.32
9.00
7.53
60 y más
6.74
7.36
5.12
Con un nivel de significancia de .05, determine si hay una diferencia en la
cantidad de dinero aplicado a la compra de equipo opcional en automóviles
nuevos entre los diferentes grupos de edad.
5.- Los alumnos de la clase de mercadotecnia calificaron el desempeño del
profesor como excelente, bueno, malo y pésimo. Las calificaciones que dieron
los estudiantes al profesor fueron comparadas con sus calificaciones finales del
curso de mercadotecnia. Lógicamente, se pensaría que en general, los
estudiantes que calificaron al profesor con excelente tendrían una calificación
final mucho más alta que los que lo calificaron como bueno, malo o pésimo.
Esto supondría también que quienes calificaron al docente como pésimo
obtendrían las calificaciones mas bajas. Se seleccionaron muestras de
calificaciones finales de los alumnos por cada tipo de calificación dada al
maestro.
Excelente
94
90
85
80
Calificaciones finales de la clase de Mercadotecnia
Bueno
Malo
75
70
68
73
77
76
83
78
88
80
68
65
Pésimo
68
70
72
65
74
65
Se pretende determinar si hay una diferencia estadística entre la calificación
promedio obtenida por los estudiantes de acuerdo a la calificación otorgada al
maestro. Utilice un nivel de significancia de .01
6.- En un esfuerzo por determinar la más efectiva manera de enseñar principios
de seguridad a un grupo de empleados de una compañía, cuatro diferentes
métodos fueron tratados. Veinte empleados fueron asignados aleatoriamente a
cuatro grupos. El primer grupo recibió instrucción programada en folletos y
trabajaron a lo largo del curso a su propio paso. El segundo grupo atendió
lecturas. El tercer grupo observó presentaciones en televisión, y el cuarto fue
dividido en pequeños grupos de discusión. Al final de las sesiones, una prueba
fue aplicada a los cuatro grupos. Los resultados fueron:
Calificaciones
Instrucción
programada
6
7
6
5
6
Lecturas
Televisión
8
5
8
6
8
7
9
6
8
5
Grupos de
discusión
8
5
6
6
5
Pruebe en el nivel de significancia de .05 si hay o no diferencia entre las cuatro
medias.
7.- Una revista para consumidores esta interesada en saber si existe o no
alguna diferencia en la duración promedio de cuatro marcas diferentes de pilas
para radios de transistores. Se probó una muestra aleatoria de cuatro pilas de
cada marca, con los siguientes resultados (en horas):
Marca 1
12
15
18
10
Marca 2
14
17
12
19
Marca 3
21
19
20
23
Marca 4
14
21
25
20
Con un nivel de significancia de .05, pruebe si hay alguna diferencia en la
duración promedio de estas cuatro marcas de pilas para radios de transistores