Recursión e iteración

Recursión e iteración
Se exponen en este apartado diversos ejemplos simples de definiciones de procedimientos que generan
procesos recursivos o iterativos. Se comienza precisando algoritmos y sus correspondientes procedimientos para el cálculo de potencias de exponente entero no negativo, primero en el monoide multiplicativo
de los enteros y, posteriormente, potencias en un monoide cualquiera. Mediante estos ejemplos sencillos
se ilustran definiciones de procedimientos recursivos e iterativos, ası́ como sus correspondientes procesos
recursivos e iterativos. También se ponen de manifiesto hechos cruciales relativos al consumo de tiempo
y de memoria en los procesos computacionales.
[1] Comencemos considerando el concepto de potencia de exponente entero no negativo
(se tomará, por simplificar, el monoide multiplicativo (Z, ×) de los enteros como dominio
base). Deberá tenerse en cuenta que no van a servir, en principio, definiciones “para andar
por casa” al estilo de
bn = b × b × . . . × b ;
en lugar de este tipo de definiciones deberemos acudir al concepto matemáticamente
correcto de potencia.
Fijado un número entero b, sea pb : N → Z la función tal que
pb (0)
= 1,
pb (n + 1) = b × pb (n), (n ∈ N)
(1)
Se escribe
bn = pb (n), para todo entero b y todo número natural n,
y se dice que bn es la potencia de base b y exponente n; queda ası́ definida una
aplicación
p:Z×N→Z
p(b, n) = bn , (b ∈ Z, n ∈ N)
que, de acuerdo con (1), verifica:
b0
bn
= 1
= b × bn−1
(b ∈ Z, n ∈ N, n > 0)
(1 )
Esta definición matemática, recursiva, proporciona el procedimiento computacional
Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 10 de octubre de 2003
1
(define (potencia base exponente)
(if (zero? exponente)
1
(* base (potencia base (− exponente 1)))))
(2)
Ejemplo de uso:
> (potencia 3 5)
243
El proceso generado en el cálculo de (potencia 3 5) se puede esquematizar en la forma:
(potencia 3 5)
(* 3 (potencia 3 4))
(* 3 (* 3 (potencia 3 3)))
(* 3 (* 3 (* 3 (potencia 3 2))))
(* 3 (* 3 (* 3 (* 3 (potencia 3 1)))))
(* 3 (* 3 (* 3 (* 3 (* 3 (potencia 3 0))))))
(* 3 (* 3 (* 3 (* 3 (* 3 1)))))
(* 3 (* 3 (* 3 (* 3 3))))
(* 3 (* 3 (* 3 9)))
(* 3 (* 3 27))
(* 3 81)
243
El procedimiento potencia genera procesos recursivos que requieren un número de
pasos (tiempo de ejecución) que crece de modo lineal en la talla del exponente y usan
memoria también lineal en la talla del exponente. ¿Es posible mejorar estas cotas?
[2] Atendamos, en primer lugar, al tiempo de ejecución. De la definición (1) se derivan
propiedades de las potencias que pueden ayudar a disminuir el número de pasos; por
ejemplo
bn+m = bn × bm ,
de donde, si se toma m = n,
2
b2×n = bn × bn = (bn )
Por tanto, el cálculo de b2×n requiere exactamente una multiplicación más que el cálculo
de bn . De ahı́ que, si e > 0 es par, entonces
be = (be/2 )2
(3)
El cálculo directo de be según (1) conlleva una multiplicación más que el cálculo de be−1 ,
mientras que usando (3) el número de multiplicaciones requeridas es una más que el cálculo
de be/2 . Ahora, si e/2 es par se vuelve a usar (3); mientras que si e/2 es impar, se procede
como en (1):
e
be/2 = b × b( 2 −1)
Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 10 de octubre de 2003
2
y
e
2
− 1 es par, con lo que se le puede aplicar nuevamente la reducción (3), etc.
Estas consideraciones conducen a la formulación siguiente: Dado un entero b, para
todo entero no negativo n se tiene
b0
bn
bn
= 1
= (bn/2 )2 ,
si n > 0 y n es par
= b × bn−1 , si n > 0 y n es impar
(4)
que en términos de procedimientos se expresa
(define (pot base exponente)
(cond ((zero? exponente) 1)
((even? exponente) (cuadrado (pot base (/ exponente 2))))
(else (* base (pot base (− exponente 1))))))
(5)
(define (cuadrado x)
(* x x))
Ejemplo de uso:
> (pot 2 21)
2097152
El proceso generado en el cálculo de (pot 2 21) se puede esquematizar en la forma:
(pot 2 21)
(* 2 (pot 2 20))
(* 2 (cuadrado (pot 2 10)))
(* 2 (cuadrado (cuadrado (pot
(* 2 (cuadrado (cuadrado (* 2
(* 2 (cuadrado (cuadrado (* 2
(* 2 (cuadrado (cuadrado (* 2
(* 2 (cuadrado (cuadrado (* 2
(* 2 (cuadrado (cuadrado (* 2
(* 2 (cuadrado (cuadrado (* 2
(* 2 (cuadrado (cuadrado (* 2
(* 2 (cuadrado 1024))
(* 2 1048576)
2097152
2 5))))
(pot 2 4)))))
(cuadrado (pot 2 2))))))
(cuadrado (cuadrado (pot 2 1)))))))
(cuadrado (cuadrado (* 2 (pot 2 0))))))))
(cuadrado (cuadrado (* 2 1)))))))
(cuadrado 4)))))
16))))
El procedimiento pot genera procesos recursivos que requieren un número de pasos
que crece logarı́tmicamente con el exponente. El paso de un tiempo lineal a un tiempo
logarı́tmico es crucial: el cálculo de b elevado a 1048576 (= 220 ) requerirı́a 1048575 multiplicaciones según el procedimiento potencia y solamente 20 = log2 (1048576) multiplicaciones según el procedimiento pot .
Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 10 de octubre de 2003
3
[3] Expongamos ahora otro punto de vista, radicalmente distinto al anterior, para el cálculo
de potencias de acuerdo con el siguiente esquema adaptado al caso concreto 35 ; se comienza
con una variable a con valor inicial 1, una variable b con valor la base (3 en nuestro caso)
y una variable n con valor inicial el exponente (5 en nuestro caso), de modo repetitivo se
multiplica a por la base b a la vez que se disminuye n en una unidad:
a
b
n
1
3
5
1×3 =
3
3
4
3×3 =
9
3
3
9×3 =
27
3
2
27×3 =
81
3
1
81×3 =
243
3
0
cuando n alcance 0, el valor de a es la potencia buscada.
Formalicemos esta forma de proceder. Dado un número entero b, consideremos la
función Pb : Z × N → Z tal que
Pb (a, 0)
= a,
Pb (a, n + 1) = Pb (a × b, n),
para todo a ∈ Z
para todo a ∈ Z, n ∈ N
(6)
Se tiene
Pb (a, n) = a × bn
(7)
Demostración: Por inducción sobre n.
Pb (a, 0) = a = a × b0 , y
Pb (a, n + 1) = Pb (a × b, n) = (a × b) × bn = a × bn+1
En particular, para a = 1:
Pb (1, n) = bn
(8)
Queda definida una función
P
: Z×Z×N
(a, b, n)
→
→
Z
Pb (a, n)
y se cumple
P (a, b, n) = a × bn .
Teniendo en cuenta (6), la función P se expresa en la forma
P (a, b, 0) = a
P (a, b, n) = P (a × b, b, n − 1)
(a, b ∈ Z, n ∈ N, n > 0)
Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 10 de octubre de 2003
(9)
4
y se tiene
bn = P (1, b, n)
(10)
Pasemos a definir los correspondientes procedimientos computacionales. La función
P se implementa, teniendo en cuenta (9), como el procedimiento pot2Iter:
(define (pot2Iter a b n)
(if (zero? n)
a
(pot2Iter (* a b) b (− n 1))))
(11)
y de (10) se obtiene
(12)
(define (pot2 base exponente)
(pot2Iter 1 base exponente))
Ejemplo de uso:
> (pot2 3 5)
243
El proceso generado en la evaluación de (pot2 3 5) es como sigue:
(pot2 3 5) llama a pot2Iter con los parámetros a, b, n reemplazados por 1,
3, 5, respectivamente. Posteriormente, y de modo repetitivo (i.e. iterativo), se
evalúan a * b, b y n − 1, después estos valores pasan a ser (en paralelo) los
nuevos valores de a, b y n, respectivamente:
(a, b, n) ← (a * b, b, n − 1)
hasta que el valor de n sea 0 en cuyo momento se para el proceso y devuelve 243
como valor de (pot2Iter 1 3 5); esto es, como valor de (pot2 3 5).
El siguiente esquema puede ayudar a entender el proceso:
Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 10 de octubre de 2003
5
(pot2 3 5) =
.
(pot2Iter 1 3 5) =
.
.
(pot2Iter 3 3 4) =
.
.
.
(pot2Iter 9 3 3) =
.
.
.
.
(pot2Iter 27 3 2) =
.
.
.
.
.
(pot2Iter 81 3 1) =
.
.
.
.
.
.
(pot2Iter 243 3 0) =
.
.
.
.
.
.
243 =
.
.
.
.
.
243 =
.
.
.
.
243 =
.
.
.
243 =
.
.
243 =
.
243 =
243
Los procedimientos potencia y pot2 calculan potencias de exponente natural de
números enteros, pero son esencialmente distintos en cuanto a la forma de calcularlos o,
con mayor precisión, los procesos generados son diferentes:
– La definición de potencia es recursiva en el sentido de que potencia se llama
a sı́ mismo [en la definición (2)], y el proceso generado por (potencia b n) es
estrictamente recursivo en el sentido de que en cada paso queda aplazada una
evaluación [el producto (* base (potencia base (− exponente 1))) ]
– La definición de pot2Iter es recursiva, pot2Iter se llama a sı́ mismo [en la
definición (11)], pero el proceso generado por (pot2Iter a b n) es esencialmente
iterativo en el sentido de que la respuesta se va construyendo mientras el proceso
avanza y no quedan (o no deberı́an quedar) evaluaciones aplazadas.
Una de las ventajas de esta forma recursivo-iterativa de pensar es que el par de
definiciones (11), (12) se traduce automáticamente a una definición de procedimiento que
generará procesos puramente iterativa; esto se consigue mediante el uso de alguna de las
primitivas de iteración explı́cita que proporcione el lenguaje o el sistema, por ejemplo, do
en Scheme. Veamos cómo llevar a cabo esta traducción automática mediante una sucesión
de pasos según se expone seguidamente:
1. la entrada (los datos) es un par (base, exponente) ∈ Z × N (primera lı́nea del
procedimiento (12)).
2. se invoca pot2Iter con sus parámetros a, b, n inicializados como 1, base,
exponente, respectivamente (segunda lı́nea de (12)).
3. cuando n alcance el valor 0 se devuelve el valor de a (segunda lı́nea de (11)).
Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 10 de octubre de 2003
6
4. si n no es 0 se efectúa el cambio (a, b, n) ← (a * b, b, n − 1) y se repite
la evaluación de pot2Iter con estos nuevos valores (tercera lı́nea de (11)).
Estamos en condiciones de definir un procedimiento que genere procesos puramente
iterativo para el cálculo de potencias según el esquema indicado:
(define (pot3 base exponente)
(do ((a 1 (* a b))
(b base)
(n exponente (− n 1)))
((zero? n) a)))
[4] Combinemos ahora dos puntos de vista tratados previamente:
– proceso iterativo del apartado anterior [3] y
– tiempo logarı́tmico del apartado [2].
Para ello debemos tener en cuenta que si n es par, entonces
bn = (bn/2 )2 = (b2 )n/2
Volvamos a usar las funciones Pb y P del apartado [3]. En la situación allı́ contemplada,
y si n es un entero positivo par, se tiene:
P (a, b, n) = Pb (a, n) = a × bn = a × (b2 )n/2 = Pb2 (a, n/2) = P (a, b2 , n/2)
Por lo tanto las expresiones de (9) se escriben
P (a, b, 0) = a
P (a, b, n) = P (a, b2 , n/2),
si n es par
P (a, b, n) = P (a × b, b, n − 1), si n es impar
(a, b ∈ Z, n ∈ N, n > 0)
(13)
y se tiene, véase (10),
bn = P (1, b, n)
Esto proporciona la siguiente definición de procedimiento:
(define (pot4Iter a b n)
(cond ((zero? n) a)
((even? n) (pot4Iter a
(* b b) (/ n 2)))
(else
(pot4Iter (* a b) b
(− n 1)))))
(define (pot4 base exponente)
(pot4Iter 1 base exponente))
Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 10 de octubre de 2003
7
Ejemplo de uso:
> (pot4 5 87)
6462348535570528709932880406796584793482907116413116455078125
El procedimiento pot4 iter (recursivo-iterativo) genera procesos (que deberı́an ser)
iterativos con un número de pasos que crece logarı́tmicamente con el tamaño de exponente.
Ahora, y como traducción directa del procedimiento anterior, veamos la versión
puramente iterativa:
(define (pot5 base exponente)
(do ((a 1
(if (even?
(b base
(if (even?
(n exponente (if (even?
((zero? n) a)))
n) a
(* a b)))
n) (* b b) b))
n) (/ n 2) (− n 1))))
Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 10 de octubre de 2003
8
[5] Generalización mediante procedimientos de orden superior.
La definición de potencia de exponente natural en el dominio Z de los enteros, vista en
(1), se generaliza de modo obvio al caso de un monoide arbitrario M = (M, •). Recordemos
que • es una operación binaria en M asociativa y con elemento unidad (necesariamente
único), digamos e. La definición (1) se expresa ahora:
Fijado un elemento b ∈ M , sea pb : M → M la función tal que
pb (0)
= e,
pb (n + 1) = b • pb (n), (n ∈ N)
(14)
El resto de la discusión es igual con los cambios:
la unidad: 1 por e y
la operación: × por • ;
en particular, las relaciones (13) se escriben:
P (a, b, 0)
P (a, b, n)
P (a, b, n)
= a
= P (a, b • b, n/2),
si n es par
= P (a • b, b, n − 1), si n es impar
(a, b ∈ M, n ∈ N, n > 0)
(15)
y se tiene
pb (n) = P (e, b, n),
(b ∈ M, n ∈ N)
Para implementar (15) es preciso incluir, además de la base y el exponente, la
operación binaria • (como un procedimiento de dos argumentos) y la unidad e. Por
lo demás el procedimiento Potencia es una copia casi exacta del procedimiento pot5 de
la sección previa:
(define (potenciaGeneral base exponente operador unidad)
(do ((a unidad
(if (even? n) a
(operador a b)))
(b base
(if (even? n) (operador b b) b))
(n exponente (if (even? n) (/ n 2)
(− n 1))))
((zero? n) a)))
Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 10 de octubre de 2003
9
Ejemplos de uso:
1 En el monoide multiplicativo de los enteros:
> (potenciaGeneral 5 7 * 1)
78125
> (expt 5 7)
78125
2 En el monoide aditivo de los enteros (aquı́ se dice múltiplo en lugar de potencia):
> (potenciaGeneral 123 9876 + 0)
1214748
> (* 123 9876)
1214748
3 En el monoide multiplicativo de los enteros modulo 37. La operación es multiplicación
ordinaria de enteros seguida de reducción con respecto al módulo, 37 en este caso:
> (potenciaGeneral 22 13 (lambda (u v) (remainder (* u v) mod) 1)
17
(define (potenciaModular base exponente mod)
(potenciaGeneral base
exponente
(lambda (u v) (remainder (* u v) mod))
1))
> (potenciaModular 234 567 890)
594
> (potenciaModular −234 567 890)
-594
Obsérvese que en el último ejemplo, utilizando nuestra función Potencia, se obtiene
un resultado correcto pero negativo:
(−234)567 ≡ −594(mod 890)
Esta aparente anomalı́a se debe al funcionamiento de la primitiva remainder de
Scheme:
Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 10 de octubre de 2003
10
> (remainder 7 5)
2
> (remainder 7 −5)
2
> (remainder −7 5)
-2
> (remainder −7 −5)
-2
Como puede verse remainder devuelve el resto con el signo del dividendo. Si se quiere
que los restos sean no negativos, definamos un procedimiento resto que devuelva restos
no negativos:
(define (resto a b)
(let ((r (remainder a b)))
(if (>= r 0)
r
(+ (abs b) r))))
(define (potenciaModular base exponente mod)
(potenciaGeneral base
exponente
(lambda (u v) (resto (* u v) mod))
1))
Ejemplo de uso:
(potenciaModular −22 13 37)
20
Teorema de Fermat. Si p es un entero primo y a es un entero, 0 ≤ a < p, entonces
ap ≡ a (mod p)
Por tanto, dado un entero n, n > 1, si para cualquier entero a, 1 < a < n, ocurre que
an ≡ a (mod n)
entoces n es compuesto.
Ejercicio. Compruébese que 87669562583239363359710599 es compuesto.
Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 10 de octubre de 2003
11